Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment convertir une équation exponentielle en équation logarithmique et vice-versa.
La raison en est mathématique, mais elle a aussi des applications de la vie courante telles que la mesure du son, où l’échelle des décibels est utilisée pour comparer les signaux en acoustique et en électronique, pour la mesure de l’intensité des séismes en utilisant l’échelle de Richter ou celle de la luminosité des étoiles, pour ne citer que quelques exemples.
Ces conversions nous donnent des formes équivalentes qui nous permettent également de résoudre des équations exponentielles ou logarithmiques dans lesquelles l’inconnue est un exposant ou un logarithme. Par exemple, supposons que nous voulons déterminer la valeur de pour l’équation
Alors, comment pouvons-nous trouver la valeur de ? Une méthode serait de procéder par essai-erreur, mais comme 600 n’est pas une puissance de 10, cela implique que la solution ne peut pas être un nombre entier. Nous savons que et , et puisque est une fonction croissante, notre inconnue doit avoir une valeur comprise entre 2 et 3. On peut aussi représenter graphiquement les fonctions et et voir où les courbes se coupent ; cela nous donnera une idée de la valeur de .
Un meilleur moyen pour obtenir une solution plus exacte serait de transformer cette équation exponentielle en forme logarithmique afin d’isoler ; ce faisant, nous pouvons écrire directement
Nous calculons cette valeur à partir de la formulation générale de la fonction pour .
Rappelons-nous maintenant comment exprimer toutes fonction exponentielle sous forme logarithmique et inversement.
Définition : Relation entre les formes logarithmiques et exponentielles
Pour et une base , , la forme exponentielle est équivalent à la forme logarithmique , ce qui nous permet de passer d’une forme à l’autre une fois que l’on identifie , et .
Une fonction exponentielle dont l’ensemble de définition est et l’ensemble image est est la réciproque de la fonction logarithmique ; ainsi, l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction logarithmique se retrouvent échangés avec la fonction exponentielle, donnée par et respectivement.
Supposons que nous voulons écrire sous forme logarithmique. La première étape consisterait à le comparer avec et identifier les constantes , et qui, dans ce cas, sont donnés par , et .
La forme logarithmique équivalente est donnée par , qui, une fois les valeurs sont remplacées, peut être écrite comme .
Par conséquent, , sous forme exponentielle, est équivalente à sous forme logarithmique.
Examinons maintenant plusieurs exemples pour mieux comprendre la relation entre ces deux formes. Tout d’abord, regardons un exemple simple sur une base en utilisant une expression exacte.
Exemple 1: Mettre une équation de forme exponentielle sous forme logarithmique
Exprimez sous sa forme logarithmique équivalente.
Réponse
Dans cet exemple, nous utiliserons l’équivalence entre les formes exponentielle et logarithmique pour transformer une forme exponentielle sous forme logarithmique en identifiant les variables qui apparaissent dans la forme générale.
On rappelle que la forme exponentielle est équivalent à la forme logarithmique .
En comparant avec la forme exponentielle, nous pouvons identifier , et tels que , et . En l’utilisant la forme logarithmique, nous obtenons la forme équivalente où l’on omet la base pour , puisque c’est une convention lorsque la base, , est égal à 10. C’est ce qu’on appelle le logarithme décimal.
Considérons maintenant un exemple où nous devons résoudre une équation pour trouver une valeur inconnue, , en utilisant cette méthode.
Exemple 2: Réécrire une équation exponentielle sous forme logarithmique
Écrivez l’équation exponentielle sous forme logarithmique.
Réponse
Dans cet exemple, est une valeur inconnue que nous pouvons trouver en réécrivant l’expression exponentielle sous forme logarithmique, en isolant l’inconnue dans l’équation.
En comparant cette forme avec la fonction exponentielle , nous pouvons identifier et tels que et .
En utilisant ce résultat avec la forme logarithmique , on retrouve la forme équivalente où on écrit la base de comme , qui est la convention lorsque la base, , est égal à . C’est ce qu’on appelle le logarithme népérien ou naturel.
L’exemple suivant présente une base différente de la base 10, , ou naturel, , une puissance négative et une fraction ; toutefois, la méthode reste exactement la même.
Exemple 3: Mettre une équation exponentielle sous forme logarithmique
Écrivez sous sa forme logarithmique équivalente.
Réponse
Dans cet exemple, nous avons une expression exacte qui ne contient aucun inconnu à trouver.
Nous voulons transformer cette expression de la forme exponentielle à la forme logarithmique.
En comparant cette forme avec la fonction exponentielle , nous pouvons identifier , et tels que , et . En comparant la forme exponentielle avec la forme logarithmique, nous obtenons que est équivalent à
Regardons maintenant un exemple où nous faisons le chemin inverse, en passant de la forme logarithmique à la forme exponentielle.
Exemple 4: Mettre une équation logarithmique sous forme exponentielle
Exprimez sous sa forme exponentielle équivalente.
Réponse
Dans cet exemple, nous avons une expression logarithmique exacte que nous devons convertir en forme exponentielle.
Rappelons que la forme logarithmique, , est équivalent à . On rappelle aussi que si la base du logarithme n’est pas donnée, on peut supposer que sa base est 10.
Ici, nous savons que , et , et donc est équivalente à
Dans notre dernier exemple, regardons comment convertir une équation logarithmique en forme exponentielle.
Exemple 5: Réécrire une équation logarithmique sous forme exponentielle
Écrivez l’équation logarithmique sous forme exponentielle.
Réponse
Dans cet exemple, est une valeur inconnue que nous pouvons trouver en réécrivant l’expression sous forme exponentielle et puis, en isolant .
Rappelez-vous que si on voie un logarithme népérien ou naturel, , on suppose que sa base est .
Ici, on sait que et , et donc est équivalent à
Maintenant, regardons comment nous pouvons utiliser ces conversions pour résoudre un problème de la vie courante. Supposons qu’on veut comparer l’intensité, , ou la magnitude, , de deux séismes différents avec . Leur relation est donnée par l’équation qui peut être réécrite comme suit :
Les magnitudes, , sont mesurés par une échelle logarithmique de base 10 appelée échelle de Richter.
Maintenant, supposons que nous mesurons un tremblement de terre d’intensité qui a exactement 600 fois l’intensité d’un deuxième tremblement de terre d’intensité . Algébriquement, cela peut être exprimé par par conséquent
Nous voulons calculer la différence de magnitude de ces séismes, que nous désignons par ; en combinant les deux équations nous obtenons l’équation à résoudre
En écrivant cette équation sous forme logarithmique, nous pouvons déterminer la valeur de telle que
Une autre façon de résoudre ces types de problèmes avec les exposants, au lieu de devoir comparer les expressions avec les formes logarithmique ou exponentielle, est d’appliquer des logarithmes décimaux ou naturels à chaque membre de l’équation. Un d’une base arbitraire peut être exprimé en terme du logarithme naturel ou décimal comme suit
En appliquant le logarithme décimal de part et d’autre de l’équation , nous obtenons qui peut être récrit pour donner
Cependant, pour cela, vous devez utiliser les lois des logarithmes ou des exposants, ce qui va au-delà des objectifs de cette fiche explicative, et qui seront abordées plus en détail dans une autre leçon.
Points Clés
- Une fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithmique .
- Le logarithme décimal est de base 10, et est généralement s’écrit comme , et est équivalent à .
- Le logarithme népérien ou naturel est de base et est généralement s’écrit comme , et est équivalent à .
