Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer l'étendue d'une série statistique.
Tout au long de cette fiche explicative, nous ne considérerons que des séries statistiques impliquant des nombres, ce qui nous permettra de réaliser des calculs sur les valeurs de la série statistique. L’étendue d’une série statistique est un moyen de mesurer la répartition ou dispersion d’une série statistique. C’est essentiellement la plus grande différence possible entre deux valeurs de la série statistique, nous donnant ainsi une mesure de cet écart. Nous pouvons le définir formellement comme suit.
Définition : Étendue d’une série statistique
L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
L’étendue nous donne une indication sur la répartition des données ; c’est l’écart maximal entre deux éléments de la série statistique.
Voyons comment appliquer cette définition et pourquoi l’étendue peut être utile en considérant un exemple. Supposons que dans un magasin il y ait des grappes de raisin, coûtant toutes le même prix. Les masses de chaque grappe seront légèrement différentes et peuvent être représentées par la série statistique suivante :
L’étendue de cette série statistique est la différence entre la masse la plus grande et la masse la plus petite. On peut calculer cela comme suit
Cela nous donne quelques informations utiles sur la répartition des masses des grappes. Premièrement, cela nous indique que la différence maximale entre les masses des grappes est de 7 g. Deuxièmement, cela nous permet d’utiliser la masse de la grappe la plus lourde ou la plus légère pour déterminer l’autre valeur extrême. Par exemple, si nous savons que l’étendue est 7 g et que la grappe la plus lourde a une masse de 254 g , alors
Enfin, si nous connaissons l’étendue de deux séries statistiques différentes, nous pouvons les utiliser pour les comparer. Par exemple, supposons qu’un second lot de pommes ait une étendue de 15 g. Cela indique que la dispersion des masses dans le second lot est plus grande que dans le premier.
Regardons quelques exemples pour s’entraîner à calculer et à utiliser l’étendue.
Exemple 1: Vérifier l’étendue d’une série statistique donnée
Vrai ou faux : si les nombres de buts marqués par douze joueurs de football au cours d’une saison sont 13, 11, 12, 5, 5, 9, 6, 11, 8, 5, 6 et 19, alors l’étendue des données est 14 buts.
Réponse
On rappelle que l’intervalle est la différence entre la plus petite valeur de la série et la plus grande. Une façon d’extraire ces valeurs est d’écrire les données par ordre de taille, de la plus petite à la plus grande. Cela nous donne les éléments suivants :
L’étendue est alors la différence entre la plus petite valeur de la série et la plus grande, qui est
Par conséquent, l’affirmation est vraie.
Dans les deux exemples suivants, nous utiliserons l’étendue et une valeur extrême donnée pour déterminer l’autre valeur extrême de la série statistique.
Exemple 2: Déterminer l’élément le plus petit d’une série statistique connaissant sa plus grande valeur et son étendue
Soit 445 le plus grand élément d’une série d’étendue 254. Quel est le plus petit élément de cette série ?
Réponse
On rappelle que l’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :
En réarrangeant cette équation, nous avons
Maintenant, nous substituons la plus grande valeur et l’étendue dans l’équation pour obtenir
Par conséquent, l’élément le plus petit est 191.
Exemple 3: Déterminer l’élément le plus grand d’une série statistique connaissant sa plus petite valeur et son étendue
Sachant que l’étendue d’une série statistique est 86 et que la valeur la plus petite est 53, déterminez la valeur la plus grande de la série.
Réponse
On rappelle que l’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :
En réarrangeant cette équation, nous avons
Nous substituons la valeur de l’étendue et de la plus petite valeur de la série pour obtenir
Par conséquent, la valeur la plus grande de la série est 139.
Dans notre prochain exemple, nous verrons comment l’étendue d’une série statistique peut nous donner des informations sur la répartition des valeurs de la série.
Exemple 4: Comparer des données à l’aide de l’étendue
Le tableau ci-dessous indique le nombre de points marqués par deux équipes de basketball au cours des 8 matchs auxquels ils ont participé durant le mois.
| Équipe A | 112 | 107 | 99 | 101 | 92 | 96 | 89 | 99 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Équipe B | 70 | 66 | 75 | 74 | 84 | 67 | 78 | 93 |
- L’étendue des points pour l’équipe A est de 23. Déterminez l’étendue des points pour l’équipe B.
- Laquelle des affirmations suivantes peut être utilisée pour comparer les dispersions des points des équipes A et B ?
- Les dispersions des points de l’équipe A et de l’équipe B sont équivalentes.
- La dispersion des points de l’équipe A est plus petite que celle des points de l’équipe B.
- La dispersion des points de l’équipe A est plus grande que celle de l’équipe B.
- Nous ne pouvons pas faire de comparaison entre les dispersions des points des deux équipes.
Réponse
Partie 1
On rappelle que l’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :
On peut donc déterminer l’étendue des points de l’équipe B en déterminant la différence entre le nombre de points le plus grand et le plus petit. D’après le tableau, nous voyons que le plus grand nombre de points est 93 et le plus petit 66. Par conséquent,
Partie 2
On nous dit que l’étendue des points de l’équipe A est de 23 et, dans la partie précédente, nous avons constaté que l’étendue des points de l’équipe B était de 27. Sachant que 27 est plus grand, on peut dire que leurs points y sont plus dispersés.
En particulier, on peut dire que la dispersion des points de l’équipe A est plus petite que celle des points de l’équipe B ; ce qui correspond à l’option B.
Dans notre prochain exemple, nous déterminerons l’étendue d’une série statistique représentée par un diagramme de dispersion.
Exemple 5: Décrire l’effet d’une donnée numérique supplémentaire sur l’étendue d’une série statistique
La figure suivante illustre le nombre de verres d’eau qu’un groupe de personnes consomme par jour. Décrivez comment l’étendue évoluerait si une donnée numérique supplémentaire égale à 1 était ajoutée à la série statistique.
Réponse
On rappelle que l’étendue d’une série statistique est égale à la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. On nous donne un diagramme de dispersion de cette série ; nous rappelons que les croix représentent chacune une valeur de la série statistique. Par exemple, comme il n’y a qu’une seule croix au-dessus de 4, on peut conclure que 4 n’apparaît qu’une fois dans la série.
Nous pouvons utiliser cela pour déterminer les éléments les plus grands et les plus petits de la série statistique. L’élément le plus grand de la série est 5 et le plus petit est 0. Ainsi, l’étendue de la série statistique est la différence entre ces deux valeurs :
Si une donnée numérique supplémentaire de 1 était ajoutée, cela ne changerait ni la plus grande ni la plus petite valeur, de sorte que l’étendue ne changerait pas.
Par conséquent, l’étendue resterait égale à 5.
Dans notre dernier exemple, nous déterminerons une valeur possible manquante dans une série statistique en utilisant son étendue.
Exemple 6: Utiliser l’étendue pour déterminer la valeur manquante d’une série statistique
Rémi a les données suivantes : .
Si l’étendue est 7, quel pourrait être le nombre ?
- 5
- 6
- 2
- 9
- 8
Réponse
Nous rappelons que l’étendue d’une série statistique est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de la série statistique.
Commençons par considérer la série statistique sans considérer la valeur . Alors, la série statistique est
La plus grande valeur est 9 et la plus petite valeur est 6, de sorte que l’étendue est
Il y a deux façons possibles d’ajouter une valeur à la série de sorte que son étendue augmente jusqu’à 7. Soit on ajoute une nouvelle plus grande valeur, soit une nouvelle plus petite valeur. Nous pouvons considérer chaque option séparément.
D’abord, si est le plus grand élément de la série statistique, alors l’étendue est donnée par
Comme l’étendue est 7, nous avons
De même, si est le plus petit élément de la série statistique, alors
Comme l’étendue est 7, nous avons
Par conséquent, ou 13.
En regardant la liste des réponses qui nous ont été données, nous voyons que seul 2 est une valeur possible pour , ce qui correspond à l’option C.
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points Clés
- L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
- L’étendue nous donne une indication sur la répartition des données ; c’est la différence maximale entre deux éléments de la série statistique.
- Nous pouvons utiliser l’étendue et l’une des valeurs maximale ou minimale de la série statistique pour déterminer l’autre valeur extrême.
- Nous pouvons comparer la dispersion de deux séries statistiques en comparant leurs étendues.
