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Fiche explicative de la leçon : Angles de droites sécantes dans un cercle Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les mesures des angles résultant de l'intersection de deux cordes, de deux sécantes, de deux tangentes, ou d'une tangente et d'une sécante dans un cercle.

Considérons deux cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 dans un cercle de centre 𝑀 qui se coupent à l’intérieur du cercle en 𝐸. Que peut-on dire de la mesure de l’angle formé par les deux cordes, 𝑚𝐵𝐸𝐶?

Nous allons écrire une relation entre 𝑚𝐵𝐸𝐶 et les mesures de 𝐵𝐶 et 𝐴𝐷. Pour cela, on trace d’abord le segment entre les points 𝐴 et 𝐶.

Comme les points 𝐴, 𝐸 et 𝐵 sont alignés, 𝐵𝐸𝐶 et 𝐴𝐸𝐶 sont supplémentaires, ce qui signifie que la somme de leurs mesures est égale à 180. 𝐴𝐸𝐶 est lui-même supplémentaire à la somme de 𝐸𝐴𝐶 et 𝐴𝐶𝐸 puisque ces trois angles sont les angles du triangle 𝐴𝐸𝐶. Par conséquent, avec 𝑒=𝑚𝐵𝐸𝐶, 𝑎=𝑚𝐸𝐴𝐶 et 𝑐=𝑚𝐴𝐶𝐸, on a 𝑒=𝑎+𝑐.

Les angles inscrits 𝐸𝐴𝐶 et 𝐸𝐶𝐴, 𝑎 et 𝑐, ont respectivement pour mesures la moitié des mesures des arcs qu’ils interceptent, 𝐵𝐶 et 𝐴𝐷. Par conséquent, on a 𝑒=12𝑚𝐵𝐶+12𝑚𝐴𝐷𝑒=12𝑚𝐵𝐶+𝑚𝐴𝐷.

De la même manière, on peut prouver que 𝑚𝐷𝐸𝐵=12𝑚𝐵𝐷+𝑚𝐴𝐶.

Propriété : Mesure de l’angle formé par des cordes qui se coupent dans un cercle

Si deux cordes se coupent en un point à l’intérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par ces deux cordes est égale à la moitié de la somme des mesures des deux arcs opposés à cet angle.

Voyons comment appliquer cette propriété des cordes qui se coupent dans le premier exemple.

Exemple 1: Déterminer l’angle formé par des cordes qui se coupent à l’intérieur d’un cercle

Trouvez 𝑥.

Réponse

Nous avons deux cordes, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, qui se coupent à l’intérieur du cercle. On nous demande de trouver la mesure 𝑥, qui est la mesure de l’angle formé par les cordes.

Rappelons que si deux cordes se coupent en un point à l’intérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par les deux cordes est égale à la moitié de la somme des mesures des deux arcs opposés à cet angle.

Les deux arcs opposés à l’angle de mesure 𝑥 sont 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷. Leurs mesures sont respectivement 73 et 133.

Par conséquent, on a 𝑥=12(73+133)𝑥=12(206)𝑥=103.

Considérons maintenant deux sécantes (on rappelle qu’une sécante est le prolongement d’une corde) d’un cercle qui se coupent à l’extérieur du cercle et voyons ce que nous trouvons sur la mesure de l’angle formé par les deux sécantes.

Dans la figure suivante, les sécantes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 se coupent à l’extérieur du cercle au point 𝐸.

L’angle 𝐶𝐷𝐴 est supplémentaire à l’angle 𝐴𝐷𝐸, qui est lui-même supplémentaire à 𝐴+𝐸 comme 𝐴, 𝐸 et 𝐴𝐷𝐸 sont les 3 angles du triangle 𝐴𝐷𝐸. Par conséquent, on obtient 𝑚𝐶𝐷𝐴=𝑚𝐴+𝑚𝐸.

En réarrangeant pour déterminer 𝑚𝐸, on trouve 𝑚𝐸=𝑚𝐶𝐷𝐴𝑚𝐴.

Les mesures des angles inscrits 𝐶𝐷𝐴 et 𝐴 sont respectivement la moitié des mesures des arcs qu’ils interceptent, 𝐶𝐴 et 𝐵𝐷. Par conséquent, on obtient 𝑚𝐸=12𝑚𝐶𝐴12𝑚𝐵𝐷𝑚𝐸=12𝑚𝐶𝐴𝑚𝐵𝐷.

Propriété : Mesure de l’angle formé par des sécantes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle

Si deux sécantes se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par les deux sécantes est égale à la moitié de la différence positive entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de cet angle.

Voyons comment utiliser cette propriété avec l’exemple suivant.

Exemple 2: Déterminer l’angle formé par des sécantes qui se coupent

Trouvez 𝑥.

Réponse

Nous avons deux sécantes (rappelons qu’une sécante est le prolongement d’une corde) d’un cercle, 𝐴𝐶 et 𝐴𝐸, qui se coupent à l’extérieur du cercle au point 𝐴. Nous devons déterminer la valeur de 𝑥, qui est la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐸 formé par les deux sécantes.

Rappelons que si deux sécantes se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par les deux sécantes est égale à la moitié de la différence positive entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de cet angle.

Par conséquent, on a 𝑚𝐶𝐴𝐸=12𝑚𝐶𝐸𝑚𝐵𝐷𝑥=12(13236)𝑥=12(96)𝑥=48.

Il est à noter que nous devons soustraire la mesure de l’arc mineur de celle de l’arc majeur car la différence doit être positive comme les mesures d’angle sont positives.

Maintenant, considérons deux tangentes aux points 𝐴 et 𝐵 d’un cercle de centre 𝑀 qui se coupent en un point 𝐶 situé à l’extérieur du cercle.

Comme la somme des mesures des angles du quadrilatère 𝐴𝐶𝐵𝑀 est de 360, on a 𝑚𝐴+𝑚𝐶+𝑚𝐵+𝑚𝑀=360.

De plus, le rayon 𝑀𝐴 est perpendiculaire à la tangente au cercle en 𝐴, alors 𝑚𝐴=90. De même, le rayon 𝑀𝐵 est perpendiculaire à la tangente au cercle en 𝐵, alors 𝑚𝐵=90:90+𝑚𝐶+90+𝑚𝑀=360𝑚𝐶+𝑚𝑀=180𝑚𝐶=180𝑚𝑀.

L’angle 𝑀 est l’angle au centre interceptant 𝐴𝐵. Leurs mesures sont donc égales, et on a 𝑚𝐶=180𝑚𝐴𝐵.

À l’aide de cette relation, nous pouvons déterminer une relation impliquant l’arc mineur et l’arc majeur 𝐴𝐵. On note ces arcs respectivement 𝑥 et 𝑦, comme indiqué sur la figure suivante.

En multipliant chaque membre de l’égalité 𝑚𝐶=180𝑥 par 2, on a:2𝑚𝐶=3602𝑥=360𝑥𝑥.

Comme les deux tangentes qui se coupent divisent le cercle entier en deux arcs, on a 𝑥+𝑦=360, ce qui donne 𝑥=360𝑦.

On remplace le premier 𝑥 dans l’équation précédente, et on trouve 2𝑚𝐶=𝑦𝑥.

En divisant chaque membre par 2, on obtient 𝑚𝐶=12(𝑦𝑥).

Propriété : Mesure de l’angle formé par des tangentes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle

Si deux tangentes se coupent en un point situé à l'extérieur d'un cercle, alors la mesure de l'angle formé par les deux tangentes est égale à la mesure de l'arc mineur entre les deux points de contact des tangentes soustraite de 180.

La mesure de l’angle formé par les deux tangentes est égale aussi à la moitié de la différence entre l’arc majeur et l’arc mineur définis par les deux points de contact des tangentes avec le cercle.

Regardons maintenant un exemple où nous devons appliquer cette propriété.

Exemple 3: Déterminer l’angle formé par des tangentes qui se coupent

Trouvez 𝑥.

Réponse

Les demi-droites 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont respectivement tangentes au cercle en 𝐶 et 𝐵. Nous devons déterminer la mesure de l’angle formé par ces deux tangentes.

Rappelons que si deux tangentes se coupent en un point situé à l'extérieur d'un cercle, alors la mesure de l'angle formé par les deux tangentes est égale à la mesure de l'arc mineur entre les deux points de contact des tangentes soustraite de 180, soit par la moitié de la différence entre l’arc majeur et l’arc mineur définis par les deux points de contact des tangentes avec le cercle.

La mesure de l’arc mineur 𝐵𝐶 est égale à 151.

Par conséquent, on a 𝑥=180151𝑥=29, ou comme l’arc majeur mesure (360151)=209, on trouve que 𝑥=12(209151)=29.

Regardons un autre exemple avec deux tangentes sécantes.

Exemple 4: Résoudre un problème en plusieurs étapes impliquant deux tangentes qui se coupent

Sur la figure suivante, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Réponse

Les demi-droites 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont respectivement tangentes au cercle en 𝐶 et 𝐵. Nous devons déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 sachant que 𝑥 est la mesure de l’angle formé par les deux tangentes et les mesures des arcs interceptés par les deux côtés de l’angle sont 2𝑥 et 𝑦.

Rappelons que si deux tangentes se coupent en un point situé à l'extérieur d'un cercle, alors la mesure de l'angle formé par les deux tangentes est égale à la mesure de l'arc mineur entre les deux points de contact des tangentes soustraite de 180.

Par conséquent, on peut écrire que 𝑚𝐴=180𝑚𝐶𝐵𝑥=1802𝑥3𝑥=180𝑥=60.

Comme la somme des mesures de l’arc majeur et de l’arc mineur 𝐶𝐵 est le cercle entier, on a 2𝑥+𝑦=3602×60+𝑦=360𝑦=360120𝑦=240.

On peut constater que 𝑥=60 et 𝑦=240.

Considérons enfin le cas d’une tangente 𝐴𝐷 et d’une sécante 𝐵𝐶 se coupant à l’extérieur d’un cercle en un point 𝐷.

L’angle 𝐴𝐵𝐶 est supplémentaire à l’angle 𝐴𝐵𝐷, qui est lui-même supplémentaire à 𝐷𝐴𝐵+𝐴𝐷𝐵 comme 𝐷𝐴𝐵, 𝐴𝐷𝐵 et 𝐴𝐵𝐷 sont les trois angles du triangle 𝐴𝐵𝐷. Par conséquent, on a 𝑚𝐴𝐵𝐶=𝑚𝐷𝐴𝐵+𝑚𝐴𝐷𝐵.

Soit, en réarrangeant,

𝑚𝐴𝐷𝐵=𝑚𝐴𝐵𝐶𝑚𝐷𝐴𝐵.(1)

Pour déterminer 𝑚𝐷𝐴𝐵, on écrit que la somme des mesures des angles du quadrilatère 𝑀𝐴𝐷𝐵 est de 360.

En remarquant que 𝑀𝐴𝐷 est un angle droit, 𝑀𝐴 étant un rayon et 𝐴𝐷 étant la tangente en 𝐴 et les mesures des angles indiquées sur le schéma ci-dessus permettent d’écrire

𝑚+90+𝑑+𝑏+𝑏=360.(2)

La mesure de l’angle au centre 𝐵𝑀𝐴, 𝑚, est la même que celle de 𝐴𝐵.

De plus, en considérant la somme des mesures des angles dans le triangle 𝐴𝐵𝐷, on trouve que 𝑏=180(𝑎+𝑑).

Enfin, le triangle 𝐴𝑀𝐵 est isocèle (deux côtés sont des rayons du cercle);par conséquent, 𝑏=𝑚𝑀𝐴𝐵=90𝑎.

Ainsi, en remplaçant 𝑚=𝑚𝐴𝐵, 𝑏=180(𝑎+𝑑) et 𝑏=90𝑎 dans l’équation (2), on trouve que 𝑚𝐴𝐵+90+𝑑+180(𝑎+𝑑)+90𝑎=360.

On simplifie et on constate que 𝑚𝐴𝐵2𝑎=0𝑎=12𝑚𝐴𝐵.

Maintenant, on peut reprendre l’équation (1)𝑚𝐴𝐵𝐶=𝑚𝐷𝐴𝐵+𝑚𝐴𝐷𝐵,𝑚𝐴𝐵𝐶=𝑎+𝑑, et noter que la mesure de l’angle inscrit 𝐴𝐵𝐶 est la moitié de celle de l’arc 𝐴𝐶 que l’angle intercepte.

Par conséquent, on constate que 𝑑=𝑚𝐴𝐵𝐶𝑎𝑑=12𝑚𝐴𝐶12𝑚𝐴𝐵𝑑=12𝑚𝐴𝐶𝑚𝐴𝐵.

Propriété : Mesure de l’angle formé par une tangente et une sécante qui se coupent à l’extérieur d’un cercle

Si une tangente et une sécante se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par ces deux droites est égale à la moitié de la différence entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de l’angle.

Voyons comment appliquer cette propriété dans le prochain exemple.

Exemple 5: Déterminer l’angle formé par une tangente et une sécante qui se coupent étant données des équations linéaires

Sachant que, sur la figure ci-dessous, 𝑦=(𝑥2) et 𝑧=(2𝑥+2), déterminez la valeur de 𝑥.

Réponse

Les segments 𝐴𝐷 et 𝐴𝐵 sont respectivement une sécante du cercle en 𝐶 et 𝐷 et une tangente du cercle en 𝐵, se coupant en 𝐴 et formant un angle de mesure de 50. Nous devons déterminer la valeur de 𝑥 étant données les mesures respectives des arcs 𝐶𝐵 et 𝐵𝐷 interceptés par la sécante et la tangente, en fonction de 𝑥.

Rappelons que si une tangente et une sécante se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par ces deux droites est égale à la moitié de la différence entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de l’angle.

On peut donc écrire que 𝑚𝐷𝐴𝐵=12𝑚𝐷𝐵𝑚𝐶𝐵50=12(𝑧𝑦).

On peut maintenant substituer par les expressions de 𝑧 et 𝑦 en fonction de 𝑥 dans l’équation ci-dessus, ce qui donne 50=12((2𝑥+2)(𝑥2))50=12(2𝑥+2𝑥+2)50=12(𝑥+4)100=𝑥+4𝑥=96.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Si deux cordes se coupent en un point à l’intérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par ces deux cordes est égale à la moitié de la somme des mesures des deux arcs opposés à cet angle.
  • Si deux sécantes, deux tangentes ou une sécante et une tangente se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par ces droites est égale à la moitié de la différence positive entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de cet angle.
  • La mesure de l'angle formé par deux tangentes est égale à la mesure de l'arc mineur entre les deux points de contact des tangentes soustraite de 180.
  • La mesure de l’angle formé par les deux tangentes est égale aussi à la moitié de la différence entre l’arc majeur et l’arc mineur définis par les deux points de contact des tangentes avec le cercle.

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