Fiche explicative de la leçon: Angles de droites sécantes dans un cercle Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les mesures des angles résultant de l'intersection de deux cordes, de deux sécantes, de deux tangentes, ou d'une tangente et d'une sécante dans un cercle.

Considérons deux cordes et dans un cercle de centre qui se coupent à l’intérieur du cercle en . Que peut-on dire de la mesure de l’angle formé par les deux cordes,  ? 

Nous allons écrire une relation entre et les mesures de et . Pour cela, on trace d’abord le segment entre les points et .

Comme les points , et sont alignés, et sont supplémentaires, ce qui signifie que la somme de leurs mesures est égale à . est lui-même supplémentaire à la somme de et puisque ces trois angles sont les angles du triangle . Par conséquent, avec , et , on a

Les angles inscrits et , et , ont respectivement pour mesures la moitié des mesures des arcs qu’ils interceptent, et . Par conséquent, on a

De la même manière, on peut prouver que

Propriété : Mesure de l’angle formé par des cordes qui se coupent dans un cercle

Si deux cordes se coupent en un point à l’intérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par ces deux cordes est égale à la moitié de la somme des mesures des deux arcs opposés à cet angle.

Voyons comment appliquer cette propriété des cordes qui se coupent dans le premier exemple.

Exemple 1: Déterminer l’angle formé par des cordes qui se coupent à l’intérieur d’un cercle

Trouvez .

Réponse

Nous avons deux cordes, et , qui se coupent à l’intérieur du cercle. On nous demande de trouver la mesure , qui est la mesure de l’angle formé par les cordes.

Rappelons que si deux cordes se coupent en un point à l’intérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par les deux cordes est égale à la moitié de la somme des mesures des deux arcs opposés à cet angle.

Les deux arcs opposés à l’angle de mesure sont et . Leurs mesures sont respectivement et .

Par conséquent, on a

Considérons maintenant deux sécantes (on rappelle qu’une sécante est le prolongement d’une corde) d’un cercle qui se coupent à l’extérieur du cercle et voyons ce que nous trouvons sur la mesure de l’angle formé par les deux sécantes.

Dans la figure suivante, les sécantes et se coupent à l’extérieur du cercle au point .

L’angle est supplémentaire à l’angle , qui est lui-même supplémentaire à comme , et sont les 3 angles du triangle . Par conséquent, on obtient

En réarrangeant pour déterminer , on trouve

Les mesures des angles inscrits et sont respectivement la moitié des mesures des arcs qu’ils interceptent, et . Par conséquent, on obtient

Propriété : Mesure de l’angle formé par des sécantes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle

Si deux sécantes se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par les deux sécantes est égale à la moitié de la différence positive entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de cet angle.

Voyons comment utiliser cette propriété avec l’exemple suivant.

Exemple 2: Déterminer l’angle formé par des sécantes qui se coupent

Trouvez .

Réponse

Nous avons deux sécantes (rappelons qu’une sécante est le prolongement d’une corde) d’un cercle, et , qui se coupent à l’extérieur du cercle au point . Nous devons déterminer la valeur de , qui est la mesure de l’angle formé par les deux sécantes.

Rappelons que si deux sécantes se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par les deux sécantes est égale à la moitié de la différence positive entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de cet angle.

Par conséquent, on a

Il est à noter que nous devons soustraire la mesure de l’arc mineur de celle de l’arc majeur car la différence doit être positive comme les mesures d’angle sont positives.

Maintenant, considérons deux tangentes aux points et d’un cercle de centre qui se coupent en un point situé à l’extérieur du cercle.

Comme la somme des mesures des angles du quadrilatère est de , on a

De plus, le rayon est perpendiculaire à la tangente au cercle en , alors . De même, le rayon est perpendiculaire à la tangente au cercle en , alors  : 

L’angle est l’angle au centre interceptant . Leurs mesures sont donc égales, et on a

À l’aide de cette relation, nous pouvons déterminer une relation impliquant l’arc mineur et l’arc majeur . On note ces arcs respectivement et , comme indiqué sur la figure suivante.

En multipliant chaque membre de l’égalité par 2, on a : 

Comme les deux tangentes qui se coupent divisent le cercle entier en deux arcs, on a ce qui donne

On remplace le premier dans l’équation précédente, et on trouve

En divisant chaque membre par 2, on obtient

Propriété : Mesure de l’angle formé par des tangentes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle

Si deux tangentes se coupent en un point situé à l'extérieur d'un cercle, alors la mesure de l'angle formé par les deux tangentes est égale à la mesure de l'arc mineur entre les deux points de contact des tangentes soustraite de .

La mesure de l’angle formé par les deux tangentes est égale aussi à la moitié de la différence entre l’arc majeur et l’arc mineur définis par les deux points de contact des tangentes avec le cercle.

Regardons maintenant un exemple où nous devons appliquer cette propriété.

Exemple 3: Déterminer l’angle formé par des tangentes qui se coupent

Trouvez .

Réponse

Les demi-droites et sont respectivement tangentes au cercle en et . Nous devons déterminer la mesure de l’angle formé par ces deux tangentes.

Rappelons que si deux tangentes se coupent en un point situé à l'extérieur d'un cercle, alors la mesure de l'angle formé par les deux tangentes est égale à la mesure de l'arc mineur entre les deux points de contact des tangentes soustraite de , soit par la moitié de la différence entre l’arc majeur et l’arc mineur définis par les deux points de contact des tangentes avec le cercle.

La mesure de l’arc mineur est égale à .

Par conséquent, on a ou comme l’arc majeur mesure , on trouve que

Regardons un autre exemple avec deux tangentes sécantes.

Exemple 4: Résoudre un problème en plusieurs étapes impliquant deux tangentes qui se coupent

Sur la figure suivante, déterminez les valeurs de et .

Réponse

Les demi-droites et sont respectivement tangentes au cercle en et . Nous devons déterminer les valeurs de et sachant que est la mesure de l’angle formé par les deux tangentes et les mesures des arcs interceptés par les deux côtés de l’angle sont et .

Rappelons que si deux tangentes se coupent en un point situé à l'extérieur d'un cercle, alors la mesure de l'angle formé par les deux tangentes est égale à la mesure de l'arc mineur entre les deux points de contact des tangentes soustraite de .

Par conséquent, on peut écrire que

Comme la somme des mesures de l’arc majeur et de l’arc mineur est le cercle entier, on a

On peut constater que et .

Considérons enfin le cas d’une tangente et d’une sécante se coupant à l’extérieur d’un cercle en un point .

L’angle est supplémentaire à l’angle , qui est lui-même supplémentaire à comme , et sont les trois angles du triangle . Par conséquent, on a

Soit, en réarrangeant,

Pour déterminer , on écrit que la somme des mesures des angles du quadrilatère est de .

En remarquant que est un angle droit, étant un rayon et étant la tangente en et les mesures des angles indiquées sur le schéma ci-dessus permettent d’écrire

La mesure de l’angle au centre , , est la même que celle de .

De plus, en considérant la somme des mesures des angles dans le triangle , on trouve que

Enfin, le triangle est isocèle (deux côtés sont des rayons du cercle) ; par conséquent,

Ainsi, en remplaçant , et dans l’équation (2), on trouve que

On simplifie et on constate que

Maintenant, on peut reprendre l’équation (1) et noter que la mesure de l’angle inscrit est la moitié de celle de l’arc que l’angle intercepte.

Par conséquent, on constate que

Propriété : Mesure de l’angle formé par une tangente et une sécante qui se coupent à l’extérieur d’un cercle

Si une tangente et une sécante se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par ces deux droites est égale à la moitié de la différence entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de l’angle.

Voyons comment appliquer cette propriété dans le prochain exemple.

Exemple 5: Déterminer l’angle formé par une tangente et une sécante qui se coupent étant données des équations linéaires

Sachant que, sur la figure ci-dessous, et , déterminez la valeur de .

Réponse

Les segments et sont respectivement une sécante du cercle en et et une tangente du cercle en , se coupant en et formant un angle de mesure de . Nous devons déterminer la valeur de étant données les mesures respectives des arcs et interceptés par la sécante et la tangente, en fonction de .

Rappelons que si une tangente et une sécante se coupent en un point situé à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle formé par ces deux droites est égale à la moitié de la différence entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de l’angle.

On peut donc écrire que

On peut maintenant substituer par les expressions de et en fonction de dans l’équation ci-dessus, ce qui donne

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.