Fiche explicative de la leçon: Analyse dimensionnelle Physique • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les dimensions des grandeurs physiques étant donné la relation entre ces grandeurs et d’autres grandeurs connues.

Rappelons que les mesures physiques se composent de deux parties : une valeur et une unité. L’unité nous dit ce que nous avons, et la valeur nous indique combien nous en avons.

Par exemple, si la mesure d’une certaine grandeur est de 10 m, alors la valeur est dix et l’unité est mètres. En d’autres mots, la mesure de notre grandeur est un certain nombre de mètres, en particulier dix.

Les mesures sont généralement associées à des grandeurs physiques réelles. On peut mesurer la distance moyenne de la Terre au Soleil comme étant de 1 UA (unité astronomique). Nous pouvons voir cette distance indiquée sur le schéma ci-dessous.

De même, sur le schéma ci-dessous, nous avons marqué la distance entre les atomes dans un cristal comme étant de 4 nm.

D’un autre côté, nous pourrions mesurer la période orbitale de la Terre comme étant de 365,24 jours, et un jour comme étant de 86‎ ‎400 s.

Portons une attention particulière aux quatre mesures que nous venons de décrire : 

Chacune d’elles se compose d’une valeur et d’une unité, et toutes les unités sont différentes. Cependant, même si toutes les unités sont différentes, nous pouvons intuitivement voir une connexion entre les deux premières grandeurs et aussi les deux dernières grandeurs. À savoir, 1 UA et 4 nmreprésentent, les deux, des distances. En effet, nous aurions pu mesurer la distance entre la Terre et le Soleil en nanomètres (nm) plutôt qu’en unités astronomiques (UA). De même, on aurait pu en mesurer une an en secondes plutôt qu’en jours puisque les deux jours et secondes représentent des durées des temps..

Cependant, il serait totalement absurde de mesurer l’espace entre des atomes en jours ou des périodes orbitales en nanomètres, étant donné que les nanomètres ne décrivent pas le temps et les jours ne décrivent pas la distance.

Nous voyons que parfois, mais pas toujours, différentes unités peuvent être utilisées pour décrire la même grandeur physique. Nous quantifions cette compatibilité des unités avec la notion de dimension.

Nous avons déjà rencontré deux dimensions de base : la longueur et le temps. On utilise le symbole pour représenter la longueur et pour représenter le temps.

Appliquons cette idée aux grandeurs que nous avons déjà mentionnées. 1 UA, la distance entre la Terre et le Soleil, et 4 nm, l’espace entre les atomes dans un certain cristal, sont deux mesures de longueur. Par conséquent, la dimension de la grandeur 1 UA est , et la dimension de 4 nm est aussi . En revanche, la dimension de 365,24 jours est , qui est aussi la dimension de 86‎ ‎400 s.

Les crochets autour d’une grandeur indiquent que nous ne sommes intéressés que par sa dimension. On peut écrire et

Il y a deux points importants à noter. Premièrement, des nombreuses unités décrivent toutes des grandeurs de même dimension. Deuxièmement, parce que tant d’unités ont la même dimension, lorsque nous considérons les dimensions d’une grandeur, nous ne considérons pas combien comme nous l’avons fait avec les unités. Cela est dû au fait que le nombre représentant combien varie selon notre choix d’unité, mais les dimensions décrivent une grandeur physique de manière indépendante du choix particulier des unités.

Avant de voir notre premier exemple, nous examinerons brièvement comment combiner des dimensions.

La combinaison de dimensions pour former d’autres dimensions est un processus identique à la combinaison d’unités pour former d’autres unités. Par exemple, pour représenter une aire, on peut choisir d’utiliser des unités de mètres carrés (m²). Cette unité est construite en multipliant deux copies de l’unité mètres : 

Pour trouver les dimensions [ m² ], on constate simplement que

Ainsi, exactement comme on pourrait s’y attendre vu les règles de combinaison d’unités, le carré d’une unité de dimension la longueur a comme dimension la longueur au carré.

On peut aussi former des quotients de dimensions comme avec des unités. La seule différence est que les dimensions sont représentées par des exposants négatifs et non par des fractions. Par exemple, l’unité de vitesse typique est le kilomètres par heure. Les kilomètres ont une dimension de car ce sont des unités de longueur, et les heures ont une dimension de car ce sont des unités de temps. On écrit généralement l’unité kilomètres par heure sous la forme mais pour ses dimensions on écrirait où nous avons écrit à la place de .

Avec cela en tête, regardons notre premier exemple.

À la fin de cet exemple, il nous restait des mètres par seconde carrée (m/s²), qui sont précisément les unités de l’accélération. En outre, nous avons vu que les dimensions correspondant à ces unités sont . Mais rappelez-vous, les dimensions décrivent une grandeur indépendante d’un choix d’unités, donc en fait sont les dimensions de l’accélération quel que soit notre choix pour les unités.

Nous venons de déterminer des unités pour mesurer une grandeur en fonction de ses dimensions. Dans ce prochain exemple, nous ferons l’inverse en déterminant les dimensions d’une grandeur à partir des unités que nous pourrions utiliser pour la mesurer. Nous aurons besoin d’une dimension pour les grandeurs avec une masse. Nous utiliserons pour les dimensions de la masse.

Avant ce dernier exemple, nous avons introduit la dimension pour la masse. Nous avons besoin d’un nouveau symbole pour la masse, car aucune combinaison de longueurs et de temps ne peut représenter correctement la masse d’un objet. De même, nous voulons aussi travailler avec des grandeurs physiques liées au courant. ötant donnée qu’aucune combinaison de , , et peut nous donner des dimensions pour le courant, nous avons encore besoin d’un nouveau symbole. Cette fois nous utiliserons la lettre .

L’exemple suivant montre comment utiliser cette nouvelle dimension dans le contexte de la recherche de dimensions globales.

En plus de manipuler des expressions simples impliquant , , , et , on peut aussi calculer les dimensions d’autres grandeurs physiques comme la force. Rappelons que la deuxième loi de Newton relie la force (), la masse () et l’accélération () par

On connaît déjà , et vaut simplement , la dimension de masse que nous venons d’introduire. Ainsi, en suivant les règles de combinaison des dimensions,

En utilisant une formule physique connue, nous avons déterminé avec succès les dimensions composites de la force. En fait, nous pouvons toujours utiliser des formules et des équations appropriées pour calculer les dimensions de grandeurs inconnues, car pour qu’une équation soit vraie, les dimensions globales des deux côtés de l’équation doivent correspondre entre elles.

Voyons un exemple où nous utilisons ce principe.

Dans cet exemple, nous avons trouvé les combinaisons de dimensions et , que nous avons conclu étaient tous deux équivalents au nombre 1 sans dimensions. Cette conclusion découle directement de l’identité pour tout type de grandeur et nous conduit également à une autre définition importante.

Peut-être que la grandeur sans dimension la plus simple est le rapport de tailles d’un rectangle, défini comme la longueur d’un rectangle divisée par sa largeur. Etant donné , ne doit pas avoir de dimension globale ; autrement dit, il doit être sans dimension. Ainsi, deux rectangles avec le même rapport de tailles mais des longueurs différentes, disons 1 m et 1 km, sembleront toujours avoir la même forme.

Les grandeurs sans dimension jouent un rôle important en physique car les lois physiques dépendent généralement de valeurs relatives, plutôt que de valeurs absolues. Par exemple, un bloc se déformera ou non lorsqu’il est tenu horizontalement au-dessus du sol dépend de son rapport de tailles plutôt que des valeurs particulières de sa longueur et de sa largeur. Sur le schéma ci-dessus, le bloc de gauche est physiquement plus petit que la dalle de droite, mais le rapport de tailles du bloc de droite est beaucoup plus petit que pour celui de gauche. Le bloc dont le rapport de tailles est plus élevé aura tendance à se déformer davantage sous l’influence de la force de gravité.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons ce que nous avons appris pour déterminer la dimension d’un composant d’une grandeur sans dimension.

Maintenant que nous avons vu plusieurs exemples, passons en revue ce que nous avons appris.