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Fiche explicative de la leçon : Cercles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les éléments d'un cercle, tels que le rayon, la corde et le diamètre, et à utiliser leurs propriétés pour résoudre des problèmes.

Nous pouvons commencer par définir ce qu’est un cercle.

Définition : Cercle

Un cercle est une figure constituée de tous les points d’un plan à égale distance d’un point donné, le centre.

Rappelons le vocabulaire clé concernant les différents éléments d’un cercle.

La circonférence d’un cercle est son périmètre. C’est la mesure de la limite du cercle.

Un rayon d’un cercle est un segment qui va du centre du cercle à un point sur la circonférence. Le rayon a pour pluriel « rayons » Il existe une infinité de rayons dans un cercle. On utilise couramment le rayon comme longueur;par exemple, un cercle peut être décrit comme « un cercle de rayon 3 cm ».

Un diamètre d’un cercle est un segment passant par le centre et joignant deux points sur le cercle. Comme avec le rayon, il est courant d’utiliser le diamètre pour se référer simplement à la longueur de ce segment.

Un diamètre peut être décomposé en deux segments allant du centre à la circonférence, il y a deux rayons dans un diamètre, la longueur du diamètre est donc le double de la longueur du rayon.

On peut maintenant se pencher sur le vocabulaire plus avancé.

Une corde d’un cercle est un segment joignant deux points distincts sur la circonférence du cercle.

Une infinité de cordes peuvent être tracées dans un cercle. La plus longue corde d’un cercle est celle créée par le diamètre, le segment reliant deux points sur la circonférence et passant par le centre.

Nous allons maintenant appliquer dans les exemples suivants notre compréhension des éléments d’un cercle, incluant la relation entre le rayon et le diamètre. Dans le premier exemple, nous allons voir comment utiliser les informations sur les rayons de deux cercles pour déterminer la longueur d’un segment joignant leurs centres.

Exemple 1: Résoudre un problème impliquant la relation entre le rayon et le diamètre d’un cercle

Si les diamètres des deux cercles de centres 𝑀 et 𝑁 sont respectivement 2 cm et 6 cm, déterminez la longueur de 𝑀𝑁.

Réponse

On peut commencer à répondre à ce problème en observant que les deux cercles se rencontrent en un point que l’on peut désigner par 𝑃.

On connaît le diamètre de chacun des cercles. On peut rappeler que le diamètre d’un cercle est la longueur du segment qui passe par le centre et joint deux points sur la circonférence.

Cependant, on observe sur le schéma que les longueurs de 𝑀𝑃 et 𝑁𝑃 sont en fait égales aux rayons des deux cercles. Un rayon d’un cercle est un segment allant du centre du cercle à sa circonférence. Le rayon et le diamètre de tout cercle sont reliés car le rayon d’un cercle est égal à la moitié du diamètre.

Sachant que le diamètre du cercle de centre 𝑀 est 2 cm, alors le rayon du cercle de centre 𝑀, c’est-à-dire la longueur 𝑀𝑃, est 2÷2=1cm.

De même, sachant que le diamètre du cercle de centre 𝑁 est 6 cm, alors son rayon, c’est-à-dire la longueur 𝑁𝑃, est 6÷2=3cm.

On peut alors calculer la longueur de 𝑀𝑁 en additionnant les deux rayons:longueurdelongueurdelongueurdecm𝑀𝑁=𝑀𝑃+𝑁𝑃=1+3=4.

Par conséquent, la longueur de 𝑀𝑁 est 4 cm.

Nous allons maintenant étudier un autre exemple d’utilisation des propriétés des cercles pour déterminer une longueur. Comme dans de nombreuses questions de géométrie, ajouter sur un schéma des longueurs connues ou calculées peut être utile pour nous aider à résoudre un problème.

Exemple 2: Déterminer une distance inconnue à partir des longueurs entre les centres de deux cercles

Le diamètre du cercle de centre 𝑁 est 23 et 𝐵𝑁=5. Déterminez la longueur de 𝐴𝐵.

Réponse

On sait que la longueur du diamètre du cercle de centre 𝑁 est 23. On rappelle que le diamètre d’un cercle est la longueur du segment passant par le centre et joignant deux points sur la circonférence. On observe sur le schéma qu’il n’y a pas de segment représentant le diamètre de 𝑁;on voit cependant un segment qui représente son rayon. Un rayon d’un cercle est le segment allant du centre du cercle à sa circonférence. Cela signifie que 𝐴𝑁 est un rayon du cercle de centre 𝑁. Le rayon d’un cercle est égal à la moitié de son diamètre. Par conséquent, 𝐴𝑁=23÷2=11,5.

On peut ajouter cette longueur et l’information 𝐵𝑁=5 au schéma pour mieux visualiser le problème.

On recherche la longueur de 𝐴𝐵. On peut la trouver en soustrayant 𝐵𝑁 à 𝐴𝑁;donc, 𝐴𝐵=𝐴𝑁𝐵𝑁=11,55=6,5.unitésdelongueur

Par conséquent, la longueur de 𝐴𝐵 est 6,5.

Nous pouvons maintenant considérer la symétrie axiale d’un cercle.

Définition : Symétrie axiale d’un cercle

Toute droite passant par le centre du cercle est un axe de symétrie du cercle car elle divise le cercle en deux parties identiques.

Comme il existe une infinité de droites passant par son centre, un cercle a une infinité d’axes de symétrie.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier la symétrie axiale d’un cercle.

Exemple 3: Identifier les axes de symétrie d’un cercle

Parmi les droites suivantes, lesquelles sont des axes de symétrie du cercle?

Réponse

Sur la figure, on peut observer 3 droites distinctes coupant le cercle:𝐴, 𝐵 et 𝐶.

Un axe de symétrie est une droite qui coupe une figure exactement en deux parties identiques. Pour identifier l’axe de symétrie du cercle, on doit déterminer quelle droite passe par le centre du cercle. Cette droite divise le cercle exactement en deux. Cela peut être réalisé en pliant le long de la droite 𝐴.

En général, toute droite passant par le centre d’un cercle est un axe symétrie. Un cercle possède une infinité d’axes de symétrie. Sur cette figure, la droite qui crée un axe de symétrie est seulement la droite 𝐴.

Nous avons vu qu’un cercle possède une infinité d’axes de symétrie. Remarquez également la symétrie de rotation d’un cercle. L’ordre de symétrie de rotation d’une figure géométrique est le nombre de fois où la figure est superposable à elle-même pendant une rotation complète de 360 autour de son centre. Un cercle a un ordre infini de symétrie de rotation. Cela est dû au fait qu’un cercle est toujours superposable à lui-même, quel que soit son angle de rotation.

Les problèmes géométriques impliquant des cercles sont nombreux et fréquents. Un propriété clé de la géométrie à connaître est le théorème de Pythagore.

Récapitulatif : Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore énonce que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus petits.

Pour une hypoténuse 𝑐 et deux côtés plus petits 𝑎 et 𝑏, le théorème de Pythagore énonce que 𝑎+𝑏=𝑐.

Nous allons maintenant voir comment appliquer le théorème de Pythagore dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Déterminer une longueur inconnue en utilisant l’égalité des rayons d’un cercle et le théorème de Pythagore

Sachant que 𝐴𝐵=20, déterminez la longueur de 𝑂𝐴.

Réponse

Dans ce problème, on connaît la longueur d’un côté dans le triangle rectangle 𝑂𝐴𝐵. On rappelle que l’on peut calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore qui énonce que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts.

À première vue, il peut sembler que l’on n’ait pas suffisamment d’informations pour déterminer la longueur du côté 𝑂𝐴 car on ne connaît la longueur que d’un seul côté, 𝐴𝐵. Cependant, on peut utiliser les propriétés du cercle qui contient le triangle 𝑂𝐴𝐵. Les segments 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont des rayons du cercle;ce sont tous les deux des segments allant du centre à un point sur la circonférence. On peut donc dire que 𝑂𝐴=𝑂𝐵. On peut désigner ces longueurs par 𝑥 et indiquer les longueurs sur le schéma ci-dessous.

En appliquant le théorème de Pythagore, on peut former une équation et la simplifier sachant que 𝐴𝐵=20. Cela donne (𝐴𝐵)=𝑥+𝑥20=2𝑥400=2𝑥200=𝑥.

On peut maintenant prendre la racine carrée de chaque membre de l’équation en notant que 𝑥 doit être une valeur positive car il s’agit d’une longueur. On a donc 200=𝑥100×2=𝑥102=𝑥.

Par conséquent le rayon de ce cercle, c’est-à-dire la longueur de 𝑂𝐴, est 102.

Dans cet exemple, nous avons vu un exemple de triangle rectangle. Notez que ce triangle était également isocèle car il avait deux longueurs égales créées par les rayons du cercle. Les triangles isocèles sont fréquents dans les problèmes de géométrie de cercle et il est utile de noter que deux rayons quelconques d’un cercle et la corde qui les relie forment un triangle isocèle.

Nous allons en voir un exemple dans la question suivante.

Exemple 5: Déterminer un angle inconnu au centre d’un cercle pour résoudre un problème

Quelle est la valeur de 𝑚𝑀𝐴𝐵?

Réponse

On peut commencer par rappeler que la somme des angles autour d’un point est égale à 360. On peut donc calculer 𝑚𝐴𝑀𝐵 par 𝑚𝐴𝑀𝐵=360306=54.

On observe ensuite que 𝑀𝐴 et 𝑀𝐵 sont deux rayons du cercle. Cela signifie qu’ils sont de même longueur et que, 𝑀𝐴𝐵 doit de plus être un triangle isocèle car il a deux côtés de même longueur. On a donc deux angles égaux:𝑚𝑀𝐴𝐵=𝑚𝑀𝐵𝐴.

On peut désigner ces deux angles par 𝑦.

Pour trouver l’angle inconnu, on rappelle que la somme des angles d’un triangle est égale à 180. Par conséquent, on a 𝑚𝐴𝑀𝐵+𝑚𝑀𝐴𝐵+𝑚𝑀𝐵𝐴=180.

En substituant les valeurs des angles, on obtient 𝑚𝐴𝑀𝐵+𝑦+𝑦=18054+2𝑦=1802𝑦=180542𝑦=126𝑦=63.

Comme on a défini 𝑚𝑀𝐴𝐵 par 𝑦, on peut dire que 𝑚𝑀𝐴𝐵 est 63.

Nous allons maintenant étudier les cercles semblables et superposables. Généralement, deux figures géométriques sont semblables si elles sont de même forme, leur taille pouvant être différente. Comme tous les cercles ont la même forme, tous les cercles sont semblables.

Deux figures géométriques sont ensuite superposables si elles sont de même forme et de même taille. Bien que les cercles aient tous la même forme, ils ne sont pas toujours de même taille. Afin d’identifier et de prouver que deux cercles quelconques sont superposables, nous devons vérifier qu’une mesure commune à chacun d’eux est égale.

Comment : Prouver que deux cercles sont superposables

Des cercles superposables ont la même forme et la même taille. Deux cercles sont superposables si l’une des conditions suivantes est remplie:

  • leurs rayons sont égaux;
  • leurs diamètres sont égaux;
  • leurs circonférences sont égales.

Dans le dernier exemple, nous allons voir un problème impliquant deux cordes égales dans des cercles superposables.

Exemple 6: Déterminer la mesure d’angles inconnus à partir de cordes égales dans des cercles superposables

On suppose que les cercles de centres 𝑀 et 𝑁 sont superposables et que 𝐴𝐵=𝐶𝐷.

  1. Déterminez la valeur de 𝑥.
  2. Déterminez la valeur de 𝑦.

Réponse

Partie 1

Dans le cercle de centre 𝑀, comme 𝑀𝐶 et 𝑀𝐷 sont deux rayons du cercle, ils sont de même longueur. Par conséquent, le triangle 𝑀𝐶𝐷 est isocèle. Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur et deux angles de même mesure. Par conséquent, 𝑚𝑀𝐷𝐶=𝑚𝑀𝐶𝐷=25.

Ensuite, en utilisant le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180, on a 𝑚𝑀𝐷𝐶+𝑚𝑀𝐶𝐷+𝑚𝐶𝑀𝐷=18025+25+𝑥=18050+𝑥=180𝑥=130.

Par conséquent, 𝑥=130.

Partie 2

Sachant que les cercles de centres 𝑀 et 𝑁 sont superposables, les rayons des deux cercles sont égaux. On sait que 𝐴𝐵=𝐶𝐷;comme les côtés des deux triangles sont égaux deux à deux, les triangles sont superposables et, 𝑀𝐶𝐷𝑁𝐵𝐴. Notez que comme ce sont des triangles isocèles, on pourrait aussi écrire que 𝑀𝐶𝐷𝑁𝐴𝐵.

Donc, 𝑚𝑁𝐵𝐴=𝑚𝑀𝐶𝐷𝑦=25.

Par conséquent, 𝑦=25.

Dans cet exemple, nous avons prouvé que deux triangles formés par des rayons et des cordes égaux étaient superposables car leurs côtés étaient égaux deux à deux. Cette propriété s’applique dans les cas où des cordes de même longueur appartiennent au même cercle ou à des cercles superposables. Nous pouvons la définir ci-dessous.

Définition : Cordes de même longueur reliant deux rayons

Si des cordes de même longueur relient des rayons dans le même cercle ou dans des cercles superposables, alors les deux triangles isocèles formés par la corde et les rayons sont superposables.

Nous allons maintenant résumer quelques points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Un cercle est une figure constituée de tous les points d’un plan à égale distance d’un point donné, le centre.
  • La longueur du diamètre d’un cercle est le double de la longueur de son rayon.
  • Le diamètre d’un cercle est la corde la plus longue du cercle.
  • Un cercle possède une infinité d’axes de symétrie et tous les axes de symétrie passent par les diamètres du cercle.
  • Un cercle a un ordre infini de symétrie de rotation autour de son centre.
  • Un triangle à l’intérieur d’un cercle qui se compose de deux rayons et de la corde qui les relie est un triangle isocèle.
  • Tous les cercles sont semblables:ils ont tous la même forme mais peuvent avoir une taille différente.
  • On peut prouver que deux cercles sont superposables si leurs rayons, diamètres ou circonférences sont de même longueur.
  • Si des cordes de même longueur relient des rayons dans le même cercle ou dans des cercles superposables, alors les deux triangles isocèles formés par la corde et les rayons sont superposables.

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