Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à simplifier les fonctions rationnelles et à déterminer leurs domaines de définition.
Avant de simplifier les fonctions rationnelles, rappelons qu’une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Donc, on dit que est une fonction rationnelle si et sont des polynômes, avec qui n’est pas le polynôme zéro. Nous pouvons également rappeler que les fonctions constantes sont des exemples de polynômes, nous pouvons donc commencer par simplifier le quotient des fonctions constantes, en d’autres termes, par simplifier les fractions.
Nous rappelons que pour simplifier une fraction, disons , on trouve les facteurs communs de et et ils s’annulent. Plus précisément, nous divisons le numérateur et le dénominateur par ces facteurs communs. Par exemple, pour simplifier , on écrit le numérateur et le dénominateur comme le produit de leurs facteurs premiers pour obtenir
On peut alors diviser le numérateur et le dénominateur par , ce qui a pour effet d’annuler les facteurs partagés. Cela donne
Le processus de simplification d’une fonction rationnelle est similaire ; nous voulons trouver les diviseurs communs du numérateur et du dénominateur, puis annuler ces facteurs. Cependant, il existe quelques différences importantes dans ce cas. Pour voir ces différences, simplifions la fonction rationnelle .
Notre premier instinct peut être d’annuler le facteur partagé de au numérateur et au dénominateur ; cela donnerait
Appelons cette fonction , alors . On voit immédiatement que et ne sont pas exactement la même fonction en considérant les deux fonctions lorsque . Nous avons
Donc, n’est pas défini lorsque . On peut rappeler que l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée représentent le domaine de définition d’une fonction, nous pouvons ainsi dire que 0 n’est pas dans le domaine de . Par conséquent, nous ne pouvons pas simplement annuler le facteur partagé de quand vaut 0 puisque est seulement égal à 1 lorsque le dénominateur est non nul.
En fait, nous avons montré cela lorsque , . Ainsi, on peut dire que sur son domaine de définition . Nous pouvons également voir cela dans un repère en traçant les graphiques des deux fonctions.
Les deux graphiques sont égaux partout sauf lorsque puisque est indéfini pour ce point.
Ce processus peut être généralisé pour simplifier toute fonction rationnelle.
Nous devons d’abord déterminer le domaine de définition de la fonction rationnelle. Sur ce domaine, la fonction est définie, de sorte que nous pouvons annuler les facteurs partagés dans le numérateur et le dénominateur (la fonction ne peut pas donner pour les valeurs du domaine de définition). Enfin, la fonction est égale à l’expression simplifiée sur le domaine de définition de la fonction d’origine.
Pour appliquer ce processus, nous devons d’abord déterminer le domaine de définition d’une fonction rationnelle. Nous pouvons le faire directement à partir de la définition d’une fonction rationnelle. Disons que , avec et des polynômes. Nous savons que les polynômes sont définis pour toutes les valeurs réelles, et nous notons que si , alors nous avons le quotient de deux nombres réels. Donc, est défini et est dans le domaine de définition de . Cependant, si , alors , ce qui est indéfini ; par conséquent n’est pas dans le domaine de définition de . Nous avons montré le résultat suivant.
Définition : Domaine de définition d’une fonction rationnelle
Si est une fonction rationnelle, alors le domaine de définition de comprend tous les nombres réels sauf ceux pour lesquels .
Par conséquent, nous pouvons déterminer le domaine de définition d’une fonction rationnelle en déterminant les racines du dénominateur. Pour les polynômes de haut degré, nous pourrions avoir besoin d’utiliser une technique telle que le théorème des facteurs, la division algébrique ou la factorisation par regroupement afin de déterminer ces racines. Nous devons également noter que, parfois, les équations du second degré n’auront pas de racines réelles (par exemple, n’a pas de racines réelles).
Par exemple, déterminons le domaine de définition de la fonction rationnelle . Nous voulons trouver les racines du dénominateur, et nous le faisons en prenant le facteur partagé de , ce qui nous donne
Alors, pour que le produit de deux expressions de valeurs réelles soit 0, l’un des facteurs doit être 0. Ainsi, soit ou . Enfin, le domaine de définition de comprend toutes les valeurs réelles sauf ces racines ; on peut écrire cela comme .
Maintenant que nous pouvons déterminer le domaine de définition d’une fonction rationnelle, nous pouvons également simplifier les fonctions rationnelles en annulant les facteurs partagés, où le domaine de définition de la nouvelle fonction est hérité de la fonction d’origine. Nous pouvons décrire ce processus comme suit.
Comment simplifier les fonctions rationnelles
Pour simplifier une fonction rationnelle , nous devons effectuer les étapes suivantes :
- Déterminer les valeurs de avec . Ensuite, le domaine de définition de comprend toutes les valeurs réelles sauf ces racines.
- Factoriser complètement et ; cela peut nécessiter l’utilisation du théorème des facteurs ou de la factorisation par groupement.
- Annuler les facteurs partagés du numérateur et du dénominateur, où nous limitons les valeurs de pour qu’ils soient dans le domaine de .
- Égaliser à l’expression simplifiée limitée au domaine de définition de .
Voyons maintenant quelques exemples d’application de ce processus pour simplifier une fonction rationnelle.
Exemple 1: Simplifier et déterminer le domaine des fonctions rationnelles
Simplifiez la fonction et déterminez son domaine de définition.
Réponse
On note d’abord que est le quotient de deux polynômes, c’est donc une fonction rationnelle. Nous rappelons que pour simplifier une fonction rationnelle, nous trouvons son domaine de définition, factorisons le numérateur et le dénominateur, puis annulons les facteurs partagés sur le domaine de définition.
Par conséquent, nous devons commencer par trouver le domaine de définition de . Nous le faisons en rappelant que le domaine de définition d’une fonction rationnelle comprend toutes les valeurs réelles de sauf ceux dont le dénominateur est égal à zéro. Pour déterminer les racines du dénominateur, nous allons factoriser en utilisant la différence entre deux carrés :
Par conséquent, quand ou quand . Donc, le domaine de définition de est .
Ensuite, nous devons factoriser complètement le numérateur. Nous pouvons le faire en notant que les deux termes partagent un facteur de , ce qui nous donne
Par conséquent,
Maintenant, puisque n’est pas dans le domaine de définition de , nous pouvons annuler le facteur partagé de pour nous donner avec .
Ainsi, nous avons montré que et son domaine de définition est .
Dans notre prochain exemple, nous allons montrer comment trouver le domaine de définition d’une fonction rationnelle où le numérateur et le dénominateur sont tous les deux du second degré avec des coefficients directeurs supérieurs à 1.
Exemple 2: Simplifier une fonction rationnelle
Simplifiez la fonction et déterminez son domaine de définition.
Réponse
On note d’abord que est le quotient de deux polynômes, c’est donc une fonction rationnelle. Rappelons ensuite que pour simplifier une fonction rationnelle, nous trouvons son domaine de définition, factorisons le numérateur et le dénominateur, puis annulons les facteurs partagés sur le domaine de définition.
Par conséquent, nous devons commencer par trouver le domaine de définition de . Nous le faisons en rappelant que le domaine de définition d’une fonction rationnelle comprend toutes les valeurs réelles de sauf si le dénominateur est égal à zéro.
Il existe un certain nombre de techniques pour nous aider à factoriser ce type d’équation du second degré. L’une d’elles est parfois appelée factorisation par regroupement. Nous allons l'utiliser ici, bien que nous puissions choisir d’utiliser l’inspection ou une autre méthode appropriée.
Pour trouver les racines du dénominateur, nous devons factoriser . Nous pouvons le faire en déterminant deux nombres dont le produit est et la somme donne 50. On voit que ces nombres sont 1 et 49. Nous utilisons ensuite cela pour séparer le terme du milieu et factoriser ainsi par regroupement :
Les deux premiers termes partagent un facteur de et les deux derniers termes ne partagent qu’un facteur de 1.
En prenant ces facteurs, nous avons
Ensuite, on factorise pour obtenir
On peut maintenant trouver les racines du dénominateur :
Ce sont et .
Par conséquent, le domaine de définition de est . On peut maintenant simplifier en factorisant le numérateur et en annulant les facteurs partagés sur ce domaine de définition.
Pour factoriser , on a besoin de deux nombres que l’on multiplie pour donner et que l’on ajoute pour donner 43. Nous pouvons voir que ces nombres sont 1 et 42, alors nous utiliser cela pour séparer le terme du milieu et ensuite factoriser :
Par conséquent, avec .
Par conséquent, et son domaine de définition est .
Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser une simplification donnée d’une fonction rationnelle pour déterminer la valeur d’une inconnue dans la fonction.
Exemple 3: Déterminer la valeur d’une inconnue dans une fonction rationnelle compte tenu de sa forme simplifiée
Sachant que se simplifie en , quelle est la valeur de ?
Réponse
Rappelons que pour simplifier une fonction rationnelle, nous trouvons son domaine de définition, nous factorisons le numérateur et le dénominateur, puis annulons les facteurs partagés sur le domaine de définition.
Par conséquent, comme la fonction simplifiée a un dénominateur linéaire et que la fonction d’origine a un dénominateur du second degré, nous sommes en mesure de factoriser en deux facteurs linéaires dont l’un est . On peut noter que si , alors n’a pas de facteurs puisque les racines sont et on ne peut pas prendre la racine d’un nombre négatif dans l’ensemble des nombres réels. Par conséquent, .
Ensuite, nous pouvons factoriser cette expression en utilisant la différence entre les carrés :
Puisque est un facteur du dénominateur, nous savons que , donc . Cela signifie que le dénominateur de est , qui a des zéros à .
Par conséquent, le domaine de définition de est .
Ensuite, on factorise le numérateur de en remarquant que et , donc
Par conséquent, si , nous avons
Cela confirme que .
Dans nos exemples précédents, nous avons seulement traité des polynômes du second degré. Voyons maintenant un exemple impliquant un polynôme cubique.
Exemple 4: Simplifiez et déterminez le domaine de définition des fonctions rationnelles
Simplifiez la fonction et trouvez son domaine de définition.
Réponse
Nous rappelons que pour simplifier une fonction rationnelle, nous trouvons son domaine de définition, factorisons le numérateur et le dénominateur, puis annulons les facteurs partagés sur le domaine de définition.
Par conséquent, nous devons commencer par trouver le domaine de définition de . Nous le faisons en rappelant que le domaine de définition d’une fonction rationnelle comprend toutes les valeurs réelles de sauf si le dénominateur est égal à zéro.
On peut rappeler la formule de la somme des cubes, qui stipule que . En prenant , nous avons
Nous ne pouvons pas factoriser l’équation du second degré. Donc, il n’y a pas d’intersection avec l’axe des et donc pas de racines à cette équation du second degré. Par conséquent, le domaine de définition de est .
On peut alors factoriser le numérateur en utilisant la différence entre les carrés ; nous avons
Maintenant, pour ,
Par conséquent, et son domaine de définition est .
Avant de passer à nos derniers exemples, nous pouvons maintenant discuter de la signification de deux fonctions rationnelles égales et équivalentes.
On dit que deux fonctions rationnelles sont égales si les fonctions sont égales. En d’autres termes, elles doivent avoir le même domaine de définition et les valeurs résultantes doivent être égales sur le domaine de définition. Nous pouvons écrire ceci formellement comme suit.
Définition : Égalité des fonctions rationnelles
Si et sont des fonctions rationnelles, on dit que si elles ont le même domaine de définition et sont égales sur le domaine de définition.
On note que cela revient à dire que les zéros des dénominateurs des deux fonctions rationnelles sont égaux et sur ce domaine.
Parfois, les fonctions rationnelles se simplifient pour donner la même fonction rationnelle ; cependant, leurs domaines de définition peuvent ne pas être les mêmes. Dans ce cas, nous disons que nous avons des fonctions rationnelles équivalentes.
On dit que deux fonctions rationnelles sont équivalentes si elles sont égales sur l’intersection de leurs domaines de définition. Nous pouvons l’écrire de manière plus formelle comme suit.
Définition : Équivalence des fonctions rationnelles
Si et sont des fonctions rationnelles, on dit que est équivalente à si elles sont égales sur leur domaine de définition partagé. Nous notons que le domaine de définition partagé des deux fonctions rationnelles est constitué de tous les nombres réels à l’exclusion des zéros de chaque dénominateur.
Dans nos deux derniers exemples, nous verrons comment comparer des fonctions rationnelles avec la même forme simplifiée et déterminer si elles sont équivalentes.
Exemple 5: Déterminez le domaine de définition pour que deux fonctions rationnelles soient égales
Étant données les fonctions et , quel est l’ensemble des valeurs sur lesquelles ?
Réponse
Nous voulons déterminer l’ensemble des valeurs sur lesquelles les deux fonctions données sont égales. On peut noter que si sur l’ensemble de leur domaine partagé, alors elles sont équivalents. Nous pouvons le faire en remarquant que les deux fonctions données sont rationnelles, nous pouvons donc simplifier ces fonctions en déterminant leurs domaines de définition et en éliminant les facteurs partagés.
On observe que le numérateur et le dénominateur de ne partagent aucun facteur commun, ne peut donc pas être simplifié. Alors, commençons par . Rappelons que le domaine de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exclusion de ceux dont le dénominateur est zéro. Nous pouvons déterminer quand le dénominateur est nul en factorisant. Nous avons
Ainsi, le dénominateur est nul lorsque ou lorsque . Cela signifie que le domaine de définition de est . On peut alors annuler le facteur commun de pour voir que quand . On peut alors voir que c’est la même expression que .
Comme on ne peut que simplifier en excluant les valeurs et , nous avons démontré que est seulement égal à sur cet ensemble de valeurs, en d’autres termes, sur le domaine de définition de .
Il est à noter que l'ensemble de définition de définition de est et que l'ensemble de définition de est . Ainsi, l'ensemble de définition commun de ces fonctions est l’intersection de ces ensembles : .. Nous avons montré que et sont égaux sur cet ensemble, elles sont donc équivalentes.
Par conséquent, elles sont égales sur tout le domaine de définition de , qui est .
Dans l’exemple précédent, nous avons vu que si nous avons deux fonctions rationnelles qui se simplifient pour donner la même expression, alors elles sont conformes partout où les deux fonctions sont définies. En d’autres termes, si deux fonctions rationnelles ont la même expression simplifiée, alors elles sont égales sur l’intersection de leurs domaines de définition. Cela nous donne un résultat intéressant.
Propriété : Équivalence de fonctions rationnelles à l’aide de formes simplifiées
Si et sont des fonctions rationnelles où les formes simplifiées de et sont égales, alors et sont équivalentes.
Par conséquent, nous pouvons déterminer l’équivalence des fonctions rationnelles en simplifiant chaque fonction rationnelle en annulant les facteurs partagés.
Regardons un autre exemple où nous identifions l’ensemble sur lequel deux fonctions sont égales en considérant leurs domaines de définition. Cela nous permettra ensuite de discuter de l’équivalence et de l’égalité des deux fonctions rationnelles.
Exemple 6: Déterminer le domaine de définition pour que deux fonctions rationnelles soient égales
Soient et ; déterminez le plus grand ensemble sur lequel les fonctions et sont égales.
Réponse
Afin de déterminer l’ensemble des valeurs sur lesquelles les deux fonctions données sont égales, nous remarquons que les deux fonctions données sont rationnelles, nous pouvons donc simplifier ces fonctions en déterminant leurs domaines de définition et en éliminant les facteurs partagés.
On note que possède des fonctions linéaires distinctes dans son numérateur et son dénominateur, elles ne partagent donc aucun facteur polynomial non constant. En d’autres termes, comme il n’y a pas de facteur commun constant, nous ne pouvons simplifier davantage .
Alors, commençons par . Nous rappelons que le domaine de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception de ceux qui rendent le dénominateur nul. On peut déterminer quand le dénominateur est nul en factorisant, donc on a
Ainsi, le dénominateur est nul lorsque ou lorsque . Cela signifie que le domaine de définition de est . On peut alors factoriser le numérateur pour obtenir
Ensuite, sur le domaine de définition de , nous pouvons annuler les facteurs partagés pour obtenir pour .
On peut alors voir que c’est la même expression que .
Comme les deux fonctions rationnelles ont la même expression simplifiée, nous avons montré qu’elles sont équivalentes. Cependant, on peut noter que ces fonctions ne sont pas égales car mais 0 n’est pas dans le domaine de définition de .
Par conséquent, nous avons montré qu’elles sont égales sur le domaine de définition de , qui est . Nous ne pouvons pas étendre cet ensemble plus loin car n’est pas défini lorsque ou lorsque . Ainsi, les fonctions ne peuvent pas être égales pour ces valeurs. Par conséquent, l’ensemble le plus grand sur lequel ces fonctions sont égales est .
Terminons en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Le domaine de définition d’une fonction rationnelle est constitué de toutes les valeurs réelles, à l’exception de celles qui rendent le dénominateur égal à zéro.
- Pour simplifier une fonction rationnelle , nous devons effectuer les étapes suivantes :
- Déterminer le domaine de définition de en trouvant les racines de .
- Factoriser complètement et .
- Annuler les facteurs partagés du numérateur et du dénominateur, où nous limitons les valeurs de pour qu’elles soient dans le domaine de définition de .
- Égaliser à l’expression simplifiée sur le domaine de définition de .
- Si deux fonctions rationnelles ont les mêmes expressions simplifiées, alors elles sont égales sur l’intersections de leurs domaines de définition.
- Si et sont des fonctions rationnelles, on dit que si elles ont le même domaine de définition et sont égales sur le domaine de définition.
- Si et sont des fonctions rationnelles, on dit que est équivalente à si elles sont égales sur leur domaine de définition partagé.
- Si les formes simplifiées de deux fonctions rationnelles et sont égales, alors et sont équivalentes.
