Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment identifier les angles au centre, utiliser leurs mesures pour déterminer les mesures d'arcs, identifier les arcs adjacents, déterminer les longueurs d'arcs, et identifier les arcs superposables dans des cercles superposables.
Commençons par donner la définition exacte d’un arc de cercle.
Définition : Arc de cercle
Un arc de cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons.
Deux exemples d’arcs de cercles sont illustrés sur les figures suivantes.
Pour nous aider à identifier les arcs, introduisons la notion d’angle au centre.
Définition : Angle au centre
Un angle au centre dans un cercle est un angle compris entre deux rayons dont le sommet est le centre du cercle. Sur le schéma ci-dessous, est un exemple d’angle au centre.
Nous pouvons étendre cette notion et dire que l’angle au centre d’un arc est l’angle au centre interceptant l’arc.
Par exemple, les angles au centre des deux arcs ci-dessous sont illustrés sur les figures suivantes.
On peut voir que plus l’angle au centre est grand, plus l’arc est long. Il peut alors être utile d’étudier la mesure de l’angle au centre de l’arc en fonction de la longueur de l’arc. Nous introduisons donc la définition suivante.
Définition : Mesure d’un arc
La mesure d’un arc est la mesure de son angle au centre.
Par exemple, sur le schéma ci-dessous, la mesure de l’arc rouge est de .
Nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant sur ce schéma, il existe deux arcs de à : le petit en rouge et le long en vert. Pour nous aider à différencier ces deux cas, on appelle l’arc le plus long, l’arc majeur et l’arc le plus court, l’arc mineur.
Définition : Arcs majeurs et mineurs d’un cercle
Pour deux rayons, on appelle le plus long des deux arcs entre ces rayons, l’arc majeur et le plus petit des deux arcs, l’arc mineur. De manière équivalente, l’arc avec l’angle au centre le plus petit est l’arc mineur et l’arc avec l’angle au centre le plus grand est l’arc majeur.
Pour aider à différencier les arcs majeurs et mineurs, on note l’arc mineur et on note l’arc majeur en utilisant un point supplémentaire (par exemple, ).
Nous pouvons également utiliser la notation pour la mesure de l’arc mineur de à Et pour la mesure de l’arc majeur de à .
Si les deux arcs sont de même longueur, alors on les appelle arcs semi-circulaires. Ils apparaissent lorsque les rayons forment un diamètre ou lorsque leurs angles au centre sont de même mesure.
Comme la mesure de l’angle au centre d’un arc détermine son appellation, nous pouvons définir les arcs majeurs et mineurs en fonction de leur angle au centre. Si l’angle au centre est supérieur à , alors l’arc est majeur. Si l’angle au centre est inférieur à , alors l’arc est mineur. Si l’angle au centre est égal à , alors l’arc est semi-circulaire.
Dans le premier exemple, nous allons déterminer la mesure d’un arc en fonction de son angle au centre.
Exemple 1: Déterminer la mesure d’un arc en fonction de son angle au centre
Déterminez .
Réponse
On rappelle que la notation fait référence à la mesure de l’arc mineur entre et et que la mesure d’un arc est définie comme étant celle de son angle au centre. Nous colorons cet arc sur le schéma suivant.
L’angle au centre d’un arc est l’angle, au centre du cercle, compris entre les deux rayons qui interceptent cet arc. Pour l’arc mineur , la mesure de son angle au centre est de . La mesure de l’arc est définie comme étant égale à cette valeur. Par conséquent,
Avant de passer à d’autres exemples, nous devons donner une définition supplémentaire, celle des arcs adjacents.
Définition : Arcs adjacents
On dit que deux arcs sont adjacents s’ils ne partagent qu’un seul point ou s’ils ne partagent que leurs extrémités.
Dans le cercle ci-dessus, et sont adjacents car ils ne partagent qu’un seul point. De même, et sont adjacents car ils ne partagent que leurs deux extrémités.
En fait, les arcs majeur et mineur entre deux points d’un cercle sont toujours adjacents.
Comme la mesure d’un arc est égale à la mesure de son angle au centre et que des arcs adjacents ont des angles au centre adjacents, nous pouvons déterminer la mesure d’arcs adjacents en additionnant leurs mesures. Par exemple, dans le cercle ci-dessus, nous avons
Étudions un exemple dans lequel on identifie des arcs adjacents dans un cercle.
Exemple 2: Identifier des arcs adjacents dans un cercle
Dans le cercle ci-dessous, lesquels des arcs suivants sont adjacents ?
- et
- et
- et
- et
Réponse
On rappelle que deux arcs sont adjacents s’ils ne partagent qu’un seul point ou s’ils ne partagent que leurs extrémités et que la notation fait référence à l’arc mineur (ou plus petit arc) de à . Nous pouvons répondre à cette question en identifiant chaque paire d’arcs. On commence par et .
On voit que les arcs ne partagent aucun point en commun donc ils ne peuvent pas être adjacents. Nous colorons ensuite et .
On peut voir que et partagent uniquement le point , qui est une extrémité des deux arcs, donc ces arcs sont adjacents. Nous allons tout de même vérifier les deux autres réponses.
On considère maintenant et .
On peut voir que ces arcs ne partagent aucun point donc ils ne sont pas adjacents.
On termine par et .
On peut voir que chaque point de l’arc appartient aux deux arcs donc ces deux arcs partagent plus de deux points. Par conséquent, ils ne sont pas adjacents.
Les seuls arcs qui ne partagent qu’un seul point sont et , c’est-à-dire la réponse B.
Dans notre prochain exemple, nous allons déterminer la mesure d’un arc en utilisant un schéma et le ratio de deux autres mesures d’arc.
Exemple 3: Déterminer la mesure d’un arc de cercle connaissant les mesures d’autres arcs
Sachant que est un diamètre du cercle de centre et que , calculez .
Réponse
Nous souhaitons calculer la valeur de . On rappelle qu’il s’agit de la mesure de l’arc de à à , comme indiqué sur le schéma suivant.
On peut voir que cet arc est composé de deux arcs adjacents : et . On peut donc trouver la mesure de en calculant la somme des mesures de et .
Sachant que la mesure d’un arc est égale à son angle au centre, . On sait que , donc on a
On sait de plus que la somme des mesures de tous les arcs qui forment un cercle est égale à . En particulier, la somme des mesures des arcs qui constituent est égale à car est un diamètre. Cela signifie que
On sait que
Par conséquent, les quotients de chaque membre du ratio doivent être égaux :
On peut réarranger cette équation pour obtenir
On peut alors substituer l’expression de dans l’équation (1) et simplifier pour obtenir
Enfin,
Comme l’arc d’un cercle est une portion de sa circonférence, nous pouvons utiliser la circonférence du cercle pour déterminer la longueur de l’arc. Nous pouvons calculer cela en utilisant la mesure de l’arc ou, de manière équivalente, son angle au centre.
Pour voir comment déterminer la longueur d’un arc, commençons par un exemple. Nous souhaitons déterminer la longueur de l’arc mineur sur le schéma suivant.
Rappelons d’abord qu’un cercle de rayon a une circonférence de . Cela signifie que la circonférence de ce cercle est égale à .
Nous pouvons voir que cet arc représente un quart du cercle mais vérifions-le formellement. Un tour complet représente un angle de donc un angle de représente du cercle.
Par conséquent, la longueur de l’arc est égale à un quart de la circonférence :
En général, si l’angle au centre (ou la mesure de l’arc) est de , alors la longueur de l’arc est égale à . Nous pouvons l’énoncer formellement comme suit.
Définition : Longueur d’un arc
Si l’angle au centre (ou la mesure) d’un arc dans un cercle de rayon est de , alors la longueur de l’arc est
Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser la formule de la longueur d’un arc pour calculer la mesure d’un arc représentant une proportion particulière de la circonférence d’un cercle.
Exemple 4: Déterminer la mesure d’un arc représentant une portion connue de la circonférence d’un cercle
Déterminez la mesure de l’arc représentant de la circonférence d’un cercle.
Réponse
Pour répondre à cette question, nous rappelons d’abord que la longueur d’un arc de mesure dans un cercle de rayon est
Nous souhaitons que cette valeur soit égale à de la circonférence du cercle, et nous savons qu’un cercle de rayon a une circonférence de . Nous devons donc avoir
Ces deux expressions de permettent d’écrire l’égalité suivante
On peut alors déterminer la valeur de . On divise par pour obtenir
Enfin, on multiplie par et on simplifie :
Il convient de noter qu’il existe une autre méthode pour répondre à cette question. On peut remarquer que la proportion de la mesure d’un arc par rapport à est exactement la même que la proportion de la longueur de l’arc par rapport à sa circonférence. En d’autres termes,
Et on sait que donc on a que l’on peut résoudre et qui nous donne à nouveau .
Nous allons maintenant évoquer un corollaire important de la formule de la longueur d’un arc impliquant des arcs de cercle superposables.
Propriété : Arcs superposables
Comme la longueur d’un arc est déterminée par son angle au centre (ou sa mesure) et le rayon du cercle, si deux arcs de cercles de mêmes rayons ont la même longueur, alors leurs angles au centre (ainsi que leurs mesures) seront égaux. En d’autres termes, deux arcs sont superposables si et seulement si leurs angles au centre (ou leurs mesures) sont égaux.
Nous pouvons par exemple utiliser cette formule pour déterminer la longueur de l’arc sur le schéma suivant.
Le rayon de ce cercle est de 2 et l’angle au centre est de , donc on a
Cela nous indique également que tout arc de longueur dans ce cercle, ou dans tout cercle de rayon 2 unités, aura une mesure de .
Étudions maintenant un exemple illustrant comment appliquer la propriété des arcs superposables pour déterminer la longueur d’un arc de cercle.
Exemple 5: Comprendre la relation entre des arcs de même longueur
On considère un cercle de centre avec deux arcs et de même mesure. L’arc a une longueur de 5 cm. Quelle est la longueur de ?
Réponse
Nous savons que et ont la même mesure et nous pouvons rappeler que si deux arcs ont la même mesure, alors ils sont superposables. Leurs longueurs sont donc égales. Par conséquent, a une longueur de 5 cm.
Bien que cela ne soit pas nécessaire pour répondre à cette question, il peut être utile de voir pourquoi ce résultat est vrai à partir de la formule de la longueur d’un arc. On rappelle que la longueur d’un arc entre et dans un cercle de rayon est
Par conséquent, la longueur de est
Comme , on a
Cette expression est cependant celle de la longueur de , donc leurs longueurs sont égales.
Par conséquent, a une longueur de 5 cm.
Il existe une autre propriété similaire à celle de l’exemple ci-dessus : si les longueurs des cordes entre les extrémités de deux arcs dans un cercle sont égales, alors les arcs sont de même mesure. Et la réciproque est également vraie : si des arcs d’un cercle ont la même mesure, alors les cordes entre leurs extrémités respectives sont de même longueur.
Pour voir pourquoi cela est vrai, considérons le cercle suivant.
On suppose que et sont de même mesure. Donc les mesures de leurs angles au centre sont égales :
On sait aussi que , , et sont des rayons, ils ont donc la même longueur. Par conséquent, les triangles et sont superposables car ils ont un angle égal compris entre deux côtés superposables ; donc et doivent avoir la même longueur.
De même, si et sont de même longueur, alors en utilisant les rayons du cercle, les triangles et sont superposables car ils ont leurs trois côtés égaux. Leurs angles correspondants sont donc égaux. En particulier,
Comme leurs angles au centre ont des mesures égales, nous savons que les mesures (et les longueurs) des arcs sont égales.
Propriété : Cordes d’arcs superposables
Dans un même cercle ou dans des cercles superposables, si deux arcs ont la même mesure, alors les cordes entre leurs extrémités respectives sont de même longueur. La réciproque est également vraie : dans un même cercle ou dans des cercles superposables, si deux cordes entre les extrémités de deux arcs sont de même longueur, alors les deux arcs ont la même mesure. Nous pouvons le voir sur la figure suivante.
- Si , alors .
- Si , alors .
Étudions un exemple illustrant comment appliquer cette propriété.
Exemple 6: Comprendre la relation entre les arcs et les cordes
On considère le cercle de centre avec deux cordes de longueurs égales, et . Sachant que a une longueur de 5 cm, quelle est la longueur de ?
Réponse
Nous voyons que et sont les cordes entre les extrémités des arcs et comme illustré.
Nous rappelons ensuite que si les longueurs des cordes entre les extrémités de deux arcs dans un cercle sont égales, alors les arcs sont de même longueur. Par conséquent, comme et ont la même longueur, et seront également de même longueur.
Ainsi, puisque mesure 5 cm, mesure également 5 cm.
Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser un schéma et les propriétés des angles au centre pour déterminer la mesure d’un arc.
Exemple 7: Déterminer la mesure d’un arc de cercle connaissant le diamètre et les mesures de deux angles au centre exprimées sous formes algébriques
Sachant que est un diamètre du cercle de centre et que , calculez .
Réponse
Nous devons calculer , qui est la mesure de l’arc mineur de à représenté sur la figure suivante.
Nous rappelons que la mesure d’un arc est égale à la mesure de son angle au centre et nous pouvons voir sur le schéma que l’angle au centre de cet arc est de . Donc, . Par conséquent, nous devons déterminer la valeur de . Pour déterminer la valeur de , nous allons commencer par ajouter au schéma l’angle donné dans la question.
Nous notons alors que étant un diamètre du cercle, cela signifie qu’il est porté par une droite. On doit donc avoir
On peut alors déterminer
Enfin, on sait que
En substituant la valeur , nous obtenons
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Un arc de cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons.
- Un angle au centre d’un cercle est un angle compris entre deux rayons dont le sommet est au centre.
- L’angle au centre d’un arc est l’angle au centre interceptant cet arc.
- La mesure d’un arc est la mesure de son angle au centre.
- Pour deux rayons donnés, on appelle le plus long des deux arcs compris entre les rayons l’arc majeur et le plus petit des arcs l’arc mineur. De tels arcs de longueurs égales sont appelés des arcs semi-circulaires, ils se produisent lorsque les rayons forment un diamètre.
- Un arc de cercle est majeur si sa mesure (ou la mesure de son angle au centre) est supérieure à , un arc est mineur si sa mesure (ou la mesure de son angle au centre) est inférieure à et un arc est semi-circulaire si sa mesure (ou la mesure de son angle au centre) est égale à .
- On note l’arc mineur de à par et les arcs majeurs peuvent être notés en utilisant un point supplémentaire (par exemple, ).
- On utilise la notation pour la mesure de l’arc mineur de à et pour la mesure de l’arc majeur de à qui passe par .
- On dit que deux arcs sont adjacents s’ils ne partagent qu’un seul point ou s’ils ne partagent que leurs extrémités.
- Si l’angle au centre (ou la mesure) d’un arc dans un cercle de rayon est de , alors sa longueur est
- Si deux arcs d’un même cercle sont de même longueur, alors leurs angles au centre ainsi que leurs mesures sont égaux. La réciproque est également vraie : si les angles au centre (ou les mesures) de deux arcs sont égaux, alors ils sont de même longueur.
- Si deux arcs dans un même cercle ont des mesures égales, alors les cordes entre leurs extrémités respectives sont de même longueur. La réciproque est également vraie : si des cordes d’un même cercle ont la même longueur, alors les arcs entre les extrémités de ces cordes doivent être de même mesure.
