Fiche explicative de la leçon : Vecteur vitesse relative Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la vitesse relative d’un corps par rapport à un autre et comment déterminer un vecteur vitesse relative.

Si un corps se déplace d’un point initial 𝐴 à un point final 𝐵, on peut décrire son déplacement par le vecteur 𝐴𝐵=𝑠.

Si le corps se déplace de 𝐴 à 𝐵 pendant l’intervalle de temps Δ𝑡, alors le vecteur vitesse de ce corps est défini par 𝑣=𝑠Δ𝑡.

Ce vecteur vitesse est appelé le vecteur vitesse moyenne du corps entre 𝐴 et 𝐵. Si le vecteur vitesse du corps est constant, alors le vecteur vitesse du corps à tout instant est égal à son vecteur vitesse moyenne. Il peut parfois être intéressant d’étudier un autre type de vecteur vitesse, appelé le vecteur vitesse relative.

Imaginez que vous vous trouvez à bord d’un train et que vous observez une voiture arrivant dans le sens opposé. On suppose que la voiture se déplace à une vitesse constante de 50 km/h et que le train se déplace à une vitesse constante de 80 km/h. On peut alors dire que le vecteur vitesse du train est de 80 km/h, tandis que le vecteur vitesse de la voiture est de 50 km/h. Comme vous vous trouvez dans le train qui se déplace à 80 km/h, il vous semble cependant que la voiture venant du sens opposé se déplace à une vitesse supérieure à 50 km/h. Cela est dû au vecteur vitesse relative.

Les vecteurs vitesses relatives indiquent que le mouvement est une notion relative, qui dépend de l’observateur. Dans ces cas, quand l’observateur voit le mouvement d’un autre objet, il se considère lui-même comme étant au repos, même s’il ne l’est pas. Le vecteur vitesse que l’observateur perçoit ne correspond pas au vecteur vitesse effectif de l’objet, mais à son vecteur vitesse relative.

On va à présent montrer comment calculer les vecteurs vitesses relatives. Soit deux corps,𝐴 et 𝐵, tels que le vecteur vitesse de 𝐴 est 𝑣 et le vecteur vitesse de 𝐵 est 𝑣. Un observateur immobile voit les deux corps se déplacer avec leurs vecteurs vitesses 𝑣 et 𝑣.

On suppose à présent que l’observateur est assis sur le corps 𝐴, se déplaçant avec selon un vecteur vitesse 𝑣. L’observateur suppose qu’il est immobile et nous devons le prendre en compte dans le calcul du vecteur vitesse de 𝐵.

On suppose tout d’abord que 𝑣=0, donc 𝐵 est immobile. L’observateur s’éloigne de 𝐵 avec le vecteur vitesse 𝑣, donc il verra 𝐵 s’éloigner avec un vecteur vitesse de 𝑣. Il s’agit du vecteur vitesse de 𝐵 par rapport à 𝐴, que l’on peut désigner par 𝑣. Dans le cas où 𝑣=0, 𝑣=𝑣.

On considère à présent le cas où 𝑣0. Puisque l’observateur se déplace toujours avec le vecteur vitesse 𝑣, on doit à nouveau le prendre en compte. Mais on doit également prendre en compte 𝑣. Pour calculer le vecteur vitesse relative de 𝐵 par rapport à 𝐴, on doit simplement ajouter 𝑣 au 𝑣 que l’on a trouvé précédemment. Par conséquent, le vecteur vitesse relative est 𝑣=𝑣𝑣.

Définition: Vecteur vitesse relative

Si des corps 𝐴 et 𝐵 se déplacent avec des vecteurs vitesses 𝑣 et 𝑣, alors le vecteur vitesse relative de 𝐵 par rapport à 𝐴, 𝑣, est défini par 𝑣=𝑣𝑣 et le vecteur vitesse relative de 𝐴 par rapport à 𝐵, 𝑣, est défini par 𝑣=𝑣𝑣.

Ces formules sont exprimées en fonction de vecteurs, mais elles sont aussi valables pour les quantités scalaires correspondantes.

Voyons un exemple dans lequel nous exprimerons le vecteur vitesse relative sous la forme d’une différence de vecteurs vitesses.

Exemple 1: Calculer un vecteur vitesse relative à l’aide des vecteurs unitaires

Complétez la phrase:si 𝑣=25𝑖 et 𝑣=40𝑖, alors 𝑣=𝑖.

Réponse

La différence entre 𝑣 et 𝑣 est 𝑣=𝑣𝑣.

Nous réarrangeons l’équation pour isoler 𝑣 et nous obtenons 𝑣=𝑣𝑣.

Nous remplaçons les valeurs que nous connaissons, ce qui nous donne 𝑣=40𝑖25𝑖=15𝑖.

Voyons un autre exemple similaire à celui-ci.

Exemple 2: Calculer un vecteur vitesse relative à l’aide des vecteurs unitaires

Si 𝑣=50𝑒 et 𝑣=15𝑒, alors le vecteur vitesse relative 𝑣=𝑒.

Réponse

𝑒 est un vecteur unitaire dans une direction fixe.

La différence entre 𝑣 et 𝑣 est 𝑣=𝑣𝑣.

En remplaçant par les valeurs que nous connaissons, nous obtenons 𝑣=50𝑒15𝑒=65𝑒.

Voyons maintenant un exemple impliquant deux corps dans un contexte réaliste, dans lequel nous déterminerons le vecteur vitesse relative du second corps par rapport au premier.

Exemple 3: Vecteur vitesse relative de corps se déplaçant dans des sens opposés

Une voiture se déplace sur une route droite à une vitesse de 84 km/h et une moto se déplace dans le sens opposé à une vitesse de 45 km/h. On suppose que la voiture se déplace dans le sens positif. Calculez le vecteur vitesse relative de la moto par rapport à la voiture.

Réponse

Soit 𝑣 le vecteur vitesse de la voiture et 𝑣 le vecteur vitesse de la moto. Le sens de la voiture est positif, donc 𝑣=84/kmh et 𝑣=45/.kmh

Le vecteur vitesse relative de la moto par rapport à la voiture est 𝑣=𝑣𝑣𝑣=4584=129/.kmh

Si deux corps se déplacent dans une seule dimension dans des sens opposés, alors nous additionnons leurs vitesses pour déterminer la vitesse relative de l’un par rapport à l’autre. Voyons un autre exemple de ce type de situation.

Exemple 4: Déterminer la durée d’un déplacement en utilisant des vecteurs vitesses relatives

Un navire navigue avec un vecteur vitesse uniforme directement vers un port situé à une distance de 144 km. Un avion de patrouille a survolé le navire en se déplaçant dans le sens opposé à une vitesse de 366 km/h. Lorsque l’avion a mesuré la vitesse du navire, il semblait se déplacer à 402 km/h. Déterminez le temps nécessaire au navire pour atteindre le port.

Réponse

Pour déterminer le temps nécessaire pour que le navire atteigne le port, on doit déterminer la vitesse à laquelle le navire s’approche du port. On suppose que le port est immobile.

La vitesse du navire mesurée par l’avion est de 402 km/h. Puisque le navire et l’avion se déplacent dans des sens opposés,402 km/h représente la somme de leurs vitesses. Sachant que la vitesse de l’avion est de 366 km/h, la vitesse du bateau est 𝑣=402366=36/.kmh

Le temps nécessaire pour parcourir 144 km à une vitesse de 36 km/h est 𝑡=14436=4.heures

Voyons maintenant une application du vecteur vitesse relative lorsque deux corps se déplacent dans le même sens. Pour deux corps se déplaçant dans la même direction et le même sens, le premier à une vitesse 𝑣 et le second à une vitesse 𝑣, la vitesse relative de l’un par rapport à l’autre, 𝑣, est définie par 𝑣=|𝑣𝑣|.

Le cas le plus trivial et évident est celui de deux corps qui se déplacent à la même vitesse, la position relative de l’un par rapport à l’autre étant par conséquent constante tout au long du mouvement des corps.

Exemple 5: Utiliser un vecteur vitesse relative pour déterminer la longueur d’un train connaissant le temps mis par un objet en mouvement pour le dépasser

Un hélicoptère a volé en ligne droite à 234 km/h au-dessus d’un train se déplaçant dans le même sens. L’hélicoptère a mis 21 secondes pour parcourir la longueur du train. Le pilote a ensuite réduit de moitié la vitesse de l’hélicoptère. Sachant que le train a mis 14 secondes pour dépasser l’hélicoptère volant à cette nouvelle vitesse, calculez la longueur du train en mètres.

Réponse

Dans cette question, le plus important est de comprendre que puisque l’hélicoptère et le train se déplacent dans le même sens par rapport au sol, alors leurs vecteurs vitesses ont le même signe. La différence de leurs vecteurs vitesses est donc égale à la différence de leurs vitesses et la vitesse relative du train par rapport à l’hélicoptère 𝑣 (et inversement) est simplement égale à la différence entre leurs vitesses.

Pendant les premières 21 secondes, le vecteur vitesse de l’hélicoptère par rapport au sol est supérieur à celui du train et pendant les 14 secondes suivantes, le train a un vecteur vitesse supérieur à celui de l’hélicoptère par rapport au sol. On suppose que la variation du vecteur vitesse de l’hélicoptère entre le premier et le second intervalle de temps se produit en un temps négligeable.

Pendant chaque intervalle de temps, on a l’égalité 𝑣Δ𝑡=Δ𝑑,Δ𝑑 est la distance parcourue par l’hélicoptère par rapport au train (et inversement), qui correspond également à la longueur du train. La différence entre les intervalles de temps nous permet de déterminer le vecteur vitesse du train.

Pour simplifier la recherche de la longueur du train en mètres, on convertit la vitesse de l’hélicoptère en mètres par mètres par seconde:𝑣=234×10003600=65/.hélicoptèrems

Pour le premier intervalle de temps, 21(65𝑣)=Δ𝑑.train

Pour le second intervalle de temps, 14𝑣652=Δ𝑑.train

La longueur Δ𝑑 du train reste constante, donc nous pouvons égaliser les membres de gauche de nos deux égalités pour former l’équation 21(65𝑣)=14𝑣652.traintrain

Nous pouvons ensuite réarranger l’équation pour déterminer le vecteur vitesse du train. Nous divisons par 14 de chaque côté de l’équation pour obtenir 32(65𝑣)=𝑣652.traintrain

Nous développons le membre de gauche, ce qui nous donne 32(65)32(𝑣)=𝑣652.traintrain

Puis nous finissons de réarranger l’équation comme suit:32(65)+652=𝑣+32(𝑣)32(65)+652=52(𝑣)4(65)=5(𝑣)2605=𝑣=52/.traintraintraintraintrainms

On peut à présent substituer cette valeur de 𝑣train dans l’équation de Δ𝑑 d’un des deux intervalles de temps. Si on la substitue dans l’équation du premier intervalle, on obtient 21(6552)=Δ𝑑21(13)=Δ𝑑=273.m

Si on substitue la valeur dans l’équation du second intervalle, on obtient 1452652=Δ𝑑14392=Δ𝑑=273.m

La longueur du train est donc de 273 mètres.

Points clés

  • Si des corps 𝐴 et 𝐵 se déplacent avec des vitesses 𝑣 et 𝑣, alors le vecteur vitesse relative de 𝐵 par rapport à 𝐴, 𝑣, est défini par 𝑣=𝑣𝑣 et le vecteur vitesse relative de 𝐴 par rapport à 𝐵, 𝑣, est défini par 𝑣=𝑣𝑣.
  • Il est toujours utile d’établir une convention de signes pour pouvoir calculer des vecteurs vitesses relatives et résoudre des problèmes.

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