Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter un vecteur dans l'espace en utilisant un repère cartésien à trois dimensions.
Nous allons voir comment déterminer les composantes d’un vecteur qui relie deux points dans l’espace à trois dimensions en utilisant les coordonnées connues de ces points, et comment effectuer l’addition et la soustraction de vecteurs. Nous allons ensuite trouver les coordonnées d’un point inconnu connaissant les coordonnées d’un point et les composantes du vecteur connu défini par les deux points. Enfin, nous nous allons déterminer les composantes d’un vecteur en trois dimensions qui est représenté graphiquement.
Le sens d’un vecteur est représenté visuellement par une flèche. Un vecteur a une origine (point de départ) et une extrémité (point d’arrivée). Commençons par la définition des vecteurs unitaires.
Définition : Vecteurs unitaires
Un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1. Les vecteurs unitaires dans la direction des axes des , et sont notés , et respectivement.
Tout vecteur peut être exprimé sous la forme . On peut, alternativement, l'écrire sous forme de composantes comme suit : et .
Dans le premier exemple, nous allons nous intéresser aux vecteurs unitaires dans la direction de l’un des axes d’un repère.
Exemple 1: Déterminer le vecteur unitaire dans la direction de l’axe des 𝑦
Déterminez le vecteur unitaire dans la direction de l’axe des .
Réponse
On considère le repère à trois dimensions, ayant pour origine le point . Tout vecteur peut être exprimer sous la forme , où , et sont les composantes du vecteur dans chacune de ces directions. Les vecteurs unitaires dans chacune de ces directions positives sont notés par , , et respectivement.
Les vecteurs unitaires ont une norme de 1, de plus, on sait que le vecteur unitaire que nous recherchons se déplace dans la direction de l’axe des . Nous pouvons choisir l’origine du repère comme point de départ de notre vecteur, comme montré sur la figure suivante, l’origine du repère a pour coordonnées .
Nous pouvons voir sur notre schéma que le vecteur se déplace entièrement dans la direction de l’axe des , cela signifie que ses composantes en et doivent être nulle. Si et , alors, pour que notre vecteur soit de norme (longueur) égale à 1 et de sens positif, il en découle que sa composante en doit être égal à 1.
Par conséquent, le vecteur unitaire , dans la direction de l’axe des , est égal à .
De même, le vecteur unitaire dans la direction de l’axe des est égal à et le vecteur unitaire dans la direction de l’axe des est égal à .
Nous allons maintenant considérer un vecteur quelconque dont le point de départ se situe à l’origine du repère.
Dans la figure ci-dessous, le point a pour coordonnées et le vecteur a pour point de départ l’origine du repère et pour extrémité le point .
En partant de l’origine, on se déplace de 2 unités dans le sens positif de l’axe des , de 5 unités dans le sens positif de l’axe des et de 3 unités dans le sens positif de l’axe des ; donc le vecteur .
Définition : Vecteur partant de l’origine du repère
Si le point a pour coordonnées , alors où les composantes , et correspondent aux déplacements à effectuer par le point dans les directions des axes des , et respectivement.
Le sens du vecteur est important, car le vecteur part de l’origine et arrive au point , alors qu’a l’inverse, le vecteur part du point et arrive à l’origine. Cela signifie que les vecteurs auront des sens opposés et chacune de leurs composantes seraient de signe opposé.
Si , alors .
Définition : Vecteurs de sens opposés
Pour tout point ,
Cela signifie que et si , alors .
Nous allons voir maintenant comment déterminer une expression pour un vecteur défini par deux points quelconques donnés dans l’espace à trois dimensions.
Exemple 2: Comprendre la notion de vecteur défini par deux points donnés
Laquelle des expressions suivantes est égale au vecteur ?
Réponse
Commençons par considérer deux points distincts, et dans l’espace, comme indiqué sur la figure.
On veut construire le vecteur qui va du point au point , qui est noté :
Pour ce faire, on peut partir de l’origine du repère comme le montre la figure ci-dessous. On peut aller du point au point , puis du point au point :
Cela peut être exprimer par l’équation suivante en utilisant des vecteurs :
Pour tout point , .
On peut utiliser cette propriété pour réécrire l’équation comme suit :
Tout vecteur partant de l’origine du repère à un point donné dans l’espace, possède des composantes en , et égales aux coordonnées de ce point, par conséquent, et .
Cela nous permet de réécrire de nouveau notre équation :
La bonne réponse est donc C.
Les coordonnées du point et les composantes du vecteur sont identiques, mais il est important de noter que l’un est un point et l’autre est un vecteur. On peut généraliser à tout vecteur le fait que le vecteur peut être déterminé en soustrayant le vecteur au vecteur .
Cela nous amène à établir la règle suivante, lorsqu’il s’agit du vecteur défini par deux points.
Définition : Vecteur défini par deux points
Le vecteur défini par deux points quelconques et est donné par
Le sens du vecteur est important. On sait que et sont de norme égale mais de sens opposés. Ainsi, en additionnant ces deux vecteurs, on obtient un déplacement nul, cette propriété nous donne un résultat utile.
Définition: Vecteurs de sens opposés
Pour deux points quelconques dans l’espace, et ,
Cela signifie que
Dans le prochain exemple, nous allons calculer les composantes d’un vecteur défini par deux points donnés dans l’espace.
Exemple 3: Déterminer le vecteur défini par deux points donnés
Soient et , déterminez .
Réponse
On se souvient qu’on a généralisé le fait que, pour deux points quelconques et , on peut déterminer le vecteur en soustrayant le vecteur au vecteur :
Cela signifie :
Ainsi, le vecteur allant de à est donnée par .
Nous allons maintenant établir l’équation générale pour un vecteur position.
Définition : Équation pour un vecteur position
Soient deux points quelconques et , avec l’origine ,
On peut ajouter aux deux membres de l’équation et obtenir ainsi
Dans le quatrième exemple, nous allons trouver le vecteur position d’un point inconnu en utilisant le vecteur position d’un point connu et les composantes du vecteur défini par les deux points.
Exemple 4: Déterminer le vecteur position d’un point, étant donné le vecteur le reliant à un autre point donné
Soient et , exprimez en fonction des vecteurs unitaires.
Réponse
Rappelons que pour deux points quelconques et , on généralise le fait qu’on peut déterminer le vecteur en soustrayant le vecteur au vecteur :
On ajoute aux deux membres de l’équation et on obtient
Pour additionner des vecteurs, on additionne leurs composantes correspondantes.
En substituant les composantes de et dans notre équation, on obtient
Par conséquent, .
Dans les deux derniers exemples, nous allons déterminer les composantes d’un vecteur en trois dimensions représenté graphiquement.
Exemple 5: Déterminer les composantes d’un vecteur de position en trois dimensions à l’aide de sa représentation graphique
En utilisant le graphique, écrivez le vecteur sous forme de composantes.
Réponse
On peut voir sur la figure ce point a pour coordonnées , comme on se déplace de 2 unités dans le sens positif de l’axe des , de 3 unités dans le sens positif de l’axe des et de 4 unités dans le sens positif de l’axe des .
Le vecteur a pour point de départ l’origine du repère, et pour point d’arrivée le point . Cela signifie que . Les composantes en , et du vecteur sont donc égales aux coordonnées correspondantes du point :
Exemple 6: Déterminer les composantes d’un vecteur en trois dimensions à l’aide de sa représentation graphique
Écrivez le vecteur sous forme de composantes en utilisant la figure ci-dessous.
Réponse
On rappelle que le vecteur défini par deux points quelconques et est donnée par
On voit sur la figure que le sommet a pour coordonnées et que le sommet a pour coordonnées .
Par conséquent,
Alternativement, on peut résoudre ce problème en utilisant les vecteurs position. On sait que le vecteur peut être calculé en soustrayant le vecteur ou au vecteur ou :
Le sommet a pour coordonnées , ce qui signifie que . De même, le sommet a pour coordonnées , ce qui signifie que .
Par conséquent,
En soustrayant les composantes correspondantes, on obtient
De plus, si on observe la figure donnée, on s’aperçoit que le cube représenté est de côté 3, alors, chaque composante du vecteur doit être égale à 3, ce qui valide donc nos réponses précédentes en confirmant que .
Nous terminons cette fiche explicative en récapitulant les points clés à retenir.
Points clés
- Un vecteur dans l’espace à trois dimensions peut être écrit sous forme de composantes, , ou en fonction des vecteurs unitaires, .
- Le vecteur qui a pour point d’arrivée le point dans l’espace et pour point de départ l’origine du repère, peut être noté ou , et aura des composantes égales aux coordonnées du point .
- Le vecteur défini par deux points et , noté , peut être calculé en soustrayant le vecteur au vecteur tel que .
