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Fiche explicative de la leçon: Coefficients directeurs de droites parallèles et perpendiculaires Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le coefficient directeur pour déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires et à utiliser ces relations géométriques pour résoudre des problèmes.

Le coefficient directeur d’une droite est l’une des caractéristiques de la droite, décrivant à quel point elle est « pentue », tout en nous donnant certaines informations fondamentales sur les propriétés de la droite. Le coefficient directeur d’une droite peut toujours être calculé à partir de deux points distincts sur la droite (à condition que ce ne soit pas une droite verticale). Soient deux points sur une droite de coordonnées connues (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦). Le coefficient directeur est alors égal au déplacement vertical de ces points divisé par le déplacement horizontal. Sous forme algébrique, le coefficient directeur 𝑎 est donné par la formule 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥.

Étudions un exemple bref pour illustrer cette notion. Supposons qu’une droite passe par les deux points de coordonnées 𝐴(4;6) et 𝐵(12;10). Cette droite 𝐴𝐵 est tracée ci-dessous, avec les deux points connus indiqués.

On peut alors calculer le coefficient directeur de 𝐴𝐵 en utilisant la formule et en substituant (𝑥;𝑦)=(4;6) et (𝑥;𝑦)=(12;10). On réalise les calculs suivants:𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=106124=12.

Il s’agit de la méthode algébrique pour calculer le coefficient directeur, voyons maintenant son interprétation géométrique. Si nous ajoutons un troisième point qui forme un triangle rectangle avec les deux points connus sur la droite, nous obtenons le schéma ci-dessous. Ce nouveau point a pour coordonnées (12;6) et nous avons choisi un triangle rectangle (plutôt qu’équilatéral ou autre) car les triangles rectangles servent de base à de nombreux résultats fondamentaux de la trigonométrie.

Cette construction nous permet de considérer le coefficient directeur comme une combinaison de propriétés géométriques, comme nous l’avons évoqué au début de cette fiche explicative. Nous pouvons voir que le déplacement du segment vertical est égal à 𝑦𝑦 et que le déplacement du segment horizontal est égal à 𝑥𝑥. Les deux longueurs associées à ces déplacements sont simplement leurs valeurs absolues (au cas où l’un d’eux serait négatif). Ces deux déplacements correspondent à des côtés du triangle rectangle que nous avons tracé, ce qui permet d’envisager cette droite autrement. Cette approche offre de nombreux avantages, la principale étant que l’on peut déterminer la distance entre les deux points en calculant l’hypoténuse du triangle grâce au théorème de Pythagore.

En étudiant le coefficient directeur dans ce triangle rectangle, nous pouvons utiliser les résultats connus de la trigonométrie pour comprendre d’autres propriétés de la droite. Une caractéristique souvent étudiée est l’angle aigu que la droite forme avec l’axe des abscisses. Cet angle est indiqué par 𝛼 dans le schéma ci-dessous. Deux droites 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont parallèles si elles ne se rencontrent jamais et si tel est le cas, on note 𝐴𝐵𝐶𝐷. D’après les propriétés des droites parallèles coupées par une sécante, l’angle 𝛼 entre 𝐴𝐵 et l’axe des abscisses est égal à l’angle entre la droite et toute autre droite horizontale car une telle droite est parallèle à l’axe des abscisses.

Comme nous pouvons utiliser pour cela n’importe quelle droite horizontale, nous pouvons utiliser la droite 𝑦=𝑦. Dans cet exemple, nous pouvons calculer l’angle entre la droite et l’axe des abscisses en déterminant l’angle 𝛼, comme indiqué ci-dessous, où nous avons fait l’hypothèse que 𝑦<𝑦.

Heureusement, nous pouvons déterminer cet angle en utilisant les formules trigonométriques. Nous rappelons que la composante verticale du triangle rectangle a un déplacement de 𝑦𝑦 et que ce côté est le côté opposé à l’angle 𝛼. Nous savons également que la composante horizontale du triangle rectangle a un déplacement de 𝑥𝑥 et que ce côté est le côté adjacent à l’angle aigu 𝛼. Nous pouvons alors rappeler que la tangente est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent dans un triangle rectangle, ce qui implique que tan(𝛼)=𝑦𝑦𝑥𝑥, qui peut être exprimé plus simplement par tan(𝛼)=𝑎, 𝑎 est le coefficient directeur de la droite. Dans notre exemple, cela donne tan(𝛼)=𝑦𝑦𝑥𝑥=106124=12.

On peut alors prendre la tangente réciproque des deux membres de cette équation pour déterminer que 𝛼=12arctan. En degrés, nous obtenons l’angle 𝛼26,57.

Nous pouvons également utiliser une approche similaire pour déterminer l’angle entre une droite et l’axe des abscisses lorsque cet angle n’est pas aigu. Dans le raisonnement précédent, nous avons appelé les quantités telles que 𝑦𝑦 et 𝑥𝑥, des « déplacements », ce qui signifie qu’il est possible que ces valeurs soient négatives (par opposition à une « distance », qui est toujours positive). Cela signifie qu’il est possible que le coefficient directeur d’une droite soit négatif, ce qui se produit si 𝑦𝑦 et 𝑥𝑥 sont de signe opposé. Dans ce cas, la droite « descend » lorsqu’on l’observe de gauche à droite et l’angle positif (c.à.d. mesuré dans le sens horaire) entre l’axe des 𝑥 positifs et la droite est alors obtus.

Comme on peut le voir à l’aide d’une calculatrice, la tangente d’un angle obtus est négative. La relation que nous avons trouvée précédemment entre le coefficient directeur d’une droite et la tangente de l’angle que la droite forme avec l’axe des 𝑥 positifs est également valable pour les angles obtus. Résumons cela.

Définition: Coefficient directeur d’une droite passant par deux points et angle formé avec l’axe des abscisses

On considère une droite non verticale passant par deux points de coordonnées connues (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦). Son coefficient directeur est alors 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥.

En outre, le coefficient directeur est égal à la tangente de l’angle positif entre la droite et l’axe des 𝑥 positifs:𝑎=(𝛼).tan

L’angle 𝛼 est mesuré à partir de l’axe des 𝑥 positifs dans le sens trigonométrique.

Un angle aigu a une tangente positive, tandis qu’un angle obtus a une tangente négative. La tangente d’un angle de 90 n’est pas définie, on dit donc que les droites verticales ont un coefficient directeur non défini.

Appliquons cela avec un exemple.

Exemple 1: Calculer le coefficient directeur d’une droite à partir de l’angle qu’elle forme avec l’axe des abscisses

Calculez, au centième près, le coefficient directeur de la droite qui forme un angle positif de 60 avec l’axe des 𝑥 positifs.

Réponse

Commençons par visualiser une droite qui forme un angle de 60 avec l’axe des 𝑥 positifs.

Rappelons que le coefficient directeur d’une droite 𝑎 est égal à la tangente de l’angle positif entre la droite et l’axe des 𝑥 positifs. Ici, l’angle est égal à 60. Par conséquent, 𝑎=(60),tan ce qui, à l’aide d’une calculatrice, donne au centième près 𝑎=1,73.

Lorsque nous étudions deux droites, nous pouvons nous intéresser à leur lien et en particulier à leur intersection si elle existe. Deux droites se rencontrent en un point à moins qu’elles ne soient parallèles ou confondues. Comme des droites parallèles sont caractérisées par le fait qu’elles forment le même angle avec une sécante, nous pouvons conclure que deux droites de même coefficient directeur (c’est-à-dire deux droites qui forment le même angle avec l’axe des 𝑥 positifs) sont parallèles ou confondues. Si des droites ont un coefficient directeur de 0, alors elles sont parallèles à l’axe des 𝑥 et parallèles entre elles, même si elles ne coupent pas l’axe des 𝑥. Deux droites sont parallèles mais non confondues lorsqu’elles ont le même coefficient directeur mais pas la même ordonnée 𝑦 à l’origine, comme illustré ci-dessous.

Des droites perpendiculaires se coupent en un point et forment un angle de 90. Dans ce cas, il y aura toujours une de ces droites avec un coefficient directeur positif et l’autre avec un coefficient directeur négatif, comme le montre la figure ci-dessous avec deux droites de coefficients directeurs 𝑎 et 𝑎, formant respectivement un angle 𝛼 et 𝛽 avec l’axe des 𝑥 positifs.

Comme les droites sont perpendiculaires, on a 𝛽=𝛼+90.

Une propriété de la fonction tangente est que tantan𝛼=1(𝛼+90).

Par conséquent, on a tantan𝛼=1(𝛽).

Comme 𝑎=𝛼tan et 𝑎=𝛽tan, on a 𝑎=1𝑎 ou 𝑎𝑎=1.

Il est à noter que les résultats ci-dessus ne s’appliquent pas directement si les droites sont horizontales ou verticales. Si une droite est horizontale, alors elle a un coefficient directeur de zéro, ce qui signifie que nous pouvons définir le coefficient directeur 𝑎=0. Nous voyons immédiatement pourquoi nous ne pouvons pas utiliser la relation des droites perpendiculaires (selon laquelle 𝑎=1𝑎) car cela entraînerait une division par zéro. C’est logique car une droite verticale est perpendiculaire à une droite horizontale et le « coefficient directeur » d’une droite verticale peut être considéré comme infini. Il est, bien sûr, toujours tout à fait possible de travailler sur des droites horizontales ou verticales géométriquement, mais nous ne pouvons pas utiliser automatiquement la formule algébrique que nous avons décrite ci-dessus.

Résumons les conditions pour que des droites soient parallèles ou perpendiculaires.

Définition: Conditions des droites parallèles et perpendiculaires

On considère deux droites de coefficient directeurs respectifs 𝑎 et 𝑎, et d’ordonnées 𝑦 à l’origine 𝑏 et 𝑏. Les affirmations suivantes sont alors vraies:

  • Si 𝑎=𝑎 et 𝑏𝑏, alors les deux droites sont parallèles. Cela signifie que les droites ne se rencontrent jamais et qu’elles forment le même angle avec l’axe des abscisses.
  • Si 𝑎=𝑎 et 𝑏=𝑏, alors les deux droites sont confondues.
  • Si 𝑎𝑎=1, alors les deux droites sont perpendiculaires. Cela signifie qu’elles se rencontrent exactement une fois et qu’elles forment un angle droit.

Si 𝑎=0, alors la droite associée est horizontale. Toute droite parallèle à celle-ci aura le même coefficient directeur et toute droite perpendiculaire aura un coefficient directeur non défini (car toute droite perpendiculaire à une droite horizontale doit être une droite verticale).

Nous allons commencer par étudier la droite passant par les points 𝐴(2;3) et 𝐵(8;1), représentée sur le graphique ci-dessous. Nous ajouterons plus tard quatre points à ce schéma mais nous nous intéressons pour le moment au coefficient directeur de cette droite ainsi qu’à l’angle qu’elle forme avec l’axe des abscisses. Avant tout calcul, nous observons que le coefficient directeur doit être négatif.

Nous pouvons calculer le coefficient directeur en utilisant la formule 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥 et en définissant (𝑥;𝑦)=(2;3) et (𝑥;𝑦)=(8;1). Cela nous permet de calculer 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=1382=13.

Le coefficient directeur est négatif, comme attendu. Nous pouvons calculer l’angle entre cette droite et l’axe des abscisses en utilisant la propriété tan(𝛼)=𝑎. Nous calculons donc arctan1318,43. Cet angle négatif est l’angle mesuré dans le sens horaire entre l’axe des 𝑥 positifs et la droite. L’angle positif 𝛼 est alors 𝛼18,43+180161,57.

Ajoutons maintenant deux points supplémentaires 𝐶(1;1) et 𝐷(5;1), puis étudions la droite passant par 𝐶 et 𝐷. Nous les représentons sur le nouveau schéma ci-dessous et nous pouvons voir que la nouvelle droite semble être approximativement parallèle à la droite d’origine.

Nous pouvons rapidement confirmer que les deux droites sont parallèles entre elles en calculant le coefficient directeur de la deuxième droite. On définit (𝑥;𝑦)=(1;1) et (𝑥;𝑦)=(5;1). Cela nous permet de calculer 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=115(1)=13.

Comme les deux droites ont le même coefficient directeur et des ordonnées 𝑦 à l’origine différentes, elles sont distinctes et parallèles, elles ne se rencontrent donc jamais. Sachant que les droites sont parallèles, elles forment le même angle avec l’axe des abscisses. Nous pouvons alors utiliser le résultat précédent pour affirmer que l’angle entre la deuxième droite et cet axe est environ égal à 161,57.

Pour la dernière étape, nous ajoutons une troisième paire de points:𝐸(2;2) et 𝐹(4;4). Ils sont tracés sur le schéma ci-dessous, avec la droite qui les relie. La nouvelle droite semble être perpendiculaire aux deux droites parallèles.

Nous pouvons vérifier cette hypothèse en calculant le coefficient directeur de la nouvelle droite. On définit (𝑥;𝑦)=(2;2) et (𝑥;𝑦)=(4;4) puis on calcule le coefficient directeur comme suit:𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=4(2)42=3.

Soient 𝑎=13 le coefficient directeur des droites parallèles et 𝑎=3 ce nouveau coefficient directeur. Nous trouvons que 𝑎𝑎=3×13=1.

Ceci confirme que la nouvelle droite est perpendiculaire aux deux droites parallèles. Pour calculer l’angle entre cette nouvelle droite et l’axe des abscisses, on soustrait simplement 90 à l’angle formé entre les droites parallèles et l’axe des abscisses. On obtient 161,579071,57. Nous aurions également pu calculer l’angle en utilisant la relation tan(𝛼)=𝑎. Cela aurait donné le même résultat.

Dans l’exemple suivant, nous allons apprendre comment utiliser le coefficient directeur d’une droite pour déterminer le coefficient directeur d’une autre droite perpendiculaire à la première.

Exemple 2: Déterminer le coefficient directeur d’une droite à partir du coefficient directeur d’une droite perpendiculaire

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 et que le coefficient directeur de 𝐴𝐵=25, calculez le coefficient directeur de 𝐶𝐷.

Réponse

L’indication 𝐴𝐵𝐶𝐷 signifie que la droite 𝐴𝐵 est perpendiculaire à la droite 𝐶𝐷. Si nous supposons que ces droites ont pour coefficient directeurs respectifs 𝑎 et 𝑎, alors nous rappelons qu’ils doivent vérifier 𝑎=1𝑎 car aucune des deux droites n’est horizontale ni verticale. Comme nous savons déjà que 𝑎=25, nous pouvons calculer le deuxième coefficient directeur:𝑎=1𝑎=1=52.

Remarquez que l’exemple précédent ne fournissait pas suffisamment d’informations pour complètement définir l’une ou l’autre des droites. Cependant, à partir du coefficient directeur de la première droite, nous avons pu calculer le coefficient directeur de la deuxième droite parce que nous savions qu’elles étaient perpendiculaires. Bien que ce ne soit pas demandé, nous aurions pu calculer que l’angle que la première droite formait avec l’axe des abscisses était d’environ 21,8. L’angle formé entre la droite perpendiculaire et l’axe des abscisses était quant à lui de 111,8.

Dans les prochains exemples, nous allons explorer davantage comment les coefficients directeurs de droites peuvent être utilisés pour déterminer si elles sont parallèles ou perpendiculaires. Les exemples 4 et 5 ne contiennent aucune référence aux angles formés entre les droites et l’axe des abscisses, bien qu’ils puissent bien sûr être calculés à partir des coefficients directeurs des droites.

Exemple 3: Identifier la relation entre deux droites à partir du coefficient directeur de l’une et de l’angle que la seconde forme avec l’axe des 𝑥 positifs

On considère une droite de coefficient directeur 1 et une autre droite qui forme un angle de 45 avec l’axe des 𝑥 dans le sens trigonométrique. Laquelle des affirmations suivantes est vraie?

  1. Les deux droites sont perpendiculaires.
  2. Les deux droites sont parallèles.
  3. Les deux droites ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.

Réponse

Commençons par rappeler que le coefficient directeur d’une droite est égal à la tangente de l’angle positif formé entre la droite et l’axe des 𝑥 positifs. Si une droite forme un angle de 45 avec l’axe des 𝑥 dans le sens trigonométrique, alors son coefficient directeur est égal à 𝑎=45=1.tan

Par conséquent, les deux droites ont le même coefficient directeur, ce qui signifie qu’elles sont parallèles. L’option B est la bonne réponse.

Exemple 4: Déterminer le coefficient directeur d’une droite dans un parallélogramme en utilisant la relation entre les coefficient directeurs de droites parallèles

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un parallélogramme, où 𝐴(8;2) et 𝐵(4;7);calculez le coefficient directeur de 𝐷𝐶.

Réponse

Nous rappelons que, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont distincts et parallèles et que ses sommets sont connectés dans l’ordre des lettres. En d’autres termes, le point 𝐴 est connecté au point 𝐵, puis au point 𝐶, puis au point 𝐷, puis on revient au point 𝐴;cela forme ainsi les arrêtes du parallélogramme. Cela signifie que 𝐴𝐵 est parallèle à 𝐷𝐶 et qu’elles ont donc le même coefficient directeur.

Pour illustrer ce point, le schéma ci-dessous représente les points 𝐴 et 𝐵 ainsi que la droite qui les relie. Le côté en noir est un segment de la droite 𝐴𝐵, qui est représentée en rouge. Il représente aussi un des côtés de tout parallélogramme qui passe par ces deux points.

Pour créer un parallélogramme, nous pouvons choisir deux points quelconques 𝐶 et 𝐷 tels que 𝐶𝐷 est parallèle et de même longueur que 𝐴𝐵. Nous pouvons choisir n’importe quelles coordonnées de 𝐶 ou 𝐷 qui vérifient cela, à condition que 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 n’appartiennent pas à la même droite. Dans le schéma ci-dessous, nous avons choisi deux points arbitraires 𝐶 et 𝐷 qui vérifient ces conditions, avec la droite 𝐶𝐷 en rouge. Le segment de cette droite en noir est un autre côté du parallélogramme. Les autres segments 𝐵𝐶 et 𝐷𝐴 sont tracés en bleu, ce qui signifie que le parallélogramme peut être formé en reliant les côtés noirs aux bleus.

Il est important de rappeler que les points 𝐶 et 𝐷 que nous avons choisis sont complètement arbitraires. L’important est uniquement que la droite passant par ces points soit parallèle à la droite d’origine, ce qui permet de tracer le parallélogramme. Nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de 𝐴𝐵 normalement. Le coefficient directeur d’une droite passant par deux points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est donné par la formule 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥.

En substituant (𝑥;𝑦)=(8;2) et (𝑥;𝑦)=(4;7) dans cette formule, on trouve 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=7248=512.

Sachant que 𝐴𝐵 est parallèle à 𝐷𝐶, le coefficient directeur de cette droite est aussi égal à 512.

Exemple 5: Comparer les coefficients directeurs de deux droites pour déterminer si elles sont parallèles ou perpendiculaires

Soient 𝑑 la droite passant par les points (7;7) et (9;6) et 𝑙 la droite passant par (1;1) et (14;3). Laquelle des affirmations suivantes est vraie à propos des droites 𝑑 et 𝑙?

  1. Elles sont parallèles.
  2. Elles sont perpendiculaires.
  3. Elles sont sécantes mais non perpendiculaires.

Réponse

Rappelons que si deux droites distinctes ont pour coefficients directeurs 𝑎 et 𝑎, alors nous pouvons utiliser ces informations pour déterminer leur relation. Si 𝑎=𝑎, alors les deux droites sont parallèles et ne se coupent jamais. Si 𝑎=1𝑎, alors les deux droites sont perpendiculaires et ne se coupent qu’une seule fois. Si aucune de ces relations n’est vérifiée, alors les deux droites ne sont ni parallèles ni perpendiculaires et se coupent donc exactement une fois.

Nous avons suffisamment d’informations pour tracer le schéma ci-dessous. Les deux points 𝐴(7;7) et 𝐵(9;6) sont représentés en bleu et sont reliés par la droite bleue. Les deux points 𝐶(1;1) et 𝐷(14;3) sont représentés en rouge, ainsi que la droite qui les relie.

D’après le schéma uniquement, il semble que les deux droites forment un angle droit (ce qui signifie qu’elles sont perpendiculaires). Il est cependant possible que les deux droites soient presque perpendiculaires mais que ce soit impossible à distinguer sur le schéma. De manière générale, il n’est ni sage ni possible de supposer que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires à partir d’un simple schéma. Nous devons maintenant calculer le coefficient directeur de chaque droite à partir des informations disponibles, ce qui nous permettra de vérifier avec précision si elles sont réellement perpendiculaires.

Nous commençons par le coefficient directeur de la droite bleue en utilisant les points (𝑥;𝑦)=(7;7) et (𝑥;𝑦)=(9;6). Le coefficient directeur est alors le suivant:𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=6(7)9(7)=132.

Le coefficient directeur est négatif et relativement raide, ce qui est cohérent avec le schéma. On peut calculer le coefficient directeur de la deuxième droite en utilisant les points (𝑥;𝑦)=(1;1) et (𝑥;𝑦)=(14;3). Il est alors défini par:𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=31141=213.

Nous pouvons vérifier que 𝑎=1𝑎, ce qui confirme que les deux droites sont perpendiculaires.

Les trois exemples précédents ne demandaient pas de déterminer la mesure de l’angle entre l’axe des abscisses et une des droites données. Rien ne nous en empêchait cependant, grâce aux propriétés que nous avons démontrées précédemment. Dans l’exemple suivant, nous allons étudier ce concept une dernière fois avant de passer à une autre série de questions qui impliqueront de résoudre des équations algébriques permettant de calculer des coefficients directeurs.

Exemple 6: Déterminer la mesure de l’angle qu’une droite perpendiculaire à une autre forme avec l’axe des 𝑥 positifs

Soient 𝑙 la droite passant par les points (0;8) et (4;10) et 𝑑 la droite perpendiculaire à 𝑙 passant par l’origine (0;0). Quelle est la mesure de l’angle positif que 𝑑 forme avec l’axe des 𝑥 positifs?Donnez votre réponse à la seconde près.

Réponse

Pour déterminer la mesure de l’angle positif que 𝑑 forme avec l’axe des 𝑥 positifs, nous allons utiliser

  • le fait que 𝑑 et 𝑙 sont perpendiculaires;
  • la relation entre le coefficient directeur d’une droite et l’angle positif que la droite forme avec l’axe des 𝑥.

Pour le premier point, rappelons que des droites perpendiculaires ont des coefficient directeurs dont le produit est égal à 1 et qu’elles forment des angles avec l’axe des 𝑥 positifs dont la différence est égale à 90. Nous pouvons utiliser une de ces propriétés pour trouver la solution, ce qui conduit à deux méthodes.

Première méthode

Nous souhaitons déterminer le coefficient directeur de la droite 𝑙 afin de trouver le coefficient directeur de la droite 𝑑, puis l’angle que 𝑑 forme avec l’axe des 𝑥 positifs. Comme 𝑙 passe par les points (𝑥;𝑦)=(0;8) et (𝑥;𝑦)=(4;10), son coefficient directeur est 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=10(8)40=184=92.

Les droites 𝑙 et 𝑑 étant perpendiculaires, le produit de leurs coefficient directeurs est égal à 1. On a donc 𝑎𝑎=192𝑎=1.

Multiplier les deux membres par 29 donne 𝑎=1×29=29.

Maintenant que nous avons le coefficient directeur de 𝑑, nous utilisons la relation entre le coefficient directeur d’une droite et l’angle positif qu’elle forme avec l’axe des 𝑥 positifs:𝑎=𝛼,tan𝑎 est le coefficient directeur et 𝛼 est l’angle, ce qui donne 𝛼=𝑎=2912,5288123144.arctanarctan

Deuxième méthode

Dans cette méthode, nous commençons comme précédemment par déterminer le coefficient directeur de 𝑙 mais nous l’utilisons ensuite pour déterminer l’angle que 𝑙 forme avec l’axe des 𝑥 positifs;nous utilisons alors cet angle pour calculer la mesure de l’angle positif que 𝑑 forme avec l’axe des 𝑥 positifs.

Nous avons trouvé ci-dessus que le coefficient directeur de 𝑙 est 𝑎=92. Nous pouvons maintenant utiliser la relation entre le coefficient directeur d’une droite et l’angle positif qu’elle forme avec l’axe des 𝑥 positifs:𝑎=𝛼,tan𝑎 est le coefficient directeur et 𝛼 est l’angle, ce qui donne 𝛼=𝑎=9277,4712.arctanarctan

Pour trouver la mesure de l’angle positif 𝛼 que 𝑙 forme avec l’axe des 𝑥 positifs, on doit ajouter 180 à cet angle. On trouve 𝛼77,4712+180102,5288.

Cet angle est obtus. Cela signifie que la droite 𝑑 qui est perpendiculaire à 𝑙 forme un angle aigu 𝛽 avec l’axe des 𝑥 positifs. On calcule donc sa mesure en soustrayant 90 à la valeur approximative de 102,5288:𝛽102,52889012,5288123144.

Exemple 7: Déterminer une coordonnée inconnue en utilisant la relation entre les coefficients directeurs de droites perpendiculaires

Si la droite qui passe par les points 𝐴(6;0) et 𝐵(4;6) est perpendiculaire à la droite passant par les points 𝐶(9;19) et 𝐷(𝑥;15), quelle est la valeur de 𝑥?

Réponse

On rappelle que l’on peut déterminer si deux droites sont perpendiculaires en examinant leurs coefficients directeurs. Soient deux droites de coefficient directeurs 𝑎 et 𝑎. Ces droites seront perpendiculaires si elles satisfont à l’équation 𝑎=1𝑎. Cela signifie que si nous connaissons le coefficient directeur d’une droite 𝑎, alors nous pouvons déterminer si une autre droite de coefficient directeur 𝑎 est perpendiculaire à celle-ci.

Commençons par déterminer le coefficient directeur de la droite qui passe par les points 𝐴 et 𝐵. Pour cela, on définit (𝑥;𝑦)=(6;0) et (𝑥;𝑦)=(4;6). Le coefficient directeur de cette droite est alors:𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥=6046=3.

Nous savons que la droite passant par 𝐶 et 𝐷 est perpendiculaire à la droite passant par 𝐴 et 𝐵. On définit le coefficient directeur de cette droite par 𝑎. Comme les deux droites sont perpendiculaires, nous savons que 𝑎=1𝑎, ce qui signifie que 𝑎=13.

Nous devons maintenant trouver la valeur de 𝑥 telle que le coefficient directeur de la droite reliant 𝐶 et 𝐷 est égal à 𝑎=13. On prend les coordonnées de 𝐶 et 𝐷 et on les définit respectivement par (𝑥;𝑦)=(9;19) et (𝑥;𝑦)=(𝑥;15). On doit alors calculer 𝑥, qui résout l’équation suivante:13=𝑦𝑦𝑥𝑥=1519𝑥(9)=4𝑥+9.

On peut résoudre cette équation en multipliant les deux membres par les dénominateurs un par un, ce qui donne (𝑥+9)=12.

Résoudre cette équation pour 𝑥 donne le résultat final 𝑥=3, ce qui signifie que les coordonnées du point sont 𝐷(3;15).

Nous pouvons vérifier que ce résultat est correct en traçant les quatre points et en vérifiant si les deux droites semblent perpendiculaires. Sur le schéma ci-dessous, les points 𝐴 et 𝐵 sont tracés en bleu, et les points 𝐶 et 𝐷 sont tracés en rouge. Les deux droites semblent bien perpendiculaires.

En résumé, nous avons montré que la réponse est 𝑥=3.

Exemple 8: Déterminer une coordonnée inconnue en utilisant la relation entre les coefficients directeurs de droites parallèles

Sachant que la droite passant par les points 𝐴(13;8) et 𝐵(20;𝑦) est parallèle à la droite passant par les points 𝐶(2;0) et 𝐷(7;𝑦), quelle est la valeur de 𝑦?

Réponse

Nous rappelons que deux droites parallèles distinctes ne se rencontrent jamais et qu’elles ont les mêmes coefficients directeurs mais des ordonnées 𝑦 à l’origine différentes. On définit le coefficient directeur de la droite passant par 𝐴 et 𝐵 comme 𝑎 et le coefficient directeur de la droite passant par 𝐶 et 𝐷 comme 𝑎. Nous savons que les deux droites sont parallèles, ce qui signifie que leurs coefficients directeurs sont égaux et donc que 𝑎=𝑎. On peut calculer le coefficient directeur de chaque droite en substituant les coordonnées des points dans la formule. On obtient 𝑎=𝑦820(13)=𝑦833 et 𝑎=𝑦07(2)=𝑦9.

Comme les droites sont parallèles, on doit avoir 𝑎=𝑎;on doit donc résoudre 𝑦833=𝑦9.

Multiplier par les deux dénominateurs donne 9(𝑦8)=33𝑦.

On développe le membre gauche de l’équation, ce qui donne 9𝑦72=33𝑦.

En soustrayant maintenant 9𝑦 aux deux membres de l’équation, on obtient 72=24𝑦.

Résoudre pour 𝑦 donne le résultat final 𝑦=3. Par conséquent, nous pouvons maintenant donner les coordonnées complètes des points inconnus:𝐵(20;3) et 𝐷(7;3).

Nous pouvons vérifier que ce résultat est correct en traçant les quatre points. Sur le graphique ci-dessous, les points 𝐴 et 𝐵 sont tracés en bleu, et les points 𝐶 et 𝐷 sont tracés en rouge. Les deux droites qui passent par ces points semblent être parallèles.

En résumé, nous avons montré que 𝑦=3.

Exemple 9: Déterminer les coordonnées inconnues du sommet d’un trapèze en utilisant la relation entre les coefficientd directeurs de droites parallèles

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un trapèze, où 𝐴𝐵𝐶𝐷 et que les coordonnées des points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont respectivement (5;5), (1;1), (𝑥;𝑥) et (7;9), déterminez les coordonnées du point 𝐶.

Réponse

L’indication 𝐴𝐵𝐶𝐷 signifie que la droite reliant 𝐴 et 𝐵 doit être parallèle à la droite reliant 𝐶 et 𝐷. Si on définit le coefficient directeur de la première droite par 𝑎 et le coefficient directeur de la deuxième droite par 𝑎, alors ils doivent vérifier 𝑎=𝑎 pour que les deux droites soient parallèles.

Nous commençons par calculer les coefficients directeurs à partir des informations actuellement disponibles. On obtient:𝑎=1(5)1(5)=1 et 𝑎=9(𝑥)7𝑥=9𝑥𝑥+7.

On peut alors résoudre 𝑎=𝑎 pour déterminer la valeur inconnue 𝑥 en posant les deux expressions ci-dessus égales:1=9𝑥𝑥+7.

Pour déterminer 𝑥, on multiplie d’abord les deux membres de l’équation par 𝑥+7, ce qui a pour effet d’annuler le dénominateur du membre droit, comme ceci:𝑥+7=9𝑥.

On réarrange l’équation et on obtient 2𝑥=2.

Cela donne le résultat final 𝑥=1. Le point inconnu peut alors être exprimé par 𝐶(1;1).

Nous avons maintenant les coordonnées des quatre points du trapèze, que nous avons tracés ci-dessous. Nous observons que le côté 𝐴𝐵 semble bien parallèle au côté 𝐶𝐷. La réponse finale est donc 𝐶(1;1).

Points clés

  • Le coefficient directeur 𝑎 d’une droite passant par les points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est défini par 𝑎=𝑦𝑦𝑥𝑥.
  • L’angle 𝛼 entre la droite et l’axe des abscisses est mesuré dans le sens trigonométrique. Pour le coefficient directeur d’une droite 𝑎, les propriétés suivantes sont vraies:
    • Pour 𝑎0, l’angle 𝛼 entre cette droite et l’axe des abscisses est 𝛼=(𝑎)arctan.
    • Pour 𝑎<0, l’angle 𝛼 entre cette droite et l’axe des abscisses est 180+(𝑎)arctan.
    • Pour des droites verticales, 𝛼=90.
  • On considère deux droites de coefficient directeurs 𝑎 et 𝑎, et d’ordonnées 𝑦 à l’origine 𝑏 et 𝑏:
    • Si 𝑎=𝑎 et 𝑏𝑏, alors les deux droites sont distinctes et parallèles. Cela signifie que les droites ne se rencontrent jamais et qu’elles forment le même angle avec l’axe des abscisses.
    • Si 𝑎=𝑎 et 𝑏=𝑏, alors les deux droites sont confondues (ou identiques).
    • Si 𝑎𝑎=1, alors les deux droites sont perpendiculaires.

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