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Fiche explicative de la leçon : Énergie potentielle Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment trouver l’énergie potentielle et ses variations et les utiliser pour résoudre différents problèmes.

Imaginer un objet qui est maintenu au repos à une hauteur au-dessus du sol et qui peut ensuite tomber. Lorsque l’objet tombe, il accélère (sa vitesse augmente, ainsi que son énergie cinétique).

Nous savons cependant que l’énergie est conservée. L’énergie ne peut être ni créée ni détruite, elle peut seulement être transférée. Cela signifie que pour que l’énergie cinétique de l’objet augmente, une autre énergie doit diminuer de la même quantité. Pour l’objet qui tombe, c’est son énergie potentielle gravitationnelle.

Tous les objets de l’univers qui ont une masse s’attirent. La force de gravité agit entre les objets avec une masse pour les rapprocher, augmentant leur vitesse et leur énergie cinétique.

Cela signifie que lorsque les objets sont séparés, on peut dire qu’ils ont de l’énergie potentielle, en l’occurrence, de l’énergie potentielle gravitationnelle. L’énergie potentielle gravitationnelle existe pour tout système d’objets massifs qui sont séparés.

Considérons un corps qui tombe sur un plan incliné lisse à partir d’un point 𝐴 jusqu’au point 𝐵. Les forces de frottement sont négligées, et ainsi, l’objet ne ressent que la force gravitationnelle, son poids, donné par 𝑚𝑔.

Selon le théorème de l’énergie cinétique, la variation d’énergie cinétique lorsque le corps tombe de 𝐴 à 𝐵 est donnée par le travail, 𝑊, du poids de l’objet entre 𝐴 et 𝐵:Δ𝐸=𝑊=𝑚𝑔𝑠.Cd

Pour tout déplacement infinitésimal d𝑠, 𝑚𝑔𝑠d peut être interprété comme la projection scalaire de d𝑠 sur 𝑔 multiplié par 𝑚𝑔, avec 𝑔 étant la norme de 𝑔. L’intégrale 𝑚𝑔𝑠d est donc la somme de ces projections scalaires, c’est-à-dire la projection de 𝐴𝐵 sur 𝑔 multiplié par 𝑚𝑔 (c.-à-d. 𝑚𝑔𝐴𝐵). Puisque 𝑔 est un vecteur vertical pointant vers le bas, la projection scalaire de 𝐴𝐵 sur 𝑔 est l’opposé de la variation selon la coordonnée 𝑧 (aussi appelée hauteur ou altitude) de 𝐴 à 𝐵 (car elle est positive, dans le même sens que 𝑔, quand l’altitude diminue). Par conséquent, nous avons 𝑊=𝑚𝑔𝑠=𝑚𝑔(𝑧𝑧)=𝑚𝑔Δ,d𝑧 et 𝑧 sont les coordonnées 𝑧 de 𝐴 et 𝐵, respectivement, et Δ est le changement d’altitude entre 𝐴 et 𝐵.

L’énergie potentielle gravitationnelle diminue de la même manière que l’énergie cinétique augmente lorsqu’un corps, soumis uniquement à son poids, tombe, car l’énergie totale du corps est conservée. Par conséquent, avec Δ𝐸G la variation de l’énergie potentielle gravitationnelle, nous avons Δ𝐸+Δ𝐸=0;CG c’est-à-dire Δ𝐸=Δ𝐸=𝑊.GC

Cela signifie que, inversement, lorsque l’énergie cinétique diminue, l’énergie potentielle augmente.

Les deux situations sont illustrées par un train sur des montagnes russes:quand il descend la pente, il perd de l’énergie potentielle en perdant de l’altitude et gagne de l’énergie cinétique;lorsqu’il remonte la pente suivante, son énergie cinétique diminue à mesure qu’il gagne en hauteur (et donc en énergie potentielle).

L’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet dépend de la masse et de la hauteur de l’objet, et est définie comme suit.

Définition : Énergie potentielle gravitationnelle

L’énergie potentielle gravitationnelle, 𝐸G, d’un objet de masse 𝑚 à une hauteur au-dessus d’un point de référence est donné par 𝐸=𝑚𝑔,G𝑔 est l’accélération locale due à la gravité avec une valeur d’environ 9,8 m/s2.

Notez que peut être la hauteur au-dessus de tout point de référence que nous choisissons. Nous pourrions choisir le sommet d’un bâtiment ou le sommet d’une falaise, auquel cas l’énergie potentielle gravitationnelle que nous calculons serait l’énergie potentielle de l’objet par rapport au sommet du bâtiment ou au sommet de la falaise. La plupart du temps, cependant, le point de référence que nous choisissons est le sol, auquel cas les objets qui sont sur le sol ont une énergie potentielle gravitationnelle de zéro.

Regardons notre premier exemple où nous devons déterminer la hauteur d’un corps compte tenu de sa masse et de son énergie potentielle.

Exemple 1: Déterminer la hauteur au-dessus du sol d’un corps en utilisant l’énergie potentielle gravitationnelle

Un corps de masse 4 kg avait une énergie potentielle gravitationnelle de 2‎ ‎136,4 joules par rapport au sol. Déterminez sa hauteur. On considèrera l’accélération due à la gravité comme étant 9,8 m/s2.

Réponse

Pour résoudre cette question, nous pouvons utiliser la formule pour l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet:𝐸=𝑚𝑔.G

Tout d’abord, réarranger la formule pour isoler :𝐸𝑚𝑔==𝐸𝑚𝑔.GG

Maintenant, substituons les valeurs:=2136,44×9,8=54,5.

L’objet est à une hauteur de 54,5 m au-dessus du sol.

Voyons un exemple où nous avons besoin de trouver l’augmentation de l’énergie potentielle d’un corps qui est élevé.

Exemple 2: Déterminer l’énergie potentielle gravitationnelle d’un corps à une hauteur donnée au-dessus du sol

Une grue lève un corps de masse 132 kg à une hauteur de 20 m. Déterminez l’augmentation de l’énergie potentielle gravitationnelle du corps. On prendra pour l’accélération due à la gravité 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Dans le scénario de cette question, une grue lève un objet jusqu’à une hauteur de 20 m. La question ne dit pas où l’objet commence - il peut commencer au sol ou il se peut qu’il ait déjà fait partie d’une structure plus haut - mais cela n’a pas d’importance parce que nous pouvons prendre n’importe quel point de référence pour fixer où l’objet a commencé son mouvement, il nous suffit de considérer de combien la hauteur de l’objet a augmenté après avoir été déplacé, c’est-à-dire de 20 m.

On peut utiliser la formule de l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet:𝐸=𝑚𝑔.G

On substitue dans les valeurs:𝐸=132×9,8/×20𝐸=25872/.GGkgmsmkgms

Les unités de kilogrammes-mètres carrés par seconde carrée ( kg⋅m2/s2 ) sont équivalentes à des unités de joules ( J ) de sorte que l’augmentation de l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet est 25‎ ‎872 J.

Notre exemple suivant concerne un corps se déplaçant vers le haut d’un plan incliné.

Exemple 3: Déterminer l’augmentation de l’énergie potentielle gravitationnelle d’un corps qui monte sur un plan incliné

Un corps de masse 8 kg est déplacé de 238 cm vers le haut le long de la droite de plus grande pente d’un plan lisse incliné de 30 à l’horizontale. Calculez l’augmentation de son énergie potentielle gravitationnelle. On prendra 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Ce problème est plus facile à résoudre si nous dessinons d’abord une figure du scénario.

Nous mesurons ici la distance parcourue vers le haut le long de la pente et l’augmentation de la hauteur du coin inférieur gauche de l’objet, mais, comme l’objet ne change pas de forme lors de son déplacement, nous aurions pu choisir n’importe quel point.

L’objet se déplace de 238 cm vers le haut de la pente, mais nous ne sommes intéressés que par l’augmentation de sa hauteur puisque l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet dépend de sa hauteur, et non de la distance parcourue.

On peut utiliser la trigonométrie pour déterminer l’augmentation de la hauteur, , de l’objet:=238(30)sin, qui est égale à 119 cm ou 1,19 m. Nous utiliserons les mètres dans notre calcul de façon à obtenir une valeur pour l’énergie en joules.

Maintenant, nous pouvons utiliser la formule pour l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet:𝐸=𝑚𝑔.G

On substitue par nos valeurs:𝐸=8×9,8×1,19𝐸=93,296.GG

Ainsi, l’augmentation de l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet est de 93,296 joules.

Voyons maintenant un exemple de perte d’énergie gravitationnelle.

Exemple 4: Déterminer la variation de l’énergie potentielle gravitationnelle d’un hélicoptère qui descend verticalement

Un hélicoptère de masse 2‎ ‎630 kg descend verticalement d’une hauteur de 250 m à une hauteur de 150 m. Déterminez sa perte en énergie potentielle gravitationnelle. On considèrera l’accélération due à la gravité comme étant 𝑔=9,8/ms et on donnera la réponse en notation scientifique.

Réponse

Afin de déterminer de quelle quantité l’énergie potentielle gravitationnelle de l’hélicoptère diminue, nous devons trouver la différence entre l’énergie potentielle gravitationnelle de l’hélicoptère aux deux hauteurs. Cela peut être exprimé algébriquement comme Δ𝐸=𝑚𝑔𝑚𝑔Δ𝐸=𝑚𝑔(),GG est la hauteur supérieure et est la hauteur la plus basse. On substitue par nos valeurs:Δ𝐸=2630×9,8×(250150)Δ𝐸=2630×9,8×100Δ𝐸=2577400.GGG

Cette réponse est en joules et peut être exprimée en notation scientifique comme 2,5774×10J ou 2,6×10J au dixième près.

Jusqu’à présent, nous n’avons examiné que l’exemple de l’énergie potentielle gravitationnelle causée par la force gravitationnelle. Il y a d’autres forces qui conduisent à l’énergie potentielle, telles que la force élastique dans un ressort (conduisant à l’énergie potentielle élastique) ou la force électrique d’une charge électrique placée dans un champ électrique (conduisant à l’énergie potentielle électrique). Toutes ces forces sont dites conservatrices car leur travail ne dépend pas du chemin parcouru, et donc, si un corps se déplace en boucle fermée, le travail total est nul.

Comme nous l’avons vu plus haut pour la force gravitationnelle, on trouve une force conservartrice par exemple lorsque la force est constante parce que son produit scalaire avec un déplacement infinitésimal d𝑠 est proportionnel à la projection scalaire de d𝑠 sur un vecteur constant (le vecteur de force). L’intégrale pour trouver le travail de la force lorsque le corps passe d’un point à un autre ne dépendra donc pas de la trajectoire empruntée, mais uniquement des positions initiale et finale.

Le concept d’énergie potentielle est ensuite étendu à toute force conservatrice et la variation d’énergie potentielle due à l’action d’une force conservatrice est définie comme suit.

Définition : Variation de l’énergie potentielle due à une force conservatrice

La variation de l’énergie potentielle, Δ𝐸P, d’un corps due à l’action d’une force conservatrice, 𝐹, déplaçant le corps d’un point 𝐴 à un point 𝐵 est l’opposé du travail effectué par la force entre ces deux points:Δ𝐸=𝑊=𝐹𝐴𝐵.P

Voyons un exemple où nous avons besoin de trouver la variation de l’énergie potentielle d’un corps se déplaçant sous l’action d’une force constante.

Exemple 5: Déterminer la variation de l’énergie potentielle due à une force constante

Un corps se déplace sous l’action d’une force constante 𝐹=5𝑖+3𝑗N, 𝑖 et 𝑗 sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires. Au temps 𝑡secondes, 𝑡0, le vecteur position de l’objet par rapport à un point fixe est donné par 𝑟=𝑡+4𝑖+4𝑡+8𝑗m. Déterminez la variation de l’énergie potentielle du corps dans les premières 9 secondes.

Réponse

Puisque que c’est une force constante, c’est une force conservatrice. Pour une force conservatrice, la variation de l’énergie potentielle d’un objet, 𝑈, est donnée par Δ𝑈=𝑊,𝑊 est le travail effectué. On peut trouver le travail effectué en utilisant 𝑊=𝐹𝑑,𝐹 est la force sur l’objet et 𝑑 est son déplacement.

Comme la force est une force conservatrice, le chemin exact emprunté par l’objet n’a pas d’importance lors du calcul du travail effectué;tout ce que nous devons considérer est la différence entre les points initial et final du trajet de l’objet. Ainsi, le déplacement est juste le vecteur position final de l’objet, 𝑟(𝑡), moins le vecteur position initiale, 𝑟(𝑡):𝑑=𝑟(𝑡)𝑟(𝑡)𝑑=𝑟(9)𝑟(0)𝑑=9+4𝑖+4×9+8𝑗0+4𝑖+4×0+8𝑗𝑑=85𝑖+332𝑗4𝑖+8𝑗𝑑=81𝑖+324𝑗.

On peut maintenant utiliser la formule ci-dessus pour calculer le travail effectué par la force:𝑊=5𝑖+3𝑗81𝑖+324𝑗𝑊=1377.

Par conséquent, la variation de l’énergie potentielle est Δ𝑈=𝑊Δ𝑈=1377.J

Voyons notre dernier exemple où nous considérons une force conservatrice.

Exemple 6: Déterminer la composante inconnue d’une force agissant sur un corps compte tenu de la variation de son énergie potentielle

Un corps se déplace en ligne droite entre un point 𝐴(6;0) et un point 𝐵(5;4) sous l’action de la force 𝐹=𝑚𝑖+2𝑗N. Sachant que la variation de l’énergie potentielle du corps est de 2 joules et que le déplacement est en mètres, déterminer la valeur de la constante 𝑚.

Réponse

Dans cette question, nous savons qu’une force agit sur un objet lorsqu’il se déplace le long d’une trajectoire. La force agit sur l’objet et la valeur du travail effectué sur l’objet est égale à l’opposé de la variation de son énergie potentielle.

Nous pouvons utiliser la formule pour le travail effectué sur un objet afin de proposer une expression qui inclut la constante inconnue 𝑚:𝑊=𝐹𝑑.

Tout d’abord, trouvons 𝑑, le déplacement que l’objet subit. Nous supposerons que les coordonnées qui nous sont données sont en unités de mètres. On peut représenter les points 𝐴 et 𝐵 comme vecteurs 𝑎 et 𝑏 avec des composantes 𝑎=6𝑖 et 𝑏=5𝑖+4𝑗. Le déplacement, 𝑑, est ensuite donné par 𝑑=𝑏𝑎𝑑=5𝑖+4𝑗6𝑖𝑑=𝑖+4𝑗.

Maintenant, mettons les expressions pour la force et le déplacement, ainsi que la valeur du travail effectué, dans la formule pour le travail:Δ𝑈=𝑊2=𝑚𝑖+2𝑗𝑖+4𝑗2=𝑚+8𝑚=10.

Ainsi, la valeur de 𝑚 est 10 et 𝐹=10𝑖+2𝑗N.

Enfin, nous considérons le cas d’un corps soumis à une force conservatrice et une autre force agissant contre la force conservatrice de sorte que l’énergie potentielle augmente, par exemple, lorsqu’un objet est soulevé par une grue ou lorsque quelqu’un comprime ou étend un ressort. Si nous supposons que le corps a commencé à se déplacer à partir du repos et a atteint sa position finale avec une vitesse nulle, il n’y a pas de changement dans l’énergie cinétique de l’objet entre les deux positions. Selon le théorème de l’énergie cinétique, nous savons que la somme des travaux de toutes les forces agissant sur le corps est égale à la variation de l’énergie cinétique. Par conséquent, nous avons ici que 𝑊+𝑊=0,FcFo𝑊Fc désigne le travail de la force conservatrice et 𝑊Fo le travail de l’autre force. Puisque 𝑊=Δ𝐸FcP, nous concluons que le travail de l’autre force est égal à la variation de l’énergie potentielle:𝑊=Δ𝐸.FoP

Ainsi, lorsqu’un corps est soulevé par une force, cette force effectue un travail positif égal à l’augmentation de son énergie potentielle, tandis que le poids effectue un travail négatif.

Points clés

  • L’énergie potentielle gravitationnelle, 𝐸G, d’un objet de masse 𝑚 à une hauteur au-dessus du sol est donnée par 𝐸=𝑚𝑔,G𝑔 est l’accélération locale due à la gravité avec une valeur d’environ 9,8 m/s2.
  • Pour une force conservatrice, la variation de l’énergie potentielle d’un objet, Δ𝐸P, est égal à l’opposé du travail effectué, 𝑊, par la force exercée sur l’objet:Δ𝐸=𝑊.P

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