Fiche explicative de la leçon: Combinaisons des incertitudes Physique • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à déterminer les incertitudes sur les valeurs de grandeurs qui peuvent être calculées à partir de deux ou plusieurs valeurs mesurées.

Rappelons d’abord que l’incertitude sur la valeur d’une grandeur physique ou d’une mesure est un nombre décrivant la précision de notre mesure. C’est-à-dire que l’incertitude décrit une gamme de valeurs cohérente avec une mesure particulière et quantifie le fait qu’aucune mesure n’est exacte. Lorsque l’incertitude est divisée par la mesure réelle, nous trouvons l’incertitude en fraction ou en pourcentage.

Si notre grandeur ou mesure est représentée par la lettre , alors l’incertitude correspondante est représentée par le symbole et le pourcentage d’incertitude est donné par .

Chaque mesure a une incertitude. Mais qu’en est-il lorsque nous effectuons des calculs avec les résultats de plusieurs mesures ? Par exemple, si on mesure la longueur et la largeur d’une planche, on peut trouver que la longueur est de et la largeur est de . En utilisant ces informations, nous pouvons calculer rapidement l’aire comme étant de . Cependant, nos deux mesures sont incertaines, ce qui signifie que notre calcul de l’aire n’est pas non plus exact. Nous avons besoin d’un ensemble de règles pour déterminer les incertitudes dans des situations comme celle-ci.

Commençons par un cas plus simple : additionner deux mesures. Ce genre de calcul peut intervenir lorsque nous calculons la longueur totale de deux crayons. On peut voir deux crayons et une règle dans le schéma ci-dessous.

Nous pourrions mesurer la longueur de chaque crayon en utilisant la règle sur le schéma, mais comme les pointes ne sont pas alignées exactement avec les marques d’étalonnage, notre mesure ne serait pas exacte. En particulier, notre incertitude correspondrait à peu près à la longueur entre les repères d’étalonnage. Si nous ajoutons plus de repères, nous pouvons réduire cette incertitude, mais il n’y a pas de règle avec suffisamment de points de calibrage pour mesurer parfaitement chaque objet. De plus, les marques elles-mêmes ont une largeur physique qui contribue à l’incertitude. La longueur totale des deux crayons est la somme de chacune des longueurs, chacune avec sa propre incertitude. La règle pour déterminer l’incertitude combinée dans ce cas est assez simple, et nous l’appellerons la règle de la somme.

La règle de la somme se révèle assez intuitive si nous traitons l’incertitude de la manière suivante : la valeur minimale cohérente avec notre mesure est la valeur que nous mesurons moins l’incertitude. De même, la valeur maximale cohérente avec notre mesure est la valeur que nous mesurons plus l’incertitude. Concrètement, disons que nous mesurons une grandeur comme étant de . Toutes les valeurs correspondant à cette mesure sont comprises entre, au minimum 9 s, et au maximum, 11 s. Maintenant, disons que nous mesurons une autre quantité comme étant de de sorte que toutes les valeurs cohérentes avec cette mesure sont comprise entre, au minimum, 22,5 s, et au maximum, 23,5 s. Pour déterminer la valeur minimale et la valeur maximale correspondant à la somme de ces mesures, il suffit d’ajouter les valeurs minimales et maximales correspondant à chaque mesure. Comme ces valeurs minimales et maximales ont été obtenues en soustrayant ou en additionnant les incertitudes individuelles, il s’ensuit que l’incertitude de la somme est la somme des incertitudes.

La règle de la somme est utilisée chaque fois que nous avons une somme ou une différence de mesures. La règle s’applique à la fois à l’addition et à la soustraction, car la soustraction peut toujours être exprimée comme une addition avec des nombres négatifs.

Voyons un exemple d’application de la règle de la somme.

L’exemple que nous venons de décrire consiste à appliquer la règle de la somme à une combinaison de deux incertitudes. En fait, la règle de la somme s’applique à n’importe quel nombre d’incertitudes combinées par addition ou soustraction. Cet exemple suivant montre comment utiliser la règle de la somme pour plus de deux incertitudes.

Il est important de noter que lors de l’addition d’incertitudes avec la règle de la somme, l’incertitude combinée dépend uniquement des incertitudes, et non des valeurs mesurées. Ce n’est pas le cas pour notre prochaine règle, la règle du produit pour combiner les incertitudes, qui dépend des valeurs mesurées.

Au début de cette fiche explicative, nous nous sommes demandé comment déterminer l’incertitude d’une aire étant donné les incertitudes de sa longueur et de sa largeur correspondantes. Sachant que l’aire est la longueur fois la largeur, nous avons besoin de la règle du produit pour combiner les incertitudes.

Nous utilisons la règle du produit chaque fois que nous multiplions des grandeurs ensemble. De même, comme la division peut toujours être exprimée comme une multiplication de valeurs inverses, nous utilisons également la règle du produit quand des grandeurs sont divisées.

Avant d’examiner la base mathématique de la formule de la règle du produit, nous allons nous exercer à l’appliquer avec un exemple.

À ce stade, il convient d’examiner la base mathématique de la règle du produit. Bien que l’idée ne soit pas aussi simple que la règle de la somme, nous pouvons toujours construire le résultat de manière intuitive.

Rappelons que l’incertitude d’une mesure multipliée par un nombre est ce nombre multiplié par l’incertitude de la mesure. Symboliquement, si est un nombre, est une mesure, et , alors

Maintenant, nous observons que, pour la règle du produit, nous avons considéré un calcul de la forme . La seule différence entre cela et est que a une incertitude , tandis que n’en a pas (de manière équivalente, ).

Nous pouvons maintenant comprendre l’origine de la règle du produit pour combiner les incertitudes. Parce que a une incertitude, nous devons traiter dans la grandeur de la même manière que nous avons traité dans la grandeur . Plus précisément, dans le cadre de la détermination de l’incertitude totale, nous devons multiplier par . Cependant, en utilisant exactement la même logique, car a une incertitude, nous devons traiter dans la grandeur de la même manière que nous avons traité dans la grandeur . Par conséquent, pour déterminer l’incertitude totale, il faut aussi multiplier par . Nous avons maintenant trouvé deux termes qui doivent jouer un rôle dans l’incertitude finale, à savoir et . Le premier terme est la contribution de l’incertitude sur et la seconde est la contribution de l’incertitude sur . Ces deux termes sont les seules contributions à l’incertitude totale et, lorsqu’ils sont combinés, donnent exactement la règle du produit.

Pour introduire notre dernière règle, la règle des puissances pour combiner les incertitudes, considérons l’exemple suivant impliquant un type particulier de produit.

Dans cet exemple, nous avons utilisé la règle du produit pour déterminer l’incertitude. Cependant, voyons ce qui se passerait si nous utilisions la règle de produit pour écrire symboliquement : 

La règle du produit pour ce cas particulier de l’incertitude de la puissance d’une grandeur s’est réduite à une forme particulièrement simple qui ne nécessite aucune addition de termes, seulement une multiplication de grandeurs appropriées. Si l’on admet et divisons les deux côtés par comme on l’a fait pour dans la règle du produit habituelle, nous trouvons une autre forme utile :  qui relie les incertitudes fractionnaires ou en pourcentage et .

Maintenant, étant donné notre succès ci-dessus, nous sommes tentés de trouver l’incertitude pour d’autres puissances de , disons  . En appliquant la règle du produit à , nous avons

Mais on sait déjà simplifier en utilisant la règle du produit ; c’est simplement . Donc, nous avons

À ce stade, nous pouvons voir un modèle commencer à émerger. En appliquant de manière répétée la règle du produit, il semble que nous trouverons toujours que l’incertitude fractionnaire d’une grandeur élevée à une puissance sera la puissance multipliée par l’incertitude fractionnaire de la grandeur elle-même. En fait, non seulement tout cela est vrai ; mais c’est aussi précisément notre règle des puissances pour combiner les incertitudes.

Maintenant que nous avons défini notre dernière règle, nous pouvons l’appliquer à un exemple.

Enfin, nous allons calculer une dernière incertitude en combinant la règle du produit et la règle de la puissance.

Dans cet exemple, nous avons déterminé une incertitude compliquée en la décomposant en éléments plus simples, dont chacun pouvait être calculé à l’aide des règles que nous connaissions déjà. C’est une approche générale pour combiner les incertitudes. Chaque fois que nous sommes confrontés à une grandeur qui est une combinaison de sommes, de produits et de puissances d’autres grandeurs, nous pouvons calculer l’incertitude totale à partir des incertitudes individuelles en appliquant à plusieurs reprises les règles que nous avons apprises.

Terminons par rappeler les trois règles que nous avons apprises pour combiner les incertitudes.