Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment appliquer l’intégration pour calculer l’aire délimitée par les courbes représentatives de deux ou plusieurs fonctions.
Rappelons que l’aire algébrique délimitée par une courbe d’équation , l’axe des et par les droites d’équations et est donnée par l’intégrale de par rapport à entre et comme suit : où est une primitive de , c’est-à-dire une fonction telle que
Les zones au-dessus de l’axe des ont une aire algébrique positive, tandis que les zones sous l’axes des ont une aire algébrique négative. Pour déterminer l’aire d’une région, qui est une quantité positive, on prend la valeur absolue de l’aire algébrique.
Rappelons aussi que l’intégrale est une application linéaire ; par conséquent, elle respecte à la fois l’addition et la multiplication par un scalaire. La différence entre les intégrales de deux fonctions, et est donc donnée par l’intégrale de la différence entre les deux fonctions comme suit :
Rappelons que cette propriété peut être utilisée pour déterminer l’aire délimitée par une courbe d’équation , et une droite horizontale, où est remplacé par la valeur , de sorte que l’intégrande devient . Parfois, cependant, nous devrons déterminer l’aire de régions plus compliquées qui ne sont pas nécessairement délimitées par l’axe des ou une droite horizontale.
La propriété ci-dessus reste vraie pour toute fonction continue . Considérons la région délimitée par deux courbes d’équations et et par deux droites verticales et .
L’aire de est donnée par
En utilisant la linéarité de l’intégrale énoncée précédemment, on a le théorème suivant.
Théorème : Aire entre deux courbes
Pour deux fonctions, et , où sur l'intervalle , l'aire délimitée par les deux courbes d'équations et , et les deux droites verticales d'équations and , is given by
Contrairement à la recherche de l’aire comprise entre la courbe d’une fonction continue et l’axe des , on ne tient pas compte du fait que la courbe est au-dessus ou en dessous de l’axe des . Cependant, il est important de savoir quelle courbe est au-dessus de l’autre. Si, contrairement à l’énoncé, on avait dans l’intervalle , on pourrait à la place prendre la valeur absolue de l’intégrale ou inverser l’ordre des courbes et intégrer .
Dans le cas d’intervalles ou les courbes s’intersectent, la prudence est de mise, comme nous allons le voir dans des exemples ultérieurs.
Appliquons cette formule sur un exemple où nous devons calculer l’aire comprise entre deux courbes et deux droites verticales.
Exemple 1: Calcul de l’aire d’une région délimitée par la courbe d’une fonction trigonométrique et la courbe d’une fonction linéaire
Calculez l’aire de la région délimitée par les courbes d’équations et et par les droites d’équations et .
Réponse
Il peut être utile de représenter les courbes représentatives des fonctions et les droites verticales, et particulièrement les points d’intersection entre ces droites et les courbes. Pour cela, rappelons que la pente de en est égale à 1, puis diminue et oscille, mais reste bornée par 1. La pente de la droite est aussi égale à 1, pour tout . Par conséquent, la droite, est au-dessus de la courbe sur le demi-axe des réels positifs, et les deux courbes ne se coupent qu’une fois en .
Les deux autres droites sont verticales et ont pour équations et .
Rappelons que l’aire délimitée par deux courbes, d’équations , et , et deux droites verticales d’équations et , est donnée par
Dans ce cas, nous avons une droite, qui est la courbe représentative de , qui est strictement au-dessus d’une autre courbe, d’équation , et deux droites verticales d’équations et , délimitant une région d’aire notée . L’aire est donc donnée par
En intégrant par rapport à , on obtient
En évaluant la primitive aux bornes, on obtient
Parfois, les bornes inférieures et supérieures de l’intégrale ne sont pas données par des droites verticales et mais plutôt par les points d’intersection entre les courbes qui doivent être alors être déterminés.
Voyons sur un exemple comment calculer l’aire entre deux courbes dont les bornes d’intégration sont inconnues.
Exemple 2: Calcul d’une aire délimitée par les courbes d’une fonction linéaire et une fonction cubique
Déterminez l’aire de la région délimitée par et .
Réponse
Il peut être utile de tracer les courbes représentatives des fonctions afin de pouvoir représenter l’aire que nous devons calculer. Nous devons pour cela connaitre les points d’intersections des deux courbes, ce qui peut être aisément déterminé en calculant les solutions de l’équation
Dans ce cas, nous avons
En réarrangeant et en factorisant, on obtient
En résolvant cette équation en , on trouve les solutions
Ainsi, les courbes se coupent en , et . La fonction cubique croît plus vite que la fonction linéaire pour les grandes valeurs positives ou négatives de . En utilisant ces informations, nous pouvons tracer les courbes comme suit.
Rappelons que l’aire délimitée par deux courbes d’équations et , et deux droites verticales d’équations and , est donnée par
Dans notre cas, pour les valeurs négatives de , la courbe de la fonction cubique est au-dessus de la courbe de la fonction linéaire et pour les valeurs positives de , la courbe de la fonction cubique est en dessous de celle de la fonction linéaire. Ainsi, si l’on évalue les aires de ces deux régions séparément, les signes des différences entre les fonctions, et donc des l’intégrales, seront opposés.
Ces fonctions sont toutes deux impaires ; c’est-à-dire et , donc leurs courbes sont symétriques par rapport à l’origine . Ainsi, les deux aires algébriques sont opposées l’une de l’autre et leur somme est donc égale à 0.
Pour éviter cet écueil, on évalue les intégrales pour chacune des régions séparément puis on somme les valeurs absolues des aires algébriques obtenues. Un moyen plus rapide consiste à utiliser le fait que ces deux fonctions sont impaires et donc que les aires des deux régions sont les mêmes. Par conséquent, nous pouvons simplement évaluer l’aire d’une région, puis la doubler pour trouver l’aire totale.
En substituant les fonctions données et les bornes et (la région sous le demi-axe négatif des ) dans la formule de l’aire, nous obtenons
En intégrant par rapport à , on obtient
Il s’agit de l’aire de la région à gauche de l’axe des . On obtient l’aire totale en multipliant cette aire par 2, comme suit :
Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé un résultat général du calcul intégral qui est vrai pour toute fonction paire ou impaire.
Théorème : Aire entre la courbe d’une fonction impaire ou paire et l’axe des abscisses
Si est une fonction impaire, c’est-à-dire telle que , alors l’aire délimitée par la courbe de et l’axe des dans un intervalle est le double de l’aire entre la courbe de et l’axe des dans l’intervalle . Plus précisément,
Il en va de même pour une fonction paire, c’est -à-dire telle que . On a
Comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, tout comme nous devons faire attention lors de l’évaluation de l’aire de plusieurs régions au-dessus et en dessous de l’axe des , nous devons aussi faire attention lorsque nous évaluons les aires entre les courbes lorsque celles-ci se croisent. Parfois, les points d’intersection peuvent être plus difficiles à trouver, et les régions séparées peuvent ne pas être symétriques.
Regardons un exemple qui montre comment trouver l’aire délimitée par deux courbes qui se coupent de telle sorte que leurs points d’intersection sont moins évidents, et qui définissent des régions asymétriques.
Exemple 3: Calcul de l’aire entre deux courbes qui s’intersectent
On étudie les courbes d’équations et . Quelle est l’aire de la région coloriée ? Donnez une réponse exacte.
Réponse
Déterminons d’abord quelle courbe correspond à quelle équation. Pour les grandes valeurs de , est strictement supérieur à , ainsi est strictement inférieur à . Par conséquent, la courbe qui est en dessous de l’autre dans la partie droite de la figure est la courbe d’équation .
Rappelons que l’aire délimitée par deux courbes d’équations et et deux droites verticales d’équations et est donnée par
Dans cet exemple, les deux courbes s’intersectent en un point à mi-chemin de la région dont nous devons trouver l’aire. Rappelons que, puisque l’on calcule une différence de deux fonctions dans l’intégrale, à savoir , le signe de l’intégrale dépend de quelle courbe est au-dessus de l’autre. Dans la région où est au-dessus , l’intégrale est de signe positif, et vice-versa. Ainsi, si l’on calcule directement l’intégrale entre les bornes données, l’aire d’une des régions sera soustraite à l’autre et on n’obtiendra donc pas l’aire totale.
Cela signifie que nous devrons évaluer l’aire des deux régions séparément ; c’est-à-dire en évaluant l’aire à gauche du point d’intersection d’une part, puis celle à droite du point d’intersection d’autre part. Pour ce faire, nous devons déterminer le point d’intersection des courbes, ce que nous pouvons faire en résolvant l’équation
Ici, nous avons
En résolvant cette équation en , on trouve
Ainsi, les courbes s’intersectent au point d’abscisse . On pouvait le voir sur la figure, mais il est toujours bon de faire réellement le calcul afin d’avoir une valeur exacte.
Nous devons maintenant évaluer deux intégrales distinctes. Sur la figure, nous pouvons voir que les régions sont délimitées par les droites verticales d’équations et .
Les bornes d’intégration inférieure et supérieure pour la région de gauche sont donc et , et de même les bornes d’intégration inférieure et supérieure de la région de droite sont et .
Si nous procédions sans diviser les régions, nous évaluerions l’aire algébrique. Ainsi,
En comparant cette valeur à la figure, on se rend compte que celle-ci ne saurait être l’aire de la région colorée qui a l’air beaucoup plus grande. Pour calculer véritablement l’aire, nous avons plutôt besoin de diviser l’intégrale en deux, relativement aux deux régions distinctes se trouvant du coté et de l’autre du point d’intersection, puis de sommer les valeurs absolues des aire algébriques obtenues.
Nous avons déjà calculé une primitive ci-dessus, donnée par
Ainsi, pour la première région comprise entre et , nous avons
Pour la deuxième région comprise entre et , nous avons
Cette dernière intégrale est négative puisque la courbe de la fonction est au-dessus de la courbe de la fonction , et nous avons soustrait la première fonction de la deuxième.
Puisque nous cherchons une aire, qui est une quantité positive, on prend la valeur absolue de cette intégrale. Ainsi, on a
Nous pouvons à présent sommer ces deux aires pour pouvoir déterminer l’aire totale de la région colorée, comme suit :
Dans certains problèmes, il pourra être nécessaire de calculer des aires de régions délimitées par plus de deux courbes. Étudions sur un exemple comment calculer l’aire d’une région délimitée par trois courbes.
Exemple 4: Calcul de l’aire délimitée par deux fonctions linéaires et une fonction inverse en partitionnant la région d’intégration
On considère la région dans le quart de plan positif délimitée par les courbes , et . Calculez l’aire de cette région.
Réponse
Il peut être utile de tracer les courbes d’équations données dans l’énoncé afin de se représenter l’aire que nous devons calculer sur une figure. Nous allons devoir déterminer les points d’intersections des courbes. Dans ce cas particulier, nous devons nous assurer de tracer les courbes avec précision. Il est crucial, pour pouvoir calculer l’aire correctement, de pouvoir déterminer les positions relatives des courbes les unes par rapports aux autres ainsi que leurs points d’intersections.
Pour commencer, considérons les droites correspondant aux fonctions linéaires. La courbe d’équation est une droite qui passe par l’origine et de pente égale à 1. La courbe d’équation est une droite qui passe par l’origine et de pente égale à . Par conséquent, cette droite est strictement en dessous de la droite d’équation dans le quart de plan positif.
L’équation définit une fonction inverse, de sorte que sa courbe représentative est une hyperbole qui ne touche jamais ni l’axe des ni l’axe des mais qui s’approche de ces deux axes asymptotiquement. Quand , et quand , , ainsi, cette courbe passe par les points et .
Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour tracer les courbes dans quart de plan positif comme suit.
Rappelons que l’aire délimitée par deux courbes d’équations et , et deux droites verticales d’équations et est donnée par
Pour que cette expression soit égale à l’aire réelle, la courbe de doit être au-dessus de la courbe de entre les droites et . Dans notre cas, cependant, la position des courbes dépend de la valeur de . On peut voir sur la figure qu’il est possible de partager la région en deux comme suit.
Dans la région 1, l’aire est délimitée par les droites d’équations et .
Dans la région 2, l’aire est délimitée par la courbe d’équation et la droite d’équation .
La borne d’intégration inférieure de la région 1 est le point . La borne d’intégration supérieure de la région 1 est la coordonnée en du point d’intersection entre et .
De même, la borne d’intégration inférieure de la région 2 est la même coordonnée en du point d’intersection entre et , et la borne d’intégration supérieure de la région 2 est la coordonnée en du point d’intersection entre et .
Nous devons donc trouver les coordonnées en de ces deux points d’intersection.
Point 1 : Intersection entre les courbes d’équations et
Pour trouver la coordonnée en du point d’intersection entre ces deux courbes, nous devons trouver l’argument qui envoie les deux fonctions sur la même image en résolvant en l’équation suivante :
Cette équation a pour solutions en :
On rappelle qu’on s’intéresse aux courbes seulement sur le quart de plan positif, donc c’est uniquement la solution , de valeur strictement positive, qui nous concerne pour ce problème. Par conséquent, les deux courbes se coupent en . Notez que nous n’avons pas besoin de calculer la coordonnée en de ce point d’intersection, celle-ci n’étant pas nécessaire pour l’intégration.
Point 2 : Intersection entre les courbes d’équations et
De même la même manière, pour trouver ce point d’intersection, nous devons résoudre en l’équation suivante
Les solutions en de cette équation sont
Encore une fois, c’est uniquement la solution strictement positive, qui nous concerne pour ce problème, c’est-à-dire .
Dans la région 1, puisque la droite d’équation est au-dessus de la droite d’équation , on pose et . Ainsi, l’aire de la région 1 est donnée par
Dans la région 2, puisque la courbe d’équation est au-dessus de la droite d’équation , on pose et . Ainsi, l’aire de la région 2 est donnée par
L’aire totale de la région est donc donnée par
Parfois, nous pourrons être amenés à calculer des aires délimitées par des courbes définies implicitement. Étudions un exemple dans lequel nous devons déterminer l’aire d’une région délimitée par une courbe définie implicitement.
Exemple 5: Calcul de l’aire d’une région délimitée par deux fonctions du second degré en la variable 𝑦
Déterminez l’aire de la région délimitée par et .
Réponse
Il peut être utile de tracer les courbes des fonctions délimitant l’aire que nous devons évaluer, en particulier les points d’intersection des courbes.
Dans ce cas, les deux fonctions sont exprimées en la variable ; c’est-à-dire que nous avons en termes de . Bien sûr, la convention qui consiste à faire de la variable dont dépend dans une fonction n’a rien d’absolu. On peut donc simplement inverser les axes des et des typiques et tracer les courbes de ces deux fonctions de .
La courbe d’équation est une parabole en forme de U qui est symétrique par rapport à l’axe des et qui coupe l’axe des en .
La courbe d’équation est une parabole en forme de n qui est symétrique par rapport à l’axe des et qui coupe l’axe des en .
En orientant les axes de la façon usuelle, la figure ressemble à ceci.
Rappelons que l’aire délimitée par deux courbes d’équations et , et deux droites verticales d’équations and , est donnée par
Dans notre cas, cependant, nous avons deux courbes définies de telle sorte que est exprimé en fonction de . Nous avons donc besoin de modifier l’intégrale en permutant ces variables. Remarquons également que dans ce cas, les bornes de l’intégrale sont données par des coordonnées en plutôt que par des coordonnées en .
Ainsi, l’aire délimitée par les deux courbes d’équations et et par les deux droites horizontales d’équations et est donnée par
Nous intégrons cette expression par rapport à la variable .
En regardant la première figure avec sur l’axe vertical, on peut voir que la courbe d’équation est toujours au-dessus de la courbe d’équation dans l’intervalle qui nous intéresse, nous allons donc poser et . Les bornes d’intégration supérieure et inférieure sont donc les coordonnées en des points d’intersection de ces deux courbes.
Pour trouver les points d’intersection, nous devons résoudre l’équation en ; c’est-à-dire
Maintenant, en résolvant cette équation en , nous avons
Les coordonnées en des points d’intersection, et donc les bornes d’intégration inférieure et supérieure, sont et .
Maintenant, nous avons tout ce dont nous avons besoin pour trouver l’aire de la région colorée comme suit :
En intégrant par rapport à , on obtient
Concluons en récapitulant certains points clés de cette fiche explicative.
Points Clés
- L’aire délimitée par deux courbes d’équations et telles que est strictement supérieure à sur l’intervalle , et par les deux droites verticales d’équations et est donnée par .
- Les régions où la courbe de est au-dessus de la courbe de ont une aire algébrique positive, et les régions où la courbe de est en-dessous de la courbe de one une aire algébrique négative. Pour déterminer l’aire réelle, on prend la valeur absolue.
- On doit partitionner l’intervalle sur lequel on intègre en des sous intervalles dont les bornes sont données par les intersections de et de , puis prendre les valeurs absolues de ces intégrales calculées séparément sur chacun de ces sous intervalles et les sommer pour obtenir l’aire réelle.
