Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la formule de la quantité de mouvement, , afin de calculer la quantité de mouvement des objets et déterminer les variations de la quantité de mouvement d’un objet..
La quantité de mouvement d’un objet est le produit de sa masse et de sa vitesse. Cette relation s’exprime par où est la quantité de mouvement, est la masse, et est la vitesse.
Prenant la masse d’un objet exprimée en kilogrammes et la vitesse de l’objet en mètres par seconde, l’unité de la quantité de mouvement est le kilogrammes-mètres par seconde (kg⋅m/s).
La quantité de mouvement est une grandeur utile pour déterminer l’intensité des forces agissant sur un objet et les durées pendant lesquelles ces forces agissent. Les applications de la quantité de mouvement ne sont cependant pas incluses dans cette fiche explicative, qui se concentre uniquement sur la façon dont est calculée la quantité de mouvement d’un objet ou la quantité de mouvement totale de plusieurs objets.
Étudions un exemple du calcul de la quantité de mouvement d’un objet.
Exemple 1: Calculer la quantité de mouvement d’un objet
Quelle est la quantité de mouvement d’un objet ayant une masse de 2 kg et se déplaçant à une vitesse constante de 3 m/s ?
Réponse
La quantité de mouvement d’un objet est le produit de la masse et de la vitesse de cet objet. Cette relation s’exprime par où est la quantité de mouvement, est la masse, et est la vitesse.
La quantité de mouvement de l’objet est alors
La vitesse est une grandeur vectorielle, elle a donc une direction et une amplitude (qu’on appelle velocité). Comme la quantité de mouvement est le produit de la masse et de la vélocité, elle est également une grandeur vectorielle, et a donc une direction.
Dans l’exemple précédent, la direction de la vitesse n’est pas indiquée, et tout ce que l’on peut dire de la direction de la quantité de mouvement est que c’est la même direction que celle de la vitesse l’objet. La direction de la vitesse de l’objet n’affecte pas la valeur de sa quantité de mouvement, de sorte que la direction de la vitesse est laissée indéfinie par la question..
Pour tout objet, sa quantité de mouvement a la même direction que sa vitesse.
Regardons un autre exemple du calcul de la quantité de mouvement d’un objet.
Exemple 2: Calculer la quantité de mouvement d’un objet
Un chat a une masse de 3 kg. Le chat bouge 4 m en ligne droite en un temps de 2 s. Quelle est la quantité de mouvement du chat ?
Réponse
La quantité de mouvement d’un objet est le produit de la masse et de la vitesse de l’objet. La quantité de mouvement du chat, , est donnée par où la masse du chat, , est de 3 kg et la vitesse du chat, , n’est pas donné.
La vitesse du chat peut être déterminée à partir du fait que le chat se déplace 4 mètres en ligne droite en un temps de 2 secondes. La vitesse du chat a donc une intensité donnée par
On peut supposer que la vitesse du chat de 2 m/s est constante, mais il est tout aussi valable de supposer que la vitesse du chat varie au cours du déplacement de 4 mètres et que 2 m/s était seulement la vitesse moyenne du chat. Il n’y a aucun moyen de déterminer une valeur de la vitesse du chat autre que sa vitesse moyenne, alors nous prendrons la vitesse du chat pour signifier sa vitesse moyenne.
En connaissant la vitesse moyenne du chat, nous pouvons déterminer sa quantité de mouvement moyenne.
La quantité de mouvement moyenne du chat est ainsi de et cette quantité de mouvement moyenne est dans la même direction que la vitesse, suivant le chemin rectiligne parcouru par le chat.
La question ne précise pas si c’est la quantité de mouvement moyenne qui est demandée, mais la seule valeur de quantité de mouvement qu’il est possible de déterminer est la quantité de mouvement moyenne. On peut donc raisonnablement supposer que la quantité de mouvement moyenne du chat est égale à sa quantité de mouvement.
Jusqu’à présent, nous avons défini la quantité de mouvement d’un objet comme étant dans la direction de la vitesse de l’objet, et seuls des objets ayant une vélocité constante ont été étudiés. La vitesse d’un objet peut changer, et une variation de sa vitesse modifie sa quantité de mouvement.
Étudions un exemple où la quantité de mouvement d’un objet varie.
Exemple 3: Déteriminer la variation de la quantité de mouvement d’un objet
Un enfant de masse 30 kg glisse sur un toboggan. Au sommet du toboggan, la vitesse de l’enfant est de 0,65 m/s , tandis qu’en bas du toboggan, la vitesse de l’enfant est de 1,35 m/s. Dans quelle mesure la quantité de mouvement de l’enfant change-t-elle entre ces deux positions ?
Réponse
La quantité de mouvement d’un objet est le produit de la masse et de la vitesse de l’objet. Cette relation s’exprime par
La masse de l’enfant est constante est vaut 30 kg , mais la vitesse de l’enfant est variable. On peut alors exprimer la variation de la quantité de mouvement de l’enfant de la façon suivante :
La variation de l’intensité de la vitesse de l’enfant correspond à sa vitesse finale moins sa vélocité initiale. Nous pouvons exprimer cela comme
On peut remplacer la valeur de dans la formule : et cela nous donnera : qui correspond à la variation de la quantité de mouvement de l’enfant. La direction de la quantité de mouvement de l’enfant avant et après le changement est la même que la direction de la vitesse de l’enfant : orientée vers le bas du toboggan.
La vitesse est une grandeur vectorielle, ainsi la variation de la vitesse d’un objet lorsque cet objet change de direction est soumise aux règles de l’addition vectorielle.
Pour un mouvement rectiligne, la vitesse orientée selon une direction dans le sens de la ligne est définie comme positive, et le mouvement dans la direction opposée est défini comme négatif.
Supposons alors qu’un objet de masse 10 kg se déplace de gauche à droite avec une vitesse de 2 m/s. Puis l’objet change de direction et se déplace de droite à gauche avec une vitesse de 1 m/s.
La vitesse est définie comme étant positive lorsque l’objet se déplace de gauche à droite. Cela signifie que lorsque l’objet se déplace de gauche à droite, la quantité de mouvement de l’objet est donné par :
Lorsque l’objet se déplace de droite à gauche, la vitesse de l’objet est négative, et la quantité de mouvement de l’objet est donc :
La variation de la quantité de mouvement de l’objet correspond à la quantité de mouvement finale de l’objet moins la quantité de mouvement initiale de l’objet. Ceci s’exprime par : :
La variation de la quantité de mouvement est négative car elle est dans la direction opposée à la direction positive de la vitesse.
Regardons maintenant un exemple illustrant la variation de la quantité de mouvement pour un objet inversant sa direction.
Exemple 4: Déterminer la variation de la quantité de mouvement d’un objet qui inverse sa direction
Une balle de tennis ayant une masse de 60 g est lancée sur un mur, et le heurte à une vitesse de 15 m/s. La balle rebondit contre le mur puis revient avec une vitesse de 10 m/s. Quelle est la l’intensité de la variation nette de la quantité de mouvement de la balle au cours de la collision ?
Réponse
La quantité de mouvement d’un objet est le produit de la masse et de la vitesse de cet objet. Cette relation s’exprime par :
La masse de la balle est constante et vaut 60 grammes , mais la vitesse de la balle change.
L’unité du SI pour la quantité de mouvement est kilogrammes-mètres par seconde (kg⋅m/s), on doit donc convertir la masse de la balle en une masse exprimée en kilogrammes. La masse de la balle est alors de 0,060 kg.
On peut ainsi exprimer la variation de la quantité de mouvement de la balle comme suit :
La variation de la vitesse de la balle est la valeur de sa vitesse finale moins la valeur de sa vitesse initiale.
On peut définir la direction de la vitesse de la balle avant le rebond comme étant la direction positive. Cela signifie que la vitesse initiale est de 15 m/s.
Après le rebond, la balle a une vitesse orientée dans le sens négatif, elle a donc une vitesse de .
La variation de la vitesse de la balle s’exprime par
En remplaçant la valeur de dans la formule on obtient qui correspond au changement de la quantité de mouvement de la balle dans la direction de la vitesse initiale de la balle.
La question nous demande de trouver la variation de la quantité de mouvement de la balle. L’intensité est la valeur positive de la variation de la quantité de mouvement, de sorte que la variation de la quantité de mouvement de la balle est égale à 1,5 kg⋅m/s.
Jusqu’à présent, les exemples illustraient uniquement la quantité de mouvement et le changement de quantité de mouvement d’un seul objet. Pour plusieurs objets, la quantité de mouvement totale des objets est la somme de la quantité de mouvement des objets.
Supposons que nous considérions la quantité de mouvement totale de deux objets se déplaçant dans une même direction, que nous définissons comme étant la direction positive. L’un de ces objets a une quantité de mouvement de 55 kg⋅m/s et l’autre a une quantité de mouvement de 20 kg⋅m/s. La quantité de mouvement totale de ces objets est donnée par
Supposons maintenant que les deux objets se déplacent dans le sens négatif. La quantité de mouvement totale de ces objets est alors donnée par
On observe ainsi que si les objets se déplacent dans la même direction, la quantité de mouvement totale est la somme des quantités de mouvement de chaque objet.
Maintenant, supposons que l’objet avec la plus petite quantité de mouvement se déplace dans le sens négatif. La quantité de mouvement totale de ces objets est alors donnée par
Enfin, supposons que l’objet avec la plus grande quantité de mouvement se déplace dans le sens négatif. La quantité de mouvement totale de ces objets est maintenant donnée par
On observe ainsi que si les objets se déplacent dans des directions opposées, la quantité de mouvement totale est la différence entre les quantités de mouvement de chaque objet.
Regardons maintenant un exemple dans lequel on calcule la quantité de mouvement totale de plusieurs objets.
Exemple 5: Determiner la quantité de mouvement d’un système d’objets
Une voiture de masse 400 kg se déplace à une vitesse constante de 25 m/s lorsqu’elle percute une camionnette se déplaçant dans la direction opposée à une vitesse constante de 10 m/s. La camionnette a une masse de 700 kg. Quelle est la quantité de mouvement totale de la voiture et de la camionnette ? On considère le sens du mouvement de la voiture comme étant positif.
Réponse
La quantité de mouvement d’un objet est le produit de la masse et de la vitesse de cet objet. Cette relation s’exprime par
La voiture roule dans le sens positif, elle a donc une quantité de mouvement de
La camionnette roule dans le sens négatif, elle a donc une quantité de mouvement de
La quantité de mouvement totale correspond à l’addition des quantités de mouvement de la voiture et de la camionnette, comme illustré sur la figure suivante :
La flèche noire représente la quantité de mouvement totale, .
On voit que
La voiture et la camionnette se déplacent dans des directions opposées, leur quantité de mouvement totale est donc égale à la différence entre leurs quantités de mouvement respectives. La voiture a une quantité de mouvement positive avec une valeur supérieure à celle de la quantité de mouvement négative de la camionnette, donc la quantité de mouvement totale est positive.
Voici un résumé de ce que l’on a appris dans ces exemples.
Points Clés
- La quantité de mouvement d’un objet est le produit de la masse et de la vélocité de cet objet. Cette relation s’exprime par où est la quantité de mouvement, est la masse, et est la vitesse.
- La variation de la quantité de mouvement d’un objet de masse fixe est le produit de sa masse multipliée par sa variation de vitesse. Cette relation s’exprime par où est la variation de la quantité de mouvement, est la masse, et est la variation de la vitesse.
- La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle ; par conséquent, elle peut être positive ou négative pour une vitesse rectiligne.
- La quantité de mouvement totale de plusieurs objets est égale à la somme de leurs quantités de mouvement.
