Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment identifier, écrire, évaluer et analyser les fonctions exponentielles.
Définition : Fonction exponentielle
Une fonction exponentielle est une fonction de la forme où la constante est appelée la base et la variable est appelée l’exposant. La constante est un nombre réel tel que et , et la variable peut être n’importe quel nombre réel.
Pour étudier une fonction exponentielle , commençons par calculer pour certains entiers strictement positifs de .
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
On peut voir que la valeur précédente de est multipliée par à chaque fois que augmente de 1. Ainsi,
- la valeur de est ,
- la valeur de est ,
- la valeur de est .
Propriété : Relation entre 𝑓 (𝑥) et 𝑓 (𝑥 - 1) pour la fonction exponentielle 𝑓 (𝑥) = 𝑏 𝑥
Pour la fonction exponentielle , la valeur de est toujours le produit de avec , ce qui signifie que est toujours le quotient de par . C’est-à-dire
La propriété ci-dessus est vraie non seulement pour à valeur entière et positive, mais aussi pour tout réel. Ainsi, on peut souvent utiliser la relation entre ,, et pour déterminer la valeur de à partir d’une courbe ou d’un tableau de valeurs.
Considérons la courbe suivante, d’équation pour une certaine valeur de . Notez que la courbe intersecte l’axe des au point (0,1). Cela est le cas pour toute valeur réelle de telle que et .
On peut trouver la valeur de , base de la fonction exponentielle représentée par la courbe, en choisissant deux points de la courbe dont les coordonnées en diffèrent de 1. Peu importe les points que nous choisissons, à partir du moments où leurs coordonnées en et en sont faciles à lire. Pour ce faire, il est plus simple de choisir des points dont les coordonnées en sont des entiers consécutifs.
Il est clair que la courbe passe par les points et , nous allons donc choisir ces deux points pour déterminer la base . D’après les coordonnées des points, nous avons :
Rappelons que est toujours égal au quotient de et . Par conséquent,
Ainsi, la courbe est la courbe représentative de la fonction définie par .
Ensuite, considérons un tableau de valeurs de la fonction pour une valeur spécifique de .
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 2 | 4 | 8 | 16 |
Puisque les valeurs de dans le tableau diffèrent de 1, on pourrait utiliser la méthode précédente pour déterminer la valeur de , en calculant le quotient de 4 et 2, le quotient de 8 et 4, ou le quotient de 16 et 8. Cependant, cette fois, nous allons remplacer la première paire de valeurs et du tableau dans la définition de la fonction . En substituant 1 à et 2 à , on obtient Ainsi, doit être égal à 2. Par conséquent, ce tableau représente la fonction .
Jusqu’à présent, nous avons examiné uniquement les fonctions exponentielles sous la forme , mais on peut appliquer les transformations usuelles aux fonctions exponentielles. Tandis que la base doit toujours être un nombre réel strictement positif différent de 1, l’exposant peut être n’importe quelle fonction affine non constante. Le terme exponentiel peut aussi être multiplié par une constante ; de même, une constante peut être sommée avec le terme exponentiel. Voici quelques exemples de fonctions exponentielles transformées :
- ,
- ,
- .
Tout comme avec les fonctions exponentielles sous la forme , dans chacun de ces exemples, l’exposant contient une variable, et celui-ci est n oté en haut à droite de la base :
- pour , la base vaut 2, et l’exposant est ,
- pour , la base vaut , et l’exposant est ,
- pour , la base vaut 9, et l’exposant est .
Nous pouvons également déterminer les équations de fonctions exponentielles transformées telles que celles-ci à partir de courbes et de tableaux, ce que nous ferons dans certains des problèmes qui suivent. Nous commencerons cependant par un problème qui nous demande d’identifier la base et l’exposant d’une fonction exponentielle.
Exemple 1: Déterminer la base et l’exposant d’une fonction exponentielle
Que sont la base et l’exposant de la fonction ?
Réponse
Rappelons que pour une fonction exponentielle définie par , la base est la constante , et que l’exposant est la variable . Nous savons que est un nombre réel tel que et et que peut être n’importe quel nombre réel.
Notre fonction exponentielle a été transformée. On y trouve le terme affine en en haut à droite de 5. Par conséquent, nous savons que la base est 5 et que l’exposant est .
Dans le problème suivant, un tableau de valeurs nous est donné, et nous devons déterminer l’équation de la fonction exponentielle associée.
Exemple 2: Écrire l’équation d’une fonction exponentielle à partir d’un tableau de valeurs
Écrivez la fonction exponentielle, sous la forme , représentée par le tableau suivant
| 2 | 4 | 5 | |
Réponse
Rappelons que pour une équation exponentielle sous la forme , la base est la constante , et l’exposant est la variable . Nous savons que est un nombre réel tel que et et que peut être n’importe quel nombre réel.
Ici, on doit écrire une équation de fonction exponentielle, sous la forme ,d’après le tableau de valeurs ; on doit déterminer la base, pour résoudre le problème ; on doit déterminer la base, pour résoudre le problème.
Commençons par substituer l’une des paires de valeurs de et du tableau dans l’équation .
En substituant 2 à et à , on obtient
Cette équation a deux solutions distinctes en , une positive obtenue en prenant la racine des deux côtés de l’équation, et une négative en multipliant ensuite cette solution par -1 ; puisque est un nombre réel strictement positif, nous pouvons ignorer la solution négative. On a donc
Rappelez-vous que pour trouver la racine carrée d’une fraction, nous prenons la racine carrée du numérateur et du dénominateur, de sorte que notre équation peut être simplifiée comme suit :
Ainsi, puisque vaut , une équation de la fonction exponentielle, sous la forme , pour le tableau de valeurs donné est .
Vérification :
Nous pouvons vérifier notre réponse en utilisant une autre méthode pour déterminer la base, . Avec cette méthode, nous allons substituer deux autres paires de valeurs de et du tableau dans l’équation . D’abord, en substituant 4 à et à ; nous obtenons
Ensuite, en substituant 5 à et à , ce qui nous donne
Nous pouvons maintenant diviser la deuxième équation par la première. Cela nous donne
Cette équation peut être réécrite de la façon suivante , ce qui nous donne
Cela confirme que la base est bien égale à ; une équation de fonction exponentielle possible, sous la forme , pour le tableau de valeurs donné est donc .
Notez que pour vérifier notre réponse, nous avons utilisé la règle du quotient, qui est l’une des propriétés des exposants.
Définition : Règle de quotient
La règle du quotient stipule que lorsque l’on divise des expressions exponentielles avec la même base, on obtient une exponentielle de même base et d’exposant la différence des exposants. C’est-à-dire où est la base et et sont les exposants.
Par exemple, nous pourrions utiliser la règle du quotient pour calculer .
Dans le problème qui suit, on nous donne à nouveau un tableau de valeurs d’une fonction exponentielle et on nous demande de trouver l’équation de la fonction. Néanmoins, cette fois-ci, l’équation est sous une forme différente de .
Exemple 3: Écriture d’une équation exponentielle à partir d’un tableau de valeurs
Écrivez une équation de fonction exponentielle, sous la forme , dont le tableau de valeur est
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 18 | 6 | 2 |
Réponse
Dans ce problème, on doit écrire une équation de fonction exponentielle sous la forme , étant donné un tableau de valeurs ; nous devons donc déterminer les valeurs de et pour résoudre le problème. Commençons par substituer l’une des paires de valeurs en et du tableau dans l’équation .
En substituant 0 à et 18 à , on obtient
Puisque toute base élevée à la puissance 0 est égale à 1, l’équation peut être simplifiée afin d’obtenir
Ayant déterminé que est égal à 18, on peut calculer la valeur de . Pour ce faire, nous allons encore substituer l’une des paires de valeurs en et du tableau dans l’équation . Cette fois, on va substituer 1 à et 6 à , et ainsi obtenir
Rappelons que, d’après ce qui précède, est égal à 18 ; ainsi, nous pouvons également substituer 18 à dans l’équation précédente ce qui nous donne
Ensuite, en divisant les deux membres de l’équation par 18, on trouve
Ainsi, puisque est égal à 18, et que est égal à , une équation, sous la forme , pour la fonction exponentielle donnée par le tableau de valeurs est .
Vérification :
Pour vérifier notre réponse, nous pouvons substituer dans notre équation les deux dernières valeurs en du tableau pour nous assurer qu’elles nous donnent la bonne valeur en . D’abord, en substituant 2 à puis en simplifiant l’équation, nous obtenons
Ensuite, en remplaçant par 3, puis en simplifiant, on obtient
Puisque les deux valeurs de nous donnent la bonne valeur de , nous pouvons être certains que notre équation est correcte.
Notez que dans le processus de résolution en a, nous avons utilisé une des propriétés des exposants, appelée la règle de l’exposant zéro.
Définition : Règle de l’exposant zéro
La règle de l’exposant zéro stipule que toute base élevée à la puissance 0 est égale à 1. C’est-à-dire où est la base.
Par exemple, nous pouvons utiliser la règle du zéro exposant pour déterminer que .
Maintenant, nous allons écrire l’équation d’une fonction exponentielle à partir de sa courbe.
Exemple 4: Détermination de l’équation d’une fonction exponentielle à partir de sa courbe
Observez le graphique ci-dessous, puis répondez aux questions suivantes 
- Trouvez le point d’intersection de la courbe avec l’axe des sur la figure ci-dessus.
- Comme cette courbe est la courbe d’une fonction exponentielle, chaque valeur en est multipliée par lorsque augmente de . Trouvez pour .
- Déterminez l’équation qui décrit cette courbe, sous la forme suivante : .
Réponse
Partie 1
Commençons par trouver l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur en du point d’intersection entre la courbe et l’axe des ordonnées. On voit que la courbe passe par le point sur l’axe des . En d’autres termes, il passe à travers le l’axe des pour une valeur de égale à 10.
Par conséquent, l’ordonnée à l’origine, lue sur l’axe des de ce graphique, est égale à 10.
Partie 2
Maintenant, déterminons la base dans l’équation de la courbe. D’après l’énoncé, la courbe représente une fonction exponentielle pour laquelle chaque valeur en est multipliée par lorsque augmente de . On doit trouver sachant que .
Gardons en mémoire que signifie un changement de 1 dans la valeur de . Puisque nous avons déjà établi que la courbe passe par le point , il serait plus facile pour nous d’étudier ce qui se passe lorsque la coordonnée en d’un point de la courbe augmente de 0 à 1. Ceci est un changement de 1 dans la coordonnée en .
On voit que la courbe passe par le point ; ainsi, lorsque la valeur de passe de 0 à 1, la valeur de passe de 10 à 20. On rappelle que la coordonnée en est multipliée par quand la coordonnée en augmente de . Ainsi, pour déterminer la valeur de quand , nous devons déterminer par quel nombre il faut multiplier 10 pour obtenir 20. Cela se fait en divisant 20 par 10 :
Ainsi, vaut 2 lorsque .
Partie 3
Maintenant que nous connaissons la valeur de pour une valeur spécifique de , on peut déterminer l’équation qui décrit la courbe, sous la forme . Premièrement, on peut substituer 2 à et 1 à pour obtenir
Ensuite, pour déterminer la valeur de , on substitue les coordonnées de l’un des points de la courbe passe dans l’équation . Ici, on va substituer les coordonnées du point dans l’équation, ce qui nous donne
On peut alors simplifier l’équation et obtenir
Par conséquent, nous savons que est égal à 10. Rappelons que nous savons aussi que vaut 2 lorsque , donc nous avons maintenant des valeurs pour , , et ; nous pouvons les substituer à pour trouver l’équation de la courbe.
La substitution nous montre que l’équation, sous la forme , qui décrit la courbe, est ou, plus simplement .
Ensuite, nous allons étudier un problème dans lequel nous devrons déterminer la valeur d’une expression via l’évaluation d’une fonction exponentielle.
Exemple 5: Évaluation des fonctions exponentielles
Sachant que , déterminez la valeur de .
Réponse
Dans ce problème, on nous demande de déterminer la valeur de la différence des deux fractions et . Cependant, on nous dit seulement que et on ne nous donne pas de valeur de particulière. Cela signifie que, pour résoudre le problème, nous devons déterminer la relation entre et . Pour ce faire, commençons par évaluer la fonction pour différentes valeurs de .
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
On voit qu’à chaque fois que augment de 1, la valeur précédente de est multiplié par 4. Ainsi,
- la valeur de est ,
- la valeur de est ,
- la valeur de est .
On peut donc dire, en toute généralité, que la valeur de est égale à la valeur de fois 4. Cette relation entre et est vraie quel que soit réel.
De plus, puisque , il s’en suit que . Sachant cela, il est certain que est égal à 4 et donc, que la valeur de la fraction est .
En substituant 4 à et à dans l’expression donnée dans le problème, puis et en simplifiant, on obtient
Ainsi, étant donné que , en conclue que est égal à .
Remarque :
Une autre solution consiste à substituer à la fois et dans l’expression donnée dans le problème, puis à simplifier l’expression obtenue. De l’expression , on déduit que . En substituant à et à , on obtient
À présent, une simplification nous donne
Nous trouvons bien la même valeur pour que par la méthode précédente.
Vérification :
Il est parfois possible de dénicher les erreurs éventuelles en évaluant et pour une valeur spécifique de . Dans ce cas, fixons . Cela nous donne de sorte que la valeur de notre expression devient
Nous avons déjà déterminé que la différence entre 4 et est égale à . On sait donc que est la valeur de l’expression lorsque ; c’est ce à quoi nous nous attendions ; en effet, la valeur de l’expression devrait être , et ce pour toute valeur de .
Notez par ailleurs, qu’en plus de la règle du quotient, nous avons utilisé la règle de l’exposant négatif dans notre solution alternative. C’est une autre propriété des exposants.
Définition : Règle de l’exposant négatif
La règle de l’exposant négatif stipule que toute base élevée à une puissance négative est égale à l’inverse de la base élevée à l’opposé de l’exposant. En d'autres termes, où est la base et et sont les exposants.
Par exemple, nous utiliserions la règle de l’exposant négatif pour déterminer que .
Enfin, nous déterminerons les valeurs de la base pour laquelle une fonction exponentielle est strictement décroissante, et ce indépendamment de de la forme de l’équation de la fonction.
Exemple 6: Étude de la monotonie des fonctions exponentielles
Considérons une fonction exponentielle de base . Pour quelles valeurs de la base la fonction est-elle strictement décroissante ?
Réponse
Commençons par supposer que nous avons la fonction exponentielle s’écrit sous la forme . Cette fonction est une fonction strictement monotone. C’est une fonction qui est, soit toujours strictement croissante, soit toujours strictement décroissante. Pour cette raison, si on peut déterminer que est décroissante sur un certain intervalle de , alors on saura qu’elle est décroissante sur l’ensemble des nombres réels .
Avec cet objectif en tête, considérons la fonction sur l’intervalle . En calculant pour prenant les valeurs entières de intervalle, nous obtenons le tableau de valeurs suivant.
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
Remarquons que lorsque l’on ajoute 1 à , la valeur précédente de s’en trouve multipliée par . De fait,
- la valeur de est ,
- la valeur de est ,
- la valeur de est .
Rappelez-vous que pour toute fonction exponentielle, la base doit être un nombre réel strictement positif différent de 1. Par conséquent, pour déterminer les valeurs de pour lesquelles la fonction est strictement décroissante, nous devons nous demander : « Pour quelles valeurs entières strictement positives différentes de 1 la valeur de est-elle inférieure à la valeur de ? »
Considérons d’abord une valeur de strictement supérieure à 1. Par exemple, si , alors l’évaluation de la fonction pour les valeurs entières de dans l’intervalle nous donne
- ,
- ,
- ,
- .
Cela montre que si , alors est strictement supérieur à . Cela est toujours le cas dès lors que . Dans ce cas, on appelle le facteur de croissance.
Considérons maintenant une valeur de strictement inférieure à 1. Puisque doit être strictement positif, sa valeur sera également strictement supérieure à 0. Par exemple, si , l’évaluation de la fonction pour dans les valeurs entières de l’intervalle donne
- ,
- ,
- ,
- .
Cela montre que si , alors la valeur de est strictement inférieure à la valeur de . Cela est toujours vrai, dès lors que . Dans ce cas, on appelle le facteur de décroissance.
Puisque est strictement inférieure à la valeur de dans l’intervalle lorsque , on en déduit que est strictement décroissante dans cet intervalle. Aussi, en raison de la stricte monotonie de la fonction, nous savons que si la fonction est strictement décroissante dans cet intervalle, alors elle est strictement décroissante sur l’ensemble des nombres réels.
Ainsi, les valeurs de a pour lesquelles la fonction est décroissante sont .
Remarque :
Bien que nous ayons choisi comme fonction, nous aurions pu choisir une fonction exponentielle transformée et arriver au même résultat.
En répondant à la question précédente, nous avons vu que si une fonction exponentielle augmente ou diminue sur un certain intervalle, alors elle fait de même pour tous les nombres réels. Cela est dû à la stricte monotonie de la fonction.
Propriété : Stricte monotonie des fonctions exponentielles
Une fonction exponentielle est une fonction strictement monotone, c’est-à-dire qu’elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante. Si la base est strictement supérieure à 1, on appelle la base le facteur de croissance, et la fonction est strictement croissante sur l’ensemble des nombres réels. Si la base est strictement comprise entre 0 et 1, on appelle la base le facteur de décroissance, et la fonction est strictement décroissante.
Nous pouvons à présent conclure en récapitulant quelques points clés.
Points Clés
- Une fonction exponentielle est définie par l’expression , où la constante est la base et la variable est l’exposant.
- La base d’une fonction exponentielle doit être un nombre réel strictement positif différent de 1.
- La règle du quotient stipule que lorsque l’on divise des expressions exponentielles avec la même base, on obtient une exponentielle de même base et d’exposant la différence des exposants. C’est-à-dire où est la base et et sont les exposants.
- La règle du zéro exposant stipule que toute base élevée à la puissance 0 est égale à 1. C’est-à-dire où est la base.
- La règle de l’exposant négatif stipule que toute base élevée à une puissance négative est égale à l’inverse de la base élevée à la puissance opposé de l’exposant. C’est-à-dire où est la base et et sont les exposants.
- Une fonction exponentielle est une fonction strictement monotone, c’est-à-dire soit strictement positive, soit strictement négative.
- Si la base d’une fonction exponentielle est strictement supérieure à 1, on l’appelle le facteur de croissance, et la fonction est strictement croissante. Si la base est strictement comprise entre 0 et 1, on l’appelle le facteur de décroissance, et la fonction est strictement décroissante.
