Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment analyser le mouvement des projectiles : des objets qui ont une accélération verticale uniforme non nulle tout en se déplaçant horizontalement à vitesse constante
Pour comprendre le mouvement des projectiles, il faut comprendre que le mouvement vertical d’un projectile est différent de son mouvement horizontal.
Le mouvement horizontal d’un projectile est uniforme. Considérons un objet qui se déplace uniformément selon l’horizontale et dont la vitesse verticale est nulle. Si la position de l’objet est enregistrée à intervalles de temps égaux, les positions seraient équitablement séparées, comme c’est le cas sur le schéma suivant.
Le mouvement vertical d’un projectile est accéléré de façon uniforme. Considérez un objet qui accélère de façon uniforme selon la verticale vers le bas et a une vitesse horizontale nulle. Un exemple de ceci serait une balle qui tombe du haut d’un bâtiment. Si la position de l’objet est enregistrée à intervalles de temps égaux, les positions seraient séparées par des distances qui augmentent avec des intervalles de temps successifs, comme c’est le cas sur le schéma suivant.
Supposons maintenant que pour chaque position horizontale, toutes les positions verticales sont indiquées, et que les positions dans les directions horizontale et verticale à des instants successifs sont illustrées, comme le montre le schéma suivant.
Finalement, indiquons le chemin que l’objet suivrait entre les positions indiquées, comme le montre la courbe bleue sur le schéma suivant.
Sur le schéma, nous pouvons voir la trajectoire d’un projectile qui n’a pas de vitesse verticale initiale. Un exemple de ce type de trajectoire serait celui d’une pierre lancée horizontalement depuis le sommet d’une falaise, comme le montre le schéma suivant.
Regardons maintenant un exemple dans lequel les mouvements vertical et horizontal d’un projectile sont considéré.
Exemple 1: Comparaison des mouvements horizontal et vertical d’un projectile
Le schéma illustre les variations du déplacement horizontal et vertical d’un objet à intervalles égaux. La gravitation est la seule force agissant sur l’objet.
- La vitesse horizontale de l’objet est-elle croissante, décroissante ou constante ?
- La vitesse verticale de l’objet est-elle croissante, décroissante ou constante ?
- L’accélération horizontale de l’objet est-elle croissante, décroissante ou constante ?
- L’accélération verticale de l’objet est-elle croissante, décroissante ou constante ?
- La vitesse totale de l’objet est-elle croissante, décroissante ou constante ?
Réponse
Partie 1
La vitesse horizontale de l’objet est le taux de variation de la distance horizontale parcourue par l’objet en fonction du temps. Le schéma montre que la distance horizontale parcourue par l’objet est la même dans chaque intervalle de temps, de sorte que la vitesse horizontale est constante.
La réponse à la première partie est « constante ».
Partie 2
La vitesse verticale de l’objet est le taux de variation de la distance verticale parcourue par l’objet avec le temps. Le schéma montre que la distance verticale parcourue par l’objet augmente selon des intervalles de temps successifs, de sorte que la vitesse verticale de l’objet augmente.
La réponse à la deuxième partie est « croissante ».
Partie 3
L’accélération horizontale de l’objet est le taux de variation de la vitesse horizontale avec le temps.
Nous avons vu dans la première partie de la question que la vitesse horizontale est constante, et pour cette raison l’accélération horizontale doit être nulle tout au long du mouvement de l’objet. Comme l’accélération horizontale est nulle tout au long du mouvement, la valeur de l’accélération horizontale est constante.
La réponse à la troisième partie est « constante ».
Partie 4
L’accélération verticale de l’objet est le taux de variation de la vitesse verticale avec le temps.
Nous avons vu dans la deuxième partie de la question que la vitesse verticale augmente dans des intervalles de temps successifs. On ne peut pas dire clairement à partir du schéma si la vélocité verticale augmente dans des intervalles de temps successifs car le schéma montre le déplacement vertical plutôt que la vitesse verticale.
La question stipule cependant que la seule force agissant sur l’objet est la gravité. La force gravitationnelle de la Terre sur un objet est approximativement constante près de la surface de la Terre, de sorte que la valeur de l’accélération verticale est constante.
La réponse à la quatrième partie est « constante ».
Partie 5
L’objet augmente en vitesse dans le sens vertical. Pour que l’objet ait la même vitesse totale, qui s’agit de la vitesse de l’objet dans le sens de son mouvement, la vitesse de l’objet dans la direction horizontale doit être décroissante proportionnellement à l’augmentation de la vitesse dans la direction verticale. Nous avons vu que la vitesse horizontale est constante, alors nous voyons que la vitesse de l’objet dans le sens de son mouvement doit être croissante.
La réponse à la cinquième partie est « croissante ».
La différence entre les vitesses verticale et horizontale d’un projectile tout au long de son mouvement peut être analysée à l’aide de graphiques de cinématique.
Regardons un exemple où les vitesses verticale et horizontale d’un projectile tout au long de son mouvement sont analysées à l’aide de graphiques de cinématique.
Exemple 2: Identifier les graphiques vitesse-temps d’un projectile
Un objet reçoit une brève poussée horizontale qui le met en mouvement le long d’une surface horizontale lisse. Lorsque l’objet atteint l’extrémité de la surface, il subit un mouvement de projectile d’une position initiale à une position finale, comme indiqué sur le schéma.
- Laquelle des courbes (a), (b), (c) et (d) montre les variations de la vitesse verticale de l’objet entre ses positions initiale et finale ?
- Laquelle des courbes (e), (f), (g) et (h) montre les variations de la vitesse horizontale de l’objet entre ses positions initiale et finale ?
Réponse
Partie 1
L’objet subit un mouvement de projectile, alors il accélère de façon uniforme vers le bas tout au long de son mouvement. L’objet se déplace initialement uniquement horizontalement en raison de la courte poussée horizontale qui lui est donnée. La vitesse verticale initiale de l’objet est donc nulle. De là, nous voyons que le graphique correct doit être soit (b) ou (d), car (a) et (c) montrent tous deux la vitesse verticale initiale comme étant non nulle.
L’objet accélère de façon uniforme vers le bas tout au long de son mouvement. Une accélération uniforme entraîne des variations égales de la vitesse sur des intervalles de temps égaux. La pente d’un graphique vitesse-temps a une pente , où est donnée par où est la vitesse et est le temps.
Un graphique vitesse-temps représentant des variations égales de la vitesse sur des intervalles de temps égaux doit montrer une ligne de pente constante, c’est-à-dire une droite. Seul le graphique (d) a une droite, donc c’est le bon le graphique.
La réponse à la première partie est le graphique (d).
Partie 2
L’accélération de l’objet tout au long de son mouvement est entièrement verticale. La vitesse horizontale initiale de l’objet n’augmente pas tout au long du mouvement. Cela exclut immédiatement le graphique (h). La question n’indique pas la présence d’une force agissant horizontalement sur l’objet autre que la force responsable de la vélocité horizontale initiale de l’objet. Les deux graphiques qui indiquent une vitesse horizontale finale de la courbe nulle ne peuvent donc pas être corrects, de sorte que le graphique (e), représentant une vitesse horizontale constante, est correct.
La réponse à la deuxième partie est le graphique (e).
Nous avons jusqu’à présent seulement considéré les projectiles qui n’ont pas de vélocité verticale initiale. Pour avoir la trajectoire d’un projectile, un tel objet doit avoir un déplacement vertical initial. Considérons maintenant un projectile qui n’a pas de déplacement vertical initial et qui doit avoir une vélocité verticale initiale.
Un projectile qui a une vélocité initiale ascendante est accéléré de façon uniforme dans le sens opposé à son mouvement initial. La vélocité ascendante diminue jusqu’à atteindre zéro, à quel point le projectile est instantanément au repos. Après cet instant, le projectile se déplace comme nous avons déjà vu se déplacer un projectile avec une vélocité verticale initiale nulle.
L’accélération verticale et la vitesse le long de la trajectoire d’un projectile avec une vitesse ascendante initiale sont illustrées sur la figure suivante.
La partie de la trajectoire pour laquelle le projectile est ascendant et la partie de la trajectoire pour laquelle le projectile est descendant sont symétriques. La vitesse verticale d’un projectile est la même à une hauteur donnée, que le projectile soit ascendant ou descendant.
Un projectile qui vient d’être laché pour tomber vers le bas n’est soumis qu’à l’action de la gravité. Un projectile qui se déplace horizontalement ou verticalement vers le haut, cependant, doit avoir une force autre que la gravité agissant sur lui lorsqu’il est lancé. Cependant, cette force n’agit pas sur le projectile une fois qu’il a été lancé. Pour les projectiles lâchés tout comme ceux qui sont lancés, un projectile est modélisé comme commençant à se déplacer avec une vitesse initiale qui ne change ensuite uniquement à cause de l’accélération gravitationnelle.
La force qui lance un projectile a une composante verticale et une composante horizontale. Plus la composante de la force dans une direction est grande, plus la vélocité initiale du projectile dans cette direction est grande. Les grandeurs de ces vitesses déterminent la trajectoire d’un projectile.
Regardons maintenant un exemple comparant des projectiles qui suivent différentes trajectoires.
Exemple 3: Comparaison du mouvement d’un projectile suivant différentes trajectoires
L’objet représenté sur le schema subit deux exemples de mouvement de projectile dû aux forces et et en raison du poids de l’objet. Le premier exemple de mouvement de projectile, l’exemple A, implique un angle de lancement pour l’objet qui est proche d’être vertical vers le haut. L’autre exemple, l’exemple B, montre un angle de lancement beaucoup moins grand, plus proche de l’horizontale. Pour les deux exemples, la distance horizontale parcourue par l’objet est la même.
- Quel exemple de mouvement de projectile implique une plus grande vélocité verticale ?
- Quel exemple de mouvement de projectile implique que l’objet est en vol pendant plus longtemps ?
- Quel exemple de mouvement de projectile implique une plus grande vélocité horizontale ?
Réponse
Partie 1
Dans l’exemple A, le projectile parcourt une plus grande distance verticale vers le haut. Dans les deux exemples, les projectiles ont la même accélération constante vers le bas due à la gravité, et ainsi la vélocité verticale vers le haut doit être plus grande dans l’exemple A.
La réponse à la première partie est l’exemple A.
Partie 2
Le temps pendant lequel un projectile est en l’air est le temps mis pour que le mouvement vertical vers le haut du projectile cesse et que le projectile retombe ensuite au sol. Lorsque les projectiles sont en leurs points les plus hauts, le projectile de l’exemple A a une plus grande distance verticale à parcourir pour atteindre le sol que le projectile de l’exemple B. On voit alors que le projectile de l’exemple A met plus de temps à retomber au sol à partir de son point le plus haut que le projectile de l’exemple B.
Cela montre que le projectile de l’exemple A est en l’air pendant plus longtemps.
La réponse à la deuxième partie est l’exemple A.
Partie 3
La distance horizontale entre le point de lancement et le point d’atterrissage est la même dans les deux exemples. Cela peut suggérer que la vitesse horizontale du projectile est la même dans les deux exemples.
Cependant, cela n’est pas correct. On peut voir cela en rappelant que le temps pendant lequel l’objet se déplace n’est pas égal dans les exemples et en comprenant que cette différence de temps est liée à la hauteur maximale atteinte par l’objet dans chaque exemple.
Le milieu de la trajectoire d’un projectile est celui où le projectile atteint sa plus grande hauteur et où sa vitesse verticale est nulle, comme le montre le schéma suivant.
Dans la question, nous voyons que les points de lancement et d’atterrissage du projectile sont les mêmes dans les deux exemples. Cela signifie que le milieu de la trajectoire du projectile est à mi-chemin entre le point de lancement et le point d’atterrissage dans les deux exemples.
Sachant que le projectile de l’exemple A est en l’air pendant plus de temps que le projectile de l’exemple B, et sachant également que le projectile de l’exemple A parcourt la même distance horizontale que le projectile de l’exemple B, nous pouvons comparer les vitesses horizontales des projectiles.
La distance, le temps et la vitesse sont liés par la formule
Dans l’exemple A, on peut voir que et dans l’exemple B, on peut voir que où représente les vitesses horizontales des projectiles et représente les temps où ils ont été en l’air dans les exemples A et B et représente la distance horizontale qu’ils ont parcourue.
La distance horizontale parcourue par les projectiles est la même, donc on peut dire que
On peut diviser cette équation par . En faisant cela, on voit que
Nous avons montré que
Il doit alors être vrai que
Il en résulte que
La vitesse horizontale est plus grande pour l’exemple B.
Regardons maintenant un exemple impliquant l’analyse du mouvement horizontal d’un projectile lancé vers le haut.
Exemple 4: Identifier les graphiques vitesse-temps d’un projectile
Un objet est mis en mouvement par une force initiale qui agit en diagonale vers le haut, comme le montre le schéma. L’objet subit un mouvement de projectile. 
- Laquelle des courbes (a), (b), (c) et (d) montre les variations du déplacement horizontal de l’objet entre son départ et son retour au sol ?
- Laquelle des courbes (e), (f), (g) et (h) montre les variations de la vitesse horizontale de l’objet entre son départ et son retour au sol ?
Réponse
Partie 1
Au départ, le projectile a un déplacement horizontal nul. Le graphique (d) montre un déplacement horizontal non nul, de sorte qu’il peut être exclu immédiatement. Si le graphique (d) avait montré un déplacement initial nul, il pourrait sembler que cela aurait été correct, mais ce n’est pas le cas, car le graphique (d) montre une valeur constante pour le déplacement, ce qui signifie que le projectile ne s’est pas déplacé horizontalement. Ceci n’est correct que pour un projectile lancé exactement à la verticale, et le schéma dans la question montre que le projectile est lancé par une force qui n’agit pas exactement à la verticale.
La composante horizontale de la force qui lance le projectile est responsable de la vélocité horizontale initiale du projectile. Après le lancement du projectile, sa vélocité horizontale est uniforme.
La pente d’une courbe déplacement-temps a une pente , où est donnée par où est le déplacement et est le temps. La pente est égale à la vélocité de l’objet tracée sur le graphique. Les graphiques (a) et (b) montrent tous les deux des pentes variables, de sorte qu’ils ne peuvent pas représenter la vélocité horizontale du projectile. Le graphique (c) montre une pente constante, ce qui peut être une représentation correcte de la manière dont le déplacement horizontal du projectile change.
La réponse à la première partie est le graphique (c).
Partie 2
Nous avons établi que la vélocité horizontale du projectile est constante, de sorte qu’un graphique vélocité-temps du mouvement horizontal du projectile devrait avoir une valeur constante. Seul le graphique (e) a une valeur constante. Le graphique (g) a une pente constante, mais cela montrerait une vélocité qui augmente constamment plutôt qu’une vélocité constante.
La réponse à la deuxième partie est le graphique (e).
Regardons maintenant un exemple impliquant l’analyse du mouvement vertical d’un projectile lancé vers le haut.
Exemple 5: Identifier les courbes déplacement-temps et vélocité-temps pour un projectile
Un objet est mis en mouvement par une force initiale qui agit en diagonale vers le haut, comme le montre la figure. L’objet subit un mouvement de projectile. 
- Laquelle des courbes (a), (b), (c) et (d) montre les variations du déplacement vertical de l’objet entre son départ et son retour au sol ? Considérez le déplacement vertical vers le haut comme étant positif.
- Laquelle des courbes (e), (f), (g) et (h) montre les variations de la vélocité verticale de l’objet entre son départ et son retour au sol ? Considérez le déplacement vertical vers le haut comme étant positif.
Réponse
Partie 1
Au départ, le projectile a un déplacement vertical nul. Tous les graphiques montrent cela, donc aucun ne peut être exclu immédiatement : le projectile finit par atterrir, et quand il atterrit, son déplacement vertical est égal à son déplacement vertical quand il se lance. Seuls les graphiques (c) et (d) montrent cela correctement.
Une courbe représentant le déplacement vertical d’un projectile en fonction du temps aura approximativement la même forme que la trajectoire d’un projectile, la seule différence étant que sur une telle courbe, l’axe de la courbe sera mise à l’échelle en fonction du temps pendant lequel le projectile a un déplacement vertical donné, tandis qu’une trajectoire indique le déplacement horizontal du projectile pour un déplacement vertical donné. La courbe (c) ressemble à la trajectoire d’un projectile, tandis que la courbe (d) montre que le projectile accélère vers le haut avant de décélérer. L’accélération du projectile est vers le bas tout au long de son mouvement, de sorte que le graphique (d) est incorrect. Le graphique (c) est correct.
La réponse à la première partie est le graphique (c).
Partie 2
La vélocité verticale initiale du projectile est non nulle. Le projectile se déplace vers le haut quand il est lancé. Les graphiques (e) et (f) peuvent donc être immédiatement exclus.
Les graphiques (g) et (h) montrent tous les deux correctement que la vélocité verticale du projectile est nulle à l’instant à mi-parcours entre son lancement et son atterrissage. Le graphique (g) montre que la vitesse du projectile est la même quand il atterrit que lorsqu’il est lancé, ce qui est correct, mais la vélocité du projectile est différente à son lancement par rapport à son atterrissage vu que les sens des vélocités de lancement et d’atterrissage. sont opposés. Le graphique (h) montre une vélocité initiale positive, et la question indique que la vélocité vers le haut doit être prise comme positive, et finalement négative, indiquant un renversement du sens vertical du mouvement du projectile. L’accélération verticale du projectile est constante et vers le bas ; par conséquent, la pente de la courbe vélocité-temps devrait être une droite descendante, ce qui correspond à la pente de (h). On voit alors que (h) est correct.
La réponse à la deuxième partie est le graphique (h).
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans ces exemples.
Points clés
- Un projectile a une vélocité horizontale constante et une accélération verticale constante, en supposant qu’aucune résistance de l’air n’agisse sur lui.
- La trajectoire d’un projectile est une trajectoire courbe.
- Le temps pendant lequel un projectile est en vol dépend de sa vélocité verticale initiale.
- La distance horizontale parcourue par un projectile dépend de la vélocité horizontale du projectile et du temps pendant lequel il reste en vol.
- La distance verticale parcourue par un projectile dépend de la vélocité verticale initiale du projectile.
- Un projectile a une vélocité verticale nulle lorsqu’il atteint son plus grand déplacement vertical.
- Un projectile qui est lancé et atterrit en des points de la même altitude a la même vitesse à une hauteur donnée au-dessus de cette altitude, que le projectile soit ascendant ou descendant.
