Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver la mesure de l’angle formé par deux plans ou par un plan et une droite.
Soit deux plans sécants et .
Pour visualiser l’angle entre ces deux plans, on peut se placer dans un plan perpendiculaire à la droite marquant leur intersection. Alors, comme pour deux droites sécantes, on observe que nos plans forment deux angles, et , tels que .
Si l’on ajoute maintenant à notre figure une paire de vecteurs normaux à chacun des deux plans, on constate que l’angle entre eux est soit , soit (en fonction du sens des vecteurs normaux considérés).
Si l’on définit l’angle entre deux plans et comme étant l’angle aigu () qu’ils forment, alors on peut écrire car le produit scalaire de et est et (puisque ).
Définition: Angle entre deux plans
L’angle entre deux plans et , de vecteurs normaux et , est défini comme étant l’angle aigu qu’ils forment ; donc, et
Voyons un premier exemple.
Exemple 1: Trouver l’angle entre deux plans à partir de leurs équations sous la forme générale
Trouvez la mesure de l’angle entre les plans et , à la seconde d’arc près.
Réponse
Pour trouver l’angle entre nos deux plans, il nous faut connaître un vecteur normal à chacun des plans. Sachant que l’équation d’un plan sous la forme générale est de la forme , où sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan, on trouve que deux vecteurs normaux à nos plans sont et . L’angle entre les deux plans est tel que où et sont deux vecteurs normaux aux deux plans.
On a
Pour trouver la valeur de , on utilise la fonction réciproque du cosinus sur notre calculatrice :
Nous devons donner la mesure de l’angle à la seconde près. On rappelle qu’un degré est égal à 60 minutes et qu’une minute est égale à 60 secondes .
Donc, et
L’angle entre les plans est de .
Voyons maintenant comment trouver l’angle entre deux plans lorsque l’équation de l’un est sous la forme standard et celle de l’autre sous la forme vectorielle.
Exemple 2: Trouver l’angle entre deux plans à partir de l’équation de l’un sous la forme standard et celle de l’autre sous la forme vectorielle
Trouvez la mesure de l’angle entre les plans et , au degré près.
Réponse
Pour trouver l’angle entre nos deux plans, il nous faut connaître un vecteur normal à chacun des plans. Dans l’équation d’un plan sous la forme générale, les coefficients des variables , et sont les coordonnées , et d’un vecteur normal au plan. Dans notre équation sous la forme standard, on remarque que si l’on développe les parenthèses les unes après les autres, on obtient, outre les constantes, un terme en , puis un terme en et enfin, un terme en . Ainsi, les coefficients des variables , et sont donnés par les facteurs des trois paires de parenthèses. Donc, un vecteur normal au premier plan est .
L’équation de l’autre plan est sous la forme vectorielle, où est un vecteur normal au plan.
L’angle entre les deux plans est tel que où et sont deux vecteurs normaux aux deux plans. Donc, et
L’angle entre les deux plans, au degré près, est de .
Intéressons-nous maintenant au cas d’une droite coupant un plan .
L’angle entre la droite et le plan est défini comme étant le plus petit angle existant entre la droite et toute droite du plan sécante à (i.e., qui passe par le point d’intersection de avec ). Donc, il s’agit de l’angle aigu formé par la droite et la droite marquant l’intersection du plan avec le plan , qui est le plan perpendiculaire à contenant . Il est donc défini comme étant l’angle complémentaire au plus petit des angles entre la droite et la normale au plan , que l’on peut visualiser en se plaçant dans le plan , comme dans la figure ci-dessous.
On a également représenté , le vecteur directeur de et , le vecteur normal à . Le vecteur tracé en pointillé est un vecteur normal à pointant dans le sens opposé à .
On constate que l’angle entre la droite et le plan est soit , soit , où et sont les deux angles possibles entre et . (Notons que est l’angle entre et le vecteur directeur de pointant dans le sens opposé à .) Cependant, de la même manière que pour l’angle entre deux plans, on sait que donne un angle aigu (ici, ), car et ont la même valeur absolue, mais est négatif tandis que est positif.
Donc, l’angle entre la droite et le plan est l’angle complémentaire de , avec .
Et puisque , on a
Définition: Angle entre une droite et un plan
L’angle entre un plan , de vecteur normal , et une droite , de vecteur directeur , est défini comme étant l’angle complémentaire du plus petit angle entre la droite et la normale au plan .
Cet angle est tel que
On voit facilement, dans un triangle rectangle, pourquoi si , alors .
Soulignons cependant que les égalités et sont également vraies hors du cas du triangle rectangle (c’est-à-dire pour les angles ) ; ceci s’explique par les symétries des fonctions sinus et cosinus, que l’on peut visualiser sur les cercles unités présentés ci-dessous. Le point associé à l’angle est le symétrique par rapport à la droite du point associé à l’angle ; ainsi, et et donc, et .
Nous verrons dans l’exemple suivant comment trouver l’angle entre un plan et une droite à partir de leurs équations vectorielles.
Exemple 3: Trouver l’angle entre un plan et une droite à partir de leurs équations vectorielles
Parmi les angles suivants, lequel est le plus petit angle entre la droite et le plan ?
Réponse
Pour trouver l’angle entre une droite et un plan, il nous faut connaître les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite et d’un vecteur normal au plan. Dans l’équation vectorielle d’une droite, le vecteur multiplié par est un vecteur directeur de la droite. Il s’agit donc ici du vecteur , dont les coordonnées sont .
L’équation vectorielle d’un plan est de la forme , où est une constante. Ici, le vecteur normal au plan est ; ses coordonnées sont .
L’angle entre un plan , de vecteur normal , et une droite , de vecteur directeur , est tel que
Calculons :
Notre valeur est la valeur de ; donc, . La bonne réponse est donc la proposition C.
Nous procéderons de façon similaire dans les deux derniers exemples, mais l’équation de la droite sera d’un autre type.
Exemple 4: Trouver l’angle entre un plan et une droite à partir de l’équation du plan sous la forme générale et de la représentation paramétrique de la droite
Trouvez la mesure de l’angle entre la droite , , et le plan , à la seconde d’arc près.
Réponse
Pour trouver l’angle entre une droite et un plan, il nous faut connaître les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite et d’un vecteur normal au plan ; on peut trouver les coordonnées , et du vecteur directeur d’une droite à partir de ses équations paramétriques. Il s’agit des coefficients de dans les équations donnant , et respectivement. Ainsi, les coordonnées du vecteur directeur de notre droite sont .
L’équation sous la forme générale d’un plan est de la forme , où sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan. Donc, les coordonnées du vecteur normal à notre plan sont .
L’angle entre un plan , de vecteur normal , et une droite , de vecteur directeur , est tel que
Calculons :
Pour trouver la valeur de , on utilise la fonction réciproque du sinus sur notre calculatrice :
Nous devons donner la mesure de l’angle à la seconde près. On rappelle qu’un degré est égal à 60 minutes et qu’une minute est égale à 60 secondes .
Donc, et
L’angle entre les plans est de .
Exemple 5: Trouver l’angle entre un plan et une droite à partir de l’équation sous la forme générale du plan et de l’équation cartésienne de la droite
Trouvez la mesure du plus petit angle entre la droite et le plan , à la seconde d’arc près.
Réponse
Pour trouver l’angle entre une droite et un plan, il nous faut connaître les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite et d’un vecteur normal au plan. L’équation cartésienne d’une droite est de la forme où sont les coordonnées d’un point de la droite et est un vecteur directeur de la droite. Ainsi, les coordonnées du vecteur directeur de notre droite sont .
L’équation sous la forme générale d’un plan est de la forme , où sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan. Donc, les coordonnées du vecteur normal à notre plan sont .
L’angle entre un plan , de vecteur normal , et une droite , de vecteur directeur , est tel que
Calculons :
Pour trouver la valeur de , on utilise la fonction réciproque du sinus sur notre calculatrice :
Nous devons donner la mesure de l’angle à la seconde près. On rappelle qu’un degré est égal à 60 minutes et qu’une minute est égale à 60 secondes .
Donc, et
L’angle entre les plans est de .
Points clés
- L’angle entre deux plans et , de vecteurs normaux et , est défini comme étant l’angle aigu qu’ils forment ; donc, et
- L’angle entre un plan , de vecteur normal , et une droite , de vecteur directeur , est tel que