Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment faire la distinction entre la vitesse et le vecteur vitesse d'un objet se déplaçant entre deux points.
Rappelons que la vitesse d’un objet détermine la distance parcourue par l’objet par unité de temps. Par exemple, imaginons qu’une voiture se déplace entre une position initiale et une position finale, comme indiqué sur le schéma suivant
La vitesse de la voiture est égale à la distance parcourue divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance :
Parfois, le trajet parcouru par l’objet entre sa position initiale et sa position finale n’est pas une droite. La longueur de ce trajet correspond à la distance parcourue par l’objet.
Ceci est différent du déplacement parcouru par l’objet. Le déplacement est le changement de position entre les deux points.
Le déplacement est une grandeur vectorielle ; cela signifie qu’il a une norme et un sens. La norme du déplacement est la distance la plus courte en ligne droite entre deux points.
On peut indiquer la distance parcourue par la voiture et le déplacement de sa position finale par rapport à sa position initiale sur le diagramme suivant.
Le vecteur vitesse de la voiture est égale au déplacement de sa position initiale à sa position finale divisé par le temps mis pour effectuer ce mouvement :
L’unité du vecteur vitesse est le mètre par seconde, également noté m/s. Cependant, tout comme le déplacement, le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle, ce qui signifie qu’elle a à la fois une norme et un sens.
Cela signifie que si on nous dit que la voiture se déplace à 10 m/s, on nous donne ainsi sa vitesse. Si on nous dit que la voiture se déplace dans une direction particulière à 10 m/s, on nous donne ainsi son vecteur vitesse .
Définition: Vecteur vitesse
La vecteur vitesse d’un objet se déplaçant entre une position initiale et une position finale est égale au déplacement entre les deux positions divisé par le temps nécessaire pour effectuer ce déplacement :
Lorsqu’un objet se déplace en ligne droite et que sa vitesse reste constante, la norme de son vecteur vitesse est égale à sa vitesse. Ceci est illustré par le diagramme suivant.
Comme on le voit, la norme du déplacement de la position initiale de la voiture à sa position finale est égale à la distance entre les deux points. Cela signifie que la norme du vecteur vitesse de la voiture est égale à la vitesse de la voiture, à condition que la vitesse de la voiture reste constante pendant la durée du mouvement.
Voyons à présent l’exemple d’un objet se déplaçant en ligne droite à vitesse constante.
Exemple 1: Vitesse et vecteur vitesse d’un objet se déplaçant en ligne droite
Si un objet se déplace en ligne droite à une vitesse constante, laquelle des propositions suivantes est correcte ?
- La vitesse correspond à la norme du vecteur vitesse de l’objet.
- La vitesse devient une grandeur vectorielle.
Réponse
La vitesse d’un objet est égale à la distance parcourue divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance :
Le vecteur vitesse d’un objet est égale au déplacement entre sa position finale et sa position initiale divisé par le temps mis pour se déplacer entre les deux points :
La norme du vecteur vitesse de l’objet ne sera égale à la vitesse de l’objet que lorsque la norme du déplacement entre les points entre lesquels il se déplace est égale à la distance entre ces points.
Entre deux points, la distance n’est égale à la norme du déplacement que lorsque l’objet se déplace en ligne droite. Ceci est illustré par le diagramme suivant.
Cela signifie que si un objet se déplace en ligne droite à une vitesse constante, la vitesse correspond à la norme di vecteur vitesse de l’objet.
Il est important de retenir que la vitesse est une grandeur scalaire ; elle ne peut jamais être une grandeur vectorielle.
Lorsqu’un objet se déplace sur une trajectoire courbe, la distance parcourue est supérieure à la norme du déplacement. Ceci est illustré par le diagramme suivant.
Cela signifie que la vitesse de l’objet est supérieure à la norme du vecteur vitesse de l’objet.
Exemple 2: Vitesse et vecteur vitesse d’un objet se déplaçant sur une trajectoire courbe
Un avion suit la ligne courbe illustrée. Quelle grandeur a la valeur la plus élevée, la vitesse ou la norme du vecteur vitesse de l’avion ?
Réponse
On peut commencer par annoter le diagramme pour indiquer la distance parcourue et le déplacement de la position initiale à la position finale. Ceci est illustré par le diagramme suivant.
La vitesse de l’avion est égale à la distance parcourue depuis la position initiale jusqu’à la position finale divisée par le temps mis pour effectuer ce mouvement :
Le vecteur vitesse de l’avion est égale au déplacement de sa position initiale à sa position finale divisé par le temps mis pour effectuer ce mouvement :
La valeur de la distance parcourue par l’avion est supérieure à la norme du déplacement de sa position initiale à sa position finale.
Cela signifie que la vitesse de l’avion est supérieure à la norme du vecteur vitesse de l’avion.
On peut aussi s’intéresser à un autre cas où la direction du mouvement de l’objet s’inverse lorsqu’il se déplace en ligne droite de sa position initiale à sa position finale. Ceci est illustré sur le schéma suivant, où une voiture roule sur un trajet rectiligne et horizontal de A à B puis recule à mi-chemin.
On notera que le diagramme illustre également une petite distance verticale parcourue par la voiture en plus de la distance horizontale parcourue par la voiture. Mais la voiture est seulement censée se déplacer horizontalement. La distance verticale parcourue par la voiture est seulement illustrée sur le schéma pour permettre de mieux voir la distance parcourue par la voiture dans les directions horizontales opposées. Pour le déplacement de la voiture, seul le déplacement horizontal doit être pris en compte. Comme on le voit, même si la trajectoire suit une ligne horizontale de la position initiale à la position finale, la distance parcourue est supérieure à la norme du déplacement entre les deux points.
Cela signifie que la vitesse de la voiture a une valeur supérieure à la norme du vecteur vitesse de la voiture.
Voyons maintenant un exemple où la direction du mouvement de l’objet est inversée.
Exemple 3: Vitesse et vecteur vitesse d’un objet lorsque la direction du mouvement s’inverse
Une voiture suit la ligne rouge illustrée ci-dessous. Laquelle a la plus grande valeur, la vitesse de la voiture ou la norme de son vecteur vitesse ?
Réponse
Le trajet suivi par la voiture montre qu’elle parcourt une très petite distance verticale, ainsi qu’une distance horizontale. La voiture est censée ne se déplacer que selon l’horizontale. La distance verticale parcourue par la voiture est seulement illustrée sur le schéma pour permettre de mieux voir la distance parcourue par la voiture dans les directions horizontales opposées. Pour le déplacement de la voiture, seul le déplacement horizontal doit être pris en compte.
Le trajet emprunté par la voiture suit une ligne droite horizontale au cours de laquelle la direction du mouvement est inversée. Cela signifie que la distance parcourue par la voiture a une valeur plus grande que la norme du déplacement entre la position initiale de la voiture à sa position finale. Ceci est illustré par le diagramme suivant.
Comme précédemment, il convient de noter que le diagramme montre une petite distance verticale parcourue par la voiture en plus de la distance horizontale parcourue par la voiture. La voiture est censée ne se déplacer que selon l’horizontale. La distance verticale parcourue par la voiture est seulement illustrée sur le schéma pour permettre de mieux voir la distance parcourue par la voiture dans les directions horizontales opposées. Pour le déplacement de la voiture, seul le déplacement horizontal doit être pris en compte. La vitesse de la voiture est égale à la distance parcourue sur le trajet, divisée par le temps nécessaire pour effectuer ce mouvement :
Le vecteur vitesse de la voiture est égale au déplacement de sa position initiale à sa position finale divisée par le temps nécessaire pour se déplacer entre ces deux points :
La distance parcourue par la voiture a une valeur supérieure à la norme du déplacement entre ses positions finale et initiale, ainsi, la vitesse de la voiture a une valeur supérieure à la norme de son vecteur vitesse.
Le chemin le plus court possible entre deux points est une droite. Pour un objet se déplaçant d’une position initiale à une position finale, le chemin le plus court possible que l’objet peut emprunter est une ligne droite entre ces deux positions. Comme on le voit sur la figure suivante, le trajet ayant la distance la plus courte entre deux points est égal au déplacement entre ces deux points.
Lorsque l’objet se déplace le long d’une ligne droite à vitesse constante, la vitesse de l’objet a la même valeur que la norme de son vecteur vitesse. Cela se produit quand l’objet se déplace le long du trajet le plus court possible entre les deux points, de sorte que la vitesse de l’objet ne peut pas être plus petite.
Par conséquent, la vitesse d’un objet ne peut être inférieure à la norme de son vecteur vitesse.
Étudions à présent un exemple illustrant la relation entre la vitesse et le vecteur vitesse d’un objet.
Exemple 4: Vitesse minimale d’un objet
Expliquez pourquoi la vitesse d’un objet ne peut pas être inférieure à la norme de son vecteur vitesse.
Réponse
La vitesse d’un objet est égale à la distance parcourue de sa position initiale à sa position finale divisée par le temps mis pour effectuer ce mouvement :
Le vecteur vitesse d’un objet est égale au déplacement de sa position initiale à sa position finale divisé par le temps nécessaire pour se déplacer entre ces deux points :
Entre deux points, un objet peut suivre plusieurs trajets ; le plus court est une ligne droite entre la position initiale et la position finale. Ceci est illustré par le diagramme suivant.
Lorsque l’objet emprunte le trajet le plus court, la distance parcourue est égale à la norme du déplacement de sa position initiale à sa position finale. La vitesse de l’objet le long de cette trajectoire est également à son minimum et est égale à la norme du vecteur vitesse de l’objet.
Tous les autres trajets que la voiture peut éventuellement emprunter sont plus longs, conduisant à une vitesse plus faible, la vitesse d’un objet ne peut être inférieure à la norme de son vecteur vitesse.
Un autre scénario à considérer est celui où un objet se déplace selon plusieurs trajets entre deux points, mais sa vitesse reste constante. Sur la figure suivante, on a deux voitures circulant de la position initiale A à la position finale B selon deux trajectoires différentes.
Comme on le voit, une voiture suit un trajet plus long que l’autre. Si elles se déplacent toutes les deux à la même vitesse, elles arriveront à leur position finale B à différents instants.
Le temps mis peut être calculé en divisant la distance parcourue par la vitesse à laquelle l’objet se déplace :
Ainsi, une plus grande distance parcourue de la position initiale à la position finale à vitesse constante signifie que le mouvement est plus long.
Cependant, le déplacement de la position initiale à la position finale ne dépend pas de la trajectoire empruntée.
La norme du vecteur vitesse de la voiture empruntant le trajet le plus long doit donc être inférieure à la norme du vecteur vitesse de la voiture empruntant le trajet le plus court.
Voyons un exemple traitant de ce sujet.
Exemple 5: Vecteur vitesse de deux objets se déplaçant à vitesse constante sur des trajets de longueurs différentes ayant le même déplacement
Deux avions volent à la même vitesse le long des trajectoires illustrées ci-dessous. Quelle flèche de couleur indique la trajectoire de l’avion qui vole de sa position initiale à sa position finale avec la norme du vecteur vitesse la plus élevée ?
Réponse
Les deux avions volent à la même vitesse. L’avion de gauche, empruntant la trajectoire bleue, parcourt une trajectoire plus longue que l’avion de droite, qui emprunte la trajectoire verte.
Le temps mis par un objet pour se déplacer de sa position initiale à sa position finale est égal à la distance parcourue sur le trajet, divisée par la vitesse à laquelle il se déplace :
L’avion de gauche suit une trajectoire plus longue, donc le temps nécessaire pour atteindre sa position finale est plus long que le temps mis par l’avion de droite.
Le déplacement de la position initiale à la position finale pour chaque avion est le même. Le vecteur vitesse de chaque avion est égale au déplacement de sa position initiale à sa position finale divisé par le temps mis pour effectuer ce mouvement :
L’avion de gauche met plus de temps à effectuer son mouvement, il a donc une norme de son vecteur vitesse inférieure à celle de l’avion de droite. Par conséquent, la flèche de couleur verte indique la trajectoire de l’avion qui vole entre ses positions initiale et finale avec la norme du vecteur vitesse la plus grande.
Résumons ce que nous avons appris dans les points clés suivants.
Points clés
- La vitesse est égale à la distance parcourue entre les positions initiale et finale divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance :
- Le vecteur vitesse est égale au déplacement de la position initiale à la position finale divisé par le temps nécessaire pour se déplacer entre ces positions :
- Le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle ; elle a donc à la fois une direction et une norme.
- Lorsqu’un objet se déplace en ligne droite à une vitesse constante, la norme de son vecteur vitesse est égale à sa vitesse.
- Lorsqu’un objet se déplace le long d’une trajectoire qui n’est pas droite, ou si la direction du mouvement s’inverse, sa vitesse est supérieure à la norme de son vecteur vitesse.
- La vitesse d’un objet ne peut pas être inférieure à la norme de son vecteur vitesse.
- Si un objet se déplace à une vitesse constante entre une position initiale et une position finale et qu’il suit un trajet plus long, la norme de son vecteur vitesse diminue.
