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Fiche explicative de la leçon : Équation d'une droite : forme réduite Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer l'équation réduite d'une droite étant données des informations particulières, y compris son coefficient directeur, son ordonnée 𝑦 à l'origine, des points appartenant à la droite ou sa représentation graphique.

Lorsque l’on cherche à définir une droite, il suffit de connaitre deux informations distinctes à propos de cette droite. Par exemple, une manière courante de définir avec précision une droite est de connaître deux points distincts par lesquels passe la droite. Ces points peuvent se situer n’importe où dans le plan 𝑥𝑦 ou pourraient se trouver dans certaines régions particulières de ce plan, telles que sur l’axe 𝑥 ou sur l’axe 𝑦. Autrement, il est possible de donner une définition précise d’une droite en fonction de son coefficient directeur et de la valeur de l’une de ses deux intersections avec les axes. C’est cette dernière méthode de classification que nous allons explorer au cours de cette fiche explicative, en se concentrant en particulier sur des problèmes mathématiques où nous aimerions calculer le coefficient directeur et l’ordonnée 𝑦 à l’origine.

La manière la plus habituelle d’écrire l’équation d’une droite serait sous une forme réduite, de sorte que le coefficient directeur et l’ordonnée 𝑦 à l’origine sont donnés explicitement. Bien que ce choix soit purement arbitraire, la forme réduite est pratique pour un certain nombre de raisons. Avant d’en discuter, nous en donnerons la définition précise.

Définition : Forme réduite

On considère une droite dans le plan 𝑥𝑦 avec un coefficient directeur donné 𝑚 qui intercepte l’axe 𝑦 des ordonnées au point (0;𝑏). Alors, l’équation de la droite peut être écrite sous forme « réduite » par 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.

L’équation d’une droite peut ne pas être immédiatement écrite sous la forme réduite attendue. Cependant, le but sera généralement de prendre en compte toutes les informations données et de les utiliser afin de réécrire l’équation de la droite considérée de cette manière. Dans certains cas, cela n’impliquera rien de plus qu’une simple manipulation algébrique, mais, dans d’autres cas, il sera utile d’énoncer des résultats plus généraux. Les deux exemples suivants le démontreront, puis nous passerons à des exemples plus complexes.

Exemple 1: Déterminer le coefficient directeur d’une droite étant donnée son équation

Une droite a pour équation 15𝑥+3𝑦12=0. Quel est le coefficient directeur de cette droite?

Réponse

Nous écrirons l’équation de cette droite sous sa forme réduite, ce qui nous permettra de déterminer le coefficient directeur. On prendra l’équation donnée 15𝑥+3𝑦12=0 puis on cherchera à isoler le terme en 𝑦. Nous pouvons le faire en ajoutant 15𝑥+12 à chaque membre de l’équation, ce qui nous donne 3𝑦=15𝑥+12.

Maintenant, nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par 3, ce qui nous donne 3𝑦3=15𝑥+123.

Le terme du membre de gauche se simplifie pour donner 𝑦 et le membre de droite se simplifiera également. Le terme en 𝑥 a pour coefficient 153=5 et le terme constant est 123=4. Cela nous permet d’écrire l’équation de la droite sous la forme réduite:𝑦=5𝑥+4.

Le coefficient directeur de la droite est le coefficient du terme en 𝑥, qui dans ce cas, est 3.

Exemple 2: Déterminer le coefficient directeur d’une droite

Déterminez le coefficient directeur de la droite d’équation 2𝑥+3𝑦2=0 ainsi que l’ordonnée 𝑦 à l’origine de cette droite.

Réponse

Nous résoudrons l’équation donnée en considérant 𝑦 comme inconnue, ce qui donnera la forme réduite que nous désirons. Étant donnée l’équation initiale 2𝑥+3𝑦2=0, nous aimerions isoler le terme 𝑦 dans le membre de gauche. Nous ferons cela en ajoutant 2𝑥+2 à chaque membre de l’équation:3𝑦=2𝑥+2.

La dernière étape sera de diviser les deux membres de l’équation par 3, ce qui nous donnera 𝑦=23𝑥+23.

La droite est maintenant sous la forme réduite et le coefficient directeur est le coefficient du terme en 𝑥, qui est 23. L’ordonnée 𝑦 à l’origine est le terme le plus à droite, qui par hasard, est aussi 23.

Au début de cette fiche explicative, nous avons dit qu’il serait toujours possible d’utiliser deux points distincts (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) afin de déterminer l’équation d’une droite. Une compétence relative que nous devrions travailler serait de déterminer si un point donné appartient ou non à une droite donnée.

Exemple 3: Déterminer si un point appartient à une droite donnée

Le point (2;3) appartient-il à la droite d’équation 𝑦=5𝑥7?

Réponse

Si le point donné se situe sur cette droite, alors il doit satisfaire l’équation donnée sous la forme réduite (ou également, toute forme équivalente). Nous remplacerons 𝑥=2 et 𝑦=3 dans l’équation 𝑦=5𝑥7. Si l’assertion résultante est vraie, alors le point est sur la droite, en revanche, si l’affirmation est fausse, alors le point n’appartient pas à la droite.

En faisant les substitutions nécessaires, on obtient 3=5×27=107=3.

Cette affirmation est clairement fausse et, par conséquent, le point n’appartient pas à la droite.

Au début de cette fiche explicative, nous avons dit que la forme réduite serait généralement l’objectif principal lorsque nous essayons de comprendre les propriétés d’une droite. Cependant, nous avons également dit qu’il était possible d’atteindre la forme réduite de différentes manières. Tant que nous aurons les coordonnées de deux points distincts qui appartiennent à une droite particulière, nous pourrons normalement en extraire la forme réduite. Peut-être que la manière la plus courante est de commencer par des informations concernant deux points distincts de la droite, puis utiliser cela pour atteindre la forme réduite. Nous résumerons cette méthode avec le résultat suivant, que nous discuterons ensuite avant de donner plusieurs exemples.

Définition : Équation d’une droite étant données deux points de cette droite

On considère une droite dans le plan 𝑥𝑦 passant par deux points distincts (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦). Alors, l’équation de la droite peut être calculée en utilisant la technique suivante. Premièrement, le coefficient directeur de la droite est calculée en utilisant la formule connue 𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥.

On peut alors écrire l’équation sous sa forme réduite en prenant l’équation 𝑦=𝑚𝑥+𝑏,𝑚 a déjà été calculé et il nous resterait à calculer l’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑏. L’équation passe par les deux points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) et chacune de ces paires de valeurs peut être substituée dans l’équation ci-dessus pour trouver 𝑏. En d’autres termes, on pourrait calculer 𝑏 en résolvant l’une des équations 𝑦=𝑚𝑥+𝑏𝑦=𝑚𝑥+𝑏.ou

Nous allons montrer cette méthode avec un exemple. On a représenté ci-dessous les deux points 𝐴(3;4) et 𝐵(2;1) ainsi que la droite qui passe par ces deux points. Nous pouvons voir que la droite se déplace vers le bas de gauche à droite, ce qui signifie que le coefficient directeur doit être négatif. De plus, il semble que la droite coupe l’axe 𝑦 au point (0;1), ce qui signifie que l’ordonnée 𝑦 à l’origine devrait être égale à 1.

Pour en savoir plus, il faut déterminer l’équation exacte de la droite. Nous le ferons en utilisant les coordonnées fournies des deux points appartenant à la droite, tout ceci combiné avec le résultat de la définition donnée ci-dessus. Nous commençons par étiqueter les points donnés par (𝑥;𝑦)=(3;4) et (𝑥;𝑦)=(2;1). Nous calculons ensuite le coefficient directeur de cette droite en utilisant la formule 𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥=1(4)23=1.

Nous avons trouvé que le coefficient directeur de la droite est négatif, comme prévu.

Maintenant, nous pouvons trouver l’ordonnée 𝑦 à l’origine en résolvant l’équation 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 après avoir substitué les coordonnées de l’un des deux points (𝑥;𝑦)=(3;4) ou (𝑥;𝑦)=(2;1). On choisit arbitrairement le point (𝑥;𝑦)=(3;4) et on prend le coefficient directeur connu 𝑚=1, ce qui signifie que nous devons maintenant résoudre 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.

En substituant les valeurs données, nous trouvons que 4=1×3+𝑏.

On peut alors isoler 𝑏 en ajoutant 4 à chaque membre de l’équation, ce qui nous donne 0=𝑏+1, et qui nous permet de réarranger pour trouver 𝑏=1. Maintenant que nous savons que le coefficient directeur est 𝑚=1 et que l’ordonnée 𝑦 à l’origine est 𝑏=1, on peut écrire l’équation de la droite:𝑦=𝑥1.

C’est l’équation de la droite lorsqu’elle est écrite sous forme réduite. On peut voir que le coefficient directeur est 𝑚=1, il est négatif, comme prévu. Aussi la valeur de l’ordonnée 𝑦 à l’origine est exactement celle prévue, soit 𝑏=1.

Notez que nous pourrions utiliser le point (𝑥;𝑦)=(2;1) pour vérifier que l’équation de la droite est juste. Cela signifie que nous avons trouvé les valeurs correctes pour le coefficient directeur 𝑚 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑏. Si nous devions substituer (𝑥;𝑦)=(2;1) dans l’équation de la droite sous forme réduite, nous aurions 𝑦=𝑥1, on obtiendrait l’équation 2=(1)1, ce qui est juste. Ceci confirme que nous avons procédé correctement. De tels vérifications ne sont pas nécessaires, mais sont très conseillées.

Nous allons maintenant appliquer les principes précédents à deux exemples. Si jamais on nous donne les coordonnées de deux points distincts et qu’on nous demande de déterminer la forme réduite de la droite passant par ces deux points, alors il sera généralement utile de réaliser un graphique. Cela permettra une meilleure compréhension du problème, mais donnera également une estimation des valeurs du coefficient directeur et de l’ordonnée 𝑦 à l’origine, qui sera une vérification utile lorsque la question sera traitée. Nous avons utilisé cette approche dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Déterminer l’équation d’une droite

Déterminez l’équation de la droite qui passe par 𝐴(0;16) et 𝐵(1;9) sous sa forme réduite.

Réponse

Nous allons commencer par un placer les points 𝐴 et 𝐵, comme indiqué ci-dessous.

La première étape pour déterminer l’équation de la droite est de déterminer le coefficient directeur de la droite. Nous le faisons en substituant les coordonnées des deux points (𝑥;𝑦)=(0;16) et (𝑥;𝑦)=(1;9) dans la formule connue du coefficient directeur d’une droite:𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥=91610=25.

Le coefficient directeur est grand et négatif, comme le montre le graphique. Maintenant, nous pouvons calculer l’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑏 en considérant la forme réduite 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 et en substituant dans la formule le coefficient directeur 𝑚, ainsi que les coordonnées de l’un des deux points considérés (𝑥;𝑦)=(0;16) ou (𝑥;𝑦)=(1;9). Nous choisissons arbitrairement d’utiliser le premier point, ce qui nous donne l’équation 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 où toutes les quantités à l’exception de 𝑏 sont connus. En substituant ces quantités connues, cela nous donne 16=25×0+𝑏.

On a donc immédiatement la valeur de l’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑏=16. L’équation de la droite sous la forme réduite est alors 𝑦=25𝑥+16.

Si jamais on nous donne les coordonnées d’un des points sous la forme (0;𝑦), alors nous n’avons pas besoin d’utiliser cette méthode de substitution comme exposé ci-dessus. En effet, on nous a déjà donné la valeur de l’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑦=𝑏. Cela est vrai car l’ordonnée 𝑦 à l’origine d’une droite est définie comme étant l’ordonnée du point où cette droite coupe l’axe 𝑦, qui est défini comme étant la ligne verticale où 𝑥=0. C’était le cas dans l’exemple précédent et nous aurions pu immédiatement dire que l’ordonnée 𝑦 à l’origine avait pour valeur 𝑏=16 parce qu’on nous a donné les coordonnées (0;16) d’un des points.

Dans l’exemple suivant, nous voyons comment la relation entre une droite et son équation peut être utilisée pour identifier la représentation graphique d’une droite lorsqu’on donne son équation.

Exemple 5: Identifier les graphiques représentant des équations linéaires sous forme réduite

Lequel des graphiques suivants représente l’équation 𝑦=5𝑥2?

Réponse

La forme réduite de la droite donne une coefficient directeur de 𝑚=5 et une ordonnée à l’origine de 𝑏=2, les deux sont négatifs. À présent, en considérant les options proposées, nous pouvons immédiatement supprimer celles qui ont un coefficient directeur positif. Cela nous permet de supprimer l’option b. Nous pouvons également rejeter toute option où il y a une ordonnée 𝑦 à l’origine positive, ce qui, dans ce cas, supprime l’option a. Comme nous connaissons l’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑏=2, on peut aussi exclure l’option c car la droite représentée a une ordonnée 𝑦 à l’origine de 5.

Il reste deux possibilités:les options d et e. Notez que les deux ont différentes abscisses 𝑥 à l’endroit où la droite coupe l’axe 𝑥. Ce trait distinctif nous permettra de trouver la bonne option parmi celles qui restent. Tout comme l’ordonnée 𝑦 à l’origine est l’endroit où la droite coupe l’axe 𝑦, l’abscisse 𝑥 considérée est l’endroit où la droite coupe l’axe 𝑥. Cela se produit lorsque 𝑦=0, que nous pouvons substituer dans la forme réduite 𝑦=5𝑥2. Ainsi 0=5𝑥2, et en résolvant cette équation, cela donne 𝑥=25.

Cela correspond à l’option d, qui est la seule droite à avoir un point d’ordonnée nulle d’abscisse 𝑥 comprise entre 1 et 0.

Une autre manière de confirmer que l’option d est le bon choix est de considérer que le coefficient directeur de la droite est 𝑚=5. Cela correspond à un coefficient directeur négatif relativement abrupt, ce qui est en effet le cas lorsque l’on considère l’option d. En comparaison, l’option e a un coefficient directeur négatif relativement faible et on s’attend par conséquent à ce que le coefficient directeur soit plus proche de zéro.

Souvent on nous donnera des droites où les intersections avec les axes 𝑥 et 𝑦 sont données ou sont des valeurs entières facilement identifiables après avoir regardé le graphique. Dans ce cas, la même méthode générale peut être appliquée pour déterminer l’équation d’une droite, à partir de deux points appartenant à cette droite.

Exemple 6: Déterminer la forme réduite de l’équation d’une droite à partir de son graphique

Écrivez l’équation de la droite représentée sur le graphique ci-dessous. Donnez votre réponse sous la forme 𝑦=𝑚𝑥+𝑐.

Réponse

Pour cette question, on nous aide en nous donnant un graphique à partir duquel on peut déduire que le coefficient directeur de la droite est positif. Bien que deux points ne soient pas directement placés sur le graphique, nous pouvons voir que la droite semble couper les axes 𝑥 et 𝑦 en des points dont les coordonnées sont à valeurs entières.

En y regardant de plus près, on peut lire que l’ordonnée 𝑦 à l’origine est 4 et la droite coupe l’axe 𝑥 des abscisses en 6. Cela nous permet de définir deux points qui appartiennent à la droite. Nous appellerons ces points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦):(𝑥,𝑦)=(0,4),(𝑥,𝑦)=(6,0).

Grâce à cette information, nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de la droite en utilisant la formule 𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥=0(4)60=46=23.

Le coefficient directeur de la droite est positif, comme nous l’avons correctement noté sur le graphique fourni. Comme notre objectif est d’écrire l’équation de la droite sous sa forme réduite, 𝑦=𝑚𝑥+𝑐, nous passons maintenant au calcul de la valeur de 𝑐. Il convient de noter que cette constante est souvent représentée par 𝑏 au lieu de 𝑐.

La méthode générale pour déterminer cette constante consiste à substituer les valeurs des coordonnées de l’un de nos points, (𝑥;𝑦) ou (𝑥;𝑦), avec la valeur connue du coefficient directeur 𝑚 dans l’équation sous forme de réduite 𝑦=𝑚𝑥+𝑐.

Dans ce cas, nous pouvons éviter ces calculs en rappelant que la constante 𝑐 représente l’ordonnée 𝑦 à l’origine de notre droite, que nous avons déjà identifiée!Comme (𝑥;𝑦)=(0;4) sont les coordonnées du point où notre droite croise l’axe 𝑦, on peut dire que 𝑐=4.

Il peut être utile de prouver le résultat équivalent par la méthode de substitution:𝑦=𝑚𝑥+𝑐4=23(0)+𝑐4=𝑐.

Maintenant que nous avons trouvé les valeurs de 𝑚 et 𝑐, nous pouvons maintenant exprimer l’équation de la droite sous sa forme réduite:𝑦=23𝑥4.

Comme illustré dans l’exemple précédent, il arrive parfois que les intersections avec l’axe des 𝑥 et avec l’axe des 𝑦 soient données par les coordonnées de deux points distincts qui appartiennent à une droite particulière, ce qui est un problème plus simple que lorsque deux points quelconques sont donnés. Observons une méthode plus formelle pour réduire nos calculs dans cette situation. Supposons que l’on nous donne deux points qui se trouvent sur la droite et aussi sur les deux axes. En d’autres termes, supposons que (𝑥;𝑦)=(𝑎;0) et (𝑥;𝑦)=(0;𝑏). Alors, nous pouvons déterminer le coefficient directeur de manière classique:𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥=𝑏00𝑎=𝑏𝑎.

Avec le coefficient directeur maintenant calculé, nous pouvons écrire l’équation générale de la droite en considérant la forme réduite 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.

En substituant la valeur connue dans la formule du coefficient directeur 𝑚=𝑏𝑎 on obtient 𝑦=𝑏𝑎𝑥+𝑏.

Définition : Équation d’une droite connaissant ses deux intersections avec les axes

Soit une droite dans le plan 𝑥𝑦 qui coupe l’axe 𝑥 en 𝑎 et l’axe 𝑦 en 𝑏. L’équation de la droite est 𝑦=𝑏𝑎𝑥+𝑏.

L’équation ci-dessus nous donne un moyen utile pour écrire l’équation d’une droite sous sa forme « réduite » lorsque l’on donne à la fois l’intersection avec l’axe 𝑥 et l’intersection avec l’axe 𝑦. En effectuant une simple substitution de ces deux valeurs, nous pouvons écrire directement notre équation. Pour illustrer ce résultat, nous allons donner le court exemple suivant.

Exemple 7: Déterminer l’équation d’une droite connaissant ses intersections avec les axes 𝑥 et 𝑦 et calculer l’aire d’un triangle

Déterminez l’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en 3 et l’axe des 𝑦 en 7 et calculez l’aire du triangle formé par cette droite et les deux axes du repère.

Réponse

Nous commencerons par placer sur le graphique les deux points et la droite. Sur le graphique ci-dessous, les deux intersections sont marquées d’un point et la droite est en noir. La question exige que nous trouvions l’aire comprise entre cette droite et les deux axes du repère qui forment le triangle que nous avons repassé en rouge.

À présent, nous allons commencer à déterminer l’équation de la droite sous sa forme réduite. On note d’abord l’intersection avec l’axe des 𝑥 par 𝑎=3 et l’intersection avec l’axe des 𝑦 par 𝑏=7. On peut alors substituer ces valeurs directement dans l’équation:𝑦=𝑏𝑎𝑥+𝑏.

En effectuant une substitution avec les valeurs données pour 𝑎 et 𝑏, on aura l’équation de la droite sous sa forme réduite comme 𝑦=73𝑥+7.

En regardant le coefficient du terme en 𝑥, on remarque que le coefficient directeur de cette droite est 73. Ce coefficient directeur négatif correspond à notre observation du coefficient directeur négatif illustré sur le graphique ci-dessus.

Il est bien connu que l’aire du triangle est la moitié du produit de la base par la hauteur. Dans ce cas, nous pouvons voir que la base du triangle est de 3 unités, alors que la hauteur est de 7 unités. Par conséquent, nous pouvons déduire que l’aire est donnée par airebasehauteur=×2=3×72=212, ce qui signifie que l’aire liée est égale à 10,5 unités au carré.

Bien que nous cherchions habituellement à obtenir la forme réduite d’une droite, il y a plusieurs façons d’atteindre ce résultat. Il est important de comprendre toutes les possibilités que nous avons traitées dans cette fiche explicative et d’être complètement confiant dans la manipulation algébrique requise.

Dans la mesure du possible, on devrait se concentrer sur les informations concernant chacune des deux intersections, mais si elles ne sont pas disponibles, des méthodes plus générales peuvent être utilisées. Dans tous les cas, il est toujours recommandé de tracer un graphique s’il n’est pas fourni, à la fois dans le but de comprendre le problème mais également afin de vérifier que la forme réduite semble correcte par rapport au graphique fourni.

Points Clés

  • Pour une droite dans le plan 𝑥𝑦 de coefficient directeur donné 𝑚 et d’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑏, l’équation de la droite peut être écrite sous la forme « réduite » par 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.
  • Une droite passant par les points distincts de coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) a pour coefficient directeur 𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥.
  • Suite à cela, l’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑏 peut alors être calculée en substituant les valeurs de 𝑥 et de 𝑦 des coordonnées de l’un ou l’autre des deux points dans l’équation de la droite sous forme réduite. En d’autres termes, une fois que la valeur de 𝑚 est connue, 𝑏 peut être trouvé en résolvant l’une des équations 𝑦=𝑚𝑥+𝑏,𝑦=𝑚𝑥+𝑏.
  • Pour une droite dans le plan 𝑥𝑦 qui coupe l’axe des 𝑥 en 𝑎 et l’axe des 𝑦 en 𝑏, l’équation de la droite sous sa forme réduite peut être calculée directement en utilisant l’équation 𝑦=𝑏𝑎𝑥+𝑏.

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