Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les angles en position standard et à déterminer les mesures positives et négatives de leurs angles équivalents.
Chacun des angles que nous allons examiner sera représenté graphiquement dans un repère cartésien. Ce repère est formé par une droite horizontale, appelée l’axe des abscisses et par une droite verticale, appelée l’axe des ordonnées. Le point d’intersection de ces deux axes est l’origine. Ces deux axes divisent le plan en quatre régions appelés quadrants. Nous étiquetons les quadrants dans le sens anti-horaire avec des chiffres romains comme sur la figure ci-dessous.
Pour qu’un angle soit en position standard, certaines conditions sur la position de son sommet ainsi que celle d’un de ses côtés doivent être satisfaites.
Définition : Angle en position standard
Un angle est en position standard si son sommet est à l’origine du repère cartésien et si l’un de ses côtés est confondu avec l’axe des abscisses positives. Le côté qui coïncide avec l’axe des abscisses positives est appelé le côté initial de l’angle et c’est à partir de ce côté que l’on mesure l’angle. L’autre côté est appelé le côté terminal.
Un exemple d’angle en position standard est l’angle représenté sur la figure ci-dessous.
On peut voir que son côté initial, , coïncide avec l’axe des abscisses positives, c’est-à-dire avec la partie de l’axe des abscisses située à droite de l’origine. Par ailleurs, on peut noter que cet angle a pour sommet , qui est à l’origine.
La mesure d’un angle est la quantité nécessaire de rotation depuis son côté initial jusqu’à son côté terminal et on peut exprimer cette mesure aussi bien en degrés qu’en radians. Une révolution complète du côté terminal équivaut à ou . Si un angle est mesuré dans le sens anti-horaire, il est positif, tandis que s’il est mesuré dans le sens horaire, il est négatif.
On peut utiliser le fait que les mesures positives des angles forment un tour complet autour d’un point et ont donc pour somme , afin de déterminer la mesure d’un angle négatif de même côté terminal qu’un angle positif de mesure connue et de déterminer la mesure d’un angle positif de même côté terminal qu’un angle négatif de mesure connue. De tels angles sont appelés des angles coterminaux.
Définition : Angles coterminaux
Les angles coterminaux sont des angles en position standard dans le repère cartésien qui ont le même côté terminal.
Chaque angle positif a un angle coterminal négatif et chaque angle négatif a un angle coterminal positif. Les angles de mesure et en position standard, sont des exemples d’angles coterminaux, car chacun de leurs côtés terminaux sont sur l’axe des abscisses positives comme sur la figure suivante.
Ces angles sont également appelés angles quadrants, comme tout autre angle en position standard dont le côté terminal se situe sur un des axes du repère.
Les angles de mesure et en position standard sont un autre exemple d’angles coterminaux, en effet leurs côtés terminaux sont dans la même position par rapport à l’axe des abscisses positives. En d’autres termes, ces angles ont le même côté terminal.
Notez que la mesure de l’angle de vaut de plus que la mesure de l’angle de . On peut ajouter n’importe quel multiple de à la mesure d’un angle pour obtenir la mesure de l’un de ses angles coterminaux.
Commençons notre étude des angles avec un exemple dans lequel nous devons déterminer si un angle donné est en position standard.
Exemple 1: Identifier des angles en position standard
L’angle illustré ci-dessous est-il en position standard ?
Réponse
Rappelons qu’un angle est en position standard si son sommet est à l’origine et si l’un de ses côtés est confondu avec l’axe des abscisses positives. Le côté qui se trouve sur l’axe des abscisses positives est appelé le côté initial de l’angle et l’autre côté est appelé le côté terminal.
Notez que l’angle sur la figure est mesuré dans le sens anti-horaire. En effet, on peut voir que l’un des côtés qui compose l’angle, ou le côté initial de l’angle, se situe bien sur l’axe des abscisses positives. Nous pouvons également constater que l’autre côté de l’angle, le côté terminal, est dans le quadrant I du plan. Le point d’intersection de ces deux côtés, ou sommet de l’angle, se situe à l’origine.
Ainsi, on peut affirmer que cet angle est en position standard.
Dans l’exemple précédent, nous avons étudié un angle en position standard. Comparons l’angle dans cet exemple avec celui illustré sur la figure ci-dessous.
Ici, nous pouvons voir que bien que le sommet de l’angle soit à l’origine du repère cartésien, le côté initial de l’angle ne se situe pas sur l’axe des abscisses positives mais sur l’axe des abscisses négatives. Par conséquent, si cette figure nous avait été donnée, nous aurions répondu que cet angle n’est pas en position standard.
L’angle représenté sur la figure ci-dessous n’est, lui non plus, pas un angle en position standard.
Ici, bien que le sommet de l’angle soit à l’origine du plan de coordonnées, l’angle n’est pas mesuré à partir du côté confondu avec l’axe des abscisses positives. Cela est indiqué par le sens de la flèche sur la figure. Si la flèche pointait dans le sens opposé, alors l’angle serait en position standard.
Étudions maintenant un autre angle et déterminons s’il est en position standard.
Exemple 2: Déterminer si un angle est en position standard
L’angle suivant est-il en position standard ?
Réponse
On rappelle que si un angle a pour sommet l’origine et que l’un de ses côtés, le côté initial, est sur l’axe des abscisses positives, alors on dit que l’angle est en position standard. La position de l’autre côté, appelé le côté terminal, n’a pas d’importance.
Sur la figure ci-dessous, l’angle est mesuré dans le sens anti-horaire. Le côté initial de l’angle est sur l’axe des abscisses positives du repère cartésien, tandis que l’autre côté, le côté terminal de l’angle, se situe dans le quadrant IV. De plus, le sommet, c’est-à-dire le point d’origine des deux côtés de l’angle, se situe à l’origine.
Par conséquent, on peut affirmer que oui, l’angle sur la figure est bien en position standard.
Remarque
Supposons qu’à la place on nous donne la figure suivante.
Sur cette figure, l’angle est mesuré dans le sens horaire, ainsi cet angle n’est pas de mesure positive, mais négative. Cependant, le côté initial de l’angle est à nouveau sur l’axe des abscisses positives du repère cartésien et le sommet est à nouveau à l’origine, de sorte que sur cette figure, l’angle est bien en position standard.
Dans le prochain exemple, nous allons déterminer si un angle donné par un couple de vecteurs est en position standard ou non.
Exemple 3: Comprendre si un angle est en position standard
Le couple de vecteurs définit-il un angle en position standard ?
Réponse
Pour que le couple de vecteurs définisse un angle en position standard, il faut que l’angle ainsi défini ait son côté initial sur l’axe des abscisses positives et que son sommet soit à l’origine du repère. Puisque est le premier vecteur du couple de vecteurs considéré, il s’agit du côté initial. On peut constater que ce côté repose entièrement sur l’axe des abscisses positives.
Il rencontre le côté terminal de l’angle au point qui est donc le sommet de l’angle. Ce point est également sur l’axe des abscisses positives du repère cartésien, mais n’est pas à l’origine.
Le sommet de l’angle n’étant pas à l’origine, le couple de vecteurs ne définit pas un angle en position standard.
Remarque
Bien que l’angle défini par le couple de vecteurs ne soit pas en position standard, nous pouvons identifier plusieurs angles sur la figure qui le sont. L’un d’entre eux est donné par le couple , un autre est donné par le couple et un troisième est donné par le couple . Pour chacun de ces angles, le côté initial est sur l’axe des abscisses positives et le sommet est situé à l’origine.
On devrait également considérer l’angle défini par le couple de vecteurs . Le sommet de cet angle est bien à l’origine, mais le côté initial de l’angle, , n’est pas sur l’axe des abscisses positives. Ainsi, on sait que cet angle n’est pas en position standard.
Dans l’exemple suivant, il nous est demandé de trouver un angle de mesure négative coterminal à un angle de mesure positive. Rappelons que les angles coterminaux en position standard dans un repère cartésien partagent le même côté terminal.
Exemple 4: Déterminer des angles coterminaux
Donnez le plus petit angle de mesure positive équivalent à l’angle ci-dessous.
Réponse
L’angle de mesure illustré sur la figure est en position standard puisque son côté initial est sur l’axe des abscisses positives et puisque son sommet est situé à l’origine du repère. Par ailleurs, on peut voir que cet angle est orienté dans le sens horaire, c’est pour cela que sa mesure en degrés est un nombre négatif.
Le plus petit angle positif équivalent à l’angle indiqué est donc orienté dans le sens anti-horaire. On voit que cet angle est également en position standard puisqu’il partage le même côté initial et le même sommet que l’angle de mesure . Il a également le même côté terminal que l’angle de mesure ; ainsi cet angle et l’angle de mesure sont des angles coterminaux.
Puisque le signe négatif dans la mesure de l’angle nous donne juste son orientation, choisissons d’ignorer cela pour l’instant et considérons que cet angle a pour mesure . On rappelle que les mesures positives des angles qui forment un tour complet autour d’un point ont pour somme , donc en soustrayant à , on trouve que le plus petit angle de mesure positive coterminal à l’angle donné a pour mesure
Dans l’exemple suivant nous allons non seulement déterminer un angle de mesure négative coterminal à un angle de mesure positive donné, mais également un angle coterminal à cet angle de mesure positive.
Exemple 5: Identifier plusieurs angles coterminaux équivalents
Déterminez un angle coterminal de mesure positive et un angle coterminal de mesure négative pour un angle de mesure .
Réponse
Rappelons que les angles coterminaux sont des angles en position standard dans le repère cartésien qui partagent le même côté terminal. Commençons par trouver un angle de mesure négative coterminal à un angle de mesure .
On rappelle qu’en position standard, les angles de mesure positive sont orientés dans le sens anti-horaire, tandis que les angles de mesure négative sont orientés dans le sens horaire. On peut utiliser ce fait, ainsi que le fait que les angles coterminaux ont le même côté terminal, pour représenter l’angle de mesure et un angle coterminal de mesure négative comme montré ci-dessous.
Remarquons que ces deux angles partagent leur côté initial sur l’axe des abscisses positives et ont leur sommet à l’origine du repère. On rappelle que les mesures positives des angles qui forment un tour complet autour d’un point ont pour somme , ainsi, pour déterminer la mesure d’un angle négatif coterminal à l’angle de mesure , on peut commencer par soustraire à et obtenir
Maintenant, comme l’angle coterminal négatif est mesuré dans le sens horaire, on peut dire que sa mesure est .
Ensuite, déterminons la mesure d’un angle positif coterminal à l’angle de mesure . On rappelle qu’une rotation complète autour d’un point correspond à un angle de mesure . Si, après avoir tourné dans le sens anti-horaire autour de l’origine le côté terminal d’un angle en position standard de mesure dans un repère cartésien, nous le faisions ensuite tourner d’un angle de mesure degrés dans le sens anti-horaire autour de l’origine, le côté terminal serait dans la même position qu’avant sa rotation d’angle . En d’autres termes, l’angle obtenu serait coterminal avec l’angle de mesure . Ceci est illustré sur les deux figures suivantes.
Ainsi, pour déterminer la mesure d’un angle positif coterminal à l’angle de , on peut ajouter à et obtenir
En résumé, un angle positif coterminal à l’angle de mesure est de mesure et un angle négatif coterminal à l’angle de mesure est de mesure .
Dans le dernier exemple, nous cherchons un angle coterminal de mesure positive et un angle coterminal de mesure négative à l’angle de mesure . Il est important de remarquer que, comme nous pouvons toujours effectuer une rotation complète autour du côté terminal d’un angle en position standard, et ne sont pas les seules mesures pour les angles coterminaux de mesures positive et négative à l’angle de mesure . Pour trouver d’autres angles coterminaux de mesures positives, nous pourrions continuer à ajouter pour obtenir et ainsi de suite. Pour trouver d’autres angles coterminaux de mesures négatives, nous pourrions continuer à soustraire pour obtenir et ainsi de suite. Il y a en fait un nombre infini d’angles de mesures positives et négatives coterminaux à l’angle de mesure , et de ce fait, à tout angle.
Dans le dernier problème, nous allons déterminer dans quel quadrant se situe le côté terminal d’un angle de mesure donnée.
Exemple 6: Déterminer le quadrant dans lequel se situe un angle
Dans quel quadrant l’angle de mesure se situe-t-il ?
Réponse
On rappelle que le repère cartésien est divisé en quatre quarts de plans appelés quadrants. Nous étiquetons les quadrants avec des chiffres romains, dans le sens anti-horaire. Le quadrant supérieur droit est appelé quadrant I, le quadrant supérieur gauche est appelé quadrant II, le quadrant inférieur gauche est appelé quadrant III et le quadrant inférieur droit est appelé quadrant IV, comme le montre la figure suivante.
Le quadrant dans lequel se situe un angle est le quadrant qui contient son côté terminal lorsque l’angle est en position standard. Par conséquent, pour déterminer le quadrant dans lequel se trouve l’angle de mesure , nous allons représenter l’angle en position standard.
On sait que le côté initial de l’angle doit être sur l’axe des abscisses positives et que son sommet doit être à l’origine du repère. Nous savons aussi que l’angle est orienté dans le sens horaire, puisque sa mesure en degrés est négative.
Puisqu’un tour complet autour de l’origine correspond à un angle de mesure , on peut en déduire que le nombre de degrés dans un quart de tour est . Ainsi, en effectuant une rotation de de l’axe des abscisses positives dans le sens horaire, celui-ci est envoyé sur l’axe des abscisses négatives, nous donnant un angle de mesure .
De même, en le faisant tourner de dans le sens horaire, il est envoyé sur l’axe des abscisses négatives, nous donnant ainsi un angle de mesure et en le faisant tourner de dans le sens anti-horaire, il serait sur l’axe des abscisses positives, nous donnant une mesure d’angle quadrant de . En appliquant au côté terminal une rotation d’angle de mesure dans le sens horaire à partir de l’axe des abscisses positives, on renvoie ce côté sur l’axe des abscisses positives, nous donnant ainsi un angle de mesure , comme indiqué sur la figure.
Ainsi, on en déduit que
- tout angle de mesure comprise entre et a son côté terminal dans le quadrant IV,
- tout angle de mesure comprise entre et a son côté terminal dans le quadrant III,
- tout angle de mesure comprise entre et a son côté terminal dans le quadrant II,
- tout angle de mesure comprise entre et a son côté terminal dans le quadrant I.
Ainsi, un angle de mesure peut être représenté comme sur la figure suivante.
Donc, puisque est compris entre et , l’angle se situe dans le quadrant II ou le deuxième quadrant.
Concluons à présent en récapitulant certains points clés.
Points clés
- Un angle est en position standard dans un repère cartésien si son sommet est à l’origine et qu’un de ses côtés est confondu avec l’axe des abscisses positives.
- Le côté d’un angle en position standard qui coïncide avec l’axe des abscisses positives est appelé le côté initial de l’angle et c’est à partir de ce côté que l’angle est mesuré. L’autre côté est appelé le côté terminal.
- Un angle en position standard dans le repère cartésien est de mesure positive s’il est orienté dans le sens anti-horaire et est de mesure négative s’il est orienté dans le sens horaire.
- Deux angles sont coterminaux si ce sont des angles en position standard qui partagent le même côté terminal.
- Tout angle a un nombre infini d’angles de mesures positives et négatives qui lui sont coterminaux. On peut déterminer leurs mesures en ajoutant ou en soustrayant des multiples entiers de à la mesure de l’angle dont on cherche les angles coterminaux.
- Si le côté terminal d’un angle en position standard dans le repère cartésien se situe sur l’un des axes, l’angle est appelé angle quadrant.
