Fiche explicative de la leçon: Théorème de la puissance d’un point par rapport à un cercle Mathématiques • Première secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la puissance d'un point par rapport à un cercle.

En géométrie plane, nous rencontrons souvent des problèmes liés au calcul de longueurs de segments impliquant des cercles. De nombreux outils utilisés pour résoudre ce type de problèmes sont liés au concept de la puissance d’un point. La puissance d’un point par rapport à un cercle est un nombre réel qui quantifie une relation géométrique entre un point et un cercle. Ce nombre est défini en utilisant le rayon du cercle et la distance entre le point et le centre du cercle. Comme nous allons le voir dans cette fiche explicative, ce nombre est également lié aux longueurs des sécantes, des tangentes et des cordes d’un cercle.

Dans notre premier exemple, nous allons calculer la puissance d’un point lorsque nous connaissons toutes ces longueurs.

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé la puissance d’un point à partir des longueurs données. On constate que la longueur est strictement supérieur au rayon du cercle , ce qui signifie que le point est à l’extérieur du cercle de centre . Dans ce cas, puisque , on a aussi . Ainsi, la puissance du point par rapport au cercle est strictement positive

De manière générale, la puissance d’un point par rapport à un cercle est strictement positive dès lors que le point est à l’extérieur du cercle. Illustrons les longueurs impliquées dans le calcul de la puissance d’un point à travers trois différents cas de figures selon la position du point par rapport au cercle.

Si le point se situe à l’extérieur du cercle, on a , donc la puissance du point est strictement positive dans ce cas. Si le point appartient au cercle, alors , donc la puissance du point est nulle. Dans le dernier cas, si le point est à l’intérieur du cercle, on a , donc la puissance du point est strictement négative.

Dans le prochain exemple, nous allons déterminer la position relative d’un point par rapport à un cercle à partir de la puissance de ce point.

Exemple 2: Déterminer la position relative d’un point par rapport à un cercle à partir de la puissance de ce point

Déterminez la position relative du point par rapport au cercle de centre sachant que .

Réponse

La puissance du point par rapport au cercle de rayon et de centre est donnée par

On sait que . En particulier, on remarquera que la puissance du point est strictement positive. Ainsi,

Par conséquent, la distance entre le point et le centre du cercle est strictement supérieure au rayon du cercle. Cela signifie que le point est à l’extérieur du cercle. Nous pouvons, par exemple, illustrer cette assertion sur la figure suivante.

Le point est bien à l’extérieur du cercle.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer le rayon d’un cercle à partir de la puissance d’un point et de sa distance par rapport au centre du cercle.

Jusqu’à présent, nous avons considéré quelques exemples pour se familiariser avec le concept de la puissance d’un point par rapport à un cercle. Nous allons maintenant voir diverses applications de la puissance d’un point. La première propriété fait le lien entre la puissance d’un point et la longueur d’un segment tangent au cercle passant par ce point.

Prouvons cette propriété. On peut commencer par illustrer la relation entre la puissance d’un point et la longueur d’un segment tangent comme sur la figure suivante.

Nous savons que le rayon d’un cercle coupe ce cercle perpendiculairement à la tangente en ce point. Ainsi, le triangle sur la figure est un triangle rectangle, et, d’après le théorème de Pythagore, on a

Le membre de droite de cette équation est égal à la puissance du point, . Cela termine la preuve de la propriété.

La propriété suivante relie la puissance d’un point à la longueur d’un segment sécant au cercle passant par ce point.

Prouvons cette propriété. Sur la figure ci-dessous, est un point à l’extérieur du cercle de centre , est un segment tangent au cercle en et est un segment sécant qui coupe le cercle en les points et respectivement.

Nous avons également tracé les cordes et en bleu sur le schéma ci-dessus. On veut montrer que le triangle est semblable au triangle . Puisque l’angle de sommet est commun aux deux triangles, il suffit de montrer l’égalité sur un seul des autres angles entre les deux triangles pour montrer qu’ils sont semblables.

Rappelons que la mesure d’un angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc. Donc, si on note la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc par , on donne la mesure de l’angle inscrit par

Par ailleurs, l’angle formé par la tangente et une corde est égal à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc que la corde. Par conséquent, la mesure de l’angle entre le segment tangent et la corde est la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc , qui est . On a donc

Ainsi, les angles et sont égaux, ce qui prouve la similitude

Puisque ces triangles sont semblables, on peut écrire une équation sur le rapport des longueurs des côtés

En remarquant que le membre de gauche de cette équation est égal à la puissance du point, on termine la preuve de cette propriété.

Lorsqu’un point se situe à l’extérieur d’un cercle, alors sa puissance établit une relation entre les longueurs des segments tangents et sécants. Il s’agit du théorème de la puissance d’un point. Le théorème de la puissance d’un point se compose de trois affirmations, mais elles sont toutes liées au concept de puissance d’un point. Énonçons tout d’abord le théorème de la puissance d’un point pour les tangentes et sécantes d’un cercle.

Pour prouver ce théorème, rappelons que si un point est à l’extérieur d’un cercle, la puissance de ce point est égale au carré de la longueur d’un segment tangent. De plus, nous avons observé que la puissance d’un point est aussi égale au produit des longueurs de et , qui sont inclus dans la sécante au cercle en et et passant par le point . Puisque ces deux quantités sont égales à la puissance du point, elles sont égales entre elles, ce qui conduit à l’énoncé du théorème ci-dessus.

Considérons un exemple où nous utilisons cette propriété pour déterminer une longueur manquante impliquant une tangente et une sécante à un cercle.

Exemple 4: Calculer des longueurs manquantes en utilisant le théorème de la puissance d’un point pour les tangentes et sécantes d’un cercle

Un cercle a une tangente et une sécante qui coupe le cercle au point . Sachant que et que , déterminez la longueur du segment . Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Rappelons le théorème de la puissance d’un point pour les sécantes et tangentes d’un cercle : soit un point à l’extérieur du cercle, et soient , et des points du cercle tels que est un segment tangent et est un segment sécant du cercle. On a alors

On sait que et que . En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on obtient

Nous voulons trouver la longueur du segment , et on peut voir que . En substituant les valeurs et dans cette équation, on obtient

Par conséquent, la longueur de , arrondie au centième près, est égale à 4,80 cm.

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé le théorème de la puissance d’un point qui lie les longueurs des segments tangents et sécants d’un cercle. La prochaine affirmation du théorème de la puissance d’un point traite des longueurs de segments de deux différentes sécantes.

Pour prouver ce théorème, traçons la figure suivante, comprenant deux sécantes et .

Par la propriété de la puissance d’un point sur le segment sécant , on sait que

Si l’on applique la même propriété pour la sécante , alors on peut voir que

Puisque les deux quantités sont égales à la puissance du point, elles doivent être égales entre elles. Cela termine la preuve du théorème ci-dessus.

Penchons-nous sur un exemple où nous devons appliquer cette version du théorème de la puissance d’un point pour trouver une longueur manquante dans une figure avec deux sécantes à un cercle.

Exemple 5: Calculer des longueurs manquantes en appliquant le théorème de la puissance d’un point pour deux sécantes.

Soient et deux segments sécants d’un cercle qui se coupent en . Sachant que , et , calculez la longueur du segment , en donnant votre réponse au dixième près.

Réponse

Rappelons le lien entre deux sécantes différentes donné par le théorème de la puissance d’un point : soit un point à l’extérieur du cercle. Si , , et sont des points du cercle tels que est un segment sécant au cercle en et respectivement et que est un segment sécant au même cercle en et respectivement, alors

On connait les longueurs des segments

Puisque , on peut également calculer

Nous cherchons à déterminer la longueur du segment , qui est inclus dans . Puisque l’on connait la longueur du segment et que l’on a , on peut trouver la longueur du segment en déterminant d’abord la longueur de . Si l’on substitue les valeurs de et dans l’équation du théorème de la puissance d’un point, on peut trouver la longueur de comme suit : 

En substituant cette valeur dans l’équation , on obtient

Par conséquent, la longueur de , arrondie au dixième près, est égale à 6,3 cm.

Les deux énoncés précédents du théorème de la puissance d’un point utilisent les propriétés de la puissance d’un point extérieur à un cercle. Nous nous penchons à présent sur une propriété de la puissance d’un point à l’intérieur d’un cercle.

Propriété : Puissance d’un point et longueurs des cordes

Soient un cercle de centre et un point à l’intérieur du cercle. Soit une corde du cercle passant par le point comme illustré ci-dessous.

On a alors

Prouvons cette propriété. Considérons la figure suivante qui montre la corde intersectant un diamètre du cercle.

Les cordes vertes et ont été ajoutés à la figure. Nous montrons que

Les angles et sont opposés par le sommet, donc ils sont de mesures égales. De plus, les angles et sont des angles inscrits interceptant le même arc . Puisque tous les angles inscrits interceptant un même arc sont de mesures égales, on en déduit que ces deux angles sont de mesures égales. Cela prouve bien que ces deux triangles sont semblables.

Puisque ces triangles sont semblables, on peut écrire l’équation suivante sur les rapports des longueurs de leurs côtés :  ce qui implique que

Établissons à présent le lien entre une telle égalité et la puissance d’un point. Rappelons que la puissance du point par rapport au cercle de centre est donnée par

On sait que cette puissance est strictement négative puisque le point est à l’intérieur du cercle de centre . Afin de pouvoir exprimer cette quantité en fonction des longueurs des segments, qui sont positives, on considère plutôt l’opposé de la puissance : 

On utilise l’identité remarquable de la différence de deux carrés pour factoriser cette expression de la manière suivante

En s’aidant de la figure, on peut remarquer que , et en soustrayant à , on obtient la longueur . De même, on peut remarquer que , puis, en ajoutant à , on trouve la longueur . En d’autres termes,

En substituant ces expressions dans l’équation de ci-dessus, nous avons

Notons que le membre de droite de cette équation est égal au membre de droite de l’équation (1). Ainsi, l’opposé de la puissance du point est égal au membre de gauche de l’équation (1). Ceci termine la preuve de la propriété ci-dessus.

Cette propriété conduit au dernier énoncé du théorème de la puissance d’un point pour deux cordes sécantes.

Pour prouver ce théorème, on trace la figure suivante.

Si l’on applique la propriété de la puissance d’un point pour le point sur la corde , nous avons

Si l’on applique la même propriété, cette fois sur la corde , alors on a

Puisque les membres de droite de ces deux équations sont tous deux égaux à , ils sont égaux entre eux. Ceci prouve le dernier énoncé du théorème de la puissance d’un point.

Regardons un exemple nécessitant d’utiliser cet énoncé du théorème afin de calculer une longueur manquante sur une figure comportant deux cordes sécantes.

Exemple 6: Calculer des longueurs manquantes en utilisant le théorème de la puissance d’un point pour deux cordes sécantes.

Soient et deux cordes d’un même cercle qui se coupent en . Sachant que et que , déterminez la longueur de .

Réponse

Rappelons le théorème de la puissance d’un point pour deux cordes sécantes : soit un point à l’intérieur du cercle. Si , , et sont des points du cercle tels que et sont des cordes du cercle, alors

On connait la longueur de , mais on ne connait que le rapport entre les longueurs de et . Notons la longueur de par . Puisque , alors la longueur de doit être égale à . Ainsi, nous avons

En substituant ces expressions dans l’équation donnée par le théorème de la puissance d’un point, on obtient

Puisque , on peut alors diviser les deux membres de cette équation par , ce qui nous donne

Ainsi, on a .

Par conséquent, la longueur de est égale à 2 cm.

Dans cette fiche explicative, nous avons observé diverses propriétés géométriques utiles construites à partir de la puissance d’un point. Concluons en récapitulant certains concepts importants abordés dans cette fiche explicative.