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Fiche explicative de la leçon : Applications de la deuxième loi de Newton : poulie horizontale Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur le mouvement de deux corps reliés par une corde passant par une poulie lisse, où l’un d’entre eux est sur une table horizontale.

On considère deux corps reliés par une corde qui passe par une poulie attachée au bord d’une surface horizontale, où l’un des corps est sur la surface et l’autre est suspendu librement à la corde, comme le montre la figure suivante.

Si la surface est lisse et que la masse de la corde et la force nécessaire pour produire la rotation de la poulie sont négligeables, l’accélération des corps dépend uniquement du poids du corps suspendu, de la tension dans la corde et des masses des corps, comme le montre la figure suivante.

L’accélération d’un corps peut être déterminée à partir du principe fondamental de la dynamique. Définissons cela.

Définition : Principe fondamental de la dynamique

Lorsqu’une force résultante agit sur un corps, celui-ci accélère dans la direction de la force. La valeur de l’accélération dépend de l’intensité de la force et de la masse du corps, selon la formule 𝐹=𝑚𝑎,𝑚 est la masse du corps et 𝑎 est l’accélération du corps.

En supposant que la corde est tendue et ne peut pas se déformer, les accélérations des corps doivent être égales. D’après les forces et les masses indiquées sur la figure, on peut voir que l’accélération du corps sur la surface 𝑎 est donnée par 𝑎=𝑇𝑚.

L’accélération du corps suspendu 𝑎 est donnée par 𝑎=𝑃𝑇𝑚,𝑎=𝑎=𝑎 et 𝑃=𝑚𝑔.

La tension dans la corde est donc donnée par 𝑇=𝑚𝑎=𝑚(𝑔𝑎).

Étudions un exemple d’un tel modèle.

Exemple 1: Déterminer la tension dans la corde reliant une masse sur une table à une masse suspendue verticalement par une poulie

Deux corps de masses 15 et 16,5 kilogrammes sont attachés aux extrémités d’une corde légère inextensible qui passe par une poulie lisse fixée au bord d’une table horizontale lisse. Le corps de plus grande masse est placé sur la table lisse tandis que le plus léger est suspendu verticalement sous la poulie. Déterminez la tension dans la corde, sachant que l’accélération de la pesanteur est 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Si la masse du corps à la surface est donnée par 𝑚 et la masse du corps suspendu est donnée par 𝑚, la formule 𝑇=𝑚𝑎=𝑚(𝑔𝑎) donne la valeur de 𝑇, car les corps ont des accélérations égales.

Les forces agissant sont représentées sur la figure suivante.

La tension dans la corde peut être déterminée en utilisant soit 𝑇=16,5𝑎 soit 𝑇=15(9,8𝑎); mais dans tous les cas, il est d’abord nécessaire de déterminer la valeur de 𝑎. La valeur de 𝑎 peut être déterminée en égalisant les deux équations ci-dessus:16,5𝑎=15(9,8𝑎)16,5𝑎=14715𝑎𝑎(16,5+15)=147𝑎=143/.ms

Substituer 𝑎 dans 𝑇=16,5𝑎 donne 𝑇=16,5143=77.N

Étudions maintenant un exemple de calcul de la force agissant sur une poulie due à la tension dans une corde attachée à deux corps.

Exemple 2: Déterminer la force exercée sur une poulie reliant un corps sur une surface lisse à un corps suspendu verticalement

Un corps est placé sur une table horizontale lisse. Il est relié par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au bord de la table à un autre corps suspendu librement verticalement sous la poulie. Si la tension dans la corde est 1,04 N, déterminez la force exercée sur la poulie.

Réponse

Il est à noter que ni les masses ni l’accélération d’aucuns des corps ne sont données. Ces valeurs ne sont pas nécessaires pour déterminer la force agissant sur la poulie. Les forces agissant sur la poulie sont illustrées sur la figure suivante.

Les seules forces agissant sur la poulie sont les tensions dans les parties horizontale et verticale de la corde. Le poids de la masse suspendue agit uniquement sur la masse suspendue, et non sur la poulie. Les lignes d’action des tensions dans les parties horizontale et verticale de la corde agissent le long de ces parties de la corde, et la force résultante d’intensité 𝐹R de ces tensions, est indiquée sur la figure suivante.

Le point auquel les forces agissent est en fait un point sur la poulie, comme le montre la figure suivante. Le point auquel les forces agissent ne change cependant pas la valeur de 𝐹R.

La valeur de 𝐹R dépend des valeurs de 𝑇 et de 𝜃. Il est indiqué que la valeur de 𝑇 est 1,04 N. La valeur de 𝜃 est déterminée par le fait que les deux tensions sont de même intensité et sont perpendiculaires, donc 𝜃 doit être 45. L’intensité 𝐹R est donc donnée par 𝐹=1,04((45)+(45))𝐹=2(1,04)22𝐹=2262522𝐹=26225.RRRRcossinN

On peut calculer l’accélération d’un corps relié à un autre corps par une corde qui passe par une poulie, et ainsi déterminer la vitesse et le déplacement d’un tel corps. Étudions un exemple où nous déterminons la vitesse d’un tel corps dû à son accélération.

Exemple 3: Déterminer la vitesse à laquelle une masse entre en collision avec la poulie

Un corps 𝐴 de masse 180 g est au repos sur une table horizontale lisse. Il est relié par une corde légère inextensible qui passe par une poulie lisse, fixée au bord de la table à un autre corps 𝐵 de masse 120 g suspendu librement verticalement sous la poulie. Quand le corps 𝐴 est à 90 cm de la poulie, le système sort du repos. Déterminez la vitesse à laquelle le corps 𝐴 entre en collision avec la poulie. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

La vitesse du corps 𝐴 quand il a un déplacement de 90 cm à partir de sa position initiale dépend de l’accélération du corps 𝐴 sur ce déplacement. L’accélération du corps 𝐴 peut être déterminée en utilisant la formule 𝑚𝑎=𝑚(𝑔𝑎).

Le déplacement est converti de 90 cm à 0,9 m, et les masses des corps en grammes sont converties en unité de base du SI, le kilogrammes.

En substituant les valeurs de 𝑔 et les masses des corps, on obtient 0,18𝑎=0,12(9,8𝑎)0,18𝑎=0,12𝑎+1,1760,3𝑎=1,176𝑎=117,60,3=3,92/.ms

La vitesse d’un corps qui accélère au cours d’un déplacement 𝑠 peut être trouvée en utilisant la formule 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠, où dans ce cas 𝑢 est nulle car le corps 𝐴 est initialement au repos. Substituer les valeurs de 𝑎 et 𝑠 donne 𝑣=2(3,92)(0,9)=7,056.

Cela permet de déterminer exactement 𝑣 comme suit:𝑣=7,056=0,84(10)𝑣=7,056=0,8410/.ms

En centimètres par seconde, elle est donnée par 𝑣=0,7056=8410/.cms

Parfois, la surface horizontale du système n’est pas lisse. Cela crée une force de frottement qui résiste au mouvement du corps sur la surface.

L’intensité de la force de frottement 𝐹f entre un objet en mouvement et une surface est donnée par 𝐹=𝜇𝑅,f𝑅 est l’intensité de la force de réaction normale de la surface sur le corps, qui a une intensité égale au poids du corps pour une surface horizontale, 𝑚𝑔.

La constante 𝜇 est le coefficient de frottement entre la surface et le corps. La force de frottement agit dans le sens opposé au sens du mouvement du corps. Si un corps est accéléré sur une surface horizontale non lisse par une force 𝐹, l’intensité de la force résultante exercée sur le corps le long de la ligne d’action de 𝐹 est donnée par 𝐹=𝐹𝑚𝑔𝜇.résultante

On considère un système de masses connectées et une poulie, comme indiqué sur la figure suivante.

La valeur de 𝐹 est donnée par 𝐹=𝑚𝑔𝜇,𝜇 est le coefficient de frottement.

La valeur de 𝑃 est donnée par 𝑃=𝑚𝑔.

La relation entre l’accélération de l’objet en mouvement horizontal et les forces qui agissent sur lui est donnée par 𝑇𝐹=𝑚𝑎𝑇𝑚𝑔𝜇=𝑚𝑎.

La relation entre l’accélération de l’objet en mouvement vertical et les forces qui agissent sur lui est donnée par 𝑃𝑇=𝑚𝑎𝑚𝑔𝑇=𝑚𝑎.

Ces termes peuvent être combinés comme suit:𝑎(𝑚+𝑚)=𝑇(𝑚𝑔𝜇)+𝑚𝑔𝑇𝑎(𝑚+𝑚)=𝑚𝑔𝑚𝑔𝜇𝑎=𝑚𝑔𝑚𝑔𝜇(𝑚+𝑚)𝑎=𝑔(𝑚𝑚𝜇)(𝑚+𝑚).

Étudions un exemple où le frottement entre un corps et une surface affecte le mouvement du corps.

Exemple 4: Déterminer l’accélération d’un système impliquant une table horizontale non lisse et une poulie

Un corps de masse 203 g est au repos sur une table horizontale non lisse. Il est relié par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au bord de la table à un corps de masse 493 g suspendu librement verticalement sous la poulie. Sachant que le coefficient de frottement entre le premier corps et la table est de 0,2, déterminez l’accélération du système. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Les forces agissant sur les corps sont représentées sur le schéma suivant, où la force de frottement est d’intensité 𝐹.

L’accélération du système peut être déterminée à l’aide de la formule 𝑎=𝑔(𝑚𝑚𝜇)(𝑚+𝑚).

Pour obtenir une valeur de 𝑎 en mètres par seconde carrée, les valeurs des masses sont converties dans l’unité de base du SI de masse, le kilogramme. La valeur de 𝑚 est 0,493 kg et la valeur de 𝑚 est 0,203 kg. L’accélération due à la pesanteur 𝑔 est donnée par 9,8 m/s2. Substituer les valeurs connues donne 𝑎=9,8(0,4930,203(0,2))(0,203+0,493)=6,37/.ms

Étudions maintenant un exemple où le frottement entre un corps et une surface affecte le mouvement du corps et le déplacement du corps est déterminé.

Exemple 5: Déterminer la distance parcourue par une masse sur un plan non lisse reliée à une masse suspendue verticalement

Un corps de masse 200 g est au repos sur une table horizontale non lisse. Il est relié par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse fixée au bord de la table à un autre corps de même masse qui pend librement sous la poulie à 2 cm au-dessus du sol. Le coefficient de frottement entre la table et le corps posé dessus est 13. Sachant que le système a été libéré du repos et que le corps suspendu est descendu jusqu’à ce qu’il touche le sol, quelle distance supplémentaire le corps sur la table a-t-il parcouru jusqu’à arriver au repos?Supposez que l’accélération de la pesanteur est 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Les forces agissant sur les corps sont représentées sur le schéma suivant, où la force de frottement est d’intensité 𝐹.

L’accélération du système peut être déterminée à l’aide de la formule 𝑎=𝑔(𝑚𝑚𝜇)(𝑚+𝑚).

Pour ce système, 𝑚=𝑚, et l’accélération du système est donc donnée par 𝑎=𝑔𝑚(1𝜇)2𝑚.

En substituant la valeur de 𝜇 donnée dans la question, on a 𝑎=𝑔(1𝜇)2=𝑔12𝑎=𝑔3.

Les deux corps accélèrent pendant le temps qu’il faut au corps suspendu verticalement pour descendre d’une distance de 2 centimètres, soit 0,02 mètre. La vitesse du corps en mouvement horizontal à ce moment-là peut être déterminée en utilisant la formule 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠,𝑢 est 0 m/s;donc, 𝑣=2𝑔30,02=0,04𝑔3𝑣=0,04𝑔3/.ms

Le déplacement de l’objet en mouvement horizontal jusqu’au repos peut être déterminé à l’aide de la formule 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠,𝑣 est 0 m/s et 𝑢=0,04𝑔3/.ms

Comme le corps suspendu a atteint le sol et a cessé de bouger, la tension dans la corde devient nulle. Donc, la seule force agissant sur le corps qui glisse sur la surface non lisse est la force de frottement. On peut l’utiliser pour calculer l’accélération du corps lorsqu’il ralentit.

L’intensité de la force de frottement est donnée par 𝐹=𝑚𝑔𝜇,Nce qui produit une accélération dans le sens opposé à la direction du mouvement de 𝐹𝑚=𝑚𝑔𝜇𝑚=𝑔𝜇=𝑔3/.ms

En substituant dans 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠, on obtient 0=0,04𝑔32𝑔3𝑠0=0,04𝑔32𝑔3𝑠0,04𝑔3=2𝑔3𝑠0,04=2𝑠𝑠=0,02.m

Le déplacement est 2 cm.

Points clés

  • Pour deux corps reliés par une corde légère et inextensible qui passe par une poulie qui peut être tournée avec une force négligeable, où le corps 𝐴 est sur une surface horizontale et le corps 𝐵 est librement suspendu à la corde, les accélérations des corps sont de même valeur et les forces exercées sur chaque corps par la tension dans la corde sont de même intensité.
  • Pour deux corps reliés par une corde légère et inextensible qui passe sur une poulie qui peut être tournée avec une force négligeable, où le corps 𝐴 est sur une surface horizontale et le corps 𝐵 est librement suspendu à la corde, les intensités des forces résultantes sur les corps sont les suivantes:𝐹=𝑚𝑎=𝑇, et 𝐹=𝑚𝑎=𝑚𝑔𝑇,𝑎 est l’accélération de l’un ou l’autre corps et 𝑇 est la tension dans la corde.
  • Si la surface horizontale est non lisse, l’intensité de la force résultante sur le corps en mouvement horizontal est donnée par 𝐹=𝑚𝑎=𝑇𝑚𝑔𝜇,𝜇 est le coefficient de frottement du corps 𝐴 avec la surface.

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