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Fiche explicative de la leçon : Convexité et points d'inflexion Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la convexité d’une fonction ainsi que ses points d’inflexion en utilisant la dérivée seconde.

Avant d’aborder cette fiche explicative, vous devez maîtriser les outils de la dérivation des fonctions pour la recherche des dérivées première et seconde. Vous devez également savoir comment utiliser le signe de la dérivée première pour déterminer la nature des points critiques.

Avant de commencer à étudier des exemples et apprendre comment utiliser le signe de la dérivée seconde, nous allons étudier ce qu’est une représentation graphique concave ou convexe, et un point d’inflexion. Pour cela, nous allons examiner les courbes représentatives de trois fonctions de références.

Définition : Convexité et inflexion

Si on regarde les figures, 𝑓(𝑥)=𝑥 est un exemple de fonction convexe sur tout son ensemble de définition;sa courbe représentative est orientée vers le haut et la valeur de sa dérivée est croissante sur tout son ensemble de définition. Une autre caractéristique équivalente des fonctions convexes est que leur courbe représentative se situe toujours au-dessus de ses tangentes. De manière similaire, 𝑔(𝑥)=𝑥 est un exemple de fonction concave sur tout son ensemble de définition;la courbe représentative de la fonction est orientée vers le bas et sa dérivée est décroissante sur tout son ensemble de définition.

Si on ne considère que les tangentes à la courbe, si la courbe représentative d’une fonction est située au-dessous de toutes ses tangentes sur un certain intervalle, alors elle est concave sur cet intervalle.

Regardons les fonctions 𝑓 et 𝑔;on remarque que le point critique sur la représentation graphique de 𝑓(𝑥)=𝑥 est un minimum absolu;c’est le point le plus bas de la courbe sur tout son ensemble de définition. Sur la représentation graphique de 𝑔(𝑥)=𝑥, c’est un maximum absolu;c’est le point le plus haut de la courbe sur tout son ensemble de définition.

Cependant, pour la fonction (𝑥)=𝑥 on remarque quelque chose d’un peu différent. Ce que l’on observe au point (0;0) est ce que l’on appelle un point d’inflexion. Cela se caractérise par un changement de convexité, de convexe à concave (comme ici pour la fonction ) ou de concave à convexe.

Maintenant que nous connaissons les définitions, regardons comment rechercher un point critique et comment étudier la convexité d’une fonction.

Soit la fonction𝑓(𝑥)=𝑥;la dérivée première est 𝑓(𝑥)=2𝑥.

Nous pouvons utiliser cette fonction pour calculer la pente de la tangente à la fonction en un point donné. On peut aussi étudier le signe de cette dérivée pour déterminer la nature du point critique.

On a des points critiques de la fonction pour des valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓(𝑥)=0. 2𝑥=0,𝑥=0.

Le signe de la dérivée première permet d’établir la nature du point critique en déterminant le coefficient directeur de la tangente à la courbe de chaque côté de ce point.

La pente de la tangente à la courbe représentative de 𝑦=𝑓(𝑥) en 𝑥=1 peut être trouvé en remplaçant 𝑥=1 dans l’expression de la dérivée:𝑓(1)=2.

De même, la pente de la tangente en 𝑥=1 est 𝑓(1)=2.

La pente passant d’une valeur négative à une valeur positive au niveau du point critique, la courbe représentative y est localement convexe.

Mais maintenant, examinons en détail ce qui arrive à la dérivée:

  • avant le point critique, elle est négative.
  • au point critique, elle est nulle.
  • après le point critique, elle est positive.

Pour notre fonction 𝑓, la valeur de 𝑓(𝑥) est croissante;en d’autres termes, le taux de variation de 𝑓(𝑥) est positif.

Le taux de variation de 𝑓(𝑥) est sa dérivée:𝑓(𝑥), appelée dérivée seconde, et on a 𝑓(𝑥)>0.

On peut donc utiliser la dérivée seconde pour étudier la convexité:

Si 𝑓(𝑥)>0 pour toutes les valeurs de 𝑥 dans un intervalle (𝐼), alors sa représentation graphique est convexe sur cet intervalle.

C’est ce qu’on appelle le test du signe de la dérivée seconde;l’étude du signe de la dérivée seconde autour du point critique nous donne des informations sur la nature de l’extrema et donc sur la convexité de la courbe.

Soit maintenant 𝑔(𝑥)=𝑥. Nous pouvons voir, sur la figure, que juste avant le point critique la tangente à la courbe représentative a une pente positive et juste après le point critique la pente devient négative. Cela nous dit que 𝑓(𝑥) est décroissante, ce que l’on peut aussi écrire:𝑓(𝑥)<0.

Ainsi, si nous évaluons la dérivée seconde au point critique et qu’elle est inférieure à zéro, alors nous pouvons en déduire que nous avons un maximum local. Nous pouvons généraliser cette idée avec la règle suivante:

Si 𝑓(𝑥)<0 pour tout 𝑥 dans un intervalle (𝐼), sa représentation graphique est concave sur cet intervalle.

Nous avons maintenant deux règles pour nous aider à déterminer la convexité d’une courbe. Que faire si 𝑓(𝑥)=0?

Si 𝑓(𝑥)=0 ou n’est pas définie, alors cela pourrait être un point d’inflexion. Cependant, il ne faut surtout pas supposer que dès lors que 𝑓(𝑥)=0 on a un point d’inflexion. Dans ces cas-là, on doit impérativement étudier le signe de la dérivée seconde de chaque côté de notre point et vérifier que la convexité change de convexe à concave ou inversement de concave à convexe.

Définition : Utilisation de la dérivée seconde pour étudier la convexité et identifier des points d’inflexion

  • Si 𝑓(𝑥)>0 pour tout 𝑥 dans 𝐼, alors 𝑓 est convexe sur 𝐼.
  • Si 𝑓(𝑥)<0 pour tout 𝑥 dans 𝐼, alors𝑓 est concave sur 𝐼.
  • Si 𝑓(𝑥)=0 ou n’est pas définie, un point d’inflexion peut exister (Attention cette condition est nécessaire mais pas suffisante). Pour qu’il y ait un point d’inflexion, il faut impérativement qu’il y ait également un changement de convexité de chaque côté de ce point.

Remarque :

Un point d’inflexion peut se produire en un point critique, mais ce n’est pas toujours le cas. Regardons la représentation graphique de la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑥+6𝑥.

La convexité de la fonction change de concave à convexe pour 𝑥=23. C’est un point d’inflexion mais ce n’est pas un point critique.

Nous allons maintenant étudier un exemple de calcul des intervalles sur lesquels une fonction polynomiale est convexe ou concave.

Exemple 1: Etudier la convexité d’un polynôme

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction𝑓(𝑥)=4𝑥+𝑥 est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.

Réponse

On sait que:

Si 𝑓(𝑥)>0 pour tout 𝑥 dans un intervalle (𝐼), alors la représentation graphique est convexe pour toutes les valeurs de 𝑥 de cet intervalle, et si 𝑓(𝑥)<0 pour tout 𝑥 dans un intervalle (𝐼), alors la représentation graphique est concave pour toutes les valeurs de 𝑥 de cet intervalle.

Nous aurons donc besoin de déterminer la dérivée seconde de notre fonction et de l’utiliser pour déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓(𝑥)>0 et ceux sur lesquels 𝑓(𝑥)<0.

La dérivée première, 𝑓(𝑥), est 𝑓(𝑥)=5×4𝑥+3×𝑥=20𝑥+3𝑥.

En dérivant 𝑓(𝑥) par rapport à 𝑥, nous trouvons la dérivée seconde:𝑓(𝑥)=4×20𝑥+2×(3𝑥)=80𝑥+6𝑥.

Maintenant que nous avons la dérivée seconde, nous pouvons déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓(𝑥)>0 et 𝑓(𝑥)<0.

Pour cela on commence par résoudre l’équation en 𝑥 suivante:80𝑥+6𝑥=0.

Pour résoudre cette équation, nous pouvons factoriser le membre de gauche:2𝑥40𝑥+3=0.

On peut maintenant résoudre et déterminer les valeurs de 𝑥 qui vérifient l’équation;on sait que soit 2𝑥 doit être égal à zéro soit le contenu entre parenthèses doit être égal à zéro, c'est-à-dire:2𝑥=0𝑥=0, ou 40𝑥+3=040𝑥=3𝑥=340𝑥=±340𝑥=±340.

En multipliant le numérateur et le dénominateur par 40 on obtient:340=3404040=341040=23040=3020.

Pour avoir 𝑓(𝑥)=0 on doit donc avoir 𝑥=0, 𝑥=3020, ou 𝑥=3020. On trace maintenant l’allure de la courbe représentative de 𝑓(𝑥) pour identifier sur quels intervalles elle est positive ou négative.

C’est la courbe représentative d’un polynôme de degrés trois avec un coefficient en 𝑥 négatif, et qui a pour racines3020 ,3020 , et zéro.

En marquant les zones où l’image de la fonction est négative en orange et celles où elle est positive en rose, on obtient

On peut donc dire que 𝑓(𝑥)>0;et par conséquent la fonction est convexe, sur les intervalles ;3020 et 0;3020.

De même, 𝑓(𝑥)<0, et par conséquent la fonction est concave, sur les intervalles 3020;0 et 3020;+.

La fonction est convexe sur ;3020 et sur 0;3020 et elle est concave sur 3020;0 et sur 3020;+.

Dans notre premier exemple, nous avons étudié la convexité d’une fonction en utilisant sa dérivée seconde. Dans notre prochain exemple, nous verrons comment déterminer si une fonction possède des points d’inflexion.

Exemple 2: Déterminer l’existence d’un point d’inflexion sur la courbe représentative d’une fonction du second degré.

Déterminez les points d’inflexion de la courbe représentative de 𝑦=𝑥+2𝑥5.

Réponse

On rappelle que:

Si 𝑃 est un point d’inflexion, alors 𝑓(𝑥)=0 (ou n’est pas définie) et la courbe est continue et change de convexité, en 𝑃.

On commence donc par calculer la dérivée seconde de la fonction.

Notez que 𝑦 étant un polynôme, elle est continue et dérivable sur tout son ensemble de définition.

On commence par dériver la fonction 𝑦 par rapport à 𝑥, ce qui nous donnedd𝑦𝑥=2𝑥+2.

La dérivée seconde, dd𝑦𝑥=2, est une constante positive, qui est indépendante de 𝑥, ce qui signifie que ddsurtoutlensemblededénition𝑦𝑥>0.

Par conséquent, 𝑦 est convexe pour toutes les valeurs de 𝑥.

Ainsi, comme la convexité de la fonction ne change jamais, nous avons montré que la courbe 𝑦=𝑥+2𝑥5 n’a pas de point d’inflexion.

Dans la question suivante, nous allons montrer comment utiliser la dérivée seconde pour déterminer les points d’inflexion d’une courbe.

Exemple 3: Déterminer les points d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction polynomiale

Déterminez les coordonnées du point d’inflexion sur la représentation graphique de𝑓(𝑥)=𝑥9𝑥+6𝑥.

Réponse

On rappelle que:

Si 𝑃 est un point d’inflexion, alors 𝑓(𝑥)=0 (ou est n’est pas définie) et la courbe est continue et change de convexité en 𝑃.

Comme on nous dit que la courbe représentative a un point d’inflexion, nous commençons par calculer l’expression de la dérivée seconde.

On dérive d’abord la fonction 𝑓(𝑥) par rapport à 𝑥, ce qui nous donne 𝑓(𝑥)=3𝑥2×(9𝑥)+6=3𝑥18𝑥+6.

Pour trouver 𝑓(𝑥), on dérive 𝑓(𝑥):𝑓(𝑥)=6𝑥18.

On remarque que 𝑓 est une fonction du second degré:elle est donc continue et dérivable sur tout son ensemble de définition ce qui garantit l’existence de 𝑓 pour tout réel 𝑥.

Nous savons qu’il ne peut y avoir un point d’inflexion que lorsque la dérivée seconde est égale à zéro, nous cherchons donc les valeurs de 𝑥 qui vérifient:6𝑥18=06𝑥=18𝑥=3.

Cependant, 𝑓(𝑥)=0 ne garantit pas la présence d’un point d’inflexion. Pour cela, il nous faut vérifier la convexité de la courbe de part et d’autre du point 𝑥=3. Pour ce faire, nous allons calculer 𝑓(2) et 𝑓(4).

𝑥𝑓(𝑥)
26×218=6<0
30
46×418=6>0

On voit que𝑓(2)<0 et 𝑓(4)>0;par conséquent, la courbe passe de concave à convexe. On a donc bien un point d’inflexion en 𝑥=3.

Pour déterminer l’ordonnée 𝑦 de ce point d’inflexion, nous substituons 𝑥=3 dans 𝑓(𝑥) ce qui donne:𝑓(3)=39×3+6×3=36.

Le point d’inflexion de la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥9𝑥+6𝑥 se trouve donc en (3;36).

Dans les deux prochains exemples, nous allons apprendre comment utiliser les règles habituelles de dérivation pour étudier la convexité et les points d’inflexion, en mettant particulièrement l’accent sur les fonctions trigonométriques et logarithmiques.

Exemple 4: Déterminer les points d’inflexion d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques dans un intervalle donné

Soit 𝑓(𝑥)=4𝑥+4𝑥sincos, avec 0𝑥𝜋2 , déterminez les points d’inflexion de 𝑓.

Réponse

On rappelle que:

Si 𝑃 est un point d’inflexion, alors 𝑓(𝑥)=0 (ou n’est pas définie) et la courbe est continue et change de convexité en 𝑃.

On commence par dériver 𝑓(𝑥) par rapport à 𝑥. Pour cela, rappelons les dérivées des fonctions de référence suivantes:ddsincosddcossin𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥,𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥.

En les appliquant à notre fonction, on obtient:𝑓(𝑥)=44𝑥44𝑥.cossin

On dérive ensuite 𝑓(𝑥) pour trouver la dérivée seconde:𝑓(𝑥)=164𝑥164𝑥.sincos

Un point d’inflexion se produit nécessairement lorsque la dérivée seconde est égale à zéro (ou n’existe pas) et lorsque il y a un changement de convexité;cela revient donc à poser 𝑓(𝑥)=0 et à chercher les valeurs de 𝑥 qui vérifient cette égalité, sans oublier de restreindre l’ensemble des solutions à l’intervalle 0𝑥𝜋2.

Remarque

La fonction 𝑓(𝑥) est la somme de deux fonctions continues. Cela signifie qu’elle est elle-même continue et qu’elle est définie sur l’ensemble de son ensemble de définition:0=164𝑥164𝑥0=4𝑥+4𝑥4𝑥=4𝑥1=4𝑥4𝑥.sincossincoscossinsincos

On rappelle que:tansincos𝑥=𝑥𝑥.

Ainsi tansincos4𝑥=4𝑥4𝑥. on a donc 1=4𝑥,tan cela est vrai lorsque 𝑥 prend la valeur:tan(1)=4𝑥𝜋4=4𝑥.

À ce stade, il faut se rappeler que tan𝑥 est périodique de période 𝜋 radians, il peut donc y avoir plusieurs solutions.

Pour toutes les trouver, nous devons considérer notre intervalle d’origine;cependant, nous allons le modifier en multipliant par 4 on a donc:04𝑥2𝜋.

On trouve toutes les valeurs possibles pour 4𝑥 dans notre intervalle en ajoutant des multiples de 𝜋 à notre solution ce qui nous donne:4𝑥=3𝜋4,7𝜋4.

Enfin, en divisant par 4 on obtient, comme valeur possibles pour 𝑥:𝑥=3𝜋16,7𝜋16.

On sait cependant que satisfaire au critère 𝑓(𝑥)=0 ne garantit pas la présence d’un point d’inflexion. On doit aussi vérifier la convexité de la fonction de part et d’autre des deux valeurs de 𝑥. Regardons ce qui se passe pour 𝑥=0,5 et 𝑥=0,6 qui sont deux valeurs de part et d’autre de 3𝜋16 , et pour 1,3 et 1,4 qui se trouvent de part et d’autre de 7𝜋16.

𝑥𝑓(𝑥)
0,5 7,89<0
0,60,99>0
1,36,63>0
1,42,30<0

On voit donc que, autour de 𝑥=3𝜋16, la courbe représentative passe de concave à convexe, et que, autour de 𝑥=7𝜋16, elle passe de convexe à concave. On a donc bien des points d’inflexion en 𝑥=3𝜋16 et en 𝑥=7𝜋16.

Pour trouver les ordonnées 𝑦 de ces points, nous substituons chaque valeur de 𝑥 dans l’expression de la fonction d’origine 𝑓(𝑥):𝑓3𝜋16=0,𝑓7𝜋16=0.

Sachant que 𝑓(𝑥)=4𝑥+4𝑥sincos, avec 0𝑥𝜋2, les points d’inflexion de 𝑓 se trouvent donc en 3𝜋16;0 et en 7𝜋16;0.

Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment appliquer cette méthode à une fonction impliquant un logarithme népérien.

Exemple 5: Déterminer les points d’inflexion, s’ils existent, d’une fonction impliquant un logarithme

Déterminez (le cas échéant) les points d’inflexion de 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥ln.

Réponse

Si 𝑃 est un point d’inflexion, alors 𝑓(𝑥)=0 (ou n’est pas définie) et la courbe est continue et change de convexité, en 𝑃.

Pour déterminer les points d’inflexion, on doit donc calculer la dérivée seconde de notre fonction et chercher quand elle est égale à zéro.

On remarque que notre fonction est le produit de deux fonctions:3𝑥2𝑥.etln

Par conséquent, nous utiliserons la règle du produit pour dériver qui nous dit que dddddd𝑥(𝑢𝑣)=𝑢𝑣𝑥+𝑣𝑢𝑥.

Soient 𝑢=3𝑥 et 𝑣=2𝑥ln.

En dérivant par rapport à 𝑥, on obtient ddetdd𝑢𝑥=6𝑥𝑣𝑥=1𝑥.

En utilisant la règle du produit, cela nous donne:𝑓(𝑥)=3𝑥×1𝑥+6𝑥×2𝑥=3𝑥+6𝑥2𝑥.lnln

Pour déterminer la dérivée seconde, nous utiliserons une fois de plus la règle du produit pour calculer la dérivée de 6𝑥2𝑥ln:𝑓(𝑥)=3+6+62𝑥=9+62𝑥.lnln

Maintenant que nous avons la dérivée seconde, nous pouvons chercher les valeurs de 𝑥 qui annulent cette expression:0=9+62𝑥9=62𝑥32=2𝑥𝑒=2𝑥12𝑒=𝑥.lnlnln

Il n’y a donc potentiellement qu’un seul point d’inflexion en 𝑥=12𝑒.

Cependant, 𝑓(𝑥)=0 ne garantit pas l’existence d’un point d’inflexion;nous allons donc vérifier les valeurs de 𝑓(𝑥) de part et d’autre. Si on calcule 12𝑒, c'est environ 0,112;par conséquent, nous pouvons considérer des valeurs 𝑥 de 0,1 et 0,12.

𝑥𝑓(𝑥)
0,10,656<0
0,120,437>0

On peut voir sur le tableau que 𝑓(0,1)<0 et que 𝑓(0,12)>0. Ceci nous indique que la courbe passe de concave à convexe. Ceci confirme l’existence d’un point d’inflexion pour 𝑥=12𝑒.

On peut maintenant substituer cette valeur de 𝑥 dans l’expression de notre fonction pour trouver l’ordonnée 𝑦 de notre point d’inflexion:𝑓12𝑒=3𝑒2×2𝑒2=3𝑒4×32𝑒=34𝑒×32=98𝑒.lnln

Ainsi, on peut conclure que le point d’inflexion de 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥ln a pour coordonnées 𝑒2;98𝑒.

Nous pouvons également appliquer ce que nous avons appris sur la convexité aux équations paramétriques. Il faut d’abord se souvenir comment déterminer les dérivées première et seconde des équations paramétriques.

Définition : Dérivée d’une équation paramétrique

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables, telles que 𝑥 et 𝑦 sont les équations paramétriques:𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

On peut définir la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 comme dd𝑦𝑥=,dddd quand dd𝑥𝑡0.

Définition : Dérivée seconde d’une équation paramétrique

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables, telles que 𝑥 et 𝑦 sont des équations paramétriques:𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

On peut définir la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥:dd𝑦𝑥=,dddddd quand dd𝑥𝑡0.

Regardons comment nous pouvons utiliser cela dans un exemple.

Exemple 6: Déterminer la convexité d’une courbe paramétrique en un point donné

Soit la courbe définie par les équations paramétriques 𝑥=𝜃cos et 𝑦=𝜃sin. Déterminez si cette courbe est convexe ou concave au point de paramètre 𝜃=𝜋6.

Réponse

Comme nous recherchons la convexité d’une courbe, il nous faut calculer la dérivée seconde de la fonction au point donné. Puisqu’il s’agit d’une courbe paramétrique, nous pouvons utiliser la formule suivante pour déterminer sa dérivée seconde:dd𝑦𝑥=.dddddd

Commençons par calculer dd𝑥𝜃 et dd𝑦𝜃. Pour cela on utilise les règles de dérivation des fonctions trigonométriques. Nous avons donc ddsin𝑥𝜃=𝜃 etddcos𝑦𝜃=𝜃.

Ainsi, nous constatons que ddcossincot𝑦𝑥=𝜃𝜃=𝜃.

Maintenant, on peut dériver dd𝑦𝑥 par rapport à 𝜃. En utilisant les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques, on a ddddcsc𝜃𝑦𝑥=𝜃.

Maintenant, nous pouvons les substituer dans la formule de la dérivée seconde. Ce qui donne ddcscsincsc𝑦𝑥=𝜃𝜃=𝜃.

Maintenant que nous avons déterminé l’expression de la dérivée seconde de la fonction, nous devons y substituer la valeur du paramètre pour déterminer sa convexité. Le point a pour paramètre 𝜃=𝜋6, en remplaçant dans notre équation, on obtient ddcsc𝑦𝑥|||=𝜋6=8.

On voit donc que en 𝜃=𝜋6 la dérivée seconde est négative:dd𝑦𝑥|||<0.

Par conséquent, notre fonction est concave en ce point.

Nous terminerons en récapitulant certains points clés de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Si 𝑓(𝑥)>0 pour tout 𝑥 de 𝐼, alors 𝑓 est convexe sur 𝐼.
  • Si 𝑓(𝑥)<0 pour tout 𝑥 de 𝐼, alors 𝑓 est concave sur 𝐼.
  • Un point d’inflexion se produit lorsque la convexité de la représentation graphique change;cela se produit seulement lorsque 𝑓(𝑥)=0 ou si la dérivée seconde n’est pas définie (Attention la condition est nécessaire mais non suffisante)

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