Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les valeurs d’une expression trigonométrique à l’aide d’une calculatrice.
La trigonométrie est l’une des branches des mathématiques les plus utilisées, que ce soit en navigation, en informatique, en mécanique et dans beaucoup d’autres domaines. Pour cette raison, la plupart des calculatrices peuvent déterminer des expressions trigonométriques.
À titre d’exemple, on utilise une calculatrice pour déterminer . La première chose à faire est de s’assurer que la calculatrice est paramétrée en « degrés » ; cela se fait généralement dans le menu « configuration » ou « mode », puis en choisissant l’option « degrés » (parfois abrégée par deg ). Certaines calculatrices ont un symbole D en haut de l’écran, indiquant qu’elles calculent des angles mesurés en degrés. On peut alors déterminer en appuyant sur le bouton « sin » de la calculatrice, suivi de 35. Cela donne le résultat suivant :
Il est important de noter que la plupart des calculatrices arrondissent la réponse à un certain nombre de décimales, mais il est peu probable que la valeur donnée par la calculatrice soit exacte ; on peut avoir
Tout comme pour les mathématiques manuscrites, il est important de fermer les parenthèses à la fin de l’expression trigonométrique. L’expression à l’intérieur des parenthèses est alors l’argument de la fonction trigonométrique.
On peut arrondir cette valeur au millième près en remarquant que le quatrième chiffre après la virgule est un 5, on arrondit donc à la valeur supérieure pour trouver
On peut déterminer les autres fonctions trigonométriques de la même manière. Pour la fonction cosinus, on utilise le bouton « cos » et pour la fonction tangente, on utilise le bouton « tan ». On peut déterminer et de la même manière. Cela donne les résultats suivants :
Par conséquent, au millième près, on a
On peut utiliser ces fonctionnalités pour déterminer toute expression trigonométrique dans laquelle les arguments sont donnés en degrés ; cependant, on travaille souvent avec des angles mesurés en degrés, minutes et secondes. Pour déterminer une expression trigonométrique avec un angle mesuré en degrés, minutes et secondes, on convertit d’abord l’angle en degrés. Pour ce faire, on rappelle que 1 degré est égal à 60 minutes et à 3 600 secondes :
Par conséquent, si on a un angle mesuré en , on peut le convertir en degrés par
Cela donne la formule suivante pour convertir un angle mesuré en minutes et secondes en un angle mesuré en degrés.
Formule : Convertir un angle en minutes et secondes en degrés
Si est la mesure d’un angle en degrés, minutes et secondes, alors on peut convertir cet angle en degrés en utilisant la formule
Par exemple, peut être écrit comme
On peut utiliser cette formule de conversion pour déterminer des fonctions trigonométriques en utilisant une calculatrice où l’argument est donné en degrés, minutes et secondes. Pour calculer , on convertit l’angle en degrés puis on tape l’expression résultante dans la calculatrice :
Au millième près, on a
Étudions maintenant quelques exemples d’utilisation d’une calculatrice pour déterminer différentes expressions trigonométriques.
Exemple 1: Utiliser une calculatrice pour déterminer le cosinus d’un angle mesuré en degrés
Utilisez une calculatrice pour calculer à quatre décimales près.
Réponse
Pour déterminer cette expression trigonométrique en utilisant une calculatrice, on remarque d’abord que l’argument est donné en degrés. On s’assure que la calculatrice est paramétrée en « degrés » puis on utilise le bouton « cos » pour déterminer ; on obtient
Pour arrondir à quatre décimales près, on doit vérifier le cinquième chiffre après la virgule. On voit qu’il est égal à 4, ce qui est inférieur à 5, on arrondit donc à la valeur inférieure. Cela donne
Par conséquent, à 4 décimales près, on a .
Exemple 2: Utiliser une calculatrice pour déterminer le sinus d’un angle mesuré en degrés, minutes et secondes
Calculez en donnant votre réponse à quatre décimales près.
Réponse
Pour déterminer le sinus de cet angle, on va utiliser une calculatrice. Pour ce faire, on s’assure d’abord que la calculatrice est paramétrée en « degrés ». On doit ensuite convertir l’argument en degrés. On rappelle qu’un angle ( degrés, minutes et secondes ) peut être converti en degrés avec la formule
On a donc ce qui se simplifie pour donner
Par conséquent, on a que l’on peut taper sur une calculatrice pour obtenir
Pour arrondir ce résultat à quatre décimales près, on vérifie le cinquième chiffre après la virgule, qui est égal à 0, puis on arrondit à la valeur inférieure pour obtenir
Par conséquent, à quatre décimales près, on a .
Exemple 3: Utiliser une calculatrice pour déterminer la tangente d’un angle mesuré en degrés et minutes
Déterminez la valeur de à 4 décimales près.
Réponse
Pour déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique dont l’argument est mesuré en degrés, minutes et secondes, on va utiliser une calculatrice. On commence par s’assurer que la calculatrice est paramétrée en « degrés », souvent représenté par un symbole D sur l’écran.
L’argument est donné en degrés, minutes et secondes, on doit donc le convertir en degrés. Pour ce faire, on rappelle la formule de conversion suivante :
Cela donne
Par conséquent,
On peut ensuite déterminer cela avec une calculatrice en utilisant le bouton « tan » :
Pour arrondir ce résultat à quatre décimales près, on vérifie le cinquième chiffre après la virgule, qui est égal à 2, on arrondit donc à la valeur inférieure pour obtenir
Par conséquent, à quatre décimales près, on a .
Dans le prochain exemple, nous allons déterminer si une inégalité de fonctions trigonométriques est vraie en vérifiant les valeurs à l’aide d’une calculatrice.
Exemple 4: Utiliser une calculatrice pour comparer les valeurs des cosinus de deux angles mesurés en degrés
Vrai ou faux :
.
Réponse
Pour déterminer si l’inégalité est vraie, on doit déterminer les expressions trigonométriques des deux membres. On peut le faire en utilisant une calculatrice. On s’assure que la calculatrice est paramétrée en « degrés » puis on utilise le bouton « cos » pour déterminer le cosinus de l’angle mesuré en degrés. On a
On peut voir que le cosinus de est supérieur au cosinus de . Par conséquent, l’affirmation est vraie.
Dans les deux exemples suivants, nous allons déterminer des expressions trigonométriques à l’aide d’une calculatrice.
Exemple 5: Utiliser une calculatrice pour déterminer le sinus d’un angle mesuré en degrés
Utilisez une calculatrice pour calculer à quatre décimales près.
Réponse
Pour déterminer cette expression trigonométrique en utilisant une calculatrice, on remarque d’abord que l’angle est mesuré en degrés. On s’assure que la calculatrice est paramétrée en « degrés » puis on utilise le bouton « sin » pour déterminer l’expression. On a
Pour arrondir à quatre décimales près, on doit vérifier le cinquième chiffre après la virgule. On voit qu’il est égal à 6, qui est supérieur à 5, on arrondit donc à la valeur supérieure, ce qui donne
Par conséquent, à quatre décimales près, on a .
Exemple 6: Utiliser une calculatrice pour déterminer le cosinus d’un angle mesuré en degrés, minutes et secondes
Calculez en donnant votre réponse à quatre décimales près.
Réponse
On doit déterminer le cosinus d’un angle, ce que l’on peut faire en utilisant une calculatrice. On vérifie d’abord si la calculatrice est paramétrée en degrés. On doit ensuite convertir l’argument en degrés. On rappelle que l’angle ( degrés, minutes et secondes ) peut être converti en degrés en utilisant la formule
On a donc
Par conséquent, on a que l’on peut taper dans une calculatrice pour obtenir
Pour arrondir ce résultat à quatre décimales près, on vérifie le cinquième chiffre après la virgule, qui est égal à 5, et on arrondit donc à la valeur supérieure pour obtenir
Par conséquent, à quatre décimales près, on a .
Dans les deux derniers exemples, nous allons déterminer des expressions trigonométriques impliquant plusieurs expressions trigonométriques à l’aide d’une calculatrice.
Exemple 7: Utiliser une calculatrice pour déterminer une expression impliquant des valeurs de fonctions trigonométriques
Calculez en donnant votre réponse au centième près.
Réponse
On peut déterminer séparément chaque fonction trigonométrique de l’expression en utilisant une calculatrice, cela peut cependant conduire à des erreurs d’arrondis. Par conséquent, il est préférable si possible de réaliser tous les calculs en même temps ou d’utiliser le bouton de mémoire sur la calculatrice pour se souvenir de la valeur exacte. On paramètre la calculatrice en « degrés » et on détermine l’expression entière en une seule fois, en faisant attention à l’ordre des opérations :
On a
Pour arrondir ce résultat au centième près, on vérifie le troisième chiffre après la virgule, qui est égal à 9, et on arrondit donc à la valeur supérieure pour obtenir
Par conséquent, l’expression est égale à 2, 61 au centième près.
Exemple 8: Utiliser une calculatrice pour déterminer une expression impliquant des fonctions trigonométriques d’angles mesurés en degrés et minutes
Calculez en donnant votre réponse au centième près.
Réponse
On peut déterminer le sinus et le cosinus d’angles mesurés en degrés, minutes et secondes en utilisant une calculatrice. On pourrait déterminer chaque terme séparément puis additionner les résultats mais cela pourrait entraîner des erreurs d’arrondis, on devrait alors utiliser la fonction mémoire sur la calculatrice pour utiliser des valeurs exactes. Une autre option consiste à effectuer tous les calculs en même temps sur la calculatrice. Pour ce faire, on doit convertir les arguments en degrés.
On rappelle que l’angle ( degrés, minutes et secondes ) peut être converti en degrés en utilisant la formule
Par conséquent,
On peut ensuite déterminer l’expression avec une calculatrice, en prenant soin de placer l’argument entre parenthèses. On obtient ce qui suit : 
Pour arrondir ce résultat au centième près, on vérifie le troisième chiffre après la virgule, qui est égal à 6, et on arrondit donc à la valeur supérieure pour obtenir
Par conséquent, l’expression est égale à 1, 27 au centième près.
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- On peut déterminer des expressions trigonométriques en utilisant une calculatrice.
- On doit d’abord s’assurer que la calculatrice est paramétrée en « degrés ».
- On peut également utiliser une calculatrice pour déterminer des fonctions trigonométriques dont l’argument est donné en minutes et secondes en convertissant l’angle en degrés en utilisant la formule
- Les calculatrices ne peuvent afficher qu’un certain niveau de précision, on doit donc faire attention à indiquer le niveau de précision lorsque l’on détermine des expressions trigonométriques.
