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Fiche explicative de la leçon : Diffraction des électrons et microscopie Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à décrire la diffraction d’un faisceau d’électrons, comment elle est utilisée en microscopie électronique, et ses similarités avec d’autres formes de microscopie électronique.

Les électrons sont souvent décrits comme des particules, alors que la diffraction est un phénomène ondulatoire.

Il est vrai que la diffraction peut se produire dans des milieux constitués de particules;les vagues à la surface de l’eau peuvent diffracter, par exemple.

Cependant, la diffraction des électrons n’est pas équivalente à la diffraction des vagues. La diffraction des électrons ne se réfère pas à la diffraction des ondes dans un milieu constitué d’électrons.

Lors de la diffraction des électrons, ceux-ci se déplacent à travers un milieu matériel. Les directions dans lesquelles ces électrons se déplacent après leur sortie du milieu sont cohérentes avec les électrons qui se sont déplacés dans le milieu sous forme d’ondes plutôt que sous forme de particules.

Pour que les électrons se déplacent dans un milieu comme des ondes plutôt que comme des particules, il est très important de comprendre comment on peut associer des propriétés ondulatoires à un électron.

Toutes les particules sont associées à une longueur d’onde, appelée longueur d’onde de De Broglie.

Formule : Longueur d’onde de De Broglie d’une particule

Pour une particule qui a une quantité de mouvement 𝑝, la longueur d’onde de De Broglie 𝜆 de la particule est donnée par𝜆=𝑝, est la constante de Planck, qui a une valeur approximative de6,634×10.Js

Étudions ici un exemple impliquant la longueur d’onde de De Broglie d’un électron.

Exemple 1: Identifier la forme d’onde d’un électron en accélération

Un accélérateur de particules accélère les électrons à travers une différence de potentiel de 𝑉 à 𝑉, comme indiqué sur la figure. La plus petite valeur de la vitesse de l’électron est en 𝑉. Quelle forme d’onde correspond à celle d’un électron se déplaçant à travers l’accélérateur?

Réponse

Lorsque l’électron passe dans l’accélérateur, sa vitesse augmente. La quantité de mouvement de l’électron augmente donc également.

L’effet d’une augmentation de la quantité de mouvement sur la longueur d’onde de De Broglie de l’électron peut être étudié avec la formule𝜆=𝑝,𝑝 est la quantité de mouvement de l’électron, 𝜆 est sa longueur d’onde de De Broglie, et est la constante de Planck.

La quantité de mouvement de l’électron augmente, et par conséquent, sa longueur d’onde de De Broglie doit diminuer. La plus grande longueur d’onde de De Broglie doit être à 𝑉 et la plus courte longueur d’onde de Broglie doit être à 𝑉.

La forme d’onde qui correspond à cette description est représentée à l’intérieur de l’accélérateur sur la figure suivante.

Cette forme d’onde correspond à la réponse suivante:

Le fait que les électrons aient réellement des longueurs d’onde a été démontré grâce à la diffraction des électrons.

On rappelle que la diffraction des ondes passant à travers une ouverture est la plus importante lorsque l’ouverture a une largeur égale à celle de la longueur d’onde des ondes considérées.

Soit un électron ayant une vitesse de 1‎ ‎000 m/s. La quantité de mouvement de l’électron est donnée par𝑝=𝑚𝑣𝑝9,1×10×1000𝑝9,1×10.kgmskgms

Cette valeur de quantité de mouvement se traduit par une longueur d’onde de De Broglie de𝜆6,634×109,1×10𝜆6,634×109,1×10𝜆7,3×10.Jskgkgskgmmsmsms

Les électrons avec des vitesses de 1‎ ‎000 m/s passant par une ouverture ayant une largeur d’environ 730 nanomètres devraient être diffractés au maximum.

Plus la vitesse des électrons passant à travers une ouverture est grande, moins l’ouverture doit être large pour produire une diffraction maximale.

Des matériaux cristallins peuvent être utilisés pour diffracter des électrons. Les plans d’un réseau cristallin correspondent aux fentes des écrans utilisés pour la diffraction des ondes lumineuses, comme le montre la figure suivante.

Les ondes lumineuses passant à travers une série de fentes produisent un motif d’intensité lumineuse avec des franges claires et sombres alternées, comme le montre l’image suivante.

Ondes lumineuses

Le motif est formé par une interférence entre les ondes passant par les fentes.

Un faisceau d’électrons diffracté par un réseau cristallin produit un motif d’intensité similaire. La plus grande longueur du réseau cristallin est orientée selon la perpendiculaire, contrairement à une fente qui est beaucoup plus longue que large. Ainsi, au lieu de former des franges, le motif d’intensité du faisceau d’électrons forme des anneaux concentriques.

Si les électrons n’avaient aucune propriété ondulatoire et ne se déplaçaient que lorsque les particules se déplacent, la répartition d’intensité des électrons sortant d’un cristal ressemblerait à la figure suivante.

Cette répartition d’intensité n’indique aucune interférence. Si une interférence se produit, la répartition ressemblera plutôt à la figure suivante.

Lorsqu’une interférence se produit, une répartition d’intensité présente des maxima et des minima d’intensité alternée.

Pour qu’un cristal génère des maxima et des minima d’intensité alternée pour un faisceau d’électrons sortant, les électrons doivent être déviés par des angles produisant une interférence constructive et d’autres angles produisant une interférence destructive, comme indiqué sur la figure suivante.

Voyons maintenant un exemple étudiant les motifs d’intensité produits par des faisceaux d’électrons diffractés.

Exemple 2: Comparer les répartitions d’intensité de différents faisceaux d’électrons diffractés

Un faisceau d’électrons passe à travers un cristal. Un motif de diffraction constitué d’anneaux concentriques est formé sur un écran derrière le cristal qui enregistre les positions des électrons qui l’atteignent, comme indiqué sur le schéma ci-dessous. L’intensité des anneaux est tracée en fonction de la distance radiale au centre du motif. La répartition d’intensité résultante est affichée trois fois, puis comparée à trois autres répartitions d’intensité, tracées juste en dessous.

  1. Quelle répartition d’intensité serait obtenue à la suite de la diminution de la vitesse des électrons dans le faisceau?
  2. Quelle répartition d’intensité serait obtenue à la suite de la diminution de la densité de charge du faisceau d’électrons sans en modifier la vitesse?

Réponse

Partie 1

Un changement de vitesse des électrons du faisceau, à lui seul, n’affecte pas le nombre d’électrons dans le faisceau. L’intensité des pics ne serait pas affectée par une variation de la vitesse des électrons. On peut donc éliminer la répartition I, puisque dans cette répartition, on voit que l’intensité diminue au sein la répartition.

Diminuer la vitesse des électrons diminue la quantité de mouvement des électrons. L’effet de ce phénomène sur les longueurs d’onde de De Broglie des électrons peut être observé en utilisant la formule𝜆=𝑝,𝑝 est la quantité de mouvement d’un électron, 𝜆 est sa longueur d’onde de De Broglie, et est la constante de Planck.

Diminuer la quantité de mouvement des électrons augmente la longueur d’onde de De Broglie de l’électron. La question est donc de savoir si la répartition d’intensité II ou III pourrait correspondre à une longueur d’onde d’électron de De Broglie augmentée.

L’augmentation de la longueur d’onde de De Broglie de l’électron engendre de plus larges séparations entre les anneaux concentriques produits par les électrons diffractés lors de l’interférence.

En regardant attentivement la répartition II on peut voir qu’elle correspond à une légère diminution de la séparation des anneaux, tandis que la répartition III montre une légère augmentation de la séparation des anneaux. On déduit alors que la bonne réponse est la répartition III.

Partie 2

La vitesse des électrons est maintenue constante, de même que la longueur d’onde de De Broglie des électrons. Ceci nous indique que les séparations des anneaux concentriques ne changeront pas. Ceci n’est illustré que dans la répartition I.

La réduction de la densité de charge dans le faisceau d’électrons correspond à l’utilisation d’un faisceau qui se compose de moins d’électrons. Les intensités dans un motif produit par un plus petit nombre d’électrons seraient diminuées. Dans la répartition I, on observe clairement une diminution de l’intensité. La répartition I est donc la bonne réponse.

Regardons maintenant un exemple étudiant la diffraction des électrons d’un faisceau par un cristal.

Exemple 3: Comparer les trajectoires des électrons dans un faisceau d’électrons diffracté

Le schéma ci-dessous illustre certaines parties d’un faisceau d’électrons passant à travers un réseau cristallin. Le réseau comporte des plans parallèles séparés par une distance perpendiculaire 𝐷. Certains des électrons du faisceau sont diffusés par les atomes du réseau. Les électrons ont tous une longueur d’onde 𝜆. Chacune des lignes pointillées bleues sur le schéma correspond à une onde distincte. Les ondes aux points 𝐴 et 𝐵 sont en phase l’une avec l’autre, et les ondes aux points 𝐵 et 𝐶 sont en phase l’une avec l’autre. Les lignes 𝐿 et 𝐿 sont parallèles.

  1. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la longueur du chemin parcouru par les électrons entre le point 𝐴 et le point 𝐶?
    1. La longueur est égale à 𝑁𝜆, 𝑁 est un entier.
    2. La longueur est égale à 𝑁𝜆2, 𝑁 est un entier.
    3. La longueur est égale à 𝐷.
    4. La longueur est égale à 𝑁𝜆𝐷, 𝑁 est un entier.
    5. La longueur est égale à 𝑁𝜆𝐷, 𝑁 est un entier.
  2. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la relation entre les angles 𝜃 et 𝜃?
    1. 𝜃=𝜃
    2. 𝜃>𝜃
    3. 𝜃<𝜃

Réponse

Partie 1

On nous dit que le schéma montre certaines parties d’un faisceau d’électrons. Cela nous indique que tous les électrons du faisceau ne sont pas représentés. Pour être précis, le schéma ne nous montre que deux parties du faisceau:

  • les électrons qui sont transmis à travers le cristal sans déviation, qui contribuent au maximum central de la répartition de l’intensité,
  • les électrons qui sont déviés par un angle particulier.

Tous les autres électrons du faisceau qui seraient déviés par d’autres angles que ceux-ci ne sont pas représentés. Ces autres électrons ne sont pas représentés afin de permettre de voir clairement ce qui arrive aux électrons qui sont illustrés.

La question porte sur la longueur du chemin parcouru par les électrons à partir du point 𝐴 jusqu’au point 𝐶. Ceci est illustré par la figure suivante.

L’énoncé décrit les électrons comme étant des ondes et indique qu’ils ont tous la même longueur d’onde. Les électrons ont une longueur d’onde de De Broglie, donc cette description pour les électrons est valide.

L’énoncé précise que les ondes de De Broglie des électrons en 𝐴 sont en phase avec celles des électrons en 𝐵.

L’énoncé indique également que les ondes de De Broglie des électrons en 𝐶 sont en phase avec celles des électrons en 𝐵.

Pour que les ondes de De Broglie des électrons aux deux points 𝐴 et 𝐶 soient en phase avec les ondes de De Broglie des électrons en 𝐵, le chemin suivi par les électrons entre 𝐴 et 𝐶 doit avoir une longueur qui est exactement divisible par la longueur d’onde de De Broglie des électrons. Ceci est représenté sur la figure suivante.

Sur la figure, la distance entre 𝐴 et 𝐶 est 𝜆. Les ondes en 𝐴 et en 𝐶 seraient également en phase si cette distance était de 2𝜆, 3𝜆, ou tout autre multiple entier de 𝜆.

On a donc établi que les ondes sont en phase si la distance entre 𝐴 et 𝐶 est égale à 𝑁𝜆, 𝑁 est un entier.

Cependant, si la distance entre 𝐴 et 𝐶 était égale à 𝑁𝜆2, les ondes seraient déphasées.

Voyons maintenant comment 𝐷, la distance entre les plans du réseau cristallin, se rapporte à la distance entre 𝐴 et 𝐶. Cela intervient pour les options où la distance est égale à 𝐷, 𝑁𝜆𝐷, ou 𝑁𝜆𝐷.

Ni les valeurs de 𝐷 ni celles de 𝜆 sont connues, de sorte qu’il n’est pas évident qu’une valeur particulière de D implique que les ondes en 𝐴 et en 𝐶 soient en phase l’une avec l’autre. Pour que ces options soient exactes, ils doivent être vérifiées pour toute valeur de 𝐷.

On peut supposer que 𝐷 est beaucoup plus courte que les longueurs d’onde de De Broglie des électrons. Si on suppose cela, alors la distance entre 𝐴 et 𝐶 ne peut pas être égale à 𝐷.

On peut tout aussi bien supposer que cela est vrai pour le cas de 𝑁𝜆𝐷 et pour 𝑁𝜆𝐷. On peut également supposer qu’il existe une valeur de 𝐷 pour laquelle les ondes en 𝐴 et en 𝐶 ne sont pas en phase l’une avec l’autre.

La seule distance entre 𝐴 et 𝐶 pour laquelle les ondes en ces points sont en phase l’une avec l’autre est 𝑁𝜆.

Partie 2

Les angles 𝜃 et 𝜃 sont représentés sur la figure suivante.

L’angle 𝜃 se rapporte à la distance que les électrons déviés par des atomes adjacents dans un réseau cristallin doivent parcourir pour être en phase l’un avec l’autre.

L’angle 𝜃 se rapporte à la déviation des électrons sortant du cristal qui interfèrent de manière constructive.

On sait que l’interférence constructive est le résultat de l’addition d’ondes qui sont en phase les unes avec les autres, on peut donc s’attendre à ce que 𝜃 soit égal à 𝜃. Ceci est correct. L’égalité des angles est illustrée par la série de figures ci-dessous.

On voit sur la figure finale que𝜃2=𝜃2.

Les angles 𝜃 et 𝜃 dépendent de la longueur d’onde de De Broglie des électrons diffractés et de 𝐷, la distance entre les plans du réseau cristallin.

Comme ces angles sont égaux, il est possible d’utiliser les angles par lesquels les électrons sont déviés pour arriver aux maxima et minima d’une répartition d’intensité pour déterminer la distance entre les plans d’un réseau cristallin utilisé pour diffracter les électrons.

Supposons qu’un matériau ait une structure qui diffracte un faisceau d’électrons passant à travers un objet fait de ce matériau. Supposons aussi que les détails de la structure ne soient pas connus.

On sait qu’il existe une relation entre les distances entre les plans du réseau d’une structure régulière et la longueur d’onde de De Broglie des électrons diffractés lors de leur passage à travers la structure. En supposant que la longueur d’onde de De Broglie est connue, les distances peuvent être déterminées.

Un objet fait d’un matériau avec une structure inconnue peut être utilisé pour diffracter des électrons qui sont incidents sur l’objet à différents angles et qui ont différentes longueurs d’onde de De Broglie.

En comparant les répartitions d’intensité des électrons selon différents angles et différentes longueurs d’onde, il est possible de construire un modèle détaillé de la structure du matériau. Cette technique est appelée microscopie électronique à transmission.

La figure suivante montre les composants d’un microscope électronique à transmission.

Un microscope électronique à transmission utilise des lentilles magnétiques ou électrostatiques pour dévier les faisceaux d’électrons. Une lentille magnétique est constituée de plusieurs aimants courbes. Une lentille électrostatique est constituée de plaques parallèles chargées.

Regardons maintenant un exemple étudiant l’utilisation d’électrons pour produire des images.

Exemple 4: Reconnaitre les avantages de l’utilisation d’électrons pour produire des images

Lequel des énoncés suivants indique correctement l’avantage de l’utilisation d’électrons pour produire des images de très petits objets par rapport aux ondes électromagnétiques?

  1. Les électrons peuvent facilement être accélérés à des vitesses auxquelles ils ont des longueurs d’onde beaucoup plus courtes que celles des ondes électromagnétiques de longueurs d’onde utiles pour former des images.
  2. Les électrons peuvent pénétrer plus profondément dans les objets que les ondes électromagnétiques.
  3. Les électrons sont réfléchis par les objets plus fortement que les ondes électromagnétiques.
  4. Un faisceau d’électrons n’affectera en aucun cas un objet dont il produit une image, de sorte qu’il produit une image plus valide que celles qui peuvent être produites par les ondes électromagnétiques.

Réponse

Voyons d’abord les propositions qui peuvent être éliminées.

Rappelons que certaines fréquences des ondes électromagnétiques, telles que les fréquences des rayons X et gamma, peuvent traverser des objets solides, même très denses. Les rayons gamma de haute énergie peuvent pénétrer plusieurs mètres d’épaisseur de plomb. Ainsi, on déduit que la capacité à pénétrer des objets n’est pas la raison principale de l’utilisation d’électrons pour produire des images.

On peut rappeler que certaines fréquences d’ondes électromagnétiques sont presque complètement réfléchies par certains matériaux, tels que les miroirs ou les surfaces blanches. Ainsi, on déduit que la capacité à se réfléchir sur les objets n’est pas la raison principale de l’utilisation d’électrons pour produire des images.

Lorsqu’un faisceau d’électrons passe à travers un objet, les électrons du faisceau peuvent transférer de l’énergie à l’objet. Un faisceau d’électrons est une sorte de courant électrique. Il n’est pas raisonnable de supposer que le passage d’un courant électrique à travers un objet n’a aucun effet sur l’objet.

Considérons la longueur d’onde de De Broglie d’un électron. Celle-ci est donnée par la formule𝜆=𝑝,𝑝 est la quantité de mouvement de l’électron, 𝜆 est sa longueur d’onde de De Broglie, et est la constante de Planck.

Considérons quelle serait la quantité de mouvement qu’aurait un électron s’il avait la même longueur d’onde que la plus petite longueur d’onde visible, 400 nanomètres. On réarrange la formule pour isoler 𝑝, et on pose 𝜆 égale 𝜆 to equal 4×10 m:𝑝=6,634×104×10𝑝=6,634×104×10𝑝=1,6585×10/.Jsmkgsmkgmsms

La quantité de mouvement de l’électron est donnée par la formule𝑝=𝑚𝑣.

On peut isoler 𝑣 dans cette formule et on utilise 9,1×10 kg pour la masse de l’électron:𝑣=𝑝𝑚=1,6585×109,1×10𝑣1823/.kgkgmsms

Un électron peut être accéléré à cette vitesse en utilisant une différence de potentiel. Une différence de potentiel, 𝑉, transférera le travail, 𝑊, sur un électron donné par𝑊=𝑉𝑒,𝑒 est la charge de l’électron, 1,6×10 C.

L’énergie cinétique, 𝐸, d’un électron qui a une vitesse de 1‎ ‎823 m/s est donnée par la formule𝐸=12𝑚𝑣𝐸=12×9,1×10×(1823/)𝐸1,5×10.kgmsJ

La valeur de 𝐸 est égale au travail effectué sur un électron initialement stationnaire pour augmenter sa vitesse jusqu’à 1‎ ‎823 m/s.

On obtient alors 𝑉×1,6×10=1,5×10𝑉=1,5×101,6×10=9,375×10.CJJCV

On voit que seule une très petite différence de potentiel est nécessaire pour suffisamment accélérer un électron jusqu’à réduire sa longueur d’onde à 400 nanomètres.

Supposons qu’une plus grande différence de potentiel soit utilisée, disons 125 V. On obtient alors 125=𝐸1,6×10𝐸=125×1,6×10=2×10.VCVCJ

La vitesse de l’électron accéléré est alors donnée par2×10=12×9,1×10×(𝑣/).Jkgms

En isolant 𝑣, on trouve que𝑣=2×10×9,1×106,6×10/.Jkgms

La quantité de mouvement de l’électron est donnée par𝑝=9,1×10×6,6×10=6,006×10/.kgmskgms

La longueur d’onde de l’électron est donnée par𝜆=6,634×106,006×101,1×10.kgskgmmsms

La distance entre les atomes dans un objet solide est généralement approximativement de 10 m.

On voit alors qu’une petite différence de potentiel, de seulement 125 V, est suffisante pour réduire la longueur d’onde des électrons aux distances entre les atomes dans un objet solide. Ceci est la raison principale pour laquelle on utilise des électrons plutôt que des ondes électromagnétiques pour obtenir des images d’un objet.

Résumons maintenant ce que l’on a appris dans cette fiche explicative.

Points Clés

  • Les électrons peuvent être diffractés par les plans du réseau d’un cristal.
  • Les répartitions d’intensité de faisceaux d’électrons ayant différentes longueurs d’onde, incidents sur un objet selon différents angles, peuvent être utilisées pour déterminer la structure interne de l’objet. C’est ce qu’on appelle la microscopie électronique à transmission.
  • La microscopie électronique peut déterminer la structure d’un objet à des échelles comparables aux distances entre les atomes.
  • Les faisceaux d’électrons sont focalisés à l’aide de lentilles magnétiques et électrostatiques.

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