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Fiche explicative de la leçon : Coordonnées polaires d’un vecteur Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment convertir les coordonnées cartésiennes d'un vecteur en coordonnées polaires et vice-versa

Lorsque l’on se représente des vecteurs dans un plan, on pense généralement aux coordonnées cartésiennes car il s’agit du système de coordonnées le plus couramment utilisé, ce qui conduit à l’expression des coordonnées cartésiennes d’un vecteur. En particulier, les coordonnées cartésiennes d’un vecteur sont utilisées pour tout mouvement linéaire où l’axe suivant lequel le mouvement se fait est simple et ainsi, le mouvement suit une trajectoire linéaire vers un endroit particulier.

Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur définissent une position comme étant la distance linéaire depuis l’origine suivant deux directions ou plus, chacune perpendiculaires entre elles. Les vecteurs unitaires habituels dans un plan sont 𝑖=(1,0),𝑗=(0,1).

L’origine est le point d’intersection des axes, et les vecteurs du plan sont donnés comme une combinaison linéaire des vecteurs unitaires en utilisant la notation 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗=(𝑥,𝑦).

Dans le cas des coordonnées cartésiennes d’un vecteur, tout vecteur est défini par un ensemble unique de composantes correspondant à une combinaison linéaire des vecteurs unitaires 𝑥𝑖+𝑦𝑗;les composantes peuvent être positives ou négatives par rapport à l’origine.

Cependant, il existe d’autres représentations pour les vecteurs;nous allons étudier une telle représentation connue sous le nom de coordonnées polaires d’un vecteur. Les coordonnées polaires définissent un vecteur de l’espace en utilisant une combinaison d’unités radiales et angulaires;les vecteurs sont donnés par une distance en ligne droite par rapport à l’origine et par l’angle par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives.

Ces quantités sont connues sous le nom de composantes radiales et angulaires d’un vecteur, et les coordonnées polaires du vecteur, comme indiqué sur la figure ci-dessus, sont 𝑣=(𝑟,𝜃).

Les coordonnées polaires d’un vecteur sont souvent utilisées dans un mouvement non linéaire, par exemple si le mouvement décrit une trajectoire circulaire. Ainsi, les coordonnées polaires sont utiles pour calculer les équations du mouvement de nombreux systèmes mécaniques. Elles ont également d’autres applications réelles telles que dans les radars utilisant un indicateur de position plane, pour décrire les caractéristiques d’un microphone, guider des robots industriels dans diverses applications de production, et les domaines gravitationnels, pour n’en citer que quelques-unes.

Pour les coordonnées polaires d’un vecteur 𝑣, on définit un vecteur par sa longueur ou sa distance linéaire à partir de l’origine, notée 𝑟, et son angle par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, noté 𝜃. En d’autres termes, la composante radiale 𝑟 est définie comme la norme du vecteur, 𝑟𝑣.

Puisqu’on peut former un triangle rectangle en prenant 𝑟 comme hypoténuse, on exprime les côtés du triangle en fonction de sin𝜃 et cos𝜃.

Cela nous permet d’exprimer les coordonnées cartésiennes d’un vecteur 𝑣 en fonction de ses coordonnées polaires.

Définition : Passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes d’un vecteur

On peut passer des coordonnées polaires (𝑟,𝜃) d’un vecteur à ses coordonnées cartésiennes 𝑥𝑖+𝑦𝑗 à l’aide d’un changement de variable 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

Ainsi, si on nous donne les coordonnées polaires d’un vecteur, la norme ou la longueur 𝑟 et l’angle 𝜃, on peut déterminer les coordonnées cartésiennes 𝑥 et 𝑦 à partir de ces équations.

Par exemple, passons des coordonnées polaires, en degrés, aux coordonnées cartésiennes en utilisant la norme d’un vecteur et un angle aigu représentés géométriquement.

Exemple 1: Représentation géométrique de vecteurs

Soit le vecteur 𝑣 de norme 3 et d’angle 45 mesuré dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives. En utilisant les formules de trigonométrie, calculez les composantes 𝑥 et 𝑦 du vecteur et ainsi, écrivez 𝑣 sous la forme (𝑥,𝑦). Arrondissez la réponse au centième près.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver les coordonnées cartésiennes d’un vecteur en utilisant une représentation graphique et une longueur donnée du vecteur.

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par sa longueur ou sa distance linéaire à partir de l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃.

La composante radiale est égale à la longueur ou à la norme du vecteur 𝑣, 𝑟=𝑣, et est donné par 𝑟=3, et d’après l’énoncé le vecteur forme un angle de 45 au-dessus de l’axe des abscisses 𝑥 positives.

En substituant les composantes radiale et angulaire d’un vecteur 𝐴, 𝑟=3 et 𝜃=45, on obtient les coordonnées cartésiennes 𝑥=345=3×12=2,121320343cos et 𝑦=345=3×12=2,121320343.sin

Par conséquent, au centième près, on a 𝑣=(2,12,2,12).

Maintenant, considérons un autre exemple où l’on passe des coordonnées polaires, exprimées en degrés, d’un vecteur, aux coordonnées cartésiennes en utilisant une représentation graphique du vecteur.

Exemple 2: Passer des coordonnées polaires d’un vecteur à ses coordonnées cartésiennes à l’aide d’une représentation graphique du vecteur

Si 𝐴=6cm, alors 𝐴=.

  1. 6;63
  2. 3,3
  3. 33,3
  4. 3;33

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver les coordonnées cartésiennes d’un vecteur en utilisant une représentation graphique et une longueur donnée du vecteur.

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par sa distance à partir de l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃.

Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur 𝑣=(𝑥,𝑦) peuvent être exprimées en fonction des coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) par 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

La composante radiale est égale à la longueur ou à la norme du vecteur 𝑣:𝑟=𝑣.

En substituant les composantes radiale et angulaire d’un vecteur 𝐴, 𝑟=6cm et 𝜃=60, on obtient les coordonnées cartésiennes 𝑥=660=6×12=3cos et 𝑦=660=6×32=33.sin

Par conséquent, on a 𝐴=3,33.

C’est l’option D.

Maintenant, passons des coordonnées polaires d’un vecteur, en degrés, aux coordonnées cartésiennes afin de résoudre un problème particulier impliquant une force.

Exemple 3: Passer des coordonnées polaires d’un vecteur à ses coordonnées cartésiennes dans un problème particulier

Si la force 𝐹=6newtons agit dans une direction à 60 Est du Nord, alors 𝐹=.

  1. 33𝑖3𝑗
  2. 33𝑖+3𝑗
  3. 3𝑖33𝑗
  4. 3𝑖+33𝑗

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver les coordonnées cartésiennes d’un vecteur force à partir d’un problème posé en langage courant.

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par la distance par rapport à l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃.

Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur, écrites en fonction des vecteurs de base par 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗, peuvent être exprimées en fonction des coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) par 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

La composante radiale est équivalente à la longueur ou à la norme du vecteur 𝑣:𝑟=𝑣.

Puisque 𝐹=6 agit à 60 à l’Est du Nord, la composante radiale des coordonnées polaires est 𝑟=|𝐹|=6 et la composante angulaire, l’angle dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, est 𝜃=9060=30.

Cela vient du fait que l’angle donné est 60 à l’Est du Nord;or, les angles sont généralement mesurés depuis l’Est vers le Nord, dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, comme le montre la figure ci-dessus.

En substituant les composantes radiale et angulaire d’un vecteur 𝐹, 𝑟=6 et 𝜃=30, on obtient les coordonnées cartésiennes 𝑥=630=6×32=33cos et 𝑦=630=6×12=3.sin

Par conséquent, on a 𝐹=33𝑖+3𝑗.

C’est l’option B.

Un angle dans le sens antihoraire est mesuré positivement, tandis qu’un angle dans le sens horaire est mesuré négativement. Dans les exemples et les figures précédents, les composantes angulaires étaient aiguës, car les vecteurs de ces exemples étaient dans le premier quadrant. Si un vecteur se situe dans un autre quadrant, comme dans la figure ci-dessous, son angle n’est pas aigu.

En fait, bien que nous ayons écrit les équations à l’aide des coordonnées cartésiennes 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃,cossin pour des angles aigus 0𝜃<𝜋2, celles-ci restent vraies quelque soit la mesure de l’angle 𝜃.

Considérons un exemple où l’on passe des coordonnées polaires d’un vecteur qui se trouve dans le deuxième quadrant et donc avec un angle non aigu, mesuré en radians, à ses coordonnées cartésiennes, afin de déterminer la différence de deux vecteurs.

Exemple 4: Résoudre un problème faisant intervenir les coordonnées cartésiennes et polaires de vecteurs

Si 𝐴=(8,𝜋) et 𝐵=4𝑖+5𝑗, alors 𝐴𝐵=.

  1. (4;5)
  2. (4;5)
  3. (4;5)
  4. (4;5)

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver les coordonnées cartésiennes du vecteur 𝐴𝐵, 𝐴 est donné par ses coordonnées polaires et 𝐵 est donné par ses coordonnées cartésiennes. On commence par représenter graphiquement les vecteurs 𝐴 et 𝐵,

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par sa distance à partir de l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃.

Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur, écrites en fonction des vecteurs de base par 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗, peuvent être exprimées en fonction des coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) par 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

En substituant les composantes radiale et angulaire d’un vecteur 𝐴, 𝑟=8 et 𝜃=𝜋, on obtient les coordonnées cartésiennes 𝑥=8(𝜋)=8×1=8cos et 𝑦=8(𝜋)=8×0=0.sin

Ainsi, 𝐴 s’écrit en coordonnées cartésiennes, 𝐴=8𝑖+0𝑗=8𝑖.

Maintenant, on peut déterminer 𝐴𝐵:𝐴𝐵=𝐵𝐴=4𝑖+5𝑗8𝑖=4𝑖+5𝑗.

Par conséquent, on a 𝐴𝐵=(4,5).

C’est l’option A.

Dans l’exemple suivant, déterminons les coordonnées cartésiennes d’un vecteur dans le quatrième quadrant, 3𝜋2<𝜃<2𝜋, à partir de ses coordonnées polaires en radians.

Exemple 5: Passer des coordonnées polaires d’un vecteur à ses coordonnées cartésiennes

Si 𝐴=7,5𝜋3, alors le vecteur 𝐴, en fonction des vecteurs unitaires de base, s’écrit .

  1. 72𝑖+732𝑗
  2. 72𝑖732𝑗
  3. 732𝑖+72𝑗
  4. 732𝑖+72𝑗

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer les coordonnées cartésiennes d’un vecteur à partir de ses coordonnées polaires 7,5𝜋3.

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par la distance par rapport à l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃.

Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur, écrites en fonction des vecteurs de base par 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗, peuvent être exprimées en fonction des coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) par 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

On sait que la distance par rapport à l’origine est 7, et que l’angle de base du vecteur est 5𝜋3. Comme cet angle est compris entre 3𝜋2 et 2𝜋, on sait que le vecteur est situé dans le quatrième quadrant, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

En substituant les composantes radiale et angulaire d’un vecteur 𝐴, 𝑟=7 et 𝜃=5𝜋3, on obtient les coordonnées cartésiennes 𝑥=75𝜋3=7×12=72cos et 𝑦=75𝜋3=7×32=732.sin

On note que 𝑥>0 et 𝑦<0, ce qui indique que ce vecteur se situe dans le quatrième quadrant, comme prévu.

Ainsi, le vecteur 𝐴 s’écrit à l’aide de vecteurs unitaires 72𝑖732𝑗.

C’est l’option B.

Jusqu’à présent, nous avons vu des exemples sur la façon de passer des coordonnées polaires d’un vecteur à ses coordonnées cartésiennes en utilisant les formules de trigonométrie. Mais que se passe-t-il si l’on souhaite faire l’inverse, c’est-à-dire passer des coordonnées cartésiennes d’un vecteur à ses coordonnées polaires?

Commençons par rappeler les équations exprimant les coordonnées cartésiennes 𝑥 et 𝑦, en fonction des coordonnées polaires, 𝑟 et 𝜃:𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

En utilisant celles-ci, on souhaite écrire les coordonnées polaires en fonction de 𝑥 et 𝑦, quel que soit le quadrant dans lequel se situe le vecteur.

Si on prend le carré de chacun d’entre eux et qu’on les additionne, en utilisant le théorème de Pythagore, on peut éliminer 𝜃 et montrer qu’ils satisfont la relation 𝑥+𝑦=𝑟𝜃+𝑟𝜃=𝑟𝜃+𝜃=𝑟.cossincossin

De manière équivalente, d’après le théorème de Pythagore, la longueur ou la norme d’un vecteur en coordonnées cartésiennes 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗, que l’on note 𝑟, est donnée par 𝑟=𝑣=𝑥+𝑦.

En utilisant cela, on peut résoudre un problème où l’on additionne les longueurs de trois vecteurs.

Exemple 6: Résoudre un problème faisant intervenir les coordonnées cartésiennes et polaires de vecteurs

Si 𝐴=3𝑖+4𝑗, 𝐵=4𝑗 et 𝐶=6,𝜋10, alors 𝐴+𝐵+𝐶=.

  1. 6
  2. 11
  3. 10
  4. 15

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer la somme des longueurs de trois vecteurs, où 𝐴 et 𝐵 sont donnés en coordonnées cartésiennes et 𝐶 en coordonnées polaires. Commençons par représenter graphiquement les trois vecteurs donnés.

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par la distance par rapport à l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃.

La norme d’un vecteur 𝑣 en coordonnées cartésiennes en fonction des vecteurs de base 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗 est donnée par 𝑣=𝑥+𝑦.

Par conséquent, pour les vecteurs 𝐴 et 𝐵 donnés, on a 𝐴=3+4=5 et 𝐵=0+4=4.

On peut aussi lire la longueur du vecteur 𝐵 sur le graphique.

Le vecteur 𝐶 est exprimé en coordonnées polaires (𝑟,𝜃), 𝑟 est la composante radiale correspondant à la longueur ou norme du vecteur 𝐶, et 𝜃 est la composante angulaire. La norme du vecteur est donc 𝐶=6.

Par conséquent, on a 𝐴+𝐵+𝐶=5+4+6=15.

C’est l’option D.

Par ailleurs, lorsque l’on divise l’équation d’inconnue 𝑦 par l’équation d’inconnue 𝑥, on peut simplifier par 𝑟 pour obtenir 𝑦𝑥=𝑟𝜃𝑟𝜃=𝜃𝜃=𝜃.sincossincostan

Notons que cela n’est valable que pour 𝑥0. Il y a un cas particulier lorsque 𝑥=0,𝑦=𝑎 ou (0;𝑎) en coordonnées cartésiennes. Dans ce cas, on a 𝑟𝜃=0,cos ce qui conduit à 𝜃=𝜋2, 𝜃=𝜋2, ou 𝑟=0. On peut ignorer le cas 𝑟=0 car cela implique 𝑦=0, ce qui correspond au vecteur nul qui, en coordonnées polaires, est noté (0,𝜃), pour tout angle 𝜃.

Ainsi, 𝜃=𝜋2 ou 𝜃=𝜋2, correspond à l’axe 𝑦 des ordonnées. Ces angles correspondent à un vecteur sur l’axe des ordonnées 𝑦, donc la norme du vecteur est égale à la valeur absolue de l’ordonnée 𝑦, 𝑟=|𝑎|. Une représentation en coordonnées polaires de ce vecteur est |𝑎|,𝜋2, pour 𝑎>0, et |𝑎|,𝜋2, pour 𝑎<0.

Donc, si 𝑥0, on a l’équation suivante pour déterminer l’angle 𝜃:tan𝜃=𝑦𝑥.

L’ensemble image par la fonction tangente inverse est 𝜋2;𝜋2 lorsque le domaine de définition de la fonction tangente est restreint à ce même intervalle, connu sous le nom de branche principale. Cela permet de garantir que la fonction tangente est bijective, de sorte que la fonction tangente inverse prenne une valeur unique, appelée valeur principale.

Ainsi, tant que 𝜃𝜋2;𝜋2, on peut prendre la tangente inverse des deux membres de l’équation pour obtenir 𝜃=𝑦𝑥.tan

Les coordonnées angulaires 𝜃𝜋2;𝜋2 correspondent aux premier et quatrième quadrants, c’est-à-dire les quadrants où 𝑥>0.

Dans l’exemple suivant, passons des coordonnées cartésiennes d’un vecteur à ses coordonnées polaires, en radians.

Exemple 7: Passer des coordonnées cartésiennes d’un vecteur à ses coordonnées polaires

Si 𝑃𝑀=5;53, alors les coordonnées polaires du vecteur 𝑃𝑀 sont .

  1. 10,𝜋6
  2. 10,𝜋2
  3. (10,𝜋)
  4. 10,𝜋3

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer les coordonnées polaires (𝑟,𝜃) en radians du vecteur exprimé à l’aide de ses coordonnées cartésiennes 𝑃𝑀=5;53. Commençons par représenter graphiquement ce vecteur sur le repère cartésien.

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par sa distance à partir de l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃. On convient que la mesure de l’angle 𝜃 est positive dans le sens antihoraire.

Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur, écrites en fonction des vecteurs de base par 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗, peuvent être exprimées en fonction des coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) par 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

Maintenant, déterminons les coordonnées polaires du vecteur 𝑃𝑀 en utilisant directement la représentation graphique avec la définition. La coordonnée radiale est la distance du vecteur à partir de l’origine 𝑃𝑀, que l’on peut trouver à l’aide du théorème de Pythagore, comme le montre la figure. Déterminons d’abord la longueur de l’hypoténuse de ce triangle, 𝑟=5+53=100=10.

Puisque le vecteur 𝑃𝑀 est situé dans le premier quadrant, la composante angulaire 𝜃 des coordonnées polaires est l’angle antihoraire de mesure positive par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, et on peut former un triangle rectangle avec un angle 𝜃, de côtés de longueurs 5 et 53, comme indiqués sur la figure. Puisque 𝜃 est un angle aigu, en utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle, on peut écrire ceci en fonction de la tangente inverse comme 𝜃=535=3=𝜋3.tantan

On peut aussi arriver à cette réponse en passant des coordonnées cartésiennes d’un vecteur 𝑣=(𝑥,𝑦) situé dans le premier quadrant à ses coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) en utilisant 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥.tan

Cela donne les mêmes composantes radiales et angulaires en coordonnées polaires lorsque l’on substitute par 𝑥=5 et 𝑦=53.

Par conséquent, les coordonnées polaires du vecteur 𝑃𝑀 sont 10,𝜋3.

C’est l’option D.

Maintenant, considérons un exemple où l’on identifie la représentation graphique polaire d’un vecteur donné.

Exemple 8: Identifier la représentation graphique polaire d’un vecteur

Lequel des choix suivants est la représentation graphique de 𝐴=23,2?

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer la représentation graphique, polaire, en degrés, d’un vecteur particulier dont on connait les coordonnées cartésiennes, 𝐴=23,2.

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par sa distance à partir de l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃. On convient que la mesure de l’angle 𝜃 est positive dans le sens antihoraire. On limite aussi les angles à 0𝜃<2𝜋 afin de les écrire sous une forme usuelle.

Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur 𝑣=(𝑥,𝑦) peuvent être exprimées en fonction des coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) par 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

Étant donné que le vecteur appartient au premier quadrant, on peut déterminer les coordonnées polaires en utilisant 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥.tan

Pour le vecteur donné 𝐴, on peut déterminer la composante radiale par 𝑟=23+2=12+4=16=4 et la composante angulaire par 𝜃=223=13=30.tantan

Ainsi, la représentation graphique est celle où le segment a une longueur de 4 et est incliné de 30 dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives.

C’est l’option B.

Dans l’exemple précédent, on est passé des coordonnées cartésiennes d’un vecteur dans le premier quadrant à ses coordonnées polaires. Comme on le voit dans cet exemple, on peut calculer la coordonnée angulaire d’un vecteur en utilisant 𝜃=𝑦𝑥tan dans les premier et quatrième quadrants. Cependant, ce n’est plus le cas si le vecteur appartient au deuxième ou troisième quadrant. Pour les deuxième et troisième quadrants, une valeur de 𝜋, en radians, ou 180, en degrés, doit être ajoutée à l’angle 𝜃 pour ajuster la coordonnée angulaire afin que le vecteur soit situé dans le bon quadrant. Cela n’affecte pas la fonction tangente elle-même, car on a l’identité tantan𝜃=(𝜃+180), ou plus généralement tantan𝜃=(𝜃+180𝑘),𝑘.

Pour voir cela, considérons un vecteur en coordonnées cartésiennes qui se situe dans le deuxième quadrant, (𝑥,𝑦)=(𝑎,𝑏) avec 𝑎>0 et 𝑏>0.

La composante angulaire 𝜃 pour ce vecteur en coordonnées polaires est l’angle antihoraire positif par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, et l’angle 𝛼 est mesuré par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 négatives, comme le montre la figure. On peut former un triangle rectangle avec un angle 𝛼 et des côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏. Puisque 𝛼 est un angle aigu, on peut l’exprimer en fonction des côtés, en utilisant la tangente inverse, soit 𝛼=𝑏𝑎.tan

On a aussi 𝛼+𝜃=180. En substituant l’angle 𝛼, on peut réarranger cela pour trouver 𝜃=𝛼+180=𝑏𝑎+180=𝑏𝑎+180,tantan où pour la dernière égalité, on a utilisé le fait que la fonction tangente, et donc la fonction tangente inverse, est une fonction impaire.

Puisque qu’on a (𝑥,𝑦)=(𝑎,𝑏), cela équivaut à 𝜃=𝑦𝑥+180.tan

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la coordonnée angulaire, en degrés, d’un vecteur particulier qui se situe dans le deuxième quadrant.

Exemple 9: Déterminer l’angle d’un vecteur donné

Considérons le vecteur (2;3). Déterminez la direction du vecteur en donnant la solution sous la forme d’un angle au degré près mesuré dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer la direction, en degrés, d’un vecteur particulier donné en coordonnées cartésiennes (2;3). On souhaite trouver l’angle mesuré dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives. Commençons par représenter graphiquement ce vecteur sur le plan.

Puisque le vecteur (2;3) est situé dans le deuxième quadrant, la direction du vecteur est l’angle 𝜃 mesuré dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives. On considère l’angle 𝛼, qui est mesuré dans la même direction que 𝜃, comme indiqué sur la figure. On peut former un triangle rectangle avec un angle 𝛼 et des côtés de longueurs 2 et 3. Puisque 𝛼 est un angle aigu, on peut utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle pour écrire les côtés en fonction de la tangente inverse 𝛼=32.tan

Étant donné que la somme des mesures des angles sur une droite vaut 180, on a aussi 𝛼+𝜃=180. En substituant l’angle 𝛼, on peut réarranger cela pour trouver 𝜃=𝛼+180=32+180=56,3099324+180=123,6900675.tan

On peut aussi arriver à cette réponse en utilisant le fait qu’un vecteur en coordonnées cartésiennes, (𝑥,𝑦), situé dans le deuxième quadrant, a un angle 𝜃=𝑦𝑥+𝜋,tan𝜃 est mesuré dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives. Cela donne le même angle après avoir remplacé 𝑥=2 et 𝑦=3. Cet angle correspond à la composante angulaire en coordonnées polaires de (2;3).

Par conséquent, au degré près, la direction du vecteur mesurée dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives vaut 124.

Pour le troisième quadrant, on peut montrer de la même manière qu’il faut également ajouter 180 à tan𝑦𝑥 pour obtenir la coordonnée angulaire 𝜃 dans le bon quadran.

Les coordonnées polaires d’un vecteur, à moins qu’on se limite à un intervalle particulier, ne sont pas uniques, et ainsi il y a plusieurs façons de représenter le même vecteur. À titre d’exemple, déterminons les coordonnées polaires du vecteur 𝑖+𝑗 en coordonnées cartésiennes.

La composante radiale 𝑟 est la distance à partir de l’origine, que l’on peut déterminer en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle de côtés de longueur 1 et d’angle 𝜃. En particulier, 𝑟=1+1=2.

Il y a plusieurs façons d’exprimer la composante angulaire 𝜃. La première consiste à donner l’angle de mesure positive pris dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, qui, à partir du triangle rectangle, nous donne la tangente en fonction du rapport des côtés opposé et adjacent:tan𝜃=11=1.

Étant donné que le vecteur appartient au premier quadrant, et que 𝜃 est un angle aigu sur la figure, on peut trouver l’angle directement à partir de la tangente inverse, 𝜃=(1)=45.tan

Ainsi, une représentation en coordonnées polaires du vecteur 𝑖+𝑗 est 2,45.

Une autre représentation en coordonnées polaires peut être trouvée à l’aide de l’angle de mesure négative dans le sens horaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, ce qui donne la représentation en coordonnées polaires équivalente 2,45360=2,315. En fait, si l’on fait un tour complet à partir de ce vecteur, dans le sens horaire ou dans le sens antihoraire, on revient au même vecteur. Ainsi, une autre représentation est 2,45+360=2,405.

Cela montre une différence clé entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes;les coordonnées polaires admettent un nombre infini de représentations pour décrire un vecteur donné. En effet, on peut ajouter n’importe quel produit multiple d’un entier et d’une revolution complète ( 360 ou 2𝜋) à la coordonnée angulaire 𝜃 et retomber sur le même point en coordonnées polaires. Cela est dû au fait que les fonctions trigonométriques, qui sont utilisées pour définir les coordonnées polaires, sont elles-mêmes périodiques.

Cette condition d’équivalence peut être résumée comme suit.

Définition : Condition de périodicité pour les coordonnées polaires

Si (𝑟,𝜃) sont les coordonnées polaires d’un vecteur, alors on peut utiliser les représentations équivalentes suivantes (𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+2𝜋𝑛)(),=(𝑟,𝜃+360𝑛)(),radiansdegrés pour tout 𝑛.

Ainsi, afin d’exprimer les coordonnées polaires de manière usuelle avec 0𝜃<2𝜋 en radians ou 0𝜃<360 en degrés, il peut être nécessaire d’ajuster la valeur de la coordonnée angulaire 𝜃. En particulier, pour le quatrième quadrant, il peut être nécessaire d’ajouter une révolution complète ( 2𝜋 ou 360) pour obtenir l’angle équivalent dans l’intervalle standard, car la tangente inverse donne un angle de mesure négative dans le sens horaire plutôt que dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives.

La convention que l’on utilise consiste à prendre l’angle de mesure positive dans le sens antihoraire et l’angle de mesure négative dans le sens horaire. L’angle est mesuré dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives.

Nous pouvons résumer ce que nous avons vu jusqu’à présent dans une définition, qui peut être utilisée pour passer des coordonnées cartésiennes d’un vecteur à ses coordonnées polaires et inversement.

Définition : Passer des coordonnées cartésiennes d’un vecteur à ses coordonnées polaires

Une représentation en coordonnées polaires d’un vecteur 𝑣=(𝑟,𝜃) avec 𝑟0 peut être exprimée en coordonnées cartésiennes 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗 par 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥𝑥>0,𝑦>0;𝑦𝑥+(3602𝜋)𝑥>0,𝑦<0;𝑦𝑥+(180𝜋)𝑥<0;90𝜋2𝑥=0,𝑦>0;2703𝜋2𝑥=0,𝑦<0;tanpourtanoupourtanoupouroupouroupour pour 0𝜃<2𝜋 en radians ou 0𝜃<360 en degrés.

On peut résumé efficacement ces résultats sur la figure suivante.

À titre d’exemple, considérons les vecteurs 𝑣=(4;3),𝑣=(4;3),𝑣=(4;3), et 𝑣=(4;3) en coordonnées cartésiennes, où chaque vecteur est situé dans un quadrant différent, comme indiqué sur le graphique. On souhaite déterminer les coordonnées polaires de ces vecteurs de manière usuelle, au centième près et en degrés avec 0𝜃<360.

La composante radiale 𝑟 pour ces vecteurs en coordonnées polaires est la même puisque 𝑟=4+3=(4)+3=(4)+(3)=4+(3)=5.

La différence réside dans la composante angulaire 𝜃, car elle détermine la direction et, par conséquent, le quadrant dans lequel se trouve le vecteur en coordonnées polaires.

Le vecteur 𝑣=4𝑖+3𝑗 est dans le premier quadrant, et on peut déterminer la composante angulaire à partir de la formule générale par 𝜃=34=34=36,86989765.tantan

Comme prévu, cet angle est aigu, car 0𝜃<90, ce qui indique que le vecteur est dans le premier quadrant.

Le vecteur 𝑣=4𝑖+3𝑗 est dans le deuxième quadrant et la composante angulaire est 𝜃=34+180=34+180=36,86989765+180=143,1301024.tantan

Comme prévu, on a 90<𝜃<180, ce qui indique que le vecteur est dans le deuxième quadrant.

Le vecteur 𝑣=4𝑖3𝑗 est dans le troisième quadrant et la composante angulaire est 𝜃=34+180=34+180=36,86989765+180=216,8698976.tantan

Comme prévu, on a 180<𝜃<270, ce qui indique que le vecteur est dans le troisième quadrant.

Enfin, le vecteur 𝑣=4𝑖3𝑗 est dans le quatrième quadrant et la composante angulaire est 𝜃=34+360=34+360=36,86989765+360=323,1301024.tantan

Comme prévu, on a 270<𝜃<360, ce qui indique que le vecteur est dans le quatrième quadrant.

Ainsi, une représentation en coordonnées polaires des vecteurs, au centième près, est donnée par 𝑣=(5,36,87),𝑣=(5,143,13),𝑣=(5,216,87),𝑣=(5,323,13).

Enfin, considérons un exemple où nous passons des coordonnées cartésiennes d’un vecteur dans le troisième quadrant à ses coordonnées polaires, en radians.

Exemple 10: Passer des coordonnées cartésiennes d’un vecteur à ses coordonnées polaires

Si 𝐴=𝑖𝑗, alors les coordonnées polaires de 𝐴 sont .

  1. 2,5𝜋4
  2. 2,𝜋4
  3. 2,7𝜋4
  4. 2,3𝜋4

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer les coordonnées polaires (𝑟,𝜃), en radians, pour un vecteur particulier en coordonnées cartésiennes 𝐴=𝑖𝑗.

On rappelle que les coordonnées polaires d’un vecteur sont données par la distance par rapport à l’origine, notée 𝑟, et la direction angulaire par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives, notée 𝜃. On utilise la convention où la mesure de l’angle 𝜃 est positive dans le sens antihoraire. On limite aussi les angles à 0𝜃<2𝜋 afin de les écrire sous une forme usuelle.

Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur, écrites en fonction des vecteurs de base comme 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗, peuvent être exprimées en fonction des coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) comme 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

Maintenant, déterminons les coordonnées polaires du vecteur 𝐴=𝑖𝑗 en utilisant la représentation graphique directement avec la définition. La composante radiale est par la distance du vecteur 𝐴 à partir de l’origine et on peut la trouver en appliquant le théorème de Pythagore, comme le montre la figure ci-dessous.

On peut trouver l’hypoténuse de ce triangle à partir de 𝑟=1+1=2.

Puisque le vecteur 𝐴 est situé dans le troisième quadrant, la composante angulaire 𝜃 pour les coordonnées polaires est l’angle antihoraire de mesure positive pris par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 positives et l’angle 𝛼 est mesurée par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 négatives. On peut former un triangle rectangle avec un angle 𝛼 et des côtés de longueurs 2 et 5, comme indiqué sur la figure ci-dessus. Puisque 𝛼 est un angle aigu, on peut écrire ceci en fonction des côtés, en utilisant la tangente inverse, soit 𝛼=11.tan

On a aussi 𝜃=𝛼+𝜋. En substituant l’angle 𝛼, on peut réarranger cela pour trouver 𝜃=𝛼+𝜋=11+𝜋=𝜋4+𝜋=5𝜋4.tan

On peut aussi arriver à cette réponse en utilisant le fait qu’on peut passer des coordonnées cartésiennes d’un vecteur 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗 situé dans le troisième quadrant à ses coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) en utilisant 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥+𝜋.tan

Cela donne les mêmes composantes radiales et angulaires en coordonnées polaires après substitution de 𝑥=1 et 𝑦=1.

Par conséquent, les coordonnées polaires de 𝐴 sont 2,5𝜋4.

C’est l’option A.

Points clés

  • Une représentation en coordonnées polaires d’un vecteur est notée (𝑟,𝜃), 𝑟 représente sa distance à partir de l’origine et 𝜃 représente l’angle mesuré par rapport à l’axe des abscisses 𝑥.
  • Les coordonnées cartésiennes d’un vecteur 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗 peuvent être obtenues à partir des coordonnées polaires 𝑣=(𝑟,𝜃) en utilisant le changement de variable 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin Les coordonnées polaires d’un vecteur 𝑣=(𝑟,𝜃) ne sont pas uniques;en effet, il y a plusieurs façons équivalentes de représenter le même vecteur, car les fonctions trigonométriques utilisées pour définir les coordonnées polaires sont périodiques.
  • La convention que l’on utilise donne une mesure positive de l’angle dans le sens antihoraire et une mesure négative de l’angle dans le sens horaire et on utilise la forme usuelle avec 0𝜃<2𝜋 en radians ou 0𝜃<360 en degrés.
  • On peut trouver une représentation équivalente en coordonnées polaires d’un vecteur en ajoutant ou en soustrayant tout produit multiple d’un entier et d’une révolution complète ( 360 ou 2𝜋):(𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+2𝜋𝑛).
  • Les coordonnées polaires d’un vecteur 𝑣=(𝑟,𝜃) peuvent être exprimées en fonction des coordonnées cartésiennes 𝑣=𝑥𝑖+𝑦𝑗 par 𝑟=𝑥+𝑦, et la valeur de 𝜃 dépend du quadrant dans lequel se trouve le vecteur 𝑣, pour 0𝜃<2𝜋 en radians ou 0𝜃<360 en degrés.

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