Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le terme général ou une formule de récurrence d’une suite et à les utiliser pour déterminer des termes dans la suite.
Une suite peut être décrite par un terme général en utilisant un indice de position, . Par exemple, on peut écrire la suite de nombres pairs, , en termes des valeurs de l’indice comme
| Indice, | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Terme | 2 | 4 | 6 | 8 |
Tout terme dans la suite est désigné par . Ainsi, on peut désigner le premier terme par , le deuxième par , et ainsi de suite.
Lorsqu’on étudie les suites, l’objectif est de trouver une règle générale de sorte que si on veut trouver un terme avec un indice plus grand, on peut le faire sans lister tous les termes jusqu’à celui-ci. Pour la suite, , on peut remarquer que chaque terme est le double de son indice.
On peut écrire cette règle générale de manière mathématique, en indiquant que, pour tout terme , où ,
Ainsi, pour calculer un terme spécifique, par exemple le 23e terme, on remplace la valeur dans le terme général pour déterminer la valeur de ce qui donne
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment trouver les cinq premiers termes d’une suite, à partir de son terme.
Exemple 1: Déterminer les termes d’une suite à partir du terme général
Déterminez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est , où .
Réponse
Dans cette question, on a le terme général, ou terme d’une suite pour un indice . Pour trouver un terme dans la suite, on remplace la valeur de dans le terme général.
Par conséquent, pour le premier terme, , on introduit dans , on simplifie et on obtient
On peut continuer ainsi pour trouver le deuxième terme, , en remplaçant dans le terme général,
On calcule le troisième terme, , comme suit
On calcule le quatrième, , comme suit
Et le cinquième terme, , comme suit
Ainsi, on peut énumérer les cinq premiers termes de la suite qui sont
Dans l’exemple précédent, on a un terme général qui relie directement les termes de la suite à la valeur de leur indice. Pour certaines suites, cependant, terme de la suite peut être définie par rapport au terme qui le précède.
Prenons par exemple la suite . On peut comparer les valeurs de l’indice aux valeurs de .
| Indice, | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 6 | 9 | 12 |
Les valeurs de ne correspondent pas aux termes de la suite, mais il est possible d’obtenir ces termes en soustrayant 2 de chacune des valeurs de .
| Indice, | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 6 | 9 | 12 | |
| 1 | 4 | 7 | 10 |
Ainsi, pour , on peut écrire terme de la suite comme .
On peut aussi noter que le lien entre les termes est l’addition de 3 au terme précédent.
Ainsi, tout terme est égal au terme précédent plus 3. En utilisant la notation d’indice, on peut écrire le terme avant comme .
Par conséquent, on peut dire que cette suite a un terme de . Lorsqu’on écrit une formule de cette manière, on doit également indiquer la valeur du premier terme, . Par conséquent, le terme peut être écrit comme suit
Notez qu’on peut inclure les limites sur la valeur de l’indice, , car cette formule ne s’applique qu’aux valeurs de supérieur ou égal à .
La formule pour une suite exprimée de cette manière s’appelle une formule récursive.
Définition : Formule récursive pour une suite
Une formule récursive est une formule dans laquelle les termes d’une suite sont définis en utilisant un ou plusieurs des termes précédents.
On peut avoir une formule récursive pour ou . Par exemple, nous avons défini la formule récursive pour la suite comme mais nous aurions aussi pu la définir comme suit
Les deux formules démontrent la récursivité du terme avant (soit et , ou et ). La différence sera dans la première valeur de l’indice, , qui peut être utilisé.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment trouver un terme spécifique dans une suite, à partir d’une formule récursive.
Exemple 2: Déterminer les termes d’une suite à partir d’une formule récursive
Si est une suite définie par et , où , alors le quatrième terme est égal à .
- 2
- 4
- 5
- 8
Réponse
Dans cette question, on nous donne la formule récursive d’une suite. Dans une formule récursive, les termes de la suite sont définis en utilisant un ou plusieurs des termes précédents. Ainsi, pour trouver un terme spécifique dans la suite, on ne peut pas simplement remplacer une valeur par l’indice et obtenir la valeur du terme ; on doit plutôt trouver le ou les termes précédents. Cela signifie qu’on pourrait utiliser la formule récursive plusieurs fois.
La formule récursive ici est . Cela signifie que tout terme, , dans la suite est obtenu en soustrayant 3 du terme précédent, .
Le quatrième terme, , sera donc . Le troisième terme, , peut être obtenu en utilisant le deuxième terme, et le deuxième terme peut être calculé en utilisant le premier terme. Par conséquent, on peut partir du début de la suite et calculer chaque terme.
Pour utiliser cette formule récursive, il nous faut le premier terme de la suite, qui est
Le deuxième terme de la suite peut être déterminé en introduisant et dans ce qui donne
Pour calculer le troisième terme de la suite, on introduit le deuxième terme, , et pour obtenir
Enfin, on peut calculer le terme requis, , comme suit
Ainsi, on peut dire que le quatrième terme de la suite correspond à A, 2.
Ensuite, nous allons examiner certaines propriétés des suites, et comment déterminer si une suite est croissante ou décroissante.
Prenons l’exemple de la suite de nombres carrés dont terme est , pour . Les 4 premiers termes de la suite sont
Chaque terme de la suite est toujours supérieur au terme précédent ; par conséquent, la suite est croissante.
Si, par contre, nous examinons la suite , pour , dont les 4 premiers termes sont étant donné que chaque terme est plus petit que le précédent, la suite est décroissante.
Nous allons élaborer ces définitions ci-dessous.
Définition : Les suites monotones croissantes et décroissantes
Une suite de nombres réels est croissante si pour tout .
Une suite de nombres réels est décroissante si pour tout .
Une suite de nombres réels est constante si pour tout .
Si une suite est croissante, décroissante ou constante, on l’appelle une suite monotone.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser ces règles pour identifier les propriétés d’une suite.
Exemple 3: Déterminer la nature d’une suite
La suite est-elle croissante, décroissante ou aucune des deux ?
Réponse
Dans cette question, on nous donne terme d’une suite et on nous demande de déterminer les propriétés de celle-ci. Rappel : une suite est croissante si pour tout . Chaque terme de la suite doit être supérieur au terme précédent.
Contrairement, une suite est décroissante si chaque terme est inférieur au précédent, de sorte que .
On peut calculer les premiers termes de cette suite afin de déterminer ses propriétés.
Pour le premier terme, on peut remplacer la valeur dans et obtenir
On peut trouver le deuxième terme, , en remplaçant dans terme, ce qui donne
On peut calculer le troisième et quatrième terme comme suit : et
On peut écrire les 4 premiers termes de la suite, en fraction, comme suit
Il peut être utile de convertir chaque terme de la séquence en nombre décimal, et arrondir au centième près, ce qui donne
On constate que le deuxième terme est plus petit que le premier terme, et donc la suite n’est pas croissante, et aussi que le troisième terme est plus grand que le deuxième, et donc la suite n’est pas décroissante.
Par conséquent, on peut conclure que
Jusqu’ici, nous avons identifié les propriétés et déterminé les termes spécifiques d’une suite. Nous allons à présent voir comment déterminer le terme général d’une suite, à partir des premiers termes de cette suite.
Exemple 4: Déterminer le terme général d’une suite
Déterminez, en termes de , le terme général de la suite .
Réponse
On peut résoudre ce problème en introduisant des valeurs entières successives de dans les termes généraux donnés, en commençant par .
Dans l’option A, on remplace dans , en commençant par , pour obtenir le premier terme
Si on introduit pour calculer le deuxième terme, on obtient
Cependant, le deuxième terme de la suite n’est pas 36. Par conséquent, la suite n’est pas définie par le terme général .
Ensuite, on introduit dans le terme général de l’option B, , pour obtenir le premier terme, ce qui donne
On calcule le deuxième terme, lorsque , comme suit
Lorsque , on obtient
Et, le quatrième terme, lorsque , est
Étant donné que ces termes correspondent aux 4 premiers termes de la suite donnée, on peut conclure que la suite a pour terme général
Notons que, bien que les trois termes généraux restants dans les autres options donnent tous un premier terme correct d’une valeur de 18 dans, le deuxième terme et les termes suivants n’ont pas les valeurs 72, 162 et 288. Par conséquent, l’option B est la bonne réponse.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le terme général d’une suite plus complexe qui contient des puissances de 3.
Exemple 5: Déterminer le Terme Général d’une Suite
Le terme de la suite est .
Réponse
Afin de trouver le terme de la suite, on peut utiliser une certaine logique en analysant la suite. Les valeurs 3, 9 (de la fraction ), et 9 sont des puissances de 3. Fait intéressant, on peut également constater que le deuxième terme a un dénominateur égal à 2. On peut alors penser que les termes de la suite sont tous, en fait, des fractions, et que certains ont été simplifiés pour obtenir un nombre entier.
On peut considérer que chaque terme de la suite a un numérateur qui est une puissance de 3 et un dénominateur qui est l’indice.
| Indice, | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 3 | 9 | 27 | |
On peut simplifier les valeurs et obtenir
Celles-ci correspondent aux termes de la suite donnée ; par conséquent, on peut conclure que le terme de la suite correspond à l’option C,
Notez qu’il est également possible de trouver la bonne réponse en utilisant les options de réponse disponibles. Dans ce cas, en introduisant les valeurs , 2 et 3, dans chaque terme on aurait obtenu que le seul terme qui produit les valeurs de la suite est .
Dans l’exemple suivant, nous allons voir une sorte de suite alternée, qui est définie ci-dessous.
Définition : Suites alternées
Une suite alternée est une suite dans laquelle les signes des termes de la suite s’alternent entre positif et négatif.
Exemple 6: Déterminer le terme général d’une suite alternée
Le terme général de la suite est .
Réponse
On peut constater que le signe de chaque terme est différent du signe du terme suivant, ce qui donne alternativement des valeurs positives et négatives. Ce type de suite est connu sous le nom de suite alternée.
Si on considère les valeurs absolues des termes, on obtient la suite . Si l’indice , alors cette suite de valeurs absolues serait définie par le terme général .
Une façon de déterminer le terme général d’une suite qui contient , mais qui alterne entre les termes positifs et négatifs, est de multiplier par ou . Les termes généraux donnés dans les options A et B représentent deux possibilités.
Dans l’option A, pour un indice , on peut introduire des valeurs dans le terme général , en commençant par . Cela donne
On pourrait continuer à vérifier d’autres valeurs de , mais on remarque que le premier terme généré par le terme général est , et non 3 comme dans la suite donnée. Par conséquent, ce terme général ne définit pas la suite donnée, et on peut éliminer l’option A.
Si on vérifie le terme proposé dans l’option B, , en commençant par , on obtient
Pour le deuxième terme, on introduit , ce qui donne
Ensuite, on introduit , et on obtient
Enfin, si on remplace et , on obtient et
Ces 5 premiers termes, , et 15, correspondent aux termes de la suite. Par conséquent, on peut conclure que le terme général de la suite est
Dans le dernier exemple, nous allons identifier la formule récursive à partir des termes d’une suite.
Exemple 7: Déterminer une formule récursive d’une suite
On considère la suite . Laquelle des formules récursives suivantes peut être utilisée pour calculer les termes successifs de la suite pour un indice ?
Réponse
Rappel : une formule récursive est une formule dans laquelle les termes d’une suite sont définis en utilisant un ou plusieurs des termes précédents. Ici, pour trouver un terme avec pour indice , il faut connaître le terme précédent qui a pour indice , .
On peut utiliser chaque formule récursive donnée pour générer une suite et déterminer laquelle correspond à la suite donnée.
En commençant par la formule récursive de l’option A, on connait le premier terme, . Par conséquent, pour trouver le deuxième terme, on peut remplacer et dans la formule , ce qui donne
La suite que la formule récursive dans l’option A génère commence par et ne correspond pas à la suite donnée. Par conséquent, on peut éliminer cette formule.
Pour vérifier la formule récursive dans l’option B, on connait le premier terme . Pour trouver le deuxième terme, on introduit et dans la formule , ce qui donne
Ceci est égal au deuxième terme de la suite donnée, on peut donc continuer et vérifier le troisième terme. Si on remplace et , on obtient
Pour vérifier le quatrième terme, on introduit les valeurs, , et , ce qui donne
Comme ces quatre termes correspondent aux termes donnés, la formule récursive de la suite est
Par ailleurs, pour expliquer cette formule récursive avec des mots, on peut dire qu’elle décrit chaque terme comme étant le double du terme précédent, plus 2. Si on considère la formule récursive de l’option C, elle décrit chaque terme comme multipliant le terme précédent par la fraction . Elle ne génère pas les termes de la suite que nous avons. En outre, la formule récursive de l’option D décrit une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant 6 au terme précédent. Elle ne générerait pas non plus les termes que nous avons. Par conséquent, la formule de l’option B est la bonne réponse.
Résumons à présent les points clés.
Points Clés
- Pour trouver les termes d’une suite à partir d’un terme général, on remplace les valeurs de dans la formule du terme général.
- Une formule récursive est une formule dans laquelle les termes d’une suite sont définis en utilisant un ou plusieurs des termes précédents.
- Pour trouver un terme spécifique dans une suite en utilisant une formule récursive, il peut être nécessaire d’utiliser la formule plusieurs fois afin de trouver les valeurs des termes précédents.
- Une suite de nombres réels est croissante si pour tout .
- Une suite de nombres réels est décroissante si pour tout .
- Une suite de nombres réels est constante si pour tout .
- Une suite alternée a des termes qui s’alternent entre des valeurs positives et négatives.
