Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les probabilités d’événements simples.
Rappelons d’abord la définition d’une probabilité. La probabilité d’un événement mesure à quel point un événement est susceptible de se produire. Une probabilité appartient à l’intervalle et la probabilité d’un événement :
- certain est égale à 1 ;
- impossible est égale à 0 ;
- qui est susceptible de se produire est plus proche de 1 que de 0 ;
- qui est peu susceptible de se produire est plus proche de 0 que de 1 ;
- autant probable qu’improbable est égale à .
On peut représenter les événements et leur probabilité sur une droite numérique, comme indiqué ci-dessous.
Pour calculer la probabilité qu’un événement se produise, on doit connaître le nombre d’issues où l’événement se produit et le nombre d’issues total. On calcule ensuite la probabilité en divisant le nombre d’issues où l’événement se produit par le nombre total d’issues. En d’autres termes,
Donnons maintenant une définition plus formelle.
Définition : Probabilité d’un événement
Si est un événement dans un univers , alors la probabilité de l’événement est définie par où est la probabilité de l’événement , est le nombre d’issues de et est le nombre d’issues dans l’univers , en supposant que chaque issue a la même probabilité.
On peut démontrer que la probabilité de tout événement appartient à l’intervalle directement à partir de cette définition.
Puisque ( est un sous-ensemble de ), on a et comme et , on a
Par conséquent,
Nous allons voir dans le premier exemple comment calculer la probabilité d’un événement où il n’y a que deux issues possibles.
Exemple 1: Calculer la probabilité d’un événement
Une classe est constituée de 6 garçons et de 21 filles. Si on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
Réponse
Pour pouvoir calculer la probabilité qu’un élève choisit au hasard soit une fille, nous utilisons la formule suivante : où est la probabilité de l’événement , est le nombre d’issues dans l’événement et est le nombre d’issues dans l’univers .
Dans cette question, l’événement est l’événement que l’élève choisi au hasard soit une fille et l’univers est constitué de tous les élèves, garçons ou filles, de la classe.
Pour calculer la probabilité d’un événement , nous devons dénombrer les issues dans l’événement et dans l’univers .
Nous savons que le nombre de filles dans la classe est égal à 21, donc le nombre d’issues de est .
Pour trouver le nombre d’issues dans l’univers, , il suffit de calculer la somme du nombre de filles et de garçons puisque ce sont les seules issues possibles. On a donc élèves. Le nombre d’issues dans l’univers est donc .
Nous pouvons trouver en appliquant la formule ci-dessus. En remplaçant et , on obtient
Par conséquent, la probabilité qu’un élève choisi au hasard soit une fille est de .
Dans l’exemple suivant, nous allons calculer la probabilité d’un événement mais où il y a cette fois-ci trois issues possibles.
Exemple 2: Calculer la probabilité d’un événement dans un problème de tirage de billes
Un sac contient 7 billes blanches, 8 billes noires et 7 billes rouges. Si une bille est choisie au hasard dans le sac, quelle est la probabilité qu’elle soit blanche ?
Réponse
Pour calculer la probabilité qu’une bille choisie au hasard soit blanche, nous utilisons la formule suivante : où est la probabilité de l’événement , est le nombre d’issues dans l’événement et est le nombre d’issues dans l’univers .
Dans cette question, est l’événement « la bille tirée du sac est blanche » et l’univers est constitué de tous les tirages possibles des billes blanches, noires ou rouges du sac.
Pour calculer la probabilité de l’événement , nous devons dénombrer les issues dans l’événement et dans l’univers .
Puisqu’il y a 7 billes blanches dans le sac, le nombre d’issues dans est .
Pour calculer le nombre d’issues dans l’univers , il suffit d’additionner les nombres de billes blanches, noires et rouges, puisqu’elles représentent les seules issues possibles. En effectuant cette somme, on obtient . Ainsi, l’univers comporte issues.
Nous pouvons calculer en utilisant la formule ci-dessus. On évalue donc la probabilité avec et pour obtenir
Par conséquent, la probabilité qu’une bille choisie dans le sac soit blanche est égale à .
Jusqu’à présent, nous avons traité des exemples où le nombre d’issues d’un événement était donné. Nous allons maintenant étudier un exemple dans lequel nous devons déterminer le nombre d’issues d’un événement à partir de sa description.
Exemple 3: Calculer la probabilité d’obtenir un nombre impair lors d’un lancer de dé équilibré
Si on lance un dé équilibré, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ?
Réponse
Pour calculer la probabilité d’obtenir un nombre impair lors d’un lancer de dé équilibré, nous allons utiliser la formule suivante : où est la probabilité de l’événement , est le nombre d’issues dans l’événement et est le nombre d’issues dans l’univers .
Dans cette question, l’événement consiste à obtenir un nombre impair lors d’un lancer de dé et l’univers est constitué de tous les nombres possibles sur le dé.
Pour calculer la probabilité d’un événement , nous devons dénombrer les issues de l’événement et de l’univers .
Il y a 6 issues possibles lors d’un lancer de dé équilibré : 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Il y a donc 6 issues dans l’univers . Parmi ces issues, les nombres 1, 3 et 5 sont impairs, il y a ainsi 3 issues dans l’événement .
On a donc et .
En utilisant la formule ci-dessus, nous pouvons calculer . En évaluant donc cette probabilité avec et , on obtient
Par conséquent, la probabilité d’obtenir un nombre impair lorsqu’on lance un dé équilibré est de .
Nous allons maintenant étudier un exemple dans lequel nous devons calculer le nombre d’issues d’un événement avant de pouvoir calculer la probabilité de l’événement.
Exemple 4: Calculer la probabilité d’un événement
Quelle est la probabilité de choisir au hasard un nombre premier parmi les nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15 ?
Réponse
Pour déterminer la probabilité de choisir un nombre premier parmi les nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15, nous utilisons la formule de probabilité suivante : où est la probabilité de l’événement , est le nombre d’issues de l’événement et est le nombre d’issues dans l’univers .
Ici, l’événement consiste à tirer un nombre premier et l’univers est constitué des nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15.
Afin de calculer la probabilité recherchée, nous devons déterminer le nombre d’issues dans l’événement , noté et le nombre d’issues dans l’univers , noté .
Puisque les nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15 constituent l’univers , cet univers a 6 issues possibles.
Les seuls nombres premiers (ceux avec exactement 2 diviseurs) parmi 8, 9, 20, 19, 3 et 15, sont 19 et 3. L’événement a donc 2 issues.
Par conséquent, et .
En utilisant la formule ci-dessus et en l’évaluant avec et , on obtient
Par conséquent, la probabilité de tirer un nombre premier au hasard dans la liste des nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15 est de .
Dans l’exemple suivant, nous allons étudier comment calculer le nombre d’issues dans un univers à partir du nombre d’issues d’un des événements et de la probabilité d’un autre événement.
Exemple 5: Utiliser la formule de la probabilité pour résoudre un problème
Un sac contient 24 balles blanches et un nombre inconnu de balles rouges. La probabilité de tirer au hasard une balle rouge est égale à . Combien de balles y a-t-il dans le sac ?
Réponse
Dans cette question, nous connaissons la probabilité de choisir une balle rouge et nous devons calculer le nombre total de balles dans le sac, nous utilisons donc la formule suivante : où est la probabilité de l’événement , est le nombre d’issues dans l’événement et est le nombre d’issues dans l’univers .
Nous connaissons la probabilité de tirer une balle rouge, ainsi que le nombre de balles blanches ; il est donc plus simple de travailler avec l’événement dont nous connaissons la probabilité, c’est-à-dire l’événement consistant à choisir une balle rouge. Définissons alors un nouvel événement qui est l’événement consistant à choisir une balle rouge et l’univers constitué de toutes les balles du sac.
Nous savons que le sac contient des balles rouges et des balles blanches. Le nombre d’issues dans l’univers est donc la somme des 24 balles blanches et d’un nombre inconnu de balles rouges. Soit le nombre de balles rouges, le nombre d’issues dans l’univers est alors
Puisque nous avons défini comme étant le nombre de balles rouges, le nombre d’issues de l’événement est .
Nous savons que la probabilité de choisir une balle rouge est de , donc la probabilité de l’événement est .
On peut substituer , et , dans la formule ci-dessus pour déterminer et donc , le nombre de balles dans le sac :
On résout cette équation en de la façon suivante
Par conséquent, il y a 7 balles rouges dans le sac.
On peut maintenant calculer le nombre de balles dans le sac, puisque l’on sait qu’il y a 24 balles blanches et 7 balles rouges dans le sac ; il y a donc au total balles.
Nous concluons donc que le sac contient 31 balles.
Remarque
Vous avez peut-être remarqué que le dénominateur de la probabilité d’obtenir une balle rouge, , était égal au nombre total de balles dans le sac. En effet, dans la formule pour calculer une probabilité, le nombre d’issues total de l’univers est au dénominateur, il était donc probable que le dénominateur de la probabilité de tirer une balle rouge soit bien égal au nombre total de balles. Cependant, si la fraction avait été simplifiée, alors le dénominateur aurait été un diviseur du nombre total de balles.
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment calculer le nombre total d’issues dans l’univers à partir des probabilités de deux événements et du nombre d’issues d’un troisième événement.
Exemple 6: Appliquer des probabilités d’événements simples pour résoudre un problème.
Un sac contient un nombre inconnu de billes. Il y a 3 billes rouges, des billes blanches et des billes noires. La probabilité de tirer au hasard une bille blanche est égale à et la probabilité de tirer au hasard une bille noire est égale à . Calculez le nombre de billes dans le sac.
Réponse
Dans cette question, nous connaissons les probabilités de tirer au hasard une bille blanche et de tirer au hasard une bille noire, nous utilisons donc la formule suivante : où est la probabilité d’un événement , est le nombre d’issues de l’événement et est le nombre d’issues dans l’univers .
Au lieu de désigner l’événement par , définissons B comme l’événement de choisir une bille blanche, N comme l’événement de choisir une bille noire et R comme l’événement de choisir une bille rouge. L’univers est ici constitué de toutes les billes dans le sac.
Nous savons qu’il y a 3 billes rouges dans le sac ; par conséquent, l’événement R a issues possibles.
Comme nous ne connaissons ni le nombre de billes blanches, ni le nombre de billes noires, soient b le nombre de billes blanches et n le nombre de billes noires. Ainsi, et .
Puisque les seules issues possibles sont les tirages d’une bille rouge, blanche ou noire, le nombre d’issues de l’univers est égal à la somme des nombres de billes rouges, blanches et noires.
Il y a 3 billes rouges, b billes blanches et n billes noires donc le nombre d’issues dans l’univers est
On sait que la probabilité de choisir une bille blanche est de , que le nombre de billes blanches est et que le sac contient billes, on peut donc substituer ces expressions dans la formule
On obtient
En réarrangeant puis en multipliant par les dénominateurs, on a
En soustrayant b aux deux membres, on obtient
On appelle cette équation l’équation (1).
De même, comme la probabilité de tirer une bille noire est égale à , et , on peut substituer ces expressions dans la formule
On a donc
En réarrangeant en multipliant par les dénominateurs, on obtient
En soustrayant n aux deux membres, on obtient
On appelle l’équation ci-dessus l’équation (2).
Nous avons donc deux équations à deux inconnues et nous pouvons calculer b et n en résolvant ce système.
L’équation (1) est et l’équation (2) est .
On résout ce système en remplaçant n dans l’équation (1) par son expression donnée par l’équation (2). On obtient
Il y a donc 6 billes blanches dans le sac.
En substituant dans l’équation (2), on obtient
Il y a donc 9 billes noires dans le sac.
Pour calculer le nombre total de billes dans le sac, nous devons additionner le nombre de billes rouges, qui est égal à 3 d’après l’énoncé, et les nombres de billes blanches et noires, qui sont respectivement égaux à 6 et 9. On a donc
Nous concluons donc qu’il y a 18 billes au total dans ce sac.
Remarque
Nous aurions pu traiter cet exemple autrement, en calculant d’abord la probabilité de tirer une bille rouge en utilisant le fait que la somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
Dans cette fiche explicative, nous avons appris à calculer la probabilité qu’un événement se produise et à résoudre des problèmes de calcul de nombre d’issues d’un événement ou d’un univers, où les probabilités étaient données.
Points clés
- La probabilité d’un événement est définie par
- Toute probabilité appartient à l’intervalle ; plus elle est proche de 1, plus l’événement est susceptible de se produire et inversement, plus la probabilité est proche de 0, moins l’événement est susceptible de se produire.
- Plus formellement, la probabilité d’un événement est définie par où est la probabilité de l’événement , est le nombre d’issues dans l’événement et est le nombre d’issues dans l’univers .
