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Fiche explicative de la leçon : Vecteur vitesse relative Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la vitesse relative d’une particule par rapport à un autre et à calculer le vecteur vitesse relative..

Si un corps se déplace d’un point initial 𝐴 à un point final 𝐵, il a effectué un déplacement depuis 𝐴 qui peut être représentée par le vecteur 𝐴𝐵=𝑠.

Le vecteur vitesse d’un corps qui a fait un tel déplacement dans un intervalle de temps Δ𝑡 est donnée par le vecteur 𝑣=𝑠Δ𝑡.

Le déplacement du corps est son déplacement depuis 𝐴, et la vitesse du corps est sa vitesse relative par rapport à 𝐴.

Un repère 𝑆 peut être défini de sorte que l’origine du repère est le point 𝐴. C’est cependant un système de coordonnées choisi arbitrairement. En effet, si l’on choisit un repère différent 𝑆 avec une origine différente, alors le déplacement de 𝐵 depuis 𝐴 peut être défini dans 𝑆 et dans 𝑆.

Sur la figure suivante, l’axe des 𝑦 (en bleu) est l’axe des 𝑦 du repère 𝑆 et l’axe des 𝑦 (en rouge) est l’axe des 𝑦 du repère 𝑆. Les deux systèmes de coordonnées ont le même axe des 𝑥.

Une particule, 𝑝, est représenté sur le graphique.

Dans le repère 𝑆, les coordonnées de 𝑝 sont données par (𝑑,0), mais dans le repère 𝑆, les coordonnées de 𝑝 sont données par (𝐷+𝑑,0).

Supposons qu’une particule se déplace d’un point 𝐴 à un point 𝐵, sachant que la distance en ligne droite entre 𝐴 et 𝐵 vaut 𝑑, comme indiqué sur la figure suivante.

Nous pouvons voir que 𝐴𝐵=𝑑𝑖 et que 𝐵𝐴=𝑑𝑖,𝑖 est le vecteur unitaire positif de l’axe des 𝑥.

La norme du déplacement est la même dans les deux repères 𝑆 et 𝑆:𝑠=𝑠.

L’intervalle de temps du mouvement est le même dans les deux repères 𝑆 et 𝑆, et on a donc 𝑣=𝑣.

Supposons que dans l’intervalle de temps Δ𝑡, la particule se soit déplacée du point 𝐴 au point 𝐵. Le repère 𝑆 s’est également déplacé de 𝐴 à 𝐵, comme illustré sur la figure suivante.

Dans le repère 𝑆, le vecteur vitesse de la particule est donné par 𝑣=𝑑𝑖Δ𝑡.

Dans le repère 𝑆, les points 𝐴 et 𝐵 sont tous deux à l’origine de 𝑆. Ainsi, le déplacement de la particule depuis l’origine de 𝑆 est nul, et donc la vitesse de la particule dans le repère 𝑆 est nulle.

Supposons qu’un point, noté 𝑄, se trouve à l’origine de 𝑆, comme indiqué par le point vert sur la figure suivante.

Définissons un point de référence 𝑃 qui est toujours à l’origine de 𝑆, et qui se déplace donc avec le repère 𝑆.

Dans l’intervalle de temps Δ𝑡, le déplacement de 𝑄 depuis le point 𝑃 a augmenté d’une distance 𝑑.

Le déplacement du point 𝑃 depuis le point 𝑄, alors que 𝑃 s’est déplacé de 𝐴 à 𝐵, est donnée par 𝑠=𝑑𝑖.

Le déplacement de 𝑄 depuis le point 𝑃, alors que 𝑃 s’est déplacé de 𝐴 à 𝐵, est donnée par 𝑠=𝑑𝑖.

Le vecteur vitesse relative de 𝑄 par rapport à 𝑃 est donc donné par 𝑣=𝑑𝑖Δ𝑡=𝑣.

Le vecteur vitesse relative de 𝑄 par rapport à 𝑃 a une norme de 𝑣=𝑣=𝑣=𝑑Δ𝑡.

Dans un repère de même origine que 𝑆, le point 𝑃 est au repos et le point 𝑄 s’en éloigne à vitesse 𝑣. Dans un repère de même origine que 𝑆, le point 𝑄 est au repos et le point 𝑃 s’en éloigne à vitesse 𝑣.

Les signes de 𝑣 et 𝑣 sont opposés. Le choix initial de la direction positive de l’axe des 𝑥 détermine lequel de ces vecteur vitesses est de signe positif.

Supposons que deux particules se déplacent le long de l’axe des 𝑥 d’un repère, chacune à une certaine vitesse.

Les vecteur vitesses des particules peuvent être représentées par des vecteurs unidimensionnels dans ce repère. Les normes des vecteur vitesses des particules sont égales aux vitesses des particules, et les vecteur vitesses ont le même signe si les particules se déplacent dans le même sens et des signes opposés si les particules se déplacent dans des sens opposés.

En prenant les signes des vecteur vitesses en compte, la différence entre les vecteur vitesses de deux particules donne le vecteur vitesse relative des particules.

Le vecteur vitesse relative de deux particules peut être pris à partir de la position de l’une ou l’autre particule, où le vecteur vitesse est positif s'il est pris à partir de l’une des particules et négatif s'il est pris à partir de l’autre particule.

Considérons deux vecteurs vitesses 𝑣 et 𝑣, qui ont la même norme mais des directions opposées, comme indiqué sur la figure suivante.

On note 𝑣 et 𝑣 les composantes de 𝑣 et 𝑣 le long de l’axe du mouvement.

La différence entre ces composantes peut être exprimée de la façon suivante:𝑣𝑣=𝑣=𝑣(𝑣)=2𝑣.

La soustraction d’une composante négative équivaut à l’addition d’une composante positive. Donc, la différence entre les composantes de signes opposés est la somme des composantes.

Soustraire 𝑣 à 𝑣 revient à sommer 𝑣 et 𝑣, comme l’illustre la figure suivante..

La différence entre ces composantes peut aussi être exprimée par 𝑣𝑣=𝑣=𝑣𝑣=2𝑣.

Soustraire 𝑣 à 𝑣 revient à sommer 𝑣 et 𝑣, comme l’illustre la figure suivante.

Considérons maintenant deux vecteur vitesses 𝑣 et 𝑣 qui ont la même norme et la même direction. Notons par 𝑣 et 𝑣 les composantes de 𝑣 et 𝑣 le long de l’axe du mouvement. La différence entre ces composantes peut être exprimée par 𝑣𝑣=𝑣=𝑣𝑣=0 ou par 𝑣𝑣=𝑣=𝑣𝑣=0.

Les deux expressions de la différence entre ces composantes sont illustrées dans la figure suivante.

Le vecteur vitesse relative de deux particules en mouvement unidimensionnel peut être défini comme suit.

Définition : Vecteur vitesse relative de deux particules en mouvement unidimensionnel

Pour deux particules 𝑎 et 𝑏 avec des vecteur vitesses 𝑣 et 𝑣 le long d’un même axe, en notant 𝑣 et 𝑣 leurs composantes respectives le long de cet axe, la composante du vecteur vitesse relative de 𝑎 par rapport à 𝑏 est donnée par 𝑣=𝑣𝑣, et la composante du vecteur vitesse relative de 𝑏 par rapport à 𝑎 est donnée par 𝑣=𝑣𝑣.

Étudions un exemple où le vecteur vitesse relative est exprimé uniquement en fonction des différences entre les vecteurs vitesse.

Exemple 1: Déterminez le vecteur vitesse relative à l’aide de vecteurs unitaires

Si 𝑣=20𝑖 et 𝑣=45𝑖, alors 𝑣=𝑖.

Réponse

La différence entre 𝑣 et 𝑣 est donnée par 𝑣=𝑣𝑣.

On réarrange l’équation pour déterminer 𝑣 et on trouve 𝑣=𝑣𝑣..

À partir de cette équation, en substituant les termes connus par leurs valeurs, on obtient 𝑣=45𝑖20𝑖=25𝑖.

Regardons à présent un autre exemple similaire.

Exemple 2: Déterminez le vecteur vitesse relative à l’aide de vecteurs unitaires

Si 𝑣=60𝑒 et 𝑣=40𝑒, alors 𝑣=𝑒.

Réponse

Soit 𝑒 un vecteur unitaire dans une direction fixe.

La différence entre 𝑣 et 𝑣 est donnée par 𝑣=𝑣𝑣.

En substituant dans l’équation les vecteurs vitesses par les valeurs de l’énoncé, on trouve 𝑣=60𝑒40𝑒=100𝑒.

Considérons un exemple de la vie courante où l’on doit calculer le vecteur vitesse relative d’un corps par rapport à un autre.

Exemple 3: Vecteur vitesse relative des corps se déplaçant dans des directions opposées

Une voiture se déplace sur une route droite à une vitesse de 84 km/h, et dans le sens opposé, une moto se déplace à une vitesse de 45 km/h. Supposons que la voiture se déplace dans la direction positive. Déterminez le vecteur vitesse relative de la moto par rapport à la voiture.

Réponse

Soit 𝑣 la composante du vecteur vitesse de la voiture et soit 𝑣 la composante du vecteur vitesse de la moto dans la direction de la route. La direction de la voiture est positive, donc, 𝑣=84/kmh et 𝑣=45/.kmh

La composante du vecteur vitesse relative de la moto par rapport à la voiture dans la direction de la route est donnée par 𝑣=𝑣𝑣𝑣=4584=129/.kmh

Si deux corps se déplacent le long d’un même axe, dans des directions opposées, leurs vitesses sont ajoutées afin de déterminer la vitesse de l’un ou l’autre des corps par rapport au second. Regardons un autre exemple où cela se produit.

Exemple 4: Déterminez le temps nécessaire à un voyage en utilisant des vitesses relatives

Un navire navigue avec un vecteur vitesse uniforme directement vers un port qui est à une distance de 144 km. Un avion de patrouille a survolé le navire en se déplaçant dans la direction opposée à une vitesse de 366 km/h. Lorsque l’avion a mesuré la vitesse du navire, il semblait se déplacer à 402 km/h. Déterminez le temps nécessaire au navire pour atteindre le port.

Réponse

Pour déterminer le temps nécessaire pour que le navire atteigne le port, on doit déterminer la vitesse à laquelle le navire s’approche du port. Le port est supposé être stationnaire.

La vitesse du navire mesurée par l’avion est de 402 km/h. Lorsque le navire et l’avion se déplacent dans des directions opposées, la somme de leurs vitesses est de 402 km/h. Sachant que la vitesse de l’avion vaut 366 km/h, la vitesse du bateau est donnée par 𝑣=402366=36/.kmh

Le temps nécessaire pour parcourir 144 km à une vitesse de 36 km/h est donnée par 𝑡=14436=4.heures

Considérons une application du vecteur vitesse relative dans un contexte impliquant deux corps se déplaçant dans la même direction. Pour deux corps se déplaçant dans la même direction à des vitesses 𝑣 et 𝑣 , respectivement, la vitesse relative de l’un ou l’autre corps par rapport à l’autre, 𝑣 est donnée par 𝑣=|𝑣𝑣|.

Un cas trivialement évident est celui où les corps ont la même vitesse. En effet, la position d’un corps par rapport à l’autre est constante tout au long du mouvement.

Exemple 5: Utiliser la vitesse relative pour déterminer la longueur d’un train compte tenu du temps mis par un objet en mouvement pour le dépasser

Un hélicoptère a volé en ligne droite à 234 km/h au-dessus d’un train se déplaçant dans la même direction. Il a fallu à l’hélicoptère 21 secondes pour parcourir la longueur du train. Ensuite, le pilote a réduit de moitié la vitesse de l’hélicoptère. Sachant qu’il a fallu au train 14 secondes pour dépasser l’hélicoptère volant à cette vitesse, calculez la longueur du train en mètres.

Réponse

La chose la plus importante à garder en tête dans cette question est que l’hélicoptère et le train se déplacent dans la même direction par rapport au sol. Leurs vecteur vitesses ont donc le même signe. La différence entre les composantes de vecteurs vitesses dans la direction du mouvement est donc égale à la différence de leurs vitesses, et la vitesse relative du train par rapport à l’hélicoptère (et inversement), 𝑣 , est simplement la différence entre leurs vitesses.

Dans les premières 21 secondes, la vitesse de l’hélicoptère par rapport au sol est supérieure à celle du train, et dans les 14 secondes suivantes secondes, le train a une vitesse plus grande que l’hélicoptère par rapport au sol. On suppose que la variation de la vitesse de l’hélicoptère entre le premier et le deuxième intervalle de temps se produit en un temps négligeable.

Dans chaque intervalle de temps, on a l’égalité 𝑣Δ𝑡=Δ𝑑,Δ𝑑 est la distance parcourue par l’hélicoptère par rapport au train (et inversement), qui correspond également à la longueur du train. La différence entre les intervalles de temps nous permet de déterminer le vecteur vitesse du train.

Pour simplifier la recherche de la longueur du train en mètres, on convertit la vitesse de l’hélicoptère pour l’exprimer en mètres par seconde comme suit:𝑣=234×10003600=65/.hélicoptèrems

Pour le premier intervalle de temps, 21(65𝑣)=Δ𝑑.train

Pour le second intervalle de temps, 14𝑣652=Δ𝑑.train

La longueur du train reste constante, de sorte que les deux Δ𝑑 termes sont égaux, ce qui nous donne 21(65𝑣)=14𝑣652.traintrain

On peut à présent résoudre cette équation pour déterminer la longueur du train. Les deux côtés de l’équation peuvent être divisés par 14, ce qui nous donne 32(65𝑣)=𝑣652.traintrain

Puis, en développant le terme de gauche, on obtient 32(65)32(𝑣)=𝑣652.traintrain

Et on poursuit le calcul comme suit:32(65)+652=𝑣+32(𝑣)32(65)+652=52(𝑣)4(65)=5(𝑣)2605=𝑣=52/.traintraintraintraintrainms

On peut à présent substituer cette valeur de 𝑣train dans l’équation de Δ𝑑 pour chaque intervalle de temps. Avec le premier intervalle de temps, nous obtenons 21(6552)=Δ𝑑21(13)=Δ𝑑=273.m

Avec le second, nous obtenons 1452652=Δ𝑑14392=Δ𝑑=273.m

La longueur du train est donc de 273 mètres.

Points clés

  • Pour deux corps 𝑎 et 𝑏 de vecteur vitesses respectives 𝑣 et 𝑣 le long d’un axe, et en notant 𝑣 et 𝑣 leurs composantes respectives le long de cet axe, la composante du vecteur vitesse relative de 𝑎 par rapport à 𝑏 est donnée par 𝑣=𝑣𝑣, et la composante du vecteur vitesse relative de 𝑏 par rapport à 𝑎 est donnée par 𝑣=𝑣𝑣.
  • Pour deux corps se déplaçant dans une dimension dans des sens opposés, la vitesse relative de l’un ou l’autre corps par rapport à l’autre est la somme des vitesses des corps.
  • Pour deux corps se déplaçant dans une dimension dans la même direction, la vitesse relative de l’un ou l’autre corps par rapport à l’autre est la différence entre les vitesses des corps.

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