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Fiche explicative de la leçon : Pression produite par les fluides Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la formule 𝑝=𝜌𝑔 pour calculer la pression produite à différentes profondeurs par différents fluides soumis à la gravité.

La pression est une propriété des fluides. Tous les liquides et tous les gaz exercent de la pression car ils sont faits de matière qui a du poids et peut couler pour remplir un volume.

Une façon de ressentir la pression d’un fluide est de s’immerger dans un volume d’eau. En allant à différentes profondeurs sous la surface de l’eau, nous pouvons ressentir des changements de pression. Plus on va en profondeur, plus forte est la pression exercée par l’eau.

La profondeur est un paramètre qui influence la pression produite par un fluide. Un autre paramètre est la masse volumique du fluide, ou densité volumique de masse, symbolisée par la lettre grecque rhô, 𝜌.

Plus un fluide est dense, plus la pression qu’il produit est grande. Cela explique la différence que nous ressentons entre la pression créée par plusieurs mètres d’air et plusieurs mètres d’eau.

Chaque fluide exerce une pression, mais comme l’eau est plus dense que l’air, la pression à la même profondeur est plus grande dans l’eau que dans l’air.

Le dernier paramètre qui influence la pression produite par un fluide est l’accélération gravitationnelle, souvent appelée pesanteur, 𝑔. Nous savons qu’une différence dans l’intensité du champ gravitationnel, et donc dans la pesanteur, fera que deux objets de même masse auront des poids différents.

Le poids d’une personne sur la Terre, par exemple, serait plus grand que si elle se trouvait sur la Lune. Cette différence se traduit par une différence de pression produite par un fluide. La pression dans un fluide sur la Terre sera différente de la pression dans le même fluide à la même profondeur mais dans un champ gravitationnel de différente intensité.

Ces trois paramètres, à savoir la profondeur dans le fluide, , la masse volumique, 𝜌, et la pesanteur, 𝑔, s’associent pour former une relation mathématique de la pression produite par le fluide.

Formule de la pression produite par un fluide

Si la pression produite par un fluide de masse volumique 𝜌 à une profondeur dans un champ gravitationnel d’intensité 𝑔 est 𝑝, alors 𝑝=𝜌𝑔.

L’unité de pression standard dans le SI est le pascal, de symbole Pa, qui équivaut à un newton de force par mètre carré de surface, N/m2. Si la masse volumique d’un fluide est exprimée en kilogrammes par mètre cube (kg/m3), sa profondeur en mètres (m) et l’accélération gravitationnelle en mètres par seconde carrée (m/s2), alors la pression du fluide 𝑝 sera exprimée en pascals.

Une caractéristique remarquable de la pression produite par un fluide est qu’elle n'a pas de direction spécifique. Imaginons une membrane horizontale immergée dans un fluide;nous comprenons intuitivement que la pression du fluide agit vers le bas, sur la membrane.

Fait surprenant, elle agit également vers le haut avec la même intensité.

En effet, en tout point d’un fluide, la pression agit de manière égale dans toutes les directions. C'est pourquoi un objet immergé ne bougera dans aucune direction, mais son poids et les forces de flottabilité peuvent le faire couler ou flotter. Les pressions exercées sur l'objet s'égalisent dans toutes les directions et n'ont donc aucune influence sur le mouvement de l'objet.

Exemple 1: Calculer la pression d’eau sur un plongeur

Un plongeur s’immerge à une profondeur de 1,25 m sous la surface de la mer. L’eau de mer a une masse volumique de 1‎ ‎025 kg/m3. Quelle est la pression, au pascal près, exercée par l’eau sur le plongeur?

Réponse

Pour calculer la pression exercée par l’eau sur le plongeur, nous avons besoin de connaître la profondeur du plongeur, la masse volumique de l’eau et l’accélération gravitationnelle.

Le plongeur est à une profondeur de 1,25 m, la masse volumique de l’eau de mer est de 1‎ ‎025 kg/m3. On peut prendre une valeur de 9,8 m/s2 pour l’accélération gravitationnelle.

La pression sur le plongeur est égale au produit de ces trois valeurs:𝑝=1025/×9,8/×(1,25)=12556,25.kgmmsmPa

En arrondissant ce résultat au pascal près, la réponse est donc 12‎ ‎556 Pa.

Exemple 2: Déterminer l’accélération de pesanteur à partir de la pression du fluide

Une piscine contenant un liquide de masse volumique 1‎ ‎000 kg/m3 à la surface d’une planète inconnue produit une pression de 8‎ ‎400 Pa à une profondeur de 2,4 m. Quelle est l’accélération de pesanteur à la surface de cette planète?

Réponse

La pression dans le fluide 𝑝, la profondeur , la masse volumique 𝜌 et la pesanteur 𝑔 sont reliées par l’équation 𝑝=𝜌𝑔.

Dans cet exemple, nous ne cherchons pas 𝑝, mais nous cherchons 𝑔, nous allons donc diviser les deux membres de l’équation par 𝜌 fois 𝑝𝜌×=𝑔.

En inversant les membres gauche et droit, nous obtenons 𝑔=𝑝𝜌×.

Ici, 𝑔 est l’accélération de pesanteur à la surface de la planète inconnue. Nous trouvons 𝑔 en remplaçant par les valeurs données de la pression, profondeur et masse volumique du fluide:𝑔=84001000/×2,4=3,5/.Pakgmmms

L’accélération de pesanteur sur la planète inconnue est 3,5 m/s2.

Exemple 3: Calculer la pression dans des liquides de différentes masses volumiques

Deux roulements à billes en acier identiques tombent dans deux fluides différents, le liquide 𝐴 et le liquide 𝐵. Le liquide 𝐴 a une masse volumique de 1‎ ‎200 kg/m3, et le liquide 𝐵 a une masse volumique de 1‎ ‎500 kg/m3. De combien de fois la profondeur du roulement à billes dans le liquide 𝐴 doit être augmentée pour qu’il soit soumis à la même pression que le roulement à billes dans le liquide 𝐵?

Réponse

Rappelons que la pression d'un liquide est directement proportionnelle à sa masse volumique;nous savons que le roulement à billes dans ce scénario devra tomber à une plus grande profondeur dans le liquide 𝐴 que dans le liquide 𝐵 pour retrouver une même pression.

La relation mathématique générale entre la pressionn du fluide 𝑝, la profondeur , la masse volumique 𝜌 et l’accélération de pesanteur 𝑔 est 𝑝=𝜌𝑔.

Comme nous avons deux fluides différents, le liquide 𝐴 et le liquide 𝐵, nous pouvons écrire les expressions de la pression dans chaque fluide:𝑝=𝜌𝑔,𝑝=𝜌𝑔.

Nous cherchons à ce que ces deux pressions soient égales;c’est-à-dire 𝑝=𝑝.

Par consequent, 𝜌𝑔=𝜌𝑔.

Remarquez que la pesanteur 𝑔 est la même aux deux côtés de l’équation et peut être éliminée, 𝜌=𝜌.

On nous demande dans la question de combien de fois la profondeur du roulement à billes dans le liquide 𝐴 doit être augmentée pour que la pression soit égale à celle dans le liquide 𝐵. Cette valeur peut être exprimée par le rapport . Dans l’équation ci-dessus, nous retrouvons cette fraction en divisant les deux membres de l’équation par et par 𝜌=𝜌𝜌.

Notre réponse à cette question est alors égale au rapport de la masse volumique du liquide 𝐵 à celle du liquide 𝐴. En remplaçant ces valeurs, =1500/1200/=1,25.kgmkgm

Le roulement à billes doit tomber 1,25 fois plus profondément dans le liquide 𝐴 que dans le liquide 𝐵 pour subir une même pression.

Exemple 4: Déterminer la masse volumique du fluide à partir de la pression et de la profondeur

La pression exercée par un liquide à une profondeur de 2,5 m est de 36‎ ‎750 Pa. Quelle est la masse volumique du liquide au kilogramme par mètre cube près?

Réponse

La masse volumique du fluide 𝜌, la pression 𝑝, la profondeur et l’accélération gravitationnelle 𝑔 sont reliées par l’équation 𝑝=𝜌𝑔.

Dans cet exemple, nous cherchons la masse volumique du liquide. Pour commencer, nous pouvons diviser les deux membres de l’équation ci-dessus par 𝑔 fois 𝑝𝑔×=𝜌.

En inversant les côtés gauche et droit, 𝜌=𝑝𝑔×.

On nous donne la pression 𝑝 et la profondeur , et nous savons que l’accélération gravitationnelle près de la surface de la Terre vaut 9,8 m/s2.

Considérant l’unité de pression, J   savoir le Pa (Pa), on se souvient qu’un pascal équivaut à newton par mètre carré (N/m2). De plus, un newton est égal à un kilogramme-mètre par seconde carrée (kg⋅m/s2).

En introduisant les trois valeurs connues dans notre équation pour la masse volumique, et en utilisant les unités du SI pour chaque grandeur, nous trouvons 𝜌=36750//9,8/×2,5=1500/.kgmsmmsmkgm

La masse volumique inconnue du liquide égale exactement 1‎ ‎500 kg/m3.

Exemple 5: Calculer la force totale exercée par la pression

La coque d’un bateau coulé gisant sur le fond marin est à 12 m sous la surface de la mer, où masse volumique moyenne de l’eau de mer est de 1‎ ‎025 kg/m3. La surface de la coque est de 15 m2. Quelle est la force totale exercée par l’eau de mer sur la surface de la coque?

Réponse

Pour déterminer la force totale exercée sur la coque, nous devons connaître la pression subie par la coque ainsi que son aire de surface. C’est parce qu’en général la pression est égale à une quantité de force répartie sur une certaine aire:𝑝=𝐹𝐴.

Puisque dans ce cas nous cherchons la force 𝐹, nous pouvons réarranger l’expression ci-dessus et trouver 𝐹=𝑝×𝐴.

C’est-à-dire que la force totale exercée sur la coque est égale à la pression du fluide sur celle-ci multipliée par son aire.

La pression exercée par l’eau de la mer sur la coque peut être écrite en utilisant l’équation associant la pression 𝑝, la masse volumique du fluide 𝜌, la profondeur du liquide et la pesanteur 𝑔𝑝=𝜌𝑔.

En introduisant cette expression de la pression dans l’équation de la force 𝐹, 𝐹=(𝜌𝑔)×𝐴.

Dans la question, on nous dit que la masse volumique de l’eau de mer est 1‎ ‎025 kg/m3, que la coque est à une profondeur de 12 m et que son aire de surface est 15 m2. Nous connaissons par cœur que l’accélération gravitationnelle près de la surface de la Terre vaut 9,8 m/s2. En introduisant ces valeurs dans notre équation pour la force, nous obtenons 𝐹=1025/×9,8/×(12)×15=1808100.kgmmsmmN

La force totale exercée sur la coque du bateau coulé est de 1‎ ‎808‎ ‎100 N.

Exemple 6: Déterminer la différence de pression sur différentes parties du corps d’un plongeur

Un plongeur nage dans une eau de masse volumique 1‎ ‎015 kg/m3, comme indiqué sur la figure. Quelle est la différence entre la pression d’eau à la tête du plongeur et la pression à ses pieds?Donnez la réponse au pascal près.

Réponse

La figure nous montre que la tête du plongeur est à 1,2 m, alors que ses pieds sont à 1,8 m sous la surface de l’eau.

Nous rappelons que la pression 𝑝 produite par un fluide est donnée par l’expression 𝑝=𝜌𝑔,𝜌 étant la masse volumique du fluide, 𝑔 l’accélération de pesanteur et la profondeur dans le fluide.

Comme la pression varie directement avec la profondeur, alors nous savons que la pression aux pieds du plongeur sera plus grande que celle à sa tête.

Si nous appelons la différence de pression entre ces deux profondeurs Δ𝑝, alors nous pouvons écrire Δ𝑝=𝜌𝑔Δ,Δ étant la différence de profondeur entre la tête et les pieds du plongeur. Cette différence est égale à 1,8 m moins 1,2 m, c’est-à-dire Δ=0,6.m

Comme la masse volumique de l’eau est de 1‎ ‎015 kg/m3 et l’accélération de pesanteur de 9,8 m/s2, alors Δ𝑝=1015/×9,8/×(0,6)=5968,2.kgmmsmPa

En arrondissant ce résultat au pascal près, nous obtenons la réponse que la différence de pression entre la tête et les pieds du plongeur est de 5‎ ‎968 Pa.

Points clés

  • Tous les fluides – liquides et gaz – génèrent une pression.
  • La pression équivaut à la force divisée par la surface.
  • Étant donné un fluide de masse volumique 𝜌, une profondeur et une accélération de pesanteur (ou gravitationnelle) 𝑔, la pression 𝑝 engendrée par le fluide est 𝑝=𝜌𝑔.

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