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Fiche explicative de la leçon : Déterminer les valeurs de fonctions trigonométriques à l'aide d'angles de 30, 45 et 60 degrés Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles de 30, 45 et 60 degrés.

Commençons par rappeler la définition des fonctions trigonométriques. Dans un triangle rectangle, on peut identifier les longueurs des côtés du triangle par rapport à un de ses angles. Par exemple, on peut identifier les côtés par rapport à l’angle 𝜃 comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

On définit ensuite les fonctions trigonométriques comme les rapports des longueurs des côtés du triangle rectangle:sinopposéhypoténusecosadjacenthypoténusetanopposéadjacent𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Comme nous pouvons calculer les valeurs des fonctions trigonométriques à partir des rapports de longueurs des côtés de triangles rectangles, nous allons construire quelques triangles rectangles nous permettant d’évaluer les fonctions trigonométriques pour des valeurs spécifiques. Commençons par considérer un carré de côté 2.

Il est important de noter que nous pouvons choisir n’importe quelle dimension pour le côté du carré. Nous avons choisi 2 car cela simplifie les calculs. On divise le carré en deux triangles rectangles superposables le long de l’une de ses diagonales, comme indiqué.

Puisque ce sont des triangles rectangles isocèles, les angles non rectangles doivent être égaux. En particulier, comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180, on trouve que les angles inconnus mesurent 180902=45.

Nous pouvons alors appliquer le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de côté inconnue. Rappelons qu’il nous indique que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Cela donne 𝑐=2+2𝑐=4+4𝑐=8.

On peut résoudre cette équation en prenant la racine carrée des deux membres de l’équation et en notant que les longueurs doivent être positives:𝑐=8=4×2=22.

Nous pouvons alors utiliser ce triangle rectangle pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques de 45. Si on identifie les côtés du triangle par rapport à l’angle inférieur gauche de 45, on obtient ce qui suit.

En appliquant la trigonométrie des triangles rectangles, on obtient:sinopposéhypoténusecosadjacenthypoténusetanopposéadjacent45==222=12=12×22=22,45==222=22,45==22=1.

Nous pouvons utiliser exactement la même méthode pour évaluer les fonctions trigonométriques d’autres angles. Par exemple, nous pouvons utiliser un triangle équilatéral de côté 2, dont les angles sont de 60.

Nous pouvons ensuite le diviser en deux triangles rectangles en utilisant une médiatrice comme illustré.

Nous n’allons considérer qu’un seul de ces triangles rectangles. Comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180, on peut obtenir la mesure de l’angle inconnue par 1806090=30. Nous notons également que la moitié de la base du triangle est de longueur 1, ce qui nous donne ce qui suit.

Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, nous pouvons déterminer la longueur de côté inconnue en utilisant le théorème de Pythagore. Rappelons qu’il nous indique que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Cela nous donne 2=1+𝑎4=1+𝑎𝑎=3.

On peut déterminer la valeur de 𝑎 en prenant la racine carrée des deux membres de l’équation et en notant que 𝑎 est une longueur et doit donc être positive:𝑎=3.

Nous pouvons l’ajouter au schéma pour obtenir le triangle rectangle suivant.

Nous pouvons alors l’utiliser pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques de 30 et 60. Commençons par identifier les côtés par rapport à l’angle 60.

Puisque sinopposéhypoténuse𝜃=, on a sin60=32.

De même, puisque cosadjacenthypoténuse𝜃= et tanopposéadjacent𝜃=, on a costan60=12,60=31=3.

Nous pouvons également calculer les valeurs des fonctions trigonométriques de 30 en identifiant les côtés du triangle en fonction de leur position par rapport à l’angle de 30.

On a sinopposéhypoténusecosadjacenthypoténusetanopposéadjacent30==12,30==32,30==13=13×33=33.

Nous pouvons résumer les résultats obtenus dans le tableau suivant.

Propriété : Valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles de 30°, 45° et 60°

En calculant les rapports des longueurs de certains triangles rectangles, nous pouvons construire le tableau suivant qui nous indique les valeurs des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente pour les angles 30, 45 et 60.

𝜃
304560
sin𝜃122232
cos𝜃322212
tan𝜃3313

Ces résultats trigonométriques sont utiles et il vaut la peine de les mémoriser ou d’apprendre à les retrouver facilement par la géométrie. Voyons maintenant quelques exemples dans lesquels nous utilisons ces valeurs pour simplifier ou évaluer des expressions trigonométriques.

Exemple 1: Déterminer les valeurs d’une fonction trigonométrique pour un angle spécial

Déterminez la valeur exacte de sin30.

Réponse

Nous pourrions déterminer la valeur exacte de sin30 avec une calculatrice et nous obtiendrions sin30=12.

Nous devons cependant être capable de déterminer facilement les valeurs des trois fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente pour 30, 45 et 60. Pour cela, nous commençons par construire un triangle équilatéral de côté 2.

Nous construisons ensuite le triangle rectangle suivant obtenu avec la médiatrice de la base.

Puisque la somme des angles d’un triangle est égale à 180, l’angle inconnu est de 1809060=30. Nous pouvons déterminer la longueur de côté inconnue en appliquant le théorème de Pythagore, qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Cela donne 2=1+𝑎, qui nous permet de déterminer 𝑎 en notant que cette valeur doit être positive:𝑎=41𝑎=3𝑎=3.

Nous obtenons le triangle rectangle suivant.

Puisque nous souhaitons déterminer la valeur de sin30, nous identifions les côtés par rapport à l’angle 30.

On rappelle que la fonction sinus est le rapport entre la longueur du côté opposé et de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, ce qui donne sinopposéhypoténuse30==12.

Par conséquent, sin30=12.

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé un triangle rectangle pour déterminer la valeur d’une formule trigonométrique pour un angle spécifique. En pratique, cela prend beaucoup de temps, il est donc plus facile de mémoriser la table de valeurs puis d’appliquer ces valeurs pour évaluer des expressions. Dans les exemples suivants, nous allons simplement nous référer à cette table.

Exemple 2: Utiliser les valeurs trigonométriques des angles spéciaux pour évaluer des expressions trigonométriques

Calculez la valeur de 24530cossin.

Réponse

Nous pouvons déterminer cette valeur avec une calculatrice. Savoir évaluer les fonctions trigonométriques pour les angles 30, 45 et 60 sans calculatrice est cependant une compétence utile, nous allons donc répondre à cette question sans calculatrice.

Rappelons la table des valeurs suivante des fonctions trigonométriques des angles 30, 45 et 60.

𝜃
304560
sin𝜃122232
cos𝜃322212
tan𝜃3313

Ou nous pouvons simplement rappeler que sin30=12 et cos45=22. Nous substituons ensuite ces valeurs dans l’expression pour obtenir 24530=2×22×12=22.cossin

Par conséquent, 24530=22cossin.

Exemple 3: Utiliser les valeurs trigonométriques des angles spéciaux pour évaluer une expression trigonométrique

Déterminez la valeur de cossinsintantan60306060+30 sans calculatrice.

Réponse

Nous pouvons évaluer cette expression avec précision, sans calculatrice, en utilisant la géométrie et la trigonométrie des triangles rectangles. Cependant, il est plus facile de rappeler la table de valeurs suivante.

𝜃
304560
sin𝜃122232
cos𝜃322212
tan𝜃3313

On voit que sin30=12, cos60=12, tan30=33 et tan60=3. On peut alors substituer ces valeurs dans l’expression. On a donc cossinsintantancossinsintantan60306060+30=60306060+(30)=1212323+13=1432+13.

On s’assure ensuite que les fractions ont un dénominateur commun afin de les additionner:cossinsintantan60306060+30=1432+13=14×3332×66+13×44=3121812+412=1112.

Par conséquent, la valeur exacte de l’expression trigonométrique est 1112.

Nous avons vu comment utiliser des triangles connus pour évaluer les fonctions trigonométriques de certains angles. Nous pouvons utiliser cette même logique pour l’opération inverse:si nous connaissons le rapport des longueurs des côtés d’un triangle rectangle, alors nous pouvons déterminer la mesure de l’angle.

Par exemple, considérons le triangle suivant.

Supposons que le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent est égal à 1;en d’autres termes, tan𝜃=1. Nous pouvons alors déterminer l’angle 𝜃 de deux façons. Tout d’abord, nous pouvons le calculer géométriquement. Nous savons que opposéadjacent=1, donc opposéadjacent=.

Cela signifie qu’il s’agit d’un triangle rectangle isocèle. Par conséquent, l’autre angle inconnu est aussi égal à 𝜃.

On utilise ensuite le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 pour trouver 𝜃:𝜃+𝜃+90=1802𝜃=90𝜃=45.

Ceci n’est pas la seule façon de déterminer la valeur de 𝜃. Nous savons que tan45=1 et que 45 est un angle possible dans un triangle rectangle puisqu’il est aigu. Nous pouvons donc conclure que 𝜃 est égal à 45 car nous savons que tan45=1.

Nous pouvons également résoudre cet exemple en utilisant une propriété des fonctions trigonométriques réciproques.

Définition: Fonctions trigonométriques réciproques pour les angles aigus

Pour 0<𝑎<1,

  • 𝜃=𝑎sin est l’unique angle aigu solution à l’équation sin𝜃=𝑎;
  • 𝜃=𝑎cos est l’unique angle aigu solution à l’équation cos𝜃=𝑎.

Pour 𝑎>0,

  • 𝜃=𝑎tan est l’unique angle aigu solution à l’équation tan𝜃=𝑎.

Par conséquent, puisque tan45=1, nous savons que 𝜃=45 est une solution à l’équation tan𝜃=1, et nous savons que la solution est unique pour les angles aigus. Nous concluons donc que tan1=45. Nous pouvons suivre le même raisonnement pour toutes les autres valeurs connues. Par exemple, puisque sin60=32, nous savons que sin32=60. Nous pouvons résumer ces valeurs dans le tableau suivant.

Propriété : Fonctions trigonométriques réciproques pour des valeurs spéciales

Le tableau suivant nous indique les valeurs des fonctions trigonométriques réciproques pour des valeurs connues.

𝑎
122232
sin𝑎304560
cos𝑎604530
𝑎
3313
tan𝑎304560

Voyons maintenant un exemple dans lequel nous devons résoudre une équation trigonométrique.

Exemple 4: Utiliser une fonction trigonométrique réciproque pour déterminer un angle spécial

Sachant que cos(𝑥)=12, déterminez la valeur de 𝑥, 0<𝑥<90.

Réponse

Nous remarquons d’abord que 𝑥 est un angle aigu et que nous pouvons résoudre des équations trigonométriques en utilisant les fonctions trigonométriques réciproques. Puisque cos(𝑥)=12, on prend le cosinus réciproque des deux membres de l’équation et on voit que 𝑥=12.cos

Comme 𝑥 est aigu, on sait qu’il peut correspondre à un angle dans un triangle rectangle. On rappelle que cos60=12 et nous pouvons donc conclure que cos12=60. Cette valeur appartient à l’intervalle donné, donc 𝑥=60.

Dans le dernier exemple, nous allons réarranger et résoudre une équation trigonométrique en utilisant nos connaissances sur les fonctions trigonométriques réciproques.

Exemple 5: Utiliser une fonction trigonométrique réciproque pour déterminer un angle spécial

Sachant que 3(𝑥)+2=3tan, déterminez la valeur de 𝑥, 0<𝑥<90.

Réponse

Pour résoudre cette équation trigonométrique, on commence par la simplifier et on obtient 3(𝑥)+2=33(𝑥)=1(𝑥)=33.tantantan

On rappelle ensuite que l’on cherche des solutions aiguës, donc 𝑥=33tan est la solution unique à cette équation.

Et nous savons évaluer les fonctions trigonométriques pour des valeurs spéciales. En particulier, nous savons que tan(30)=33. Puisque la solution aiguë est unique, nous concluons que 𝑥=30.

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut évaluer les fonctions trigonométriques en construisant des triangles rectangles et en utilisant les rapports des longueurs de leurs côtés.
  • En particulier, on peut construire les deux triangles rectangles suivants en utilisant un demi-carré et un demi-triangle équilatéral de longueur 2.
  • En appliquant la trigonométrie des triangles rectangles à ces triangles, on peut évaluer les fonctions sinus, cosinus et tangente pour 30, 45 et 60. On obtient la table de valeurs suivante.
    𝜃
    304560
    sin𝜃122232
    cos𝜃322212
    tan𝜃3313
  • Pour 0<𝑎<1,
    • 𝜃=𝑎sin est l’unique angle aigu solution à l’équation sin𝜃=𝑎;
    • 𝜃=𝑎cos est l’unique angle aigu solution à l’équation cos𝜃=𝑎.
  • Pour 𝑎>0,
    • 𝜃=𝑎tan est l’unique angle aigu solution à l’équation tan𝜃=𝑎.
  • Le tableau suivant indique les valeurs des fonctions trigonométriques réciproques pour certaines valeurs.
    𝑎
    122232
    sin𝑎304560
    cos𝑎604530
    𝑎
    3313
    tan𝑎304560

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