Fiche explicative de la leçon: Signes des fonctions trigonométriques dans les quatre quadrants Mathématiques • Première secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier dans quel quadrant se situe un angle et que le signe du sinus et du cosinus est positif ou négatif.

Avant de déterminer le signe des fonctions sinus et cosinus pour un angle donné, nous commencerons par rappeler précisément ce que nous entendons par les fonctions sinus et cosinus d’un angle donné. Pour ce faire, nous devons d’abord rappeler exactement ce que nous entendons par le sinus et le cosinus d’un angle. Le sinus et le cosinus d’un angle peuvent être déterminés en utilisant des points sur le cercle trigonométrique.

L’abscisse de ce point sera , où est l’angle mesuré dans le sens trigonométrique à partir de l’axe positif . De même, l’ordonnée de ce point sera . Lorsque l’angle est aigu, nous avons un triangle rectangle où les fonctions sinus et cosinus sont des rapports des longueurs des côtés de ce triangle rectangle. Cependant, cette méthode nous permet de définir le sinus et le cosinus d’un angle entre à .

Nous pouvons généraliser cette méthode pour considérer des angles orientés. Dans ce cas, un angle mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre est donné par un nombre négatif. Nous pouvons aussi étendre cette méthode pour considérer des angles dont la mesure représente plus d’un tour de cercle.

Par exemple, on pourrait représenter l’angle par

La mesure de cet angle est de et il est orienté dans le sens horaire.

Par conséquent, pour trouver le sinus et le cosinus d’un angle donné , on peut mesurer l’angle formé à partir de l’axe positif , puis déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique.

Voyons, par exemple, la manière de procéder pour un angle de . On commence par mesurer l’angle de à partir de l’axe positif dans le sens trigonométrique sur un dessin, où le cercle trigonométrique est centré à l’origine.

Les coordonnées du point d’intersection entre le cercle et le segment nous indiquent le sinus et le cosinus de l’angle de mesure . On peut voir sur le dessin que l’ordonnée de ce point est positive ; par conséquent, est également positif. De même, l’abscisse de ce point est négative ; par conséquent est aussi négatif.

Voyons un exemple illustrant comment déterminer le signe du cosinus d’un angle plus grand que .

Exemple 1: Déterminer le signe d’une fonction trigonométrique évaluée en un angle donné

est-il positif ou négatif ? 

Réponse

Il y a beaucoup de méthodes variées que nous pouvons utiliser pour déterminer le signe du cosinus d’un angle donné. Par exemple, nous pourrions utiliser différentes relations trigonométriques pour évaluer cette expression. Cependant, nous allons nous concentrer sur l’interprétation graphique.

Pour ce faire, nous rappelons d’abord que le cosinus d’un angle est égal à l’abscisse du point placé sur le cercle trigonométrique, où forme un angle de avec l’axe positif des abscisses.

Par conséquent, nous devons trouver le point tel que forme un angle de avec l’axe positif des abscisses. Comme , on obtient ce qui suit.

Nous pouvons voir que , car ces deux angles correspondent au même point sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de cet angle sera égal à l’abscisse de .

On peut voir sur le schéma que l’abscisse de est positive, car elle se situe à droite de l’origine.

Par conséquent, est positif.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu que le signe du cosinus d’un angle était entièrement déterminé par la valeur de l’abscisse du point situé à l’intersection du côté de l’angle et du cercle trigonométrique. Nous pouvons utiliser ceci pour déterminer le signe des fonctions sinus et cosinus de n’importe quel angle.

Lorsque l’angle correspond à un point du cercle trigonométrique situé à droite de l’origine, alors son abscisse est positive et, par conséquent, son cosinus est également positif. De même, lorsqu’il correspond à un point situé à gauche de l’origine, son abscisse est négative et, par conséquent, son cosinus doit aussi être négatif. Nous pouvons procéder de même avec les ordonnées .

Lorsque l’angle correspond à un point du cercle trigonométrique situé au-dessus de l’origine, alors son ordonnée est positive et, par conséquent, son sinus doit également être positif. De même, lorsqu’il correspond à un point situé en dessous de l’origine, son ordonnée est négative et, par conséquent, son sinus doit également être négatif.

Il serait intéressant de diviser le plan afin de pouvoir repérer un point ainsi qu’un angle par rapport aux axes du repère. Comme le plan est naturellement divisé en quatre sections par les axes, nous pouvons le faire en étiquetant ces sections que nous appellerons des quadrants. Nous allons commencer par le quadrant supérieur droit et les numéroter dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Nous les représentons habituellement par des chiffres romains et il convient de souligner que les axes eux-mêmes ne font partie d’aucun quadrant. Cela nous permet de repérer un point dans le plan qui n’est pas sur les axes du repère.

Par exemple, se situe dans le premier quadrant, se situe dans le deuxième quadrant, se situe dans le troisième quadrant et se situe dans le quatrième quadrant.

De la même manière, on peut dire que certains angles mesurés à partir de l’axe positif se situent dans un quadrant spécifique.

Voyons un exemple sur la manière de déterminer le quadrant dans lequel un angle donné se situera.

Exemple 2: Déterminer dans quel quadrant se situe un angle donné

Dans quel quadrant l’angle se situe-t-il ? 

Réponse

Afin de déterminer le quadrant dans lequel un angle se situe, nous rappelons que les quadrants sont les 4 sections du plan séparées par les axes du repère, et le quadrant d’un angle est le quadrant où se situe son côté, si nous mesurons à partir de l’axe positif .

Nous pouvons le représenter dans un schéma, où nous rappelons que est positif, donc que notre angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et que nous numérotons les quadrants à partir de celui situé en haut à droite, également dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Comme , nous pouvons voir que le côté de l’angle se situe dans le quatrième quadrant. On peut aussi dire que l’angle de mesure se situe dans le quatrième quadrant.

Nous savons que le signe du sinus et du cosinus d’un angle est entièrement déterminé par sa position dans le repère. En fait, nous pouvons déterminer le signe uniquement en considérant le quadrant dans lequel se situe l’angle.

Premièrement, lorsque notre angle se situe dans le premier ou le quatrième quadrant, les abscisses de chaque point du côté de l’angle sont positives. En particulier, cela signifie que l’abscisse du point d’intersection entre le côté de l’angle et le cercle trigonométrique est également positive. Le cosinus de cet angle est donc positif. De même, si l’angle se situe dans le deuxième ou troisième quadrant, son cosinus est négatif.

Deuxièmement, lorsque notre angle se situe dans le premier ou le deuxième quadrant, l’ordonnée de chaque point du côté de l’angle est positive. En particulier, cela signifie que l’ordonnée du point d’intersection entre le côté de l’angle et le cercle trigonométrique est également positive. Par conséquent, le sinus de cet angle est positif. De même, si l’angle se situe dans le troisième ou quatrième quadrant, son sinus est négatif.

Nous pouvons résumer cela comme suit.

Nous pouvons utiliser ceci pour trouver le signe de la fonction tangente dans différents quadrants. Rappelons la relation trigonométrique suivante : 

Comme la fonction tangente est le quotient des fonctions sinus et cosinus, son signe est déterminé par le signe de ces fonctions. Nous ne devons pas nous soucier des cas où , car ils se produiront sur les axes du repère et non dans un quadrant.

Quand est dans le premier quadrant, les sinus et cosinus sont positifs ; ainsi, est le quotient de deux nombres positifs. Par conséquent, .

Quand est dans le deuxième quadrant, le sinus est positif et le cosinus est négatif ; ainsi, est le quotient d’un nombre positif et d’un nombre négatif. Par conséquent, .

Quand est dans le troisième quadrant, le sinus est négatif et le cosinus est négatif ; ainsi, est le quotient de deux nombres négatifs. Par conséquent, .

Enfin, quand est dans le quatrième quadrant, le sinus est négatif et le cosinus est positif ; ainsi, est le quotient d’un nombre négatif et d’un nombre positif. Par conséquent, .

Cela nous donne les résultats suivants.

Nous pouvons obtenir les mêmes résultats avec les fonctions trigonométriques sécante, cosécante et cotangente. Toutefois, comme prendre l’inverse ne change pas le signe, les fonctions trigonométriques sécante, cosécante et cotangente auront le même signe que leurs fonctions trigonométriques correspondantes.

Il existe un schéma utile, appelé CAST, qui peut être utilisé pour rappeler le signe de ces fonctions trigonométriques dans différents quadrants. Nous trouvons cela en étiquetant chaque quadrant avec les fonctions trigonométriques qui sont positives pour les arguments qui s’y trouvent.

En utilisant l’acronyme CAST pour étiqueter les quadrants dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous pouvons rapidement rappeler que toutes les fonctions trigonométriques sont positives dans le premier quadrant, seule la fonction sinus est positive dans le deuxième quadrant, seule la fonction tangente est positive dans le troisième quadrant et, finalement, seule la fonction cosinus est positive dans le quatrième quadrant.

Voyons un exemple illustrant comment utiliser ce schéma pour déterminer le quadrant dans lequel un angle doit se trouver, connaissant son sinus et son cosinus.

Exemple 3: Identifier le quadrant dans lequel un angle se situe étant donnés deux de ses rapports trigonométriques

Dans quel quadrant se situe si et  ? 

Réponse

Nous voulons déterminer le quadrant dans lequel un angle se situe à partir du sinus et du cosinus de cet angle. Pour ce faire, nous rappelons que les quadrants sont les 4 parties du plan séparées par les axes du repère et que le quadrant d’un angle mesuré à partir de l’axe positif est déterminé par le quadrant dans lequel se situe son côté.

Nous pourrions le trouver en utilisant les définitions des fonctions sinus et cosinus. Cependant, une méthode plus simple consiste à utiliser le schéma CAST. Nous étiquetons les quadrants du plan de coordonnées en utilisant les lettres de l’acronyme, en commençant par le quatrième quadrant et en nous déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Les lettres nous indiquent ensuite les quadrants pour lesquels les fonctions trigonométriques sont positives, où A signifie « tout » (all), et C, S et T respectivement cosinus, sinus et tangente. On nous dit dans la question que et sont tous deux égaux à . En d’autres termes, les fonctions sinus et cosinus sont positives. Cela se produit uniquement dans le premier quadrant. Par conséquent, est dans le premier quadrant.

La réponse est : le premier.

Dans notre prochain exemple, nous déterminerons le quadrant dans lequel se situe un angle à partir du signe des fonctions cosinus et sinus.

Exemple 4: Déterminer le quadrant dans lequel se situe un angle à partir de deux de ses rapports trigonométriques

Déterminer le quadrant dans lequel se situe si et .

Réponse

Afin de déterminer le quadrant dans lequel un angle donné se trouve, nous pourrions utiliser les définitions de la fonction sinus et cosinus. Cependant, le schéma CAST peut nous faire gagner un certain temps.

Le schéma CAST nous indique les quadrants dans lesquels les fonctions trigonométriques sont positives. Nous devons déterminer quand le cosinus est positif et quand le sinus est négatif.

Commençons par le cosinus étant positif. Le schéma CAST nous indique que le cosinus est positif pour les angles dans les quadrants « C » ou « A », c’est-à-dire respectivement les quatrième et premier quadrants. De même, le schéma CAST nous indique que, comme le sinus est positif dans les quadrants « A » et « S », il sera négatif dans les autres quadrants. En d’autres termes, le sinus d’un angle est négatif pour tout angle du troisième ou du quatrième quadrant.

Comme nous avons besoin que les deux hypothèses soient vérifiées, doit se situer dans le quatrième quadrant.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment déterminer le signe d’une fonction trigonométrique sécante, cosécante ou cotangente pour un angle donné.

Exemple 5: Déterminer le signe d’une fonction trigonométrique sécante, cosécante ou cotangente pour un angle donné de mesure négative

est-il positif ou négatif ? 

Réponse

On peut utiliser des méthodes variées pour déterminer le signe de la fonction cosécante d’un angle donné. Par exemple, nous pourrions utiliser différentes relations trigonométriques ou le faire directement en utilisant la définition de la fonction sinus. Cependant, nous nous concentrerons plutôt sur l’utilisation du schéma CAST.

Le schéma CAST nous indique les quadrants pour lesquels les fonctions trigonométriques sont positives. Pour utiliser ce schéma, il faut d’abord écrire , à l’aide des fonctions sinus et de cosinus. On rappelle la relation suivante :  par conséquent,

Cela signifie que nous pouvons déterminer le signe de à partir du signe de . Pour ce faire, nous devons déterminer dans quel quadrant se situe l’angle de mesure et pour cela, nous pouvons représenter l’angle dans le schéma CAST. N’oublions pas que, comme cet angle est de mesure négative, nous devons mesurer l’angle dans le sens des aiguilles d’une montre.

Comme , on voit que cet angle se situe dans le deuxième quadrant. Le schéma CAST nous indique que la fonction sinus est positive dans le deuxième quadrant. Par conséquent,

En particulier, cela signifie que est le quotient de deux nombres positifs. Par conséquent, est positif.

Pour finir, rappelons maintenant certains points importants de cette leçon.