Fiche explicative de la leçon : Fonctions affines Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment identifier, écrire une fonction affine, et comment déterminer sa valeur et compléter son tableau de valeurs.

Imaginez que nous avons contacté un jardinier pour un travail. Nous savons que le jardinier facture 10 $ comme frais de déplacement, puis 5 $ parheure pour ses services. Le montant total que le jardinier facturera est calculé en fonction du nombre d’heures qu’il travaille. Sans connaître le nombre exact d’heures qu’il peut prendre, nous pouvons mettre en place une équation affine qui peut être utilisée afin de prédire le coût total pour une durée totale. En utilisant 𝑥 pour représenter le nombre total d’heures passées à travailler et 𝑦 pour représenter le coût total, endollars, l’équation affine est𝑦=10+5𝑥.

Le graphique de cette équation est le suivant.

Lorsqu’une relation associe exactement une valeur de sortie à une valeur d’entrée donnée, on l’appelle une fonction. Si le graphique de cette fonction est une droite non verticale, alors la fonction est appelée une fonction affine. Dans le cas du jardinier, la fonction affine peut être représentée par

L’ensemble des valeurs d’entrée est appelé l’ensemble de définition de la fonction, tandis que l’ensemble des valeurs de sortie possibles est appelé l’ensemble image. Pour une fonction affine, l’ensemble de définition et l’ensemble image sont les deux ensembles de nombres réels, .

Définition : Fonction affine

Une fonction affine est une équation algébrique dont le graphique est une droite non verticale.

Puisque 𝑥 est la valeur d’entrée de la fonction, la valeur de la fonction pour un certain nombre peut être trouvée en substituant ce nombre dans la variable 𝑥. Par exemple, le coût total des services du jardinier s’il travaille pendant8 heures est déterminé par substitution 𝑥=8:𝑓(8)=10+5×8=10+40=50.

Dans notre premier exemple, nous montrerons ce processus dans son intégralité.

Exemple 1: Déterminer la valeur d’une fonction affine en un point donné

Déterminez 𝑓(2), sachant que 𝑓(𝑥)=3𝑥+7.

Réponse

Pour déterminer la valeur d’une fonction pour un certain nombre, nous substituons ce nombre dans la variable. Dans ce cas, la variable de la fonction est 𝑥. Par conséquent, 𝑓(2) est trouvé en substituant 𝑥=2 dans l’expression 3𝑥+7:𝑓(2)=3×2+7=6+7=13.

Donc, 𝑓(2)=13.

Dans notre premier exemple, nous avons montré comment déterminer la valeur de sortie d’une fonction à partir d’une seule valeur d’entrée. Comme la valeur d’entrée de cette fonction peut, en effet, être n’importe quel nombre réel, nous pouvons avoir un nombre infini de valeurs de sortie. Cela peut aider à organiser un nombre fini de valeurs de sortie en utilisant un tableau de fonctions.

Exemple 2: Évaluation de la valeur de sortie d’une fonction compte tenu de sa valeur d’entrée

Complétez le tableau de valeurs de la fonction. 𝑓(𝑥)=5𝑥+3.

Valeur d’entrée0245
Valeur de sortie

Réponse

La fonction 𝑓(𝑥)=5𝑥+3 est donnée sous la forme d’une équation où 𝑥 représente la valeur d’entrée de la fonction et 𝑦 représente la valeur de sortie correspondante.

Valeur d’entrée 𝑥0245
Valeur de sortie 𝑓(𝑥)

Cela signifie que nous pouvons compléter la deuxième ligne du tableau en substituant les différentes valeurs d’entrée de la première ligne dans l’expression 5𝑥+3.

Tout d’abord, on pose 𝑥=0:𝑓(0)=5×0+3=0+3=3.

Valeur d’entrée 𝑥0245
Valeur de sortie 𝑓(𝑥)3

Pour trouver la valeur de sortie suivante, on pose 𝑥=2:𝑓(2)=5×2+3=10+3=13.

Valeur d’entrée 𝑥0245
Valeur de sortie 𝑓(𝑥)313

De même, les deux dernières valeurs de sortie sont obtenues en posant 𝑥=4 et 𝑥=5 respectivement:𝑓(4)=5×4+3=20+3=23,𝑓(5)=5×5+3=25+3=28.

Le tableau de valeurs de 𝑓(𝑥)=5𝑥+3 est le suivant.

Valeur d’entrée0245
Valeur de sortie3132328

Des lecteurs astucieux auraient pu observer les similitudes entre déterminer des fonctions affines et tracer des graphiques. Ce n’est pas accidentel. En fait, bien qu’il soit hors de portée de cette fiche explicative d’étudier ces liens, nous pouvons écrire des valeurs d’entrée et de sortie sous la forme de couples. Dans l’exemple précédent, les couples en question étaient (0;3), (2;13), (4;23) et (5;28).

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons la substitution pour établir une fonction affine à partir d’une paire de couples.

Exemple 3: Déterminer quelle équation affine est vérifiée par un couple donné

Laquelle des fonctions affines suivantes est vérifiée par le point (1;1) et le point (0;3)?

  1. 𝑓(𝑥)=4𝑥+3
  2. 𝑓(𝑥)=2𝑥+3
  3. 𝑓(𝑥)=4𝑥+5
  4. 𝑓(𝑥)=3𝑥+4
  5. 𝑓(𝑥)=3𝑥+3

Réponse

Il y a un certain nombre de façons de trouver une fonction affine pour relier les couples (1;1) et (0;3). Nous pourrions, par exemple, utiliser notre connaissance des droites pour essayer de trouver l’équation de la droite qui passe par ces points sur un plan cartésien. Dans cette question, cependant, nous avons cinq équations à choisir. Cela signifie que nous pouvons voir si les couples vérifient chaque équation en substituant les valeurs 𝑥 de chaque paire dans ces équations.

D’abord, considérons l’équation 𝑓(𝑥)=4𝑥+3. Pour le couple (1;1), 𝑥=1 et 𝑓(𝑥)=1. Substituons 𝑥=1 dans l’équation comme suit:𝑓(1)=4×(1)+3=4+3=1.

Puisque 𝑓(𝑥)1, ce couple ne vérifie pas cette relation.

Ensuite, considérons 𝑓(𝑥)=2𝑥+3. En remplaçant 𝑥=1, on obtient ce qui suit:𝑓(1)=2×(1)+3=2+3=1.

Nous vérifions maintenant le couple (0;3) en remplaçant 𝑥=0 dans la même équation:𝑓(0)=2×(0)+3=0+3=3.

Comme les deux couples vérifient la relation 𝑓(𝑥)=2𝑥+3, la réponse est l’option B.

Remarque:Nous pouvons vérifier les trois relations restantes de la même manière. Lorsque nous le faisons, nous voyons qu’aucune d’entre elles ne vérifie les couples (1;1) et (0;3).

Maintenant que nous avons un processus pour relier la valeur d’entrée et la valeur de sortie à partir d’une fonction affine, nous allons montrer comment cela peut nous aider à résoudre des problèmes impliquant des inconnues manquantes.

Exemple 4: Déterminer la valeur d’une constante donnée par la valeur de la fonction à une valeur particulière

Déterminez la valeur de 𝑘 étant donné 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+13 et 𝑓(8)=11.

Réponse

Rappelons que la valeur d’une fonction pour un certain nombre peut être déterminée en substituant ce nombre dans la variable 𝑥. Ici, on nous donne la fonction et une deuxième information, 𝑓(8)=11. Cela signifie que, lorsque 8 est substitué dans 𝑥, la valeur de sortie est 11. Algébriquement,𝑓(8)=𝑘×8+13=8𝑘+13=11.

Nous avons maintenant une seule équation en fonction d’une variable, 𝑘. Pour résoudre cette équation, nous allons effectuer une série d’opérations inverses:8𝑘+13=1113138𝑘=24÷8÷8𝑘=3.

Tout au long de cette fiche explicative, nous avons résolu des problèmes en substituant des valeurs numériques dans des fonctions. Il est important de noter qu’un processus similaire peut être effectué avec des expressions algébriques. Cela donne une fonction composée.

Exemple 5: Substitution d’une expression algébrique dans une fonction affine

Déterminez 𝑓(4𝑥), sachant que 𝑓(𝑥)=3𝑥+7.

Réponse

Rappelons que la valeur d’une fonction pour un certain nombre peut être déterminée en substituant ce nombre dans la variable 𝑥. De manière similaire, nous pouvons trouver une expression pour une fonction en substituant une expression algébrique dans la variable.

Dans cet exemple, 𝑓(4𝑥) est trouvé en substituant 4𝑥 à la place de 𝑥 comme suit:𝑓(4𝑥)=3(4𝑥)+7=123𝑥+7=3𝑥+19.

Par conséquent, 𝑓(4𝑥)=3𝑥+19.

Nous avons maintenant assez largement montré comment trouver une valeur de fonction pour une valeur d’entrée donnée lorsque l’équation de la fonction est donnée, à la fois algébriquement et numériquement. Nous avons utilisé ces techniques pour résoudre des problèmes de valeurs manquantes et identifier des couples qui vérifient une équation de fonction donnée.

Nous allons maintenant terminer en récapitulant les concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Lorsqu’une relation associe exactement une valeur de sortie à une valeur d’entrée donnée, on l’appelle une fonction. Si le graphique de cette fonction est une droite non verticale, alors la fonction est appelée une fonction affine.
  • Une fonction affine est une équation algébrique dont le graphique est une droite non verticale.
  • La valeur de la fonction pour un certain nombre peut être déterminée en substituant ce nombre à la variable, généralement 𝑥.

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