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Fiche explicative de la leçon : Théorème de la puissance d’un point par rapport à un cercle Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la puissance d'un point par rapport à un cercle.

En géométrie plane, nous rencontrons souvent des problèmes liés au calcul de longueurs de segments impliquant des cercles. De nombreux outils utilisés pour résoudre ce type de problèmes sont liés au concept de la puissance d’un point. La puissance d’un point par rapport à un cercle est un nombre réel qui quantifie une relation géométrique entre un point et un cercle. Ce nombre est défini en utilisant le rayon du cercle et la distance entre le point et le centre du cercle. Comme nous allons le voir dans cette fiche explicative, ce nombre est également lié aux longueurs des sécantes, des tangentes et des cordes d’un cercle.

Définition : Puissance d’un point

Soit un cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝑀, et un point 𝐴 du plan, la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑀, noté 𝑃(𝐴), est donnée par 𝑃(𝐴)=𝐴𝑀𝑟.

Dans notre premier exemple, nous allons calculer la puissance d’un point lorsque nous connaissons toutes ces longueurs.

Exemple 1: Calculer la puissance d’un point par rapport à un cercle

Soit un cercle de centre 𝑀 et de rayon 𝑟=21. Calculez la puissance du point 𝐴 par rapport à ce cercle sachant que 𝐴𝑀=25.

Réponse

On rappelle que la puissance d’un point 𝐴 par rapport à un cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝑀 est donnée par 𝑃(𝐴)=𝐴𝑀𝑟.

On sait que 𝐴𝑀=25 et 𝑟=21. En substituant ces valeurs dans l’équation, on obtient 𝑃(𝐴)=2521=184.

Par conséquent, la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑀 est égale à 184.

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé la puissance d’un point à partir des longueurs données. On constate que la longueur 𝐴𝑀 est strictement supérieur au rayon du cercle 𝑟, ce qui signifie que le point 𝐴 est à l’extérieur du cercle de centre 𝑀. Dans ce cas, puisque 𝐴𝑀>𝑟, on a aussi 𝐴𝑀>𝑟. Ainsi, la puissance du point par rapport au cercle est strictement positive 𝑃(𝐴)=𝐴𝑀𝑟>0.

De manière générale, la puissance d’un point par rapport à un cercle est strictement positive dès lors que le point est à l’extérieur du cercle. Illustrons les longueurs impliquées dans le calcul de la puissance d’un point à travers trois différents cas de figures selon la position du point par rapport au cercle.

Si le point se situe à l’extérieur du cercle, on a 𝐴𝑀>𝑟, donc la puissance du point est strictement positive dans ce cas. Si le point appartient au cercle, alors 𝐴𝑀=𝑟, donc la puissance du point est nulle. Dans le dernier cas, si le point est à l’intérieur du cercle, on a 𝐴𝑀<𝑟, donc la puissance du point est strictement négative.

Propriété : Signe de la puissance d’un point

Soient un cercle de centre 𝑀 et un point 𝐴. La puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑀 est notée par 𝑃(𝐴).

  • Si 𝑃(𝐴)>0, alors le point 𝐴 est à l’extérieur du cercle de centre 𝑀.
  • Si 𝑃(𝐴)=0, alors le point 𝐴 appartient au cercle de centre 𝑀.
  • Si 𝑃(𝐴)<0, alors le point 𝐴 est à l’intérieur du cercle de centre 𝑀.

Dans le prochain exemple, nous allons déterminer la position relative d’un point par rapport à un cercle à partir de la puissance de ce point.

Exemple 2: Déterminer la position relative d’un point par rapport à un cercle à partir de la puissance de ce point

Déterminez la position relative du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑁 sachant que 𝑃(𝐴)=814.

Réponse

La puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝑁 est donnée par 𝑃(𝐴)=𝐴𝑁𝑟.

On sait que 𝑃(𝐴)=814. En particulier, on remarquera que la puissance du point 𝐴 est strictement positive. Ainsi, 𝐴𝑁𝑟>0,𝐴𝑁>𝑟.cequiimpliqueque

Par conséquent, la distance 𝐴𝑁 entre le point 𝐴 et le centre 𝑁 du cercle est strictement supérieure au rayon du cercle. Cela signifie que le point 𝐴 est à l’extérieur du cercle. Nous pouvons, par exemple, illustrer cette assertion sur la figure suivante.

Le point 𝐴 est bien à l’extérieur du cercle.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer le rayon d’un cercle à partir de la puissance d’un point et de sa distance par rapport au centre du cercle.

Exemple 3: Calculer le rayon d’un cercle à partir de la puissance d’un point et de sa distance par rapport au centre du cercle

Un point est à une distance de 40 du centre d’un cercle. Si sa puissance par rapport au cercle est égale à 81, alors quel est le rayon du cercle, arrondi à l’unité près?

Réponse

La puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝑀 est donnée par 𝑃(𝐴)=𝐴𝑀𝑟.

On sait que 𝐴𝑀=40 et que 𝑃(𝐴)=81. En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on obtient 81=40𝑟.

En réarrangeant cette équation, on obtient 𝑟=4081=1519.

En utilisant la valeur positive de la racine carrée, puisque 𝑟 est une longueur, on obtient:𝑟=38,9744.

Ainsi, le cercle a un rayon, arrondi à l’unité près, égal à 39 unités de longueur.

Jusqu’à présent, nous avons considéré quelques exemples pour se familiariser avec le concept de la puissance d’un point par rapport à un cercle. Nous allons maintenant voir diverses applications de la puissance d’un point. La première propriété fait le lien entre la puissance d’un point et la longueur d’un segment tangent au cercle passant par ce point.

Propriété : Puissance d’un point et longueur d’un segment tangent

Considérons un cercle de centre 𝑀 et un point 𝐴 à l’extérieur de ce cercle. Soit 𝐴𝐵 un segment tangent au cercle en un point 𝐵.

Alors 𝑃(𝐴)=𝐴𝐵.

Prouvons cette propriété. On peut commencer par illustrer la relation entre la puissance d’un point et la longueur d’un segment tangent comme sur la figure suivante.

Nous savons que le rayon d’un cercle coupe ce cercle perpendiculairement à la tangente en ce point. Ainsi, le triangle 𝐴𝐵𝑀 sur la figure est un triangle rectangle, et, d’après le théorème de Pythagore, on a 𝐴𝐵+𝑟=𝐴𝑀,𝐴𝐵=𝐴𝑀𝑟.quelonpeutréécrirecomme

Le membre de droite de cette équation est égal à la puissance du point, 𝑃(𝐴). Cela termine la preuve de la propriété.

La propriété suivante relie la puissance d’un point à la longueur d’un segment sécant au cercle passant par ce point.

Propriété : Puissance d’un point et longueurs des segments sécants

Considérons un cercle de centre 𝑀 et un point 𝐴 à l’extérieur du cercle. Soit 𝐴𝐷 un segment sécant au cercle en les points 𝐶 et 𝐷 respectivement. Alors, 𝑃(𝐴)=𝐴𝐶×𝐴𝐷.

Prouvons cette propriété. Sur la figure ci-dessous, 𝐴 est un point à l’extérieur du cercle de centre 𝑀, 𝐴𝐵 est un segment tangent au cercle en 𝐵 et 𝐴𝐷 est un segment sécant qui coupe le cercle en les points 𝐶 et 𝐷 respectivement.

Nous avons également tracé les cordes 𝐵𝐶 et 𝐵𝐷 en bleu sur le schéma ci-dessus. On veut montrer que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est semblable au triangle 𝐴𝐷𝐵. Puisque l’angle de sommet 𝐴 est commun aux deux triangles, il suffit de montrer l’égalité sur un seul des autres angles entre les deux triangles pour montrer qu’ils sont semblables.

Rappelons que la mesure d’un angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc. Donc, si on note la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc 𝐵𝐶 par 𝜃, on donne la mesure de l’angle inscrit par 𝑚𝐵𝐷𝐶=12𝜃.

Par ailleurs, l’angle formé par la tangente et une corde est égal à la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc que la corde. Par conséquent, la mesure de l’angle entre le segment tangent 𝐴𝐵 et la corde 𝐶𝐵 est la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc 𝐵𝐶, qui est 𝜃. On a donc 𝑚𝐴𝐵𝐶=12𝜃.

Ainsi, les angles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐷𝐶 sont égaux, ce qui prouve la similitude 𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐵.

Puisque ces triangles sont semblables, on peut écrire une équation sur le rapport des longueurs des côtés 𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐵,𝐴𝐵=𝐴𝐶×𝐴𝐷.quisesimplieen

En remarquant que le membre de gauche de cette équation est égal à la puissance du point, on termine la preuve de cette propriété.

Lorsqu’un point se situe à l’extérieur d’un cercle, alors sa puissance établit une relation entre les longueurs des segments tangents et sécants. Il s’agit du théorème de la puissance d’un point. Le théorème de la puissance d’un point se compose de trois affirmations, mais elles sont toutes liées au concept de puissance d’un point. Énonçons tout d’abord le théorème de la puissance d’un point pour les tangentes et sécantes d’un cercle.

Théorème : Théorème de la puissance d’un point pour les tangentes et sécantes d’un cercle

Soient un cercle de centre 𝑀 et 𝐴 un point à l’extérieur du cercle. Soit 𝐴𝐵 un segment tangent au cercle au point 𝐵 et soit 𝐴𝐷 un segment sécant au cercle en les points 𝐶 et 𝐷 respectivement. Alors, on a 𝐴𝐵=𝐴𝐶×𝐴𝐷.

Pour prouver ce théorème, rappelons que si un point est à l’extérieur d’un cercle, la puissance de ce point est égale au carré de la longueur d’un segment tangent. De plus, nous avons observé que la puissance d’un point est aussi égale au produit des longueurs de 𝐴𝐶 et 𝐴𝐷, qui sont inclus dans la sécante 𝐶𝐷 au cercle en 𝐶 et 𝐷 et passant par le point 𝐴. Puisque ces deux quantités sont égales à la puissance du point, elles sont égales entre elles, ce qui conduit à l’énoncé du théorème ci-dessus.

Considérons un exemple où nous utilisons cette propriété pour déterminer une longueur manquante impliquant une tangente et une sécante à un cercle.

Exemple 4: Calculer des longueurs manquantes en utilisant le théorème de la puissance d’un point pour les tangentes et sécantes d’un cercle

Un cercle a une tangente 𝐴𝐵 et une sécante 𝐴𝐷 qui coupe le cercle au point 𝐶. Sachant que 𝐴𝐵=7cm et que 𝐴𝐶=5cm, déterminez la longueur du segment 𝐶𝐷. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Rappelons le théorème de la puissance d’un point pour les sécantes et tangentes d’un cercle:soit 𝐴 un point à l’extérieur du cercle, et soient 𝐵, 𝐶 et 𝐷 des points du cercle tels que 𝐴𝐵 est un segment tangent et 𝐴𝐷 est un segment sécant du cercle. On a alors 𝐴𝐵=𝐴𝐶×𝐴𝐷.

On sait que 𝐴𝐵=7cm et que 𝐴𝐶=5cm. En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on obtient 7=5×𝐴𝐷,𝐴𝐷=75=9,8.cequiconduitàcm

Nous voulons trouver la longueur du segment 𝐶𝐷, et on peut voir que 𝐴𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷. En substituant les valeurs 𝐴𝐷=9,8cm et 𝐴𝐶=5cm dans cette équation, on obtient 9,8=5+𝐶𝐷,𝐶𝐷=9,85=4,8.cequiconduitàcm

Par conséquent, la longueur de 𝐶𝐷, arrondie au centième près, est égale à 4,80 cm.

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé le théorème de la puissance d’un point qui lie les longueurs des segments tangents et sécants d’un cercle. La prochaine affirmation du théorème de la puissance d’un point traite des longueurs de segments de deux différentes sécantes.

Théorème : Théorème de la puissance d’un point pour deux segments sécants à un cercle

Soient un cercle de centre 𝑀 et 𝐴 un point à l’extérieur du cercle. Soit 𝐴𝐶 un segment sécant au cercle aux points 𝐵 et 𝐶 respectivement et soit 𝐴𝐸 un segment sécant au même cercle aux points 𝐷 et 𝐸 respectivement. On a alors 𝐴𝐵×𝐴𝐶=𝐴𝐷×𝐴𝐸.

Pour prouver ce théorème, traçons la figure suivante, comprenant deux sécantes 𝐴𝐶 et 𝐴𝐸.

Par la propriété de la puissance d’un point 𝐴 sur le segment sécant 𝐴𝐶, on sait que 𝑃(𝐴)=𝐴𝐵×𝐴𝐶.

Si l’on applique la même propriété pour la sécante 𝐴𝐸, alors on peut voir que 𝑃(𝐴)=𝐴𝐷×𝐴𝐸.

Puisque les deux quantités sont égales à la puissance du point, elles doivent être égales entre elles. Cela termine la preuve du théorème ci-dessus.

Penchons-nous sur un exemple où nous devons appliquer cette version du théorème de la puissance d’un point pour trouver une longueur manquante dans une figure avec deux sécantes à un cercle.

Exemple 5: Calculer des longueurs manquantes en appliquant le théorème de la puissance d’un point pour deux sécantes.

Soient 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 deux segments sécants d’un cercle qui se coupent en 𝐴. Sachant que 𝐴𝐸=3cm, 𝐸𝐷=5cm et 𝐴𝐵=9cm, calculez la longueur du segment 𝐵𝐶, en donnant votre réponse au dixième près.

Réponse

Rappelons le lien entre deux sécantes différentes donné par le théorème de la puissance d’un point:soit 𝐴 un point à l’extérieur du cercle. Si 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸 sont des points du cercle tels que 𝐴𝐵 est un segment sécant au cercle en 𝐶 et 𝐵 respectivement et que 𝐴𝐷 est un segment sécant au même cercle en 𝐸 et 𝐷 respectivement, alors 𝐴𝐶×𝐴𝐵=𝐴𝐸×𝐴𝐷.

On connait les longueurs des segments 𝐴𝐸=3,𝐸𝐷=5,𝐴𝐵=9.cmcmetcm

Puisque 𝐴𝐸+𝐸𝐷=𝐴𝐷, on peut également calculer 𝐴𝐷=3+5=8.cm

Nous cherchons à déterminer la longueur du segment 𝐵𝐶, qui est inclus dans 𝐴𝐵. Puisque l’on connait la longueur du segment 𝐴𝐵 et que l’on a 𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶, on peut trouver la longueur du segment 𝐵𝐶 en déterminant d’abord la longueur de 𝐴𝐶. Si l’on substitue les valeurs de 𝐴𝐵,𝐴𝐸 et 𝐴𝐷 dans l’équation du théorème de la puissance d’un point, on peut trouver la longueur de 𝐴𝐶 comme suit:𝐴𝐶×9=3×8,𝐴𝐶=3×89=83.cequiconduitàcm

En substituant cette valeur dans l’équation 𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶, on obtient 9=83+𝐵𝐶,𝐵𝐶=983=2783=193.cequiconduitàcm

Par conséquent, la longueur de 𝐵𝐶, arrondie au dixième près, est égale à 6,3 cm.

Les deux énoncés précédents du théorème de la puissance d’un point utilisent les propriétés de la puissance d’un point extérieur à un cercle. Nous nous penchons à présent sur une propriété de la puissance d’un point à l’intérieur d’un cercle.

Propriété : Puissance d’un point et longueurs des cordes

Soient un cercle de centre 𝑀 et 𝐴 un point à l’intérieur du cercle. Soit 𝐵𝐶 une corde du cercle passant par le point 𝐴 comme illustré ci-dessous.

On a alors 𝑃(𝐴)=𝐴𝐵×𝐴𝐶.

Prouvons cette propriété. Considérons la figure suivante qui montre la corde 𝐵𝐶 intersectant un diamètre du cercle.

Les cordes vertes 𝐵𝐷 et 𝐶𝐸 ont été ajoutés à la figure. Nous montrons que 𝐴𝐵𝐷𝐴𝐸𝐶.

Les angles 𝐷𝐴𝐵 et 𝐸𝐴𝐶 sont opposés par le sommet, donc ils sont de mesures égales. De plus, les angles 𝐶𝐵𝐷 et 𝐷𝐸𝐶 sont des angles inscrits interceptant le même arc 𝐶𝐷. Puisque tous les angles inscrits interceptant un même arc sont de mesures égales, on en déduit que ces deux angles sont de mesures égales. Cela prouve bien que ces deux triangles sont semblables.

Puisque ces triangles sont semblables, on peut écrire l’équation suivante sur les rapports des longueurs de leurs côtés:𝐴𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐷𝐴𝐶, ce qui implique que

𝐴𝐵×𝐴𝐶=𝐴𝐷×𝐴𝐸.(1)

Établissons à présent le lien entre une telle égalité et la puissance d’un point. Rappelons que la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑀 est donnée par 𝑃(𝐴)=𝐴𝑀𝑟.

On sait que cette puissance est strictement négative puisque le point 𝐴 est à l’intérieur du cercle de centre 𝑀. Afin de pouvoir exprimer cette quantité en fonction des longueurs des segments, qui sont positives, on considère plutôt l’opposé de la puissance:𝑃(𝐴)=𝑟𝐴𝑀.

On utilise l’identité remarquable de la différence de deux carrés 𝑎𝑏=(𝑎𝑏)(𝑎+𝑏) pour factoriser cette expression de la manière suivante 𝑃(𝐴)=(𝑟𝐴𝑀)(𝑟+𝐴𝑀).

En s’aidant de la figure, on peut remarquer que 𝐷𝑀=𝑟, et en soustrayant 𝐴𝑀 à 𝐷𝑀, on obtient la longueur 𝐷𝐴. De même, on peut remarquer que 𝑀𝐸=𝑟, puis, en ajoutant 𝐴𝑀 à 𝑀𝐸, on trouve la longueur 𝐴𝐸. En d’autres termes, 𝑟𝐴𝑀=𝐷𝐴,𝑟+𝐴𝑀=𝐴𝐸.et

En substituant ces expressions dans l’équation de 𝑃(𝐴) ci-dessus, nous avons 𝑃(𝐴)=𝐷𝐴×𝐴𝐸.

Notons que le membre de droite de cette équation est égal au membre de droite de l’équation (1). Ainsi, l’opposé de la puissance du point est égal au membre de gauche de l’équation (1). Ceci termine la preuve de la propriété ci-dessus.

Cette propriété conduit au dernier énoncé du théorème de la puissance d’un point pour deux cordes sécantes.

Théorème : Théorème de la puissance d’un point pour deux cordes sécantes

Soient un cercle de centre 𝑀 et 𝐴 un point à l’intérieur de ce cercle. Soient 𝐵𝐶 et 𝐷𝐸 deux cordes qui se coupent en un point 𝐴.

On a alors 𝐴𝐵×𝐴𝐶=𝐴𝐷×𝐴𝐸.

Pour prouver ce théorème, on trace la figure suivante.

Si l’on applique la propriété de la puissance d’un point pour le point 𝐴 sur la corde 𝐵𝐶, nous avons 𝑃(𝐴)=𝐴𝐵×𝐴𝐶.

Si l’on applique la même propriété, cette fois sur la corde 𝐷𝐸, alors on a 𝑃(𝐴)=𝐴𝐷×𝐴𝐸.

Puisque les membres de droite de ces deux équations sont tous deux égaux à 𝑃(𝐴), ils sont égaux entre eux. Ceci prouve le dernier énoncé du théorème de la puissance d’un point.

Regardons un exemple nécessitant d’utiliser cet énoncé du théorème afin de calculer une longueur manquante sur une figure comportant deux cordes sécantes.

Exemple 6: Calculer des longueurs manquantes en utilisant le théorème de la puissance d’un point pour deux cordes sécantes.

Soient 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷 deux cordes d’un même cercle qui se coupent en 𝐸. Sachant que 𝐴𝐸𝐵𝐸=13 et que 𝐶𝐸=6cm, déterminez la longueur de 𝐷𝐸.

Réponse

Rappelons le théorème de la puissance d’un point pour deux cordes sécantes:soit 𝐸 un point à l’intérieur du cercle. Si 𝐴, 𝐵, 𝐶et 𝐷 sont des points du cercle tels que 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷 sont des cordes du cercle, alors 𝐴𝐸×𝐶𝐸=𝐷𝐸×𝐵𝐸.

On connait la longueur de 𝐶𝐸, mais on ne connait que le rapport entre les longueurs de 𝐴𝐸 et 𝐵𝐸. Notons la longueur de 𝐴𝐸 par 𝑥cm. Puisque 𝐴𝐸𝐵𝐸=13, alors la longueur de 𝐵𝐸 doit être égale à 3𝑥cm. Ainsi, nous avons 𝐶𝐸=6,𝐴𝐸=𝑥,𝐵𝐸=3𝑥.cmcmetcm

En substituant ces expressions dans l’équation donnée par le théorème de la puissance d’un point, on obtient 𝑥×6=𝐷𝐸×(3𝑥).

Puisque 𝑥0, on peut alors diviser les deux membres de cette équation par 𝑥, ce qui nous donne 6=𝐷𝐸×3.

Ainsi, on a 𝐷𝐸=63=2.

Par conséquent, la longueur de 𝐷𝐸 est égale à 2 cm.

Dans cette fiche explicative, nous avons observé diverses propriétés géométriques utiles construites à partir de la puissance d’un point. Concluons en récapitulant certains concepts importants abordés dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Soit un cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝑀, et un point 𝐴, la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑀, notée 𝑃(𝐴), est donnée par 𝑃(𝐴)=𝐴𝑀𝑟.
  • Soit un cercle de centre 𝑀 et 𝐴 un point. La puissance du point 𝐴 par rapport au cercle de centre 𝑀 est notée 𝑃(𝐴).
    • Si 𝑃(𝐴)>0, alors le point 𝐴 est à l’extérieur du cercle de centre 𝑀.
    • Si 𝑃(𝐴)=0, alors le point 𝐴 est sur le cercle de centre 𝑀.
    • Si 𝑃(𝐴)<0, alors le point 𝐴 est à l’intérieur du cercle de centre 𝑀.
  • Le théorème de la puissance d’un point est donné sous les trois versions suivantes.
    • Segments tangents et sécants: soient un cercle de centre 𝑀 et 𝐴 un point à l’extérieur du cercle. Soit 𝐴𝐵 un segment tangent au cercle et 𝐴𝐷 un segment sécant au cercle en les points 𝐶 et 𝐷 respectivement. On a alors 𝐴𝐵=𝐴𝐶×𝐴𝐷.
    • Deux segments sécants: soit un cercle de centre 𝑀 et 𝐴 un point à l’extérieur du cercle. Soit 𝐴𝐶 un segment sécant au cercle en les points 𝐵 et 𝐶 respectivement et 𝐴𝐸 un segment sécant au même cercle en les points 𝐷 et 𝐸 respectivement. On a alors 𝐴𝐵×𝐴𝐶=𝐴𝐷×𝐴𝐸.
    • Cordes sécantes: soit un cercle de centre 𝑀 et 𝐴 un point à l’intérieur du cercle. Soient 𝐵𝐶 et 𝐷𝐸 deux cordes qui se coupent en 𝐴 à l’intérieur du cercle. On a alors 𝐴𝐵×𝐴𝐶=𝐴𝐷×𝐴𝐸.

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