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Fiche explicative de la leçon : Inéquations linéaires à deux inconnues Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment représenter graphiquement des inéquations linéaires à deux inconnues.

Nous devrons déjà être familiarisés avec la représentation graphique d’inéquations linéaires à une inconnue et l’identification des régions qui les satisfont, telles que 𝑦>2 ou 𝑥5. On rappelle que l’on commence par tracer la droite qui est la frontière de cette région, droite dont l’équation est obtenue en remplaçant le signe d’inégalité de l’inéquation par un signe d’égalité. Par exemple, si nous voulions représenter graphiquement l’inéquation 𝑦>2, l’équation de la droite frontière serait 𝑦=2. On rappelle également que la façon dont nous représentons cette droite dépend du type d’inéquation que nous essayons de représenter.

  • On utilise un trait continu pour représenter une inégalité large;c’est-à-dire une inégalité comportant l’un des signes ou . Nous indiquons de cette façon que les points de la droite satisfont à l’inéquation.
  • On trace la droite en pointillés pour représenter une inégalité stricte;c’est-à-dire une inégalité impliquant l’un des signes < ou >. Cela indique que les points de cette droite ne satisfont pas à l’inéquation.

Par la suite, nous colorions le demi-plan du côté de la droite dont les points satisfont à l’inéquation. Cet ensemble de points est connu sous le nom d’ensemble des solutions de l’inéquation. Dans la figure ci-dessous, nous illustrons la représentation graphique de l’inéquation 𝑦>2. La région a pour frontière la droite 𝑦=2, qui a été tracée en pointillés en raison de l’inégalité stricte et nous avons colorié le demi-plan au-dessus de cette droite. L’ordonnée 𝑦 de chaque point de cette région est supérieure à 2.

Dans cette fiche explicative, nous allons généraliser cette technique afin de pouvoir représenter des inéquations linéaires à deux inconnues. Les droites frontières seront donc des droites obliques avec des équations données sous différentes formes d’équations d’une droite, telles que 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 ou 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. Nous devrons déjà être familiers avec le calcul de l’équation d’une droite à partir de sa représentation graphique et cela va se révéler être une technique essentielle ici.

Considérons d’abord un exemple dans lequel nous identifions la notation correcte pour une inégalité représentée graphiquement.

Exemple 1: Identifier la notation utilisée lors de la représentation graphique d’inéquations

Considérons les inégalités illustrées dans les figures 1 et 2.

Laquelle de ces affirmations est-elle correcte?

  1. La figure 1 représente 𝑦>𝑥;la figure 2 représente 𝑦𝑥.
  2. La figure 1 représente 𝑦𝑥;la figure 2 représente 𝑦>𝑥.

Réponse

En examinant les deux figures, on voit que dans les deux cas, l’équation de la droite frontière est 𝑦=𝑥, puisque tout point de la droite a une abscisse 𝑥 égale à son ordonnée 𝑦. Nous démontrons cela seulement sur certains points de la droite représentée sur la figure ci-dessous.

Nous remarquons que dans les deux graphiques, la région au-dessus de la limite est coloriée. Cela signifie que pour toute abscisse 𝑥, les ordonnées 𝑦 des points de la région coloriée sont supérieures à la valeur de l’ordonnée 𝑦 sur la droite frontière. Par exemple, si l’on considère une abscisse 𝑥 égale à 4, on voit que les coordonnées de certains des points qui se trouvent dans la région coloriée sont (4;2), (4;0), (4;2), et (4;4). Dans tous les cas, l’ordonnée 𝑦 est supérieure à l’abscisse 𝑥.

Les deux inéquations représentées sont donc 𝑦>𝑥 et 𝑦𝑥, mais nous devons déterminer quelle inéquation correspond à quelle figure. La seule différence entre les deux graphiques est la façon dont la droite frontière a été tracée;sur la figure 1, elle est tracée en traits pointillés, tandis que sur la figure 2, elle est tracée d’un trait continu.

Nous rappelons que les traits pointillés représentent des inégalités strictes;c’est-à-dire des inégalités impliquant les signes strictement inférieur ou strictement supérieur. Les traits continus sont utilisés pour représenter les inégalités larges;c’est-à-dire celles impliquant le signe inférieur ou égal, ou celles qui impliquent le signe supérieur ou égal.

La droite frontière de la figure 1 est en traits pointillés, ce qui indique que l’inégalité représentée sur le graphique est stricte. Cela doit donc représenter les solutions de 𝑦>𝑥. Sur la figure 2, cependant, la droite frontière est tracée en continu, ce qui indique que l’inégalité représentée est 𝑦𝑥.

Par conséquent, la bonne réponse est la réponse A:la figure 1 représente 𝑦>𝑥;la figure 2 représente 𝑦𝑥.

Dans notre premier exemple, on nous a donné l’équation de la droite frontière. Considérons maintenant un exemple où nous identifions une inéquation à partir de sa représentation graphique, en utilisant d’abord nos connaissances sur les équations des droites afin de déterminer l’équation de la droite frontière.

Exemple 2: Identifier une inéquation à partir de sa représentation graphique

Quelle inéquation a été représentée sur la figure ci-dessous?

  1. 𝑦<4𝑥3
  2. 𝑦>4𝑥3
  3. 𝑦4𝑥3
  4. 𝑦3𝑥+4
  5. 𝑦<3𝑥+4

Réponse

Nous commençons par trouver l’équation de la droite qui délimite la région coloriée. Rappelons que l’équation d’une droite peut s’écrire sous la forme 𝑦=𝑚𝑥+𝑏,𝑚 est le coefficient directeur de la droite et 𝑏 est l’ordonnée 𝑦 à l’origine. On peut voir sur la figure que cette droite coupe l’axe 𝑦 des ordonnées en 3, et ainsi 𝑏=3. Pour déterminer le coefficient directeur de la droite, nous rappelons la formule 𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥,(𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) sont les coordonnées de deux points sur la droite.

Nous pouvons choisir deux points sur la droite pour calculer le coefficient directeur, mais il est plus simple d’utiliser des points de coordonnées entières. Nous avons déjà établi que la droite passe par le point (0;3) et, à partir de la figure, on peut voir que cette droite passe également par le point (1;1).

En substituant ces valeurs à (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), dans la formule du coefficient directeur, cela donne 𝑚=1(3)10=41=4.

En substituant 𝑏=3 et 𝑚=4 dans l’équation de droite donnée ci-dessus, on trouve que l’équation de la droite frontière est 𝑦=4𝑥3.

Cependant, on ne nous demande pas simplement de trouver l’équation de la droite, mais également de déterminer l’inéquation qui décrit la région coloriée. On remarque que la frontière a été tracée en traits pointillés, ainsi l’inégalité recherchée est stricte;on aura donc une inéquation avec soit le signe strictement supérieur (>), soit le signe strictement inférieur (<).

Nous remarquons ensuite que la région coloriée est en-dessous de la droite. Cela signifie que pour une abscisse 𝑥 donnée, les ordonnées 𝑦 de tous les points qui se trouvent dans la région coloriée sont plus petites que l’ordonnée 𝑦 du point de la droite. L’ordonnée 𝑦 du point de la droite est donnée par 4𝑥3 et donc l’inéquation qui a été représentée graphiquement est 𝑦<4𝑥3.

Comme nous venons de le voir, nous devons déterminer l’inéquation représentée graphiquement en considérant le côté de la droite frontière qui a été colorié. Nous avons vu dans l’exemple précédent une façon de procéder:en considérant, si, pour une valeur donnée de 𝑥, une valeur correspondante de 𝑦 dans la région coloriée est supérieure ou inférieure à l’ordonnée 𝑦 du point correspondant sur la droite. Une autre méthode est décrite ci-dessous.

Comment : Déterminer le signe d’une inégalité

  • Identifiez si la droite frontière est tracée en traits continus, auquel cas on a une inégalité large, ou en pointillés, auquel cas on a une inégalité stricte.
  • Choisissez un point quelconque de la région coloriée.
  • Remplacez les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ce point dans chaque membre de l’équation de la droite frontière et calculer les expressions obtenues.
  • Déterminez lequel des membres est le plus grand. Utiliser la bonne inégalité pour représenter cela, en gardant en tête si une inégalité large ou stricte est nécessaire.

Voyons sur un exemple comment utiliser les coordonnées d’un point pour déterminer le signe approprié.

Exemple 3: Déterminer si un point appartient à l’ensemble solution d’une inéquation

Complète ce qui suit:le point (4;2) appartient à l’ensemble solution de l’inéquation 3𝑥+2𝑦8.

  1. <
  2. >
  3. =

Réponse

Dans ce problème, on doit combler l’espace dans l’inéquation par le signe d’inégalité approprié. Nous pouvons procéder en calculant l’expression du membre de gauche pour le point (4;2) puis en comparant le résultat obtenu avec la valeur dans le membre de droite.

En calculant le membre de gauche pour 𝑥=4 et 𝑦=2, on obtient 3𝑥+2𝑦=(3×4)+(2×2)=124=8.

Ceci est égal à la valeur du membre de droite. Cependant, on nous dit que c’est une inéquation, pas une équation. Quel que soit le signe d’inégalité que nous choisissons, il doit permettre aux deux membres d’être égaux si (4;2) est inclus dans l’ensemble solution. Parmi les options qui nous sont présentées, seule l’option D donne le signe d’une inégalité large et permet donc à l’inéquation d’être vérifiée pour ces valeurs de 𝑥 et 𝑦.

La réponse est donc la réponse D:.

Dans les deux exemples suivants, nous allons nous entrainer à déterminer une inéquation à partir de sa représentation graphique en commençant par déterminer l'équation de la droite frontière puis en regardant quel demi-plan a été colorié. Notre prochain exemple considère une droite frontière de coefficient directeur non entier. Cela ne complique pas les inégalités en jeu, mais il faudra faire attention à déterminer correctement l’équation de cette droite. Si, par exemple, nous utilisons des points de coordonnées non entières pour calculer le coefficient directeur, nous devrons alors prêter une attention particulière à l’échelle utilisée sur les axes du repère.

Exemple 4: Identifier une inéquation à partir de sa représentation graphique

Quelle inéquation a été représentée sur la figure ci-dessous?

  1. 𝑦15𝑥3
  2. 𝑦15𝑥3
  3. 𝑦3𝑥15
  4. 𝑦<15𝑥3
  5. 𝑦>3𝑥15

Réponse

On commence par déterminer l’équation de la droite frontière. Rappelons que, si l’on connait le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une droite, son équation est donnée par 𝑦=𝑚𝑥+𝑏,𝑚 est le coefficient directeur et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine 𝑦. On peut voir sur la figure que la droite coupe l’axe 𝑦 des ordonnées en 3, et on a donc 𝑏=3.

Nous pouvons calculer le coefficient directeur de la droite à partir des coordonnées de deux points de la droite. Nous avons déjà établi que la droite passe par le point (0;3), mais il ne semble pas y avoir d’autres points sur la droite avec des coordonnées entières sur la figure. Nous devons donc considérer l’échelle qui a été utilisée sur les axes. Sur les deux axes 𝑥 des abscisses et 𝑦 des ordonnées, il y a cinq graduations entre deux valeurs entières consécutives, ainsi, chaque subdivision sur ces axes représente 0,2 unités. Nous pouvons voir sur la figure que pour 𝑥=3 la droite passe par un point dont l’ordonnée 𝑦 est deux graduations en dessous de 2, et ainsi l’ordonnée 𝑦 de ce point est égale à 2,4. En substituant les coordonnées des points (0;3) et (3;2,4) dans la formule du coefficient directeur, on trouve 𝑚=3(2,4)0(3)=3+2,40+3=0,63=0,2.

En écriture fractionnaire, le coefficient directeur est donc égal à 15. L’équation de la droite frontière est donc 𝑦=15𝑥3.

Remarquons ensuite que la droite est tracée en trait continu, ce qui indique que la figure représente une inégalité large. Choisissons à présent un point quelconque de la région coloriée;l’origine est le point le plus simple. En substituant 𝑦=0 dans le membre de gauche de l’équation de la droite frontière, on trouve 0. En substituant 𝑥=0 dans le membre de droite de l’équation de la droite frontière, on trouve 15𝑥3=15×03=3.

Puisque 0>3, on peut en déduire que pour tout point de la région coloriée, l’ordonnée 𝑦 est strictement supérieure à la valeur de l’expression 15𝑥3.

En combinant cela avec le fait que nous devons utiliser une inégalité large afin d’inclure les points de la droite frontière, on en déduit que l’inéquation qui a été représentée graphiquement est 𝑦15𝑥3.

On aurait également pu déterminer le sens de l’inégalité en remarquant que la zone coloriée se situe au-dessus de la droite frontière.

Dans chaque exemple que nous avons étudié jusqu’ici, nous avons donné notre réponse sous une forme où la variable 𝑦 était isolée d’un côté de l’inégalité. Cela n’est cependant pas toujours le cas et, de fait, il pourrait parfois nous être demandé de donner notre réponse sous une autre forme. Nous pouvons réarranger une inégalité de la même façon que nous pouvons réarranger une équation. Nous devons toutefois faire attention dans certains cas où nous suivons les règles de réarrangement des équations;plus précisément, lorsque nous multiplions ou divisons les deux membres d’une inéquation par une valeur négative, nous devons inverser le sens du signe de l’inéquation. Considérons maintenant un exemple dans lequel nous donnons notre réponse sous la forme 𝑎𝑦+𝑏𝑥>𝑐.

Exemple 5: Déterminer l’inéquation représentée par un graphique donné

Déterminez l’inégalité dont l’ensemble solution est représenté par la région coloriée.

Réponse

L’ensemble des solutions d’une inéquation est l’ensemble des points qui vérifient cette inéquation. Sur la figure, cela correspond à tous les points de la région coloriée.

On commence par déterminer l’équation de la droite frontière. La figure semble indiquer que la droite coupe l’axe 𝑦 des ordonnées en 1,5, mais, en raison de l’échelle utilisée, nous ne pouvons pas être sûrs de cela. On rappelle que l’équation d’une droite peut s’écrire sous la forme 𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥),𝑚 est le coefficient directeur de la droite et où (𝑥;𝑦) sont les coordonnées d’un des points de la droite.

On peut voir sur la figure que les points (3;6) et (1;0) appartiennent à la droite dont nous allons, pour commencer, calculer le coefficient directeur. On rappelle la formule du coefficient directeur d’une droite, 𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥.

En substituant les coordonnées des deux points, on obtient 𝑚=6031=64=32.

En substituant cette valeur de 𝑚 et les coordonnées du point (1;0) dans l’équation de droite donnée précédemment, on obtient 𝑦0=32(𝑥1).

Pour simplifier cette équation, nous devons d’abord multiplier par 2 chaque membre puis développer les parenthèses dans le membre de droite, comme suit:2𝑦=3(𝑥1)2𝑦=3𝑥3.

Nous avons donc trouvé l’équation de la droite frontière. On peut également remarquer que, sur la figure, la droite frontière est tracée en traits pontillés, et donc que l’inégalité est stricte, c’est-à-dire que le signe est soit strictement inférieur (<), soit strictement supérieur (>). Pour tester le signe que nous devrions utiliser, nous pouvons choisir un point quelconque de la région coloriée. Le plus simple est de choisir l’origine (0;0).

En substituant 𝑦=0 dans le membre gauche de l’équation de la droite frontière, on a 2𝑦=2×0=0.

Dans le membre de droite, nous avons l’expression 3𝑥3, qui est égale à (3×0)3=3.

Puisque 0>3, on a l’inéquation 2𝑦>3𝑥3. Néanmoins, il n’est pas nécessaire de donner notre réponse sous cette forme particulière;n’importe quel réarrangement de cette inéquation serait correct. En soustrayant 3𝑥 à chaque membre, on obtient 2𝑦3𝑥>3.

Dans l’exemple précédent, nous aurions pu choisir de rassembler les trois termes du même côté de l’inéquation et de donner notre réponse comme suit:2𝑦3𝑥+3>0. Sinon, nous aurions pu rassembler les trois termes de l’autre côté de l’inéquation et donner notre réponse sous la forme 3𝑥2𝑦3<0. Toutes ces formes conviennent, à condition d’avoir suivi correctement les étapes permettant de réarranger l’inéquation.

Concluons en résumant certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut représenter graphiquement les solutions d’inéquations linéaires à deux inconnues.
  • L’ensemble solution d’une inéquation est l’ensemble de tous les points qui vérifient cette inéquation et est représenté graphiquement par une région coloriée.
  • Pour déterminer une inéquation dont on connait la représentation graphique, on commence par déterminer l’équation de la droite frontière, soit à l’aide de l’équation dont la forme permet de lire le coefficient directeur et les coordonnées d’un point de cette droite, soit à l’aide de l’équation dont la forme permet de lire le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.
  • Les droites frontières sont tracées en pointillés dans le cas d’inégalités strictes et en traits continus dans le cas d’inégalités larges.
  • Pour déterminer le signe d’une inéquation, on peut considérer un point quelconque de la région coloriée. En substituant les coordonnées dans chaque membre de l’équation de la droite frontière, nous pouvons déterminer le membre qui a la plus grande valeur et ainsi le signe de l’inégalité.

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