Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à définir l’exactitude et la précision d’une mesure et à expliquer comment différents types d’erreurs de mesure les affectent.
Lorsqu’ils font référence à des mesures, les termes exact et précis ont des significations distinctement différentes.
Expliquons d’abord ce que l’on entend par exactitude.
Une mesure correspond à une valeur (souvent cette valeur a une unité). C’est la partie numérique de la mesure.
Par exemple, la distance entre la Terre et la Lune a été mesurée par plusieurs astronomes professionnels dans des observatoires pendant de nombreuses années comme étant de 384 400 kilomètres.
Supposons qu’une personne dont le loisir est d’observer les étoiles, mesure par elle-même cette distance pour en vérifier la valeur, en utilisant ses propres instruments. La personne mesure une distance de 404 000 kilomètres.
Dans ce cas, l’hypothèse habituelle est que la personne a commis des erreurs dans sa mesure et que ces erreurs sont la cause d’une mesure notablement différente de la valeur mesurée reconnue.
Si on admet cette hypothèse, on peut comparer la valeur mesurée par la personne amatrice à la valeur reconnue pour estimer la différence entre ces valeurs.
Plus la différence est petite, plus l’exactitude de la mesure relevée par notre amateur est élevée.
On voit alors qu’une mesure exacte est une mesure qui donne une valeur proche de la valeur réelle de ce qui est mesuré. La différence entre la valeur mesurée et la valeur réelle peut être appelée l’erreur de la mesure. Pour l’exemple avec l’amateur mesurant la distance de la Terre à la lune, la valeur de l’erreur est de 19 600 km.
Il est important de comprendre qu’il n’est pas possible d’être certain qu’une mesure a une erreur égale à zéro.
Lors d’une mesure, il est possible de faire des erreurs que personne ne détecte, ou auxquelles personne ne pense. Si certaines erreurs ne sont pas détectées, personne ne saura qu’une mesure n’est pas effectivement la valeur réelle de la valeur mesurée.
Pour cette raison, les scientifiques expérimentaux accordent une grande attention aux erreurs possibles qu’ils pourraient commettre et qui pourraient affecter l’exactitude d’une mesure. Dans une expérience scientifique, on suppose souvent qu’une mesure est affectée par des erreurs, à moins qu’on ne puisse prouver que ces erreurs ne se sont pas produites.
Il y a beaucoup d’erreurs possibles qui peuvent se produire au cours de toutes sortes de mesures. Une façon de classer cette multitude d’erreurs probables est de définir les erreurs comme étant aléatoires ou systématiques.
Le tableau suivant compare les valeurs d’erreur que l’on peut anticiper en fonction du type d’erreur ; aléatoires et systématiques.
| Erreurs aléatoires | Erreurs systématiques |
|---|---|
| La valeur de l’erreur due à une erreur aléatoire est généralement différente pour chaque mesure. | La valeur de l’erreur due à une erreur systématique est (dans le cas le plus simple) la même pour chaque mesure. |
| La valeur de l’erreur pour une mesure est apparemment sans rapport avec celle d’autres mesures ; par conséquent, la valeur est aléatoire. | Des erreurs systématiques plus complexes peuvent modifier la valeur de l’erreur lors de mesures successives, mais la variation de la valeur de l’erreur est prévisible et non aléatoire. |
| Il est inhabituel qu’une erreur aléatoire produise la même valeur d’erreur pour des mesures successives. | La valeur de l’erreur peut, par exemple, augmenter du même ordre pour chaque mesure successive. |
L’une des façons de détecter les erreurs aléatoires est d’effectuer des mesures répétées de quelque chose qui ne change pas. Si les valeurs enregistrées pour des mesures varient de manière imprévisible, on peut alors conclure qu’une erreur aléatoire affecte ces mesures.
Par exemple, si on mesure la valeur de la durée mise par une balle pour descendre une pente.
Si la balle, la pente, l’air autour de la balle et la gravité qui la fait descendre le long de la pente ne changent pas, alors la durée mise par la balle pour rouler du haut vers le bas de la pente devrait également rester la même.
Supposons toutefois que cette durée est mesurée de manière répétée et que les valeurs obtenues varient de façon imprévisible. Cela montrerait qu’il existe une erreur aléatoire dans les mesures. L’erreur aléatoire peut être due aux raisons suivantes.
- La surface de la pente n’est pas parfaitement lisse, et certaines trajectoires le long de la pente ralentissent la balle plus que d’autres.
- La surface de la balle n’est pas parfaitement lisse, et certaines orientations de départ de la balle la ralentissent plus que d’autres.
- La balle ne démarre pas exactement à la même hauteur pour chaque mesure.
- L’air autour de la balle se déplace différemment lors de différentes mesures.
- L’instrument qui mesure la durée ne se comporte pas de manière identique pour chacune des mesures.
Une façon de détecter les erreurs systématiques consiste à effectuer une mesure répétée pour laquelle la valeur à laquelle on s’attend est très bien connue.
Il est bien connu que pour l’eau distillée à la surface de la Terre, la température à laquelle l’eau commence à bouillir est de .
Supposons qu’un thermomètre soit utilisé pour mesurer de manière répétée la température à laquelle l’eau commence à bouillir dans ces conditions, et que le thermomètre donne constamment la même lecture qui n’est pas égale à .
Il serait raisonnable de soupçonner que le thermomètre génère probablement une erreur systématique.
Si le même thermomètre était utilisé pour mesurer une valeur de température différente bien connue et qu’il donnait constamment la même lecture inattendue pour cette mesure, il serait encore plus plausible que ce thermomètre génère une erreur systématique.
Même si ce thermomètre était capable de mesurer justement des valeurs différentes de , il pourrait toutefois générer une erreur systématique à des températures proches de .
Afin de vérifier les erreurs il est très utile de chercher à mesurer tout particulièrement la plus petite valeur que l’instrument peut mesurer.
Pour les instruments qui ne mesurent que des valeurs positives, la plus petite valeur pouvant être mesurée par ces instruments est de zéro. Si l’instrument lit une valeur non nulle lorsqu’il n’est pas utilisé pour mesurer quoi que ce soit, alors cela peut clairement indiquer que l’instrument génère une erreur.
Supposons qu’une balance électronique qui n’a aucun objet placé sur son plateau donne une lecture non nulle. On pourrait penser qu’il y a quelque chose sur le plateau ayant une masse qui n’est pas détectable à la vue ou au toucher. Il se peut que le plateau soit recouvert d’une très mince couche d’une substance très dense qui n’est pas détectable par l’homme.
On peut aussi penser que la balance génère une erreur.
L’erreur obtenue lorsqu’aucune mesure n’est effectuée par un instrument mais que celui-ci donne une lecture non nulle, est qualifiée d’erreur de zéro.
Nous avons considéré séparément les erreurs aléatoires et les erreurs systématiques, mais il est bien sûr possible qu’une mesure soit affectée à la fois par des erreurs aléatoires et par des erreurs systématiques.
Pour toutes les erreurs, l’effet est l’augmentation de la valeur de l’erreur d’une mesure et la réduction de l’exactitude de cette mesure.
Expliquons maintenant ce que l’on entend par précision.
Il y a deux points clés à bien comprendre au sujet de la précision :
- La précision est une propriété d’un ensemble de mesures, et non pas d’une seule mesure.
- La précision est indépendante de l’exactitude, et par conséquent,
- des mesures exactes peuvent être précises ou imprécises,
- des mesures inexactes peuvent être précises ou imprécises.
Supposons que l’on effectue deux mesures successives de la longueur d’un objet. La longueur réelle de l’objet est de 15 millimètres, et toute variation de cette longueur pendant les mesures est largement inférieure à 1 millimètre.
Les mesures effectuées ne donnent cependant pas 15 mm mais plutôt 14 mm et 16 mm.
À présent, supposons que deux mesures successives de la longueur du même objet soient effectuées en utilisant une méthode ou un instrument différent. Les mesures effectuées ont pour valeurs 13 mm et 11 mm.
Le tableau suivant résume ces résultats.
| Longueur de la série de mesures A (mm) | Longueur de la série de mesures B (mm) |
|---|---|
| 14 | 13 |
| 16 | 11 |
Pour la série de mesures A, on peut voir que la valeur de l’erreur de chaque mesure est de 1 mm, chaque mesure étant différente de la valeur réelle de 1 mm.
Pour la série de mesures B, on peut voir que la valeur de l’erreur de la première mesure est de 2 mm et la valeur de l’erreur de la deuxième mesure est de 4 mm.
De manière évidente, les mesures de la série de mesure B sont moins exactes que celles de la série A.
Il est important de noter que dans les deux séries de mesures, la valeur de chaque mesure effectuée est différente. Il a été dit précédemment que toute variation de la longueur de l’objet était largement inférieure à 1 mm, de sorte que les différences entre les valeurs mesurées dans les deux séries soient dues uniquement à une erreur dans les mesures.
La précision de chaque série de mesures est définie par la proximité des valeurs des mesures dans la série, quelle que soit leur exactitude.
Pour la série de mesures A, la différence entre la plus grande et la plus petite valeur est de
Pour la série de mesures B, la différence entre la plus grande et la plus petite valeur est de
La précision de chaque série de mesures est la même.
Supposons qu’une autre série de mesures, la série de mesures C, comprennent deux valeurs qui soient toutes deux de 50 mm.
| Longeur de la série de mesure C (mm) |
|---|
| 50 |
| 50 |
La série de mesures C est en effet très inexacte, mais est plus précise que les séries de mesures A ou B.
Supposons aussi qu’il y ait une autre série de mesures, la série de mesures D, qui contient deux valeurs : 0 mm et 30 mm.
| Longueur de la série de mesure D (mm) |
|---|
| 0 |
| 30 |
La série de mesure D est très imprécise. De plus, chaque mesure dans la série de mesure D est très inexacte.
Il convient de noter, cependant, que la valeur moyenne de la série de mesure D est de et que la valeur moyenne de la série de mesure A est de
Ici, on constate que les valeurs moyennes des séries de mesure A et D ont la même exactitude.
Regardons maintenant un exemple dans lequel l’exactitude et la précision sont comparées.
Exemple 1: Différencier l’exactitude et la précision d’un ensemble de valeurs
La figure ci-dessous illustre plusieurs cibles et quatre séries de tirs, A, B, C et D. Les tirs visaient tous le centre de la cible.
- Quelle série de tirs est à la fois exacte et précise ?
- Quelle série de tirs n’est ni exacte ni précise ?
- Quelle série de tirs est exacte mais pas précise ?
- Quelle série de tirs est précise mais pas exacte ?
Réponse
On peut déterminer l’exactitude d’une série de résultats en fonction de la distance qui les sépare du centre de la cible. On peut faire ceci soit pour chaque tir individuel contenu dans une série, soit pour la moyenne de tous les tirs d’une série.
On voit immédiatement que pour les séries B et D, tous les tirs sont dans les anneaux bleu ou blanc, donc assez éloignés du centre. Ces tirs ne sont pas exacts donc les séries B et D ne sont pas exacts.
On voit tout de suite que pour la série A, tous les tirs sont proches du centre. La série A est exacte.
Pour la série C, deux tirs sur trois sont sur l’anneau rouge et l’autre sur l’anneau bleu. Les tirs de la série C sont moins exacts que ceux de l’ensemble A, mais plus exacts que ceux des séries B et D. De plus, on peut considérer la moyenne des tirs de la série C en prenant le point qui est équidistant de tous les tirs dans la série C, comme le montre la figure suivante.
On observe que le point correspondant à la moyenne des tirs de la série C se situe juste au-dessus du centre. On peut dire que l’exactitude de la série C est plus proche de celle de la série A que de celle de la série B ou D, et on peut donc affirmer que la série C est exact.
On peut ensuite déterminer la précision d’une série de tirs par la proximité des tirs les uns par rapport aux autres. Les séries où les tirs sont proches sont les ensembles A et B. Dans les ensembles C et D, les tirs sont plus éloignés les uns des autres.
On peut résumer ce que l’on a déduit dans un tableau.
| Série | Exactitude | Précision |
|---|---|---|
| (A) | Haute | Haute |
| (B) | Faible | Haute |
| (C) | Haute | Faible |
| (D) | Faible | Faible |
On voit alors que
- la série qui est à la fois exacte et précise est la série A,
- la série qui n’est ni exacte ni précise est la série D,
- la série qui est exacte mais pas précise est la série C,
- la série qui est précise mais pas exacte est la série B.
Étudions maintenant un exemple dans lequel on étudie l’effet des erreurs de mesure sur l’exactitude et la précision.
Exemple 2: Différencier l’effet des erreurs systématiques sur l’exactitude et la précision des mesures
Laquelle des affirmations suivantes décrit le mieux comment les erreurs de mesure systématiques affectent l’exactitude et la précision des mesures ?
- Les erreurs systématiques diminuent l’exactitude des mesures.
- Les erreurs systématiques diminuent à la fois l’exactitude et la précision des mesures.
- Les erreurs systématiques diminuent la précision des mesures.
- Les erreurs systématiques n’affectent ni l’exactitude ni la précision des mesures.
Réponse
En répondant à cette question, on suppose que l’on ne considère que le type d’erreur systématique le plus simple, pour lequel la valeur de l’erreur d’une mesure est modifiée de la même quantité pour toutes les mesures effectuées.
On peut utiliser l’analogie consistant à viser une cible pour effectuer une mesure, où plus un tir est proche du centre de la cible, plus la mesure est précise. La figure suivante illustre trois tirs sur une cible représentant des mesures.
Une erreur dans une mesure est représentée par une augmentation de la distance entre le centre de la cible et un tir. Pour les erreurs systématiques, la valeur de l’erreur est la même pour chaque mesure. Ceci est représenté par les tirs se déplaçant tous de la même distance et dans la même direction, comme le montre la figure suivante.
L’effet de l’erreur systématique sur les tirs est d’éloigner tous les tirs du centre de la cible. L’exactitude des mesures représentées par les tirs est maintenant bien moins bonne, on peut alors conclure qu’une erreur systématique diminue l’exactitude des mesures.
On peut comparer les positions des tirs avec ou sans erreur systématique, comme le montre la figure suivante.
On voit que le triangle qui relie les trois tirs sans erreur est le même que celui qui relie les tirs ayant une erreur. Ceci nous indique que les distances relatives des tirs les uns par rapport aux autres n’ont pas été modifiées par l’erreur systématique. On peut alors conclure qu’une erreur systématique ne change pas la précision d’une série de mesures.
La bonne réponse est donc que les erreurs systématiques diminuent l’exactitude des mesures.
Voyons à présent un autre exemple similaire.
Exemple 3: Différencier l’effet des erreurs aléatoires sur l’exactitude et sur la précision des mesures
Laquelle des affirmations suivantes décrit le mieux la manière dont les erreurs de mesure aléatoires affectent l’exactitude et la précision des mesures ?
- Les erreurs aléatoires diminuent à la fois l’exactitude et la précision des mesures.
- Les erreurs aléatoires diminuent l’exactitude des mesures.
- Les erreurs aléatoires diminuent la précision des mesures.
- Les erreurs aléatoires n’affectent ni l’exactitude ni la précision des mesures.
Réponse
On peut utiliser l’analogie consistant à viser une cible pour effectuer une mesure, où plus un tir est proche du centre de la cible, plus la mesure est précise. La figure suivante illustre trois tirs sur une cible représentant des mesures.
Une erreur dans une mesure est représentée par une augmentation de la distance entre le centre de la cible et un tir. Pour les erreurs aléatoires, la valeur de l’erreur est différente pour chaque mesure. Ceci est représenté par les tirs se déplaçant tous de différentes distances et dans différentes directions, comme indiqué sur la figure suivante.
L’effet de l’erreur aléatoire sur les tirs est d’éloigner tous les tirs du centre de la cible. L’exactitude des mesures représentées par les tirs est maintenant bien moins bonne, on peut donc conclure qu’une erreur aléatoire diminue l’exactitude des mesures.
On peut comparer les positions des tirs avec et sans l’erreur aléatoire, comme le montre la figure suivante.
On voit que le triangle qui relie les trois tirs sans erreur est très différent du triangle qui relie les tirs avec erreur. Cela nous indique que les distances des tirs les uns par rapport aux autres ont été modifiées par l’erreur aléatoire. On peut donc conclure qu’une erreur aléatoire modifie la précision d’une série de mesures.
La bonne réponse est donc que les erreurs aléatoires diminuent à la fois l’exactitude et la précision des mesures.
Étudions maintenant un exemple qui explique l’utilité de mesures répétées.
Exemple 4: Identifier l’utilité de mesures répétées
Lorsqu’on effectue une mesure, pourquoi est-il recommandé de le faire plusieurs fois puis de calculer la moyenne des valeurs ?
- pour réduire l’effet des erreurs sur les mesures individuelles
- parce que la moyenne des mesures correspond à la valeur réelle de la mesure
- pour éliminer toute erreur de mesure dans les mesures individuelles
- pour augmenter la précision de la mesure
Réponse
Supposons qu’on effectue une mesure. Il est possible que la valeur mesurée comprenne une erreur aléatoire qui génère une certaine valeur d’erreur. L’amplitude de la valeur de l’erreur est inconnue.
Supposons maintenant que la même mesure soit répétée plusieurs fois.
On peut utiliser l’analogie consistant à viser une cible pour effectuer une mesure, où plus un tir est proche du centre de la cible, plus la mesure est exacte.
Si plusieurs mesures sont effectuées, l’effet de l’erreur aléatoire rend chaque valeur mesurée différente. Ceci est représenté sur la figure suivante.
Cette représentation montre quels sont les résultats les plus proches du centre et indique donc clairement quelles valeurs mesurées sont les plus proches de la valeur réelle. Ce qui est trompeur dans cette représentation, c’est que la valeur réelle de ce qui est mesuré n’est pas connue, de sorte que les mêmes tirs pourraient être répartis de manière toute aussi plausible plus loin de la cible, comme le montre la figure suivante.
On doit donc considérer que chaque mesure puisse avoir potentiellement la même valeur que la valeur réelle.
Si on suppose que chaque mesure est toute aussi susceptible de donner la valeur réelle, la figure suivante montre la distance entre chaque tir et la valeur réelle (qui est inconnue).
La figure suivante montre les erreurs d’abord sous forme de distances par rapport au centre, puis sous la forme d’un ensemble de flèches qui partent de différents points. Dans les deux cas, le même ensemble de flèches est illustré.
Chacune de ces flèches peut être décomposée par une flèche verticale et une flèche horizontale, comme indiqué sur la figure suivante.
On peut considérer uniquement ces flèches verticales et horizontales.
Ces flèches peuvent être séparées en flèches verticales et flèches horizontales pointant vers le haut, le bas, la gauche ou la droite. Ces flèches peuvent être juxtaposées tête à queue.
La longueur moyenne des flèches pointant vers le haut, le bas, la gauche et la droite peut être calculée. Ceci est illustré par la figure suivante.
Les flèches moyennes horizontales et verticales peuvent être additionnées, tel que la longueur d’une flèche vers le bas est soustraite de la longueur d’une flèche vers le haut, et la longueur d’une flèche vers la gauche est soustraite de la longueur d’une flèche vers la droite. Cela donne de très petites longueurs horizontales et verticales, indiquées en violet.
Les lignes violettes sont équivalentes à une flèche qui pointe dans un sens et qui a une longueur.
La flèche résultante est très courte. Cette flèche peut maintenant être tracée avec sa queue sur le centre de la cible. La distance entre la tête de la flèche et le centre de la cible représente l’erreur qui résulte de la moyenne de toutes les mesures effectuées.
On voit que l’erreur due à la moyenne de toutes les mesures est très petite, et même beaucoup plus petite que l’erreur de la mesure la plus proche de la valeur réelle.
Il est important de noter que la moyenne de toutes les mesures n’est pas exactement égale à la valeur réelle. La moyenne comporte une petite valeur d’erreur, mais cette valeur d’erreur est beaucoup plus petite que la valeur de l’erreur d’une seule mesure.
La proposition qui décrit le mieux cela est : la moyenne des lectures répétées permet de réduire l’effet des erreurs dans les lectures individuelles.
Résumons à présent ce que l’on a appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- La valeur de l’erreur d’une mesure est la différence entre la valeur mesurée et la valeur réelle.
- Plus l’erreur est faible, plus la mesure est exacte.
- Les erreurs de mesure comportent des erreurs aléatoires, des erreurs systématiques et des erreurs de zéro.
- Les erreurs aléatoires modifient les valeurs mesurées différemment pour chaque mesure effectuée.
- Les erreurs systématiques modifient toutes les valeurs mesurées de la même façon.
- Une valeur de mesure non nulle pour une valeur étant réellement de zéro est qualifiée d’erreur de zéro.
- La précision s’applique à une série de mesures.
- Plus les différences entre les valeurs d’une série de valeurs mesurées sont petites, plus les mesures sont précises.
- Effectuer la moyenne des mesures répétées pour une même grandeur peut réduire considérablement l’inexactitude due à l’erreur aléatoire.
