Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment étudier graphiquement et algébriquement les limites à droite ou à gauche.
On sait que la limite d’une fonction décrit le comportement de la fonction au voisinage d’un point. Les images d’une fonction ne tendent pas toujours vers une valeur spécifique lorsque la variable tend vers une valeur limite.
Considérons par exemple la fonction d’expression , qui est définie pour tous les nombres réels sauf en . Si , la valeur absolue au numérateur peut être retirée car . Cela signifie que cette fonction est égale à 1 pour . Si , la valeur absolue retire le signe négatif du nombre alors que le nombre au dénominateur est toujours de signe négatif. Cela signifie que pour . On peut décrire le comportement de cette fonction au voisinage de avec le tableau suivant.
| 0,01 | 0,1 | 0,5 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
D’après ce tableau, la valeur de varie selon que la valeur de est inférieure ou supérieure au point limite . En d’autres termes, on ne peut pas dire que tend vers une valeur spécifique quand tend vers 0.
On peut cependant remarquer que la valeur de la fonction suit un modèle au voisinage de si on limite les valeurs de à un côté du point limite. On peut par exemple simplement étudier les valeurs de la fonction au voisinage de avec la restriction supplémentaire . On ne considère donc que la moitié gauche du tableau ci-dessus.
Si on ne considère que ce tableau de valeurs pour , on peut dire que la valeur de la fonction tend vers quand tend vers 0 du côté négatif. On appelle cela la limite à gauche de en . On peut également construire le tableau de valeurs de la fonction au voisinage de pour .
| 1 | 0,5 | 0,1 | 0,01 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Ce tableau de valeurs nous indique que tend vers 1 lorsque tend vers 0 du côté positif, qui est la limite à droite de en .
Définition : Limites à droite ou à gauche
- Si les valeurs de tendent vers une valeur quand tend vers du côté négatif, c’est-à-dire pour , mais pas nécessairement en , alors on dit que la limite de quand tend vers du côté gauche est égale à et on la note Cette limite est appelée la limite à gauche de en .
- De même, si les valeurs de tendent vers une valeur quand tend vers du côté positif, c’est-à-dire pour , mais pas nécessairement en , alors on dit que la limite de quand tend vers du côté droit est égale à et on la note Cette limite est appelée la limite à droite de en .
En utilisant ces notations, on peut écrire
On peut également visualiser ces limites à droite ou à gauche sur la représentation graphique de la fonction d’expression .
Si on suit la courbe de la fonction à gauche de , on s’approche du point dont l’ordonnée est . Cela nous indique que la limite à gauche de cette fonction en est égale à . Si on suit la courbe de la fonction à droite de , on s’approche du point dont l’ordonnée est 1, qui est la limite à droite de cette fonction en .
Dans le premier exemple, nous allons déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction à partir de sa courbe représentative.
Exemple 1: Déterminer, si elle existe la limite à droite ou à gauche d’une fonction en un point à partir de sa courbe représentative
Utilisez la représentation graphique ci-dessous pour déterminer .
Réponse
On remarque que le 1 sous la limite a un signe + en exposant, ce qui indique qu’il s’agit de la limite à droite de cette fonction en . On rappelle que la limite à droite d’une fonction en est la valeur vers laquelle tend quand tend vers du côté droit (), mais pas nécessairement en . Dans cet exemple, le point limite est en , donc .
On rappelle qu’un point plein sur une courbe représentative indique que la fonction est définie en ce point, tandis qu’un point creux indique que la fonction n’inclut pas ce point de la courbe. Comme le point ci-dessus est plein, cela nous indique que , mais cela n’est cependant pas important car la limite à droite ou à gauche d’une fonction ne dépend pas de la valeur au point limite. Nous devons plutôt considérer vers quelle valeur tend quand tend vers 1, pour . Nous ne considérons donc que les valeurs de supérieures à 1, ce qui correspond à la portion de la courbe mise en évidence ci-dessous.
Quand on se déplace vers sur la portion en jaune de la courbe, on tend vers un point dont l’ordonnée est égale à 3. Il s’agit de la limite à droite de cette fonction en . On peut donc écrire
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la limite à gauche d’une fonction à partir de sa courbe représentative.
Exemple 2: Déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction en un point à partir de sa courbe représentative, si elle existe
Déterminez .
Réponse
On remarque que le sous la limite a un signe - en exposant, ce qui indique qu’il s’agit de la limite à gauche de cette fonction en . On rappelle que la limite à gauche d’une fonction en est la valeur vers laquelle tend quand tend vers du côté gauche (), mais pas nécessairement en . Dans cet exemple, le point limite est en , donc .
Nous devons déterminer vers quelle valeur tend quand tend vers , pour . La fonction n’est pas définie en car les deux extrémités des droites en ce point sont des points creux. Comme nous ne considérons cependant que les valeurs de inférieures à , cela correspond à la portion de la courbe mise en évidence ci-dessous.
Quand on se déplace vers sur la portion en jaune de la courbe, on tend vers un point dont l’ordonnée est égale à . Il s’agit de la limite à gauche de cette fonction en . On peut donc écrire
Maintenant que nous savons qu’il existe plusieurs types de limites, nous devons faire attention à comprendre à quel type de limite le problème se réfère. Pour distinguer cela des limites à droite ou à gauche, on appelle parfois la limite d’une fonction sa limite bilatérale. Avec la notation des limites, il n’y a pas de signe + ou - en exposant sous la limite bilatérale.
Dans les deux premiers exemples, nous avons déterminé les limites à droite ou à gauche de fonctions à partir de leurs courbes représentatives. Nous avons pu dans les deux cas déterminer les limites à droite ou à gauche des fonctions bien qu’il était visible sur les courbes représentatives que leurs limites bilatérales n’existaient pas. Ceci nous indique que la limite à droite ou à gauche peut être définie même si la limite bilatérale ne l’est pas.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction à partir de sa courbe représentative sachant que sa limite standard existe.
Exemple 3: Déterminer, si elle existe, la limite à droite ou à gauche d’une fonction en un point à partir de sa courbe représentative
Déterminez .
Réponse
On remarque que le sous la limite a un signe + en exposant, ce qui indique qu’il s’agit de la limite à droite de cette fonction en . On rappelle que la limite à droite d’une fonction en est la valeur vers laquelle tend quand tend vers du côté droit (), mais pas nécessairement en . Dans cet exemple, le point limite est en , donc .
On rappelle qu’un point plein sur une courbe représentative indique que la fonction est définie en ce point, tandis qu’un point creux indique que la fonction n’inclut pas ce point de la courbe. Comme le point ci-dessus est plein, cela nous indique que , mais cela n’est cependant pas important car la limite à droite ou à gauche d’une fonction ne dépend pas de la valeur au point limite. Nous devons plutôt considérer vers quelle valeur tend quand tend vers, pour . Nous ne considérons donc que les valeurs de supérieures à , ce qui correspond à la portion de la courbe représentative mise en évidence ci-dessous.
Quand on se déplace vers sur la portion en jaune de la courbe représentative, on tend vers un point dont l’ordonnée est égale à . Il s’agit de la limite à droite de cette fonction en . On peut donc écrire
Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la limite à droite d’une fonction à partir de sa courbe représentative. On peut voir sur la courbe représentative que la limite à gauche de la fonction en est égale à la limite à droite. Cela signifie que pour la fonction d’expression dont la courbe représentative était fournie dans cet exemple,
De plus, la limite standard de cette fonction existe en et est égale à , qui correspond à la valeur des limites à droite ou à gauche. Cela montre une relation importante entre les limites à droite ou à gauche et les limites bilatérales.
Théorème : Relation entre les limites à droite ou à gauche et bilatérales
Soit appartenant à l’ensemble de définition de . La limite de en existe si et seulement si les limites à gauche et à droite de en existent et vérifient
Si la limite existe, elle est égale aux limites à droite ou à gauche. C’est-à-dire,
Ce théorème nous indique en particulier que si la limite d’une fonction existe en un point, alors les trois types de limites (bilatérale, à gauche et à droite) ont la même valeur. Comme nous savons calculer la limite d’une fonction par substitution directe ou algébriquement, cela nous permet de déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction. Gardez cependant à l’esprit que cette méthode ne fonctionne que si la limite (bilatérale) de la fonction existe en ce point.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux en calculant sa limite bilatérale.
Exemple 4: Calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux impliquant des fonctions trigonométriques
Calculez pour
Réponse
On sait que l’exposant sous la limite indique qu’il s’agit de la limite à droite de la fonction en . On rappelle que la limite à droite ou à gauche d’une fonction est égale à la limite bilatérale d’une fonction si cette dernière existe. Si on peut montrer que la limite de existe en et calculer sa valeur, elle correspondra également à la valeur de la limite à droite que nous recherchons. Nous allons donc d’abord essayer de calculer la limite bilatérale
On sait que la limite d’une fonction en est la valeur vers laquelle tend lorsque tend vers . Nous souhaitons déterminer la limite de en , donc nous recherchons les valeurs de pour au voisinage de . Si est suffisamment proche de , on a , ce qui correspond à la première expression de la fonction. On peut le voir en observant la droite numérique.
Si est suffisamment proche de , est donc égal à la première expression de la fonction par morceaux. Cela signifie que
Il s’agit de la limite d’un quotient impliquant la fonction sinus et une fonction polynôme. On peut calculer ce type de limite par substitution directe à condition que le dénominateur du quotient soit non nul. Calculons d’abord le dénominateur en :
Le dénominateur n’est pas égal à zéro au point limite, on peut donc calculer cette limite par substitution directe. Cela donne
Il s’agit de la limite bilatérale de en . Comme la limite en ce point existe, la limite à droite doit exister et avoir la même valeur que la limite bilatérale. Par conséquent,
Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé la limite à droite ou à gauche d’une fonction en calculant d’abord la limite bilatérale de la fonction. En analysant cette méthode de recherche de limite à droite ou à gauche, on peut voir que les limites à droite ou à gauche, tout comme les limites standards, peuvent être éligibles à la méthode de substitution directe.
Propriété : Méthode de substitution directe pour les limites à droite ou à gauche
On peut calculer la limite à droite ou à gauche de la somme, de la différence, du produit, du quotient et de la composition de toutes les fonctions listées ci-dessous par substitution directe à condition que le point limite appartienne à l’ensemble de définition de la fonction :
- fonction polynôme ou constante ;
- fonction rationnelle ;
- fonction puissance ou racine ;
- fonction exponentielle ou logarithme ;
- fonction trigonométrique ;
- fonction de valeur absolue.
Si une fonction n’est pas éligible à la substitution directe parce que la limite à droite ou à gauche de la fonction donne une forme indéterminée, on peut utiliser les méthodes algébriques pour calculer la limite bilatérale et en déduire la limite à droite ou à gauche.
Les limites à droite ou à gauche sont souvent utilisées lors de l’analyse de la limite d’une fonction définie par morceaux en un point frontière. Considérons une fonction définie par morceaux par de sous-fonctions d’expressions et , pour des constantes , , vérifiant . Dans cette fonction, , et sont les points frontières de , nous allons donc nous concentrer sur les limites de cette fonction en ces trois points. On voit que l’ensemble de définition de est , donc la limite de en ne peut être définie qu’à droite de . Dans ce cas, la limite bilatérale de en est égale à la limite à droite de en . De plus, comme pour toute valeur de suffisamment proche de on peut dire que
De même,
Considérons enfin les limites à droite ou à gauche en . Comme est définie de chaque côté de , les limites à gauche et à droite sont définies en ce point. Pour la limite à gauche , on considère les valeurs de telles que . Pour ces valeurs de , on sait que , ce qui donne
De même, la limite à droite de en est
En particulier, si et sont des fonctions éligibles à la substitution directe, la limite à gauche de en sera égale à et la limite à droite sera égale à .
Dans l’exemple suivant, nous allons calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux lorsque le point limite est une borne de l’ensemble de définition de la fonction.
Exemple 5: Vérifier l’existence de la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux
Vérifiez l’existence de pour
Réponse
L’exposant sous la limite indique qu’il s’agit de la limite à gauche de la fonction en . On rappelle que la limite à gauche d’une fonction en est la valeur vers laquelle tend quand tend vers du côté gauche (), mais pas nécessairement en. Dans cet exemple, le point limite est en , donc .
Pour déterminer la limite à gauche de la fonction en , nous devons déterminer vers quelle valeur tend lorsque est proche de 4 et inférieur à 4. Si est suffisamment proche de 4 et inférieur à 4, il doit vérifier , qui correspond au deuxième morceau de la fonction. Pour ces valeurs de , la fonction d’expression est égale à la deuxième expression. Cela signifie que
Il s’agit de la limite à gauche d’une fonction rationnelle. On rappelle que l’on peut calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction rationnelle par substitution directe à condition que le dénominateur soit non nul au point limite. On commence par calculer le dénominateur au point limite :
Le dénominateur n’est pas égal à zéro au point limite, on peut donc calculer cette limite par substitution directe. Cela donne
Par conséquent, la limite existe et
Il est également possible déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux en une borne de ses sous-ensembles de définition. Dans ce cas, nous devons d'abord choisir laquelle des expressions par morceaux utiliser pour trouver la limite en considérant quelles valeurs de sont prises en compte pour la limite unilatérale.
Dans l’exemple suivant, nous allons calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux en une borne de ses sous-ensembles de définition.
Exemple 6: Déterminer les limites à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux
Déterminez et , pour
Réponse
On remarque les exposants + ou - sous la limite, qui indiquent qu’il s’agit de limites à droite ou à gauche. La limite avec le signe - en exposant est la limite à gauche et l’autre est la limite à droite.
Commençons par la limite à gauche . On rappelle que la limite à gauche en d’une fonction est la valeur vers laquelle tend quand tend vers du côté gauche (), mais pas nécessairement en . Dans cet exemple, le point limite est en , on suppose donc que pour la limite à gauche. Il s’agit du premier morceau de la fonction. Comme pour tout vérifiant cette condition, on peut dire que tend vers 78 quand tend vers du côté gauche. Par conséquent,
Considérons ensuite la limite à droite , qui suppose que tend vers du côté droit, c’est-à-dire . Puisqu’il s’agit du second morceau de la fonction, pour tout vérifiant cette condition. Cela signifie que
Il s’agit de la limite à droite d’une fonction polynôme. On rappelle que l’on peut calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction polynôme par substitution directe. Cela donne
D’où
Par conséquent,
Jusqu’à présent, nous avons étudié des exemples où les limites à droite ou à gauche existaient. Les limites à droite ou à gauche d’une fonction n’existent cependant pas toujours. La limite à droite ou à gauche d’une fonction peut ne pas exister pour deux raisons. Le premier cas est celui où la limite à droite ou à gauche d’une fonction est infinie. Considérons par exemple la fonction en , qui est représentée graphiquement ci-dessous.
On peut voir sur cette courbe représentative que la limite à droite de cette fonction est égale à plus l’infini, tandis que sa limite à gauche est égale à moins l’infini. On peut noter
Comme l’infini n’est cependant pas un nombre, on peut également dire que les deux limites à droite ou à gauche de cette fonction n’existent pas.
Le deuxième cas où la limite à droite ou à gauche n’existe pas est lorsque la fonction oscille. Considérons la fonction dont la courbe représentative est illustrée ci-dessous.
Sur cette courbe représentative, on remarque que la limite à gauche en existe et est
Quand tend vers du côté droit, on peut voir que la valeur de alterne rapidement entre le maximum et le minimum. Ce type de comportement pour une fonction est appelé « oscillation ». Cela signifie que ne tend pas vers une valeur spécifique quand tend vers du côté droit, ce qui nous indique que la limite à droite de en n’existe pas.
Dans le dernier exemple, nous allons calculer les limites à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux en son point frontière où l’une des limites n’existe pas.
Exemple 7: Déterminer les limites à droite ou à gauche d’une fonction
Déterminez et , pour
Réponse
On remarque les exposants + et - sous la limite, qui indiquent qu’il s’agit de limites à droite ou à gauche. La limite avec le signe - en exposant est la limite à gauche et l’autre est la limite à droite.
Commençons par la limite à gauche . On rappelle que la limite à gauche d’une fonction en est la valeur vers laquelle tend quand tend vers du côté gauche (), mais pas nécessairement en . Dans cet exemple, le point limite est en , on suppose donc que pour la limite à gauche. Cela correspond au premier morceau de la fonction. Comme pour tout vérifiant cette condition, on peut écrire
Il s’agit de la limite à gauche d’une fonction polynôme. On rappelle que l’on peut calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction polynôme par substitution directe. Cela donne
D’où
On considère ensuite la limite à droite , qui suppose que tend vers du côté droit, c’est-à-dire . Puisqu’il s’agit du second morceau de la fonction, pour tout vérifiant cette condition. Cela signifie que
On remarque que le dénominateur est égal à zéro au point limite . Si est supérieur à 9, alors , ce qui signifie que . Quand tend vers du côté droit, le dénominateur devient de plus en plus petit tout en restant positif et le numérateur reste égal à 1. Par exemple, si , la valeur de la fonction est
On peut remplir un tableau de valeurs pour mieux observer ce comportement quand tend vers du côté droit.
| 1 | 10 | 100 | 1 000 |
On voit que la valeur de la fonction croît sans borne supérieure, ce qui signifie que la limite à droite de en est égale à plus l’infini. Comme l’infini n’est pas un nombre, on peut également dire que la limite à droite n’existe pas en . Par conséquent,
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Si les valeurs de tendent vers une valeur quand tend vers du côté négatif, c’est-à-dire pour , mais pas nécessairement en , alors on dit que la limite de quand tend vers du côté gauche est égale à et on la note On appelle cette limite, la limite à gauche de en .
- Si les valeurs de tendent vers une valeur quand tend vers du côté positif, c’est-à-dire pour , mais pas nécessairement en , alors on dit que la limite de quand tend vers du côté droit est égale à et on la note On appelle cette limite, la limite à droite de en .
- La limite de en existe si et seulement si les limites à gauche et à droite de en existent et vérifient Si la limite bilatérale existe, elle est égale aux limites à droite ou à gauche. C’est-à-dire
