Fiche explicative de la leçon : Conversion d'équations logarithmiques et exponentielles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment convertir une équation exponentielle en équation logarithmique et vice-versa.

La raison en est mathématique, mais elle a aussi des applications de la vie courante telles que la mesure du son, où l’échelle des décibels est utilisée pour comparer les signaux en acoustique et en électronique, pour la mesure de l’intensité des séismes en utilisant l’échelle de Richter ou celle de la luminosité des étoiles, pour ne citer que quelques exemples.

Ces conversions nous donnent des formes équivalentes qui nous permettent également de résoudre des équations exponentielles ou logarithmiques dans lesquelles l’inconnue est un exposant ou un logarithme. Par exemple, supposons que nous voulons déterminer la valeur de 𝑥 pour l’équation 10=600.

Alors, comment pouvons-nous trouver la valeur de 𝑥? Une méthode serait de procéder par essai-erreur, mais comme 600 n’est pas une puissance de 10, cela implique que la solution ne peut pas être un nombre entier. Nous savons que 10=100 et 10=1000, et puisque 𝑦=10 est une fonction croissante, notre inconnue 𝑥 doit avoir une valeur comprise entre 2 et 3. On peut aussi représenter graphiquement les fonctions 𝑦=10 et 𝑦=600 et voir où les courbes se coupent; cela nous donnera une idée de la valeur de 𝑥.

Un meilleur moyen pour obtenir une solution plus exacte serait de transformer cette équation exponentielle en forme logarithmique afin d’isoler 𝑥. Ce faisant, nous pouvons écrire directement 𝑥=600=2,778(4).logchiressignicatifs

Nous calculons cette valeur à partir de la formulation générale de la fonction 𝑦=10 pour 2<𝑥<3.

Rappelons-nous maintenant comment exprimer toutes fonction exponentielle sous forme logarithmique et inversement.

Définition : Relation entre les formes logarithmiques et exponentielles

Pour 𝑥>0 et une base 𝑎>0, 𝑎1, la forme exponentielle 𝑦=𝑎 est équivalent à la forme logarithmique 𝑥=𝑦log, ce qui nous permet de passer d’une forme à l’autre une fois que l’on identifie 𝑎, 𝑥 et 𝑦.

Une fonction exponentielle 𝑦=𝑎 dont l’ensemble de définition est ],+[ et l’ensemble image est ]0,+[ est la réciproque de la fonction logarithmique 𝑦=𝑥log. Ainsi, l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction logarithmique se retrouvent échangés avec la fonction exponentielle, donnée par ]0,+[ et ],+[ respectivement.

Supposons que nous voulons écrire 5=25 sous forme logarithmique. La première étape consisterait à le comparer avec 𝑎=𝑦 et identifier les constantes 𝑎, 𝑥 et 𝑦 qui, dans ce cas, sont donnés par 𝑎=5, 𝑥=2 et 𝑦=25.

La forme logarithmique équivalente est donnée par log𝑦=𝑥, qui, une fois les valeurs sont remplacées, peut être écrite comme log25=2.

Par conséquent, 5=25, sous forme exponentielle, est équivalente à log25=2 sous forme logarithmique.

Examinons maintenant plusieurs exemples pour mieux comprendre la relation entre ces deux formes. Tout d’abord, regardons un exemple simple sur une base 𝑎=10 en utilisant une expression exacte.

Exemple 1: Mettre une équation de forme exponentielle sous forme logarithmique

Exprimez 10=1000 sous sa forme logarithmique équivalente.

Réponse

Dans cet exemple, nous utiliserons l’équivalence entre les formes exponentielle et logarithmique pour transformer une forme exponentielle sous forme logarithmique en identifiant les variables qui apparaissent dans la forme générale.

On rappelle que la forme exponentielle 𝑎=𝑦 est équivalent à la forme logarithmique log𝑦=𝑥.

En comparant 10=1000 avec la forme exponentielle, nous pouvons identifier 𝑎, 𝑦 et 𝑥 tels que 𝑎=10, 𝑦=1000 et 𝑥=3. En l’utilisant la forme logarithmique, nous obtenons la forme équivalente loglog1000=1000=3; où l’on omet la base pour log, puisque c’est une convention lorsque la base, 𝑎, est égal à 10. C’est ce qu’on appelle le logarithme décimal.

Considérons maintenant un exemple où nous devons résoudre une équation pour trouver une valeur inconnue, 𝑥, en utilisant cette méthode.

Exemple 2: Réécrire une équation exponentielle sous forme logarithmique

Écrivez l’équation exponentielle 𝑒=5 sous forme logarithmique.

Réponse

Dans cet exemple, 𝑥 est une valeur inconnue que nous pouvons trouver en réécrivant l’expression exponentielle sous forme logarithmique, en isolant l’inconnue 𝑥 dans l’équation.

En comparant cette forme avec la fonction exponentielle 𝑎=𝑦, nous pouvons identifier 𝑎 et 𝑦 tels que 𝑎=𝑒 et 𝑦=5.

En utilisant ce résultat avec la forme logarithmique 𝑥=𝑦log, on retrouve la forme équivalente 𝑥=5=5;logln où on écrit la base de log comme ln, qui est la convention lorsque la base, 𝑎, est égal à 𝑒. C’est ce qu’on appelle le logarithme népérien ou naturel.

L’exemple suivant présente une base différente de la base 10, 𝑎=10, ou naturel, 𝑎=𝑒, une puissance négative et une fraction. Toutefois, la méthode reste exactement la même.

Exemple 3: Mettre une équation exponentielle sous forme logarithmique

Écrivez 4=116 sous sa forme logarithmique équivalente.

Réponse

Dans cet exemple, nous avons une expression exacte qui ne contient aucun inconnu à trouver.

Nous voulons transformer cette expression de la forme exponentielle à la forme logarithmique.

En comparant cette forme avec la fonction exponentielle 𝑎=𝑦, nous pouvons identifier 𝑎, 𝑦 et 𝑥 tels que 𝑎=4, 𝑦=116 et 𝑥=2. En comparant la forme exponentielle avec la forme logarithmique, nous obtenons que 4=116 est équivalent à log116=2.

Regardons maintenant un exemple où nous faisons le chemin inverse, en passant de la forme logarithmique à la forme exponentielle.

Exemple 4: Mettre une équation logarithmique sous forme exponentielle

Exprimez log1000000=6 sous sa forme exponentielle équivalente.

Réponse

Dans cet exemple, nous avons une expression logarithmique exacte que nous devons convertir en forme exponentielle.

Rappelons que la forme logarithmique, log𝑦=𝑥, est équivalent à 𝑎=𝑦. On rappelle aussi que si la base du logarithme n’est pas donnée, on peut supposer que sa base est 10.

Ici, nous savons que 𝑎=10, 𝑦=1000000 et 𝑥=6, et donc log1000000=6 est équivalente à 10=1000000.

Dans notre dernier exemple, regardons comment convertir une équation logarithmique en forme exponentielle.

Exemple 5: Réécrire une équation logarithmique sous forme exponentielle

Écrivez l’équation logarithmique 8=𝑥ln sous forme exponentielle.

Réponse

Dans cet exemple, 𝑥 est une valeur inconnue que nous pouvons trouver en réécrivant l’expression sous forme exponentielle et puis, en isolant 𝑥.

Rappelez-vous que si on voie un logarithme népérien ou naturel, ln𝑥, on suppose que sa base est 𝑒.

Ici, on sait que 𝑎=𝑒 et 𝑦=8, et donc 8=𝑥ln est équivalent à 𝑒=𝑥.

Maintenant, regardons comment nous pouvons utiliser ces conversions pour résoudre un problème de la vie courante. Supposons qu’on veut comparer l’intensité, 𝐼, ou la magnitude, 𝑀, de deux séismes différents avec 𝑖=1;2. Leur relation est donnée par l’équation 𝐼=𝐼10; qui peut être réécrite comme suit: 𝐼𝐼=10.

Les magnitudes, 𝑀, sont mesurés par une échelle logarithmique de base 10 appelée échelle de Richter.

Maintenant, supposons que nous mesurons un tremblement de terre d’intensité 𝐼 qui a exactement 600 fois l’intensité d’un deuxième tremblement de terre d’intensité 𝐼. Algébriquement, cela peut être exprimé par 𝐼=600𝐼; par conséquent 𝐼𝐼=600.

Nous voulons calculer la différence de magnitude de ces séismes, que nous désignons par 𝑥=𝑀𝑀; en combinant les deux équations nous obtenons l’équation à résoudre 10=600.

En écrivant cette équation sous forme logarithmique, nous pouvons déterminer la valeur de 𝑥 telle que 𝑥=600=2,778(4).logchiressignicatifs

Une autre façon de résoudre ces types de problèmes avec les exposants, au lieu de devoir comparer les expressions avec les formes logarithmique ou exponentielle, est d’appliquer des logarithmes décimaux ou naturels à chaque membre de l’équation. Un log d’une base arbitraire 𝑎 peut être exprimé en terme du logarithme naturel ou décimal comme suit loglnlnloglog𝑦=𝑦𝑎=𝑦𝑎.

En appliquant le logarithme décimal de part et d’autre de l’équation 𝑦=𝑎, nous obtenons logloglog𝑦=𝑎=𝑥𝑎; qui peut être récrit pour donner 𝑥=𝑦𝑎=𝑦.logloglog

Cependant, pour cela, vous devez utiliser les lois des logarithmes ou des exposants, ce qui va au-delà des objectifs de cette fiche explicative, et qui seront abordées plus en détail dans une autre leçon.

Points Clés

  • Une fonction exponentielle 𝑦=𝑎 est la réciproque de la fonction logarithmique 𝑦=𝑥log.
  • Le logarithme décimal est de base 10, et est généralement s’écrit comme 𝑦=𝑥log, et est équivalent à 𝑥=10.
  • Le logarithme népérien ou naturel est de base 𝑒 et est généralement s’écrit comme 𝑦=𝑥ln, et est équivalent à 𝑥=𝑒.

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