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Fiche explicative de la leçon : L’angle entre deux plans ou entre un plan et une droite Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver la mesure de l’angle formé par deux plans ou par un plan et une droite.

Soit deux plans sécants 𝑃 et 𝑄.

Pour visualiser l’angle entre ces deux plans, on peut se placer dans un plan perpendiculaire à la droite marquant leur intersection. Alors, comme pour deux droites sécantes, on observe que nos plans forment deux angles, 𝜃 et 𝜃, tels que 𝜃+𝜃=180.

Si l’on ajoute maintenant à notre figure une paire de vecteurs normaux à chacun des deux plans, on constate que l’angle entre eux est soit 𝜃, soit 𝜃 (en fonction du sens des vecteurs normaux considérés).

Si l’on définit l’angle 𝜃 entre deux plans 𝑃 et 𝑄 comme étant l’angle aigu (0𝜃90) qu’ils forment, alors on peut écrire cos𝜃=||𝑛𝑛||𝑛𝑛,car le produit scalaire de 𝑛 et 𝑛 est 𝑛𝑛=𝑛𝑛𝜃𝑛𝑛𝜃cosoucoset |𝜃|=|𝜃|coscos (puisque 𝜃=180𝜃).

Définition: Angle entre deux plans

L’angle 𝜃 entre deux plans 𝑃 et 𝑄, de vecteurs normaux 𝑛 et 𝑛, est défini comme étant l’angle aigu qu’ils forment;donc, 0𝜃90 et cos𝜃=||𝑛𝑛||𝑛𝑛.

Voyons un premier exemple.

Exemple 1: Trouver l’angle entre deux plans à partir de leurs équations sous la forme générale

Trouvez la mesure de l’angle entre les plans 9𝑥6𝑦+5𝑧=8 et 2𝑥+2𝑦+7𝑧=8, à la seconde d’arc près.

Réponse

Pour trouver l’angle entre nos deux plans, il nous faut connaître un vecteur normal à chacun des plans. Sachant que l’équation d’un plan sous la forme générale est de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑑, (𝑎,𝑏,𝑐) sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan, on trouve que deux vecteurs normaux à nos plans sont (9;6;5) et (2;2;7). L’angle 𝜃 entre les deux plans est tel que cos𝜃=||𝑛𝑛||𝑛𝑛,𝑛 et 𝑛 sont deux vecteurs normaux aux deux plans.

On a cos𝜃=|9×2+(6)×2+5×7|81+36+25×4+4+49=514257.

Pour trouver la valeur de 𝜃, on utilise la fonction réciproque du cosinus sur notre calculatrice:𝜃=514257=86,81408006.cos

Nous devons donner la mesure de l’angle à la seconde près. On rappelle qu’un degré est égal à 60 minutes (1=60) et qu’une minute est égale à 60 secondes (1=60).

Donc, 0,81408006=(0,81408006×60)=48,84480343,et 0,84480343=(0,84480343×60)=50,6882058151.

L’angle entre les plans est de 864851.

Voyons maintenant comment trouver l’angle entre deux plans lorsque l’équation de l’un est sous la forme standard et celle de l’autre sous la forme vectorielle.

Exemple 2: Trouver l’angle entre deux plans à partir de l’équation de l’un sous la forme standard et celle de l’autre sous la forme vectorielle

Trouvez la mesure de l’angle entre les plans 2(𝑥1)+3(𝑦4)+4(𝑧+5)=0 et 𝑟(1;2;5)=16, au degré près.

Réponse

Pour trouver l’angle entre nos deux plans, il nous faut connaître un vecteur normal à chacun des plans. Dans l’équation d’un plan sous la forme générale, les coefficients des variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 d’un vecteur normal au plan. Dans notre équation sous la forme standard, on remarque que si l’on développe les parenthèses les unes après les autres, on obtient, outre les constantes, un terme en 𝑥, puis un terme en 𝑦 et enfin, un terme en 𝑧. Ainsi, les coefficients des variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont donnés par les facteurs des trois paires de parenthèses. Donc, un vecteur normal au premier plan est (2;3;4).

L’équation de l’autre plan est sous la forme vectorielle, où (1;2;5) est un vecteur normal au plan.

L’angle 𝜃 entre les deux plans est tel que cos𝜃=||𝑛𝑛||𝑛𝑛,𝑛 et 𝑛 sont deux vecteurs normaux aux deux plans. Donc, cos𝜃=|(2,3,4)(1,2,5)|2+3+41+(2)+5=|26+20|2930=16870,et 𝜃=16870=57,1493680357,.cosàlentierleplusproche

L’angle entre les deux plans, au degré près, est de 57.

Intéressons-nous maintenant au cas d’une droite 𝑙 coupant un plan 𝑃.

L’angle entre la droite 𝑙 et le plan 𝑃 est défini comme étant le plus petit angle existant entre la droite 𝑙 et toute droite du plan 𝑃 sécante à 𝑙 (i.e., qui passe par le point d’intersection de 𝑙 avec 𝑃). Donc, il s’agit de l’angle aigu formé par la droite 𝑙 et la droite 𝑙 marquant l’intersection du plan 𝑃 avec le plan 𝑁, qui est le plan perpendiculaire à 𝑃 contenant 𝑙. Il est donc défini comme étant l’angle complémentaire au plus petit des angles entre la droite 𝑙 et la normale au plan 𝑃, que l’on peut visualiser en se plaçant dans le plan 𝑁, comme dans la figure ci-dessous.

On a également représenté 𝑑, le vecteur directeur de 𝑙 et 𝑛, le vecteur normal à 𝑃. Le vecteur tracé en pointillé est un vecteur normal à 𝑃 pointant dans le sens opposé à 𝑛.

On constate que l’angle 𝜃 entre la droite 𝑙 et le plan 𝑃 est soit 90𝜃, soit 𝜃90, 𝜃 et 𝜃 sont les deux angles possibles entre 𝑑 et 𝑛. (Notons que 𝜃 est l’angle entre 𝑛 et le vecteur directeur de 𝑙 pointant dans le sens opposé à 𝑑.) Cependant, de la même manière que pour l’angle entre deux plans, on sait que cos||𝑑𝑛||𝑑𝑛 donne un angle aigu (ici, 𝜃), car cos𝜃 et cos𝜃 ont la même valeur absolue, mais cos𝜃 est négatif tandis que cos𝜃 est positif.

Donc, l’angle 𝜃 entre la droite 𝑙 et le plan 𝑃 est l’angle complémentaire de 𝜃(𝜃+𝜃=90), avec cos𝜃=||𝑑𝑛||𝑑𝑛.

Et puisque cossin(90𝜃)=𝜃, on a sin𝜃=||𝑑𝑛||𝑑𝑛.

Définition: Angle entre une droite et un plan

L’angle 𝜃 entre un plan 𝑃, de vecteur normal 𝑛, et une droite 𝑙, de vecteur directeur 𝑑, est défini comme étant l’angle complémentaire du plus petit angle entre la droite 𝑙 et la normale au plan 𝑃.

Cet angle est tel que sin𝜃=||𝑑𝑛||𝑑𝑛.

On voit facilement, dans un triangle rectangle, pourquoi si 𝜃+𝜃=90, alors sincos𝜃=𝜃.

Soulignons cependant que les égalités cossin(90𝜃)=𝜃 et sincos(90𝜃)=𝜃 sont également vraies hors du cas du triangle rectangle (c’est-à-dire pour les angles 90);ceci s’explique par les symétries des fonctions sinus et cosinus, que l’on peut visualiser sur les cercles unités présentés ci-dessous. Le point 𝑃 associé à l’angle 90𝜃 est le symétrique par rapport à la droite 𝑦=𝑥 du point 𝑃 associé à l’angle 𝜃;ainsi, 𝑦=𝑥 et 𝑥=𝑦 et donc, sincos(90𝜃)=𝜃 et cossin(90𝜃)=𝜃.

Nous verrons dans l’exemple suivant comment trouver l’angle entre un plan et une droite à partir de leurs équations vectorielles.

Exemple 3: Trouver l’angle entre un plan et une droite à partir de leurs équations vectorielles

Parmi les angles suivants, lequel est le plus petit angle entre la droite 𝑟=7𝑖𝑗9𝑘+𝑡2𝑖+𝑗𝑘 et le plan 𝑟9𝑖9𝑗+2𝑘=13?

  1. cos7249498
  2. cos74386
  3. sin7249498
  4. sin74386

Réponse

Pour trouver l’angle entre une droite et un plan, il nous faut connaître les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite et d’un vecteur normal au plan. Dans l’équation vectorielle d’une droite, le vecteur multiplié par 𝑡 est un vecteur directeur de la droite. Il s’agit donc ici du vecteur 𝑑=2𝑖+𝑗𝑘, dont les coordonnées sont (2;1;1).

L’équation vectorielle d’un plan est de la forme 𝑟𝑛=c, c est une constante. Ici, le vecteur normal au plan est 𝑛=9𝑖9𝑗+2𝑘;ses coordonnées sont (9;9;2).

L’angle 𝜃 entre un plan 𝑃, de vecteur normal 𝑛, et une droite 𝑙, de vecteur directeur 𝑑, est tel que sin𝜃=||𝑑𝑛||𝑑𝑛.

Calculons ||𝑑𝑛||𝑑𝑛:||𝑑𝑛||𝑑𝑛=|2×9+1×(9)+(1)×2|2+1+(1)9+(9)+2=7996=72249=7249498.

Notre valeur 7249498 est la valeur de sin𝜃;donc, 𝜃=7249498sin. La bonne réponse est donc la proposition C.

Nous procéderons de façon similaire dans les deux derniers exemples, mais l’équation de la droite sera d’un autre type.

Exemple 4: Trouver l’angle entre un plan et une droite à partir de l’équation du plan sous la forme générale et de la représentation paramétrique de la droite

Trouvez la mesure de l’angle entre la droite 𝑥=3𝑡1, 𝑦=2𝑡+4, 𝑧=5 et le plan 3𝑥4𝑦+𝑧=2, à la seconde d’arc près.

Réponse

Pour trouver l’angle entre une droite et un plan, il nous faut connaître les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite et d’un vecteur normal au plan;on peut trouver les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur directeur d’une droite à partir de ses équations paramétriques. Il s’agit des coefficients de 𝑡 dans les équations donnant 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement. Ainsi, les coordonnées du vecteur directeur de notre droite sont (3;2;0).

L’équation sous la forme générale d’un plan est de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑑, (𝑎,𝑏,𝑐) sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan. Donc, les coordonnées du vecteur normal à notre plan sont (3;4;1).

L’angle 𝜃 entre un plan 𝑃, de vecteur normal 𝑛, et une droite 𝑙, de vecteur directeur 𝑑, est tel que sin𝜃=||𝑑𝑛||𝑑𝑛.

Calculons ||𝑑𝑛||𝑑𝑛:||𝑑𝑛||𝑑𝑛=|3×3+(2)×(4)+0×1|3+(2)+03+(4)+1=1713×26=17132.

Pour trouver la valeur de 𝜃, on utilise la fonction réciproque du sinus sur notre calculatrice:𝜃=17132𝜃=67,61986495.sin

Nous devons donner la mesure de l’angle à la seconde près. On rappelle qu’un degré est égal à 60 minutes (1=60) et qu’une minute est égale à 60 secondes (1=60).

Donc, 0,61986495=(0,61986495×60)=37,19189688,et 0,19189688=(0,19189688×60)=11,5138129512.

L’angle entre les plans est de 673712.

Exemple 5: Trouver l’angle entre un plan et une droite à partir de l’équation sous la forme générale du plan et de l’équation cartésienne de la droite

Trouvez la mesure du plus petit angle entre la droite 𝑥77=𝑦75=𝑧41 et le plan 6𝑥8𝑦5𝑧17=0, à la seconde d’arc près.

Réponse

Pour trouver l’angle entre une droite et un plan, il nous faut connaître les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite et d’un vecteur normal au plan. L’équation cartésienne d’une droite est de la forme 𝑥𝑥𝑙=𝑦𝑦𝑚=𝑧𝑧𝑛,(𝑥;𝑦;𝑧) sont les coordonnées d’un point de la droite et (𝑙,𝑚,𝑛) est un vecteur directeur de la droite. Ainsi, les coordonnées du vecteur directeur de notre droite sont (7;5;1).

L’équation sous la forme générale d’un plan est de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑑, (𝑎,𝑏,𝑐) sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan. Donc, les coordonnées du vecteur normal à notre plan sont (6;8;5).

L’angle 𝜃 entre un plan 𝑃, de vecteur normal 𝑛, et une droite 𝑙, de vecteur directeur 𝑑, est tel que sin𝜃=||𝑑𝑛||𝑑𝑛.

Calculons ||𝑑𝑛||𝑑𝑛:||𝑑𝑛||𝑑𝑛=|7×6+(5)×(8)+1×(5)|7+(5)+16+(8)+(5)=7775×125=7725×3×25×5=772515.

Pour trouver la valeur de 𝜃, on utilise la fonction réciproque du sinus sur notre calculatrice:𝜃=772515𝜃=52,67911901.sin

Nous devons donner la mesure de l’angle à la seconde près. On rappelle qu’un degré est égal à 60 minutes (1=60) et qu’une minute est égale à 60 secondes (1=60).

Donc, 0,67911901=(0,67911901×60)=40,74714076,et 0,74714076=(0,74714076×60)=44,8284457845.

L’angle entre les plans est de 524045.

Points clés

  • L’angle 𝜃 entre deux plans 𝑃 et 𝑄, de vecteurs normaux 𝑛 et 𝑛, est défini comme étant l’angle aigu qu’ils forment;donc, 0𝜃90 et cos𝜃=||𝑛𝑛||𝑛𝑛.
  • L’angle 𝜃 entre un plan 𝑃, de vecteur normal 𝑛, et une droite 𝑙, de vecteur directeur 𝑑, est tel que sin𝜃=||𝑑𝑛||𝑑𝑛.

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