Fiche explicative de la leçon: Représentation graphique des fonctions affines | Nagwa Fiche explicative de la leçon: Représentation graphique des fonctions affines | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: Représentation graphique des fonctions affines Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment représenter graphiquement des fonctions affines.

Les fonctions affines définissent une relation affine entre deux variables. Ce sont des fonctions avec un taux de variation constant et elles ont de nombreuses applications pratiques. Par exemple, en économie, une courbe représentative de la demande peut être une fonction affine du prix et de la quantité. En science, la loi de Hooke et la loi d’Ohm sont des relations linéaires, et donc affines;en effet la première loi est donnée comme une fonction linéaire de la force exercée sur un ressort et sa longueur tandis que l’autre est donnée comme une relation linéaire entre la tension et le courant dans un circuit électrique.

Définition: Les fonctions affines

Une fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une droite. L’équation d’une droite affine est𝑌=𝑀𝑋+𝐵,𝑀 et 𝐵 sont des constantes. La constante 𝑀 est appelée coefficient directeur ou pente de la droite, et 𝐵 est l’ordonnée à l’origine 𝑌, c’est-à-dire, l’ordonnée du point d'intersection de la droite et l’axe des 𝑌.

L’équation d’une droite peut être aussi écrite sous la forme 𝑌=𝑀𝑋+𝐶. Une fonction affine a une variable indépendante 𝑋, et une variable dépendante 𝑌, et la plus grande puissance de 𝑋 est 1. La variation en 𝑌 est proportionnelle à la variation en 𝑋, et la pente 𝑀, qui est une constante, est le rapport entre la variation en 𝑌 et la variation en 𝑋.

Notez que 𝑌=𝑀𝑋+𝐵 décrit une relation affine entre les variables 𝑌 et 𝑋. On peut également exprimer ceci en utilisant une notation fonctionnelle:𝐹(𝑋)=𝑀𝑋+𝐵. Ici, 𝐹 est une fonction de 𝑋, et un point sur la droite aurait les coordonnées (𝑋;𝐹(𝑋)).

Lorsqu’on cherche à représenter graphiquement des fonctions affines, l’approche considérée va dépendre des informations dont nous disposons. Par exemple, on peut considérer deux points (ou plus) d’une droite et on peut former une droite en liant ces points et en traçant une seule droite à travers eux. On peut déterminer la pente de cette droite à l’aide de deux points de la droite, (𝑋;𝑌) et (𝑋;𝑌), en calculant le taux de variation des 𝑌 et des 𝑋,𝑀=𝑌𝑌𝑋𝑋.

En utilisant cette pente, avec l’un des points, disons (𝑋;𝑌), on peut alors trouver la valeur exacte de l’ordonnée à l’origine 𝑌, c’est-à-dire 𝐵, car si 𝑌=𝑀𝑋+𝐵, après réarrangement on obtient 𝐵=𝑌𝑀𝑋.

Notons que la pente de la droite est parfois représentée par le rapport entre la dénivelée et la distance horizontale, où la dénivelée est la variation en 𝑌 entre deux points sur la droite et la distance horizontale est la variation en 𝑋 entre les mêmes deux points.

Il est important de se rappeler que lorsque la pente est positive, la droite est inclinée vers le haut de gauche à droite et lorsque la pente est négative, la droite est inclinée vers le bas de gauche à droite.

Une manière de représenter graphiquement une fonction affine est de tracer un tableau de valeurs et de placer les coordonnées des points dans notre tableau. Afin d’illustrer cela, prenons un exemple.

Exemple 1: Représentation graphique des fonctions affines à partir d’un tableau

Considérons la fonction 𝐹(𝑋)=8𝑋11.

  1. Complètez le tableau.
    𝑋101
    𝑌=𝐹(𝑋)
  2. Identifiez les trois points de la droite 𝑌=8𝑋11.

Réponse

Partie 1

Cette question est composée de deux parties. La première partie consiste à compléter le tableau en calculant les valeurs de la fonction 𝐹(𝑋)=8𝑋11, pour les trois valeurs de 𝑋 données. Ceci est fait en remplaçant chaque valeur de 𝑋, 𝑋=1;0 et 1, dans la fonction comme suit:𝐹(1)=8×(1)11=811=19,𝐹(0)=8×011=11,𝐹(1)=8×111=3.

En complétant le tableau avec ces valeurs, nous obtenons alors,

𝑋101
𝐹(𝑋)19113

Partie 2

La deuxième partie de la question nous demande d’identifier les trois points de la représentation graphique de la droite 𝑦=8𝑋11. La création d’un tableau de valeurs pour une fonction sert à trouver des couples de coordonnées pour la représentation graphique de cette fonction. D’après notre tableau, on constate que les trois coordonnées de notre fonction 𝐹(𝑋) sont (1;19), (0;11) et (1;3). Plaçons-les sur notre représentation graphique et voyons avec quels points ils coïncident.

Plaçant notre premier point, (1;19), on remarque que sur notre représentation graphique il coïncide avec le point marqué I.

Le deuxième point, (0;11), coïncide avec le point H sur la représentation graphique.

Enfin, en plaçant notre troisième point, (1;3), on remarque qu’il coïncide avec le point G sur notre représentation graphique.

Donc, les trois points de la droite 𝑌=8𝑋11 sont les points I, H et G, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Parfois, on ne retrouve pas l’équation d’une droite sous la forme 𝑌=𝑀𝑋+𝐵 et afin d’identifier la droite on doit réarranger la fonction dans cette forme. Notre exemple suivant illustre ce processus.

Exemple 2: Représentation graphique des équations linéaires en changeant leur forme

Considèrez l’équation 3𝑌=6𝑋+32.

  1. Réarrangez l’équation sous la forme 𝑌=𝑀𝑋+𝐶.
  2. Quelle est la pente et l’ordonnée à l’origine 𝑌 de l’équation?
  3. Utilisez la pente et l’ordonnée à l’origine pour identifier la représentation graphique de l’équation.

Réponse

Partie 1

Dans cet exemple, afin d’identifier correctement la représentation graphique de l’équation donnée, on doit d’abord réarranger l’équation pour trouver la pente et l’ordonnée à l’origine 𝑌. Notre équation est 3𝑌=6𝑋+32, donc commençons par isoler 𝑌 à gauche en divisant par 3. Ce qui donne 𝑌=6𝑋+33×2=2𝑋+12.

En séparant les termes à droite, nous obtenons alors 𝑌=𝑋+12.

Partie 2

Dans l’équation affine d’une droite, 𝑌=𝑀𝑋+𝐵, le coefficient de 𝑋 est la pente de la droite. Dans notre cas, ceci est égal à 1 et la constante 12 est l’ordonnée à l’origine 𝑌, c’est-à-dire 𝐵.

Partie 3

Maintenant, si on vérifie les représentation graphiques données ci-dessous, les ordonnées à l’origine 𝑌 des courbes B, C, D et E sont égales à 1,12,12 et 1 respectivement. Puisqu’aucune d’entre elles n’est égale à l’ordonnée à l’origine 𝑌 de notre droite, qui est 𝐶=12, on peut éliminer ces quatre représentations graphiques.

Ce qui nous laisse une seule option, la représentation graphique A, comme représentation graphique correcte. Cependant, afin de vérifier que la courbe A correspond bien à celle de notre équation, vérifions que la pente de la droite dans la courbe A est bien égale à 1.

Rappelons que la pente d’une droite est donnée par 𝑀=𝑌𝑌𝑋𝑋,(𝑋;𝑌) et (𝑋;𝑌) sont des points de la droite. À partir de la représentation graphique A, on remarque que les points 0;12 et 12;0 appartiennent à la droite.

Ensuite, en utilisant ces points dans l’équation de la pente 𝑀 on obtient 𝑀=00==1.

Ainsi, nous avons bien prouvé que la pente, qui vaut 1, et l’ordonnée à l’origine 𝑌, qui est égale à 12, de la courbe A correspondent à celles de l’équation 3𝑌=6𝑋+32, si elle est exprimée sous forme pente-ordonnée à l’origine.

Dans l’exemple suivant, nous allons faire correspondre des points d’une courbe avec l’équation d’une droite.

Exemple 3: Tracer les points des équations linéaires

Loïc veut représenter graphiquement l’équation linéaire 𝑌=3𝑋4.

Il a tracé les points des abscisses 𝑋 égaux à 0, 1, 2, 3 et 4 mais il a commis une erreur.

  1. Quel est le point mal placé?
  2. Quelles sont les coordonnées correctes de ce point?

Réponse

Partie 1

Afin de déterminer lequel des points ne vérifie pas l’équation 𝑌=3𝑋4, cherchons d’abord les coordonnées de chacun des points de la représentation graphique. On peut alors directement remplacer les valeurs de 𝑋 et 𝑌 pour chaque point dans l’équation pour déterminer quel est le point incorrect.

En traçant les coordonnées en 𝑋 et en 𝑌 pour chaque point sur la représentation graphique, nous trouvons les coordonnées 𝐴(0;4),𝐵(1;1),𝐶(2;2),𝐷(3;4) et 𝐸(4;8). Maintenant, remplaçant chacun d’eux dans l’équation 𝑌=3𝑋4, on obtient:𝐴(0,4)4=3×04=4𝐵(1,1)1=3×14=1𝐶(2,2)2=3×24=2𝐷(3,4)4=3×34=5𝐸(4,8)8=3×44=8×

Le seul point dont les coordonnées ne satisfont pas l’équation donnée est le point D. Par conséquent, le point D est incorrect.

Partie 2

Pour trouver les coordonnées correctes de ce point, nous remplaçons l’abscisse 𝑋, 𝑋=3, dans l’équation, ce qui donne 𝑌=3×34=5.

Donc, comme indiqué dans la figure ci-dessous, les coordonnées correctes du point de la droite 𝑌=3𝑋4, avec 𝑋=3, sont 𝐷(3;5).

Dans notre prochain exemple, nous allons démontrer comment construire et utiliser un tableau de valeurs pour déterminer quel est la représentation graphique exacte d’une équation affine spécifiée.

Exemple 4: Déterminer la représentation graphique d’une fonction affine à l’aide d’un tableau de valeurs

En créant un tableau de valeurs, déterminez lequel des représentation graphiques suivants représente l’équation 𝑌=12𝑋+1.

Réponse

On nous demande de créer un tableau de valeurs afin de déterminer lequel des représentation graphiques représente l’équation 𝑌=12𝑋+1. Ce qui conduit à choisir un ensemble d’abscisses appropriées 𝑋 que nous remplaçons dans l’équation donnée pour calculer les ordonnées 𝑌 associées. Nous aurons alors un ensemble de coordonnées de points sur la représentation graphique de l’équation, que nous allons comparer aux représentations graphiques données.

Pour simplifier les calculs, on choisit des points dont l’abscisse 𝑋 est entière dans les représentations graphiques donnés. Les représentations graphiques coupent l’axe des abscisses 𝑋 en 𝑋=2 (les figures A et D) et en 𝑋=2 (les figures B et E). On peut aussi inclure 𝑋=0 de sorte que nous considérons trois points.

𝑋202
𝑌

Maintenant, en utilisant l’équation 𝑌=12𝑋+1 pour calculer les ordonnées 𝑌 de ces abscisses 𝑋, on obtient 𝑋=2𝑌=12×(2)+1=1+1=0,𝑋=0𝑌=12×0+1=1,𝑋=2𝑌=12×2+1=2.

Dans notre tableau, cela nous donne ce qui suit:

𝑋202
𝑌012

Nous avons maintenant les coordonnées de trois points de notre représentation graphique:(2;0),(0;1) et (2;2). En traçant ces points sur les représentations graphiques donnés, nous pouvons déterminer lequel des représentations graphiques représente l’équation 𝑌=12𝑋+1.

Comme nous pouvons le constater, la seule représentation graphique passant par les trois points calculés est celui de la figure A. Les représentations graphiques dans B et C ne passent par aucun de nos trois points, tandis que celui dans D et E ne passent que par l’un des points:(2;0) et (0;1) respectivement.

Donc, l’équation 𝑌=12𝑋+1 est représentée dans la figure A.

Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser la pente et l’ordonnée à l’origine d’une représentation graphique d’une fonction affine pour déterminer son équation.

Exemple 5: Représentation graphique des fonctions affines

Laquelle des fonctions proposées est donnée par la représentation graphique suivante?

  1. 𝑋=23𝑌+2
  2. 𝑌=23𝑋+2
  3. 𝑌=2𝑋+23
  4. 𝑌=32𝑋+2
  5. 𝑌=23𝑋2

Réponse

Afin de déterminer laquelle des fonctions données est celle représentée graphiquement, on rappelle d’abord que la forme affine d’une fonction affine 𝑌=𝑀𝑋+𝐵, ou parfois 𝑌=𝑀𝑋+𝐶, 𝑀 est la pente, ou le coefficient directeur, de la droite et 𝐵 ou 𝐶 est l’ordonnée à l’origine 𝑌. Tous les choix donnés sont sous cette forme, sauf celui de A, alors réarrangeons l’équation donnée en A sous forme affine comme suit:𝑋=23𝑌+223𝑌=𝑋2𝑌=32𝑋3.

Nos choix sont maintenant 𝐴𝑌=32𝑋3,𝐵𝑌=23𝑋+2,𝐶𝑌=2𝑋+23,𝐷𝑌=32𝑋+2,𝐸𝑌=23𝑋2.

Maintenant, si on considère la représentation graphique donnée, on constate que l’ordonnée à l’origine 𝑌, c’est-à-dire où 𝑋=0, est en 𝑌=2.

En remplaçant 𝑋=0 dans chacun de nos choix, on constate que seulement les choix B et D ont leurs ordonnées à l’origine 𝑌 en 𝑌=2. Tandis que A, C et E ont des ordonnées à l’origine 𝑌 en 𝑌=3,23 et 2 respectivement. Ainsi, nous pouvons éliminer les choix A, C et E. Cela nous laisse que les choix B et D à considérer.

Nous pouvons utiliser ce que nous savons sur la pente d’une droite pour déterminer l’équation correcte. Rappelons qu’étant donnés deux points d’une droite (𝑋;𝑌) et (𝑋;𝑌), la pente de la droite est donnée par le rapport de la variation en𝑌 à la variation en 𝑋,𝑀=𝑌𝑌𝑋𝑋.

En utilisant notre représentation graphique, on peut choisir deux points de la droite, disons (3;0) et (0;2).

En utilisant ces deux points, nous pouvons alors calculer la pente:𝑀=0230=23.

En comparant les choix B, 𝑌=23𝑋+2 et D, 𝑌=32𝑋+2, on constate que la pente correcte est celle donnée par le choix B..

Ainsi, la fonction représentée ci-dessus est celle du choix B:𝑌=23𝑋+2.

Nous concluons cette fiche explicative avec quelques points clés sur la représentation graphique des fonctions affines.

Points clés

  • Une fonction affine peut être exprimée par 𝑌=𝑀𝑋+𝐵 (ou 𝑌=𝑀𝑋+𝐶 ), où 𝑀 est la pente, ou le coefficient directeur, de la droite et 𝐵 (ou 𝐶) est l’ordonnée à l’origine 𝑌. (Cette expression est connue comme la forme affine d’une droite.)
  • La pente d’une droite, 𝑀, parfois appelée dénivelée sur la distance horizontale 𝑀=déniveléedist.horizon., est le rapport entre la variation en 𝑌 et la variation en 𝑋. Étant donnés deux points de la droite, (𝑋;𝑌) et (𝑋;𝑌) la pente est alors 𝑀=𝑌𝑌𝑋𝑋.
  • Nous pouvons représenter graphiquement une fonction affine en créant un tableau de valeurs pour 𝑋 et 𝑌 à partir de l’équation, en plaçant les coordonnées des points, et en traçant la droite unique à travers ces points.
  • Étant donné une représentation graphique d’une fonction affine, nous pouvons déterminer son équation en utilisant les coordonnées des points sur la droite pour déterminer sa pente et son ordonnée à l’origine.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité