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Fiche explicative de la leçon : Impulsion et quantité de mouvement Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre la relation entre l’impulsion transmise à un corps et la variation de sa quantité de mouvement.

D’après la seconde loi de Newton, lorsqu’une force constante agit sur un corps, elle provoque son accélération, ce qui signifie que le vecteur vitesse du corps varie. Nous allons maintenant introduire une nouvelle grandeur, l’impulsion, qui prend en compte le temps pendant lequel la force agit.

Définition : Impulsion

L’impulsion 𝐼 est égale à l’intégrale d’une force 𝐹 sur un intervalle de temps [𝑡;𝑡] pendant lequel la force agit:𝐼=𝐹𝑡.d

Définissons maintenant la quantité de mouvement d’un corps.

Définition : Quantité de mouvement d’un corps

La quantité de mouvement d’un corps est définie par 𝑝=𝑚𝑣,𝑚 est la masse du corps et 𝑣 est le vecteur vitesse du corps.

On remarque que la quantité de mouvement d’un corps est proportionnelle à sa masse et à son vecteur vitesse.

En outre, la quantité de mouvement d’un corps est une grandeur vectorielle qui a le même sens que le vecteur vitesse du corps. Si une force résultante 𝐹 agit sur un corps de masse constante 𝑚, alors d’après la deuxième loi du mouvement de Newton, l’accélération du corps est proportionnelle à la force et inversement proportionnelle à la masse, ce que l’on peut exprimer par la formule 𝐹=𝑚𝑎, ou 𝑎=𝐹𝑚,𝑎 est l’accélération du corps.

Comme 𝑎=𝑣𝑡dd, on a 𝐹=𝑚𝑣𝑡.dd

Et puisque 𝑝=𝑚𝑣 et que 𝑚 est constante, la relation ci-dessus peut être reformulée par 𝐹=𝑝𝑡.dd

Intégrer les deux membres de l’équation sur l’intervalle de temps [𝑡;𝑡] donne 𝐹𝑡=𝑝𝑡𝑡𝐼=[𝑝]𝐼=𝑝𝑝𝐼=Δ𝑝𝐼=𝑚(𝑣𝑣),dddd𝑣=𝑣(𝑡) est la vitesse du corps avant que la force n’agisse sur lui et 𝑣=𝑣(𝑡) est la vitesse du corps une fois que la force a cessé d’agir sur lui.

Propriété : Impulsion et variation de quantité de mouvement

Pour un corps de masse constante, l’impulsion produite par l’action d’une force pendant un intervalle de temps est égale à la variation de la quantité de mouvement du corps:𝐼=Δ𝑝.

Supposons qu’un corps de masse constante se déplaçant à une vitesse constante heurte un mur puis rebondisse.

Le cas le plus intuitif d’une impulsion transmise à un corps est peut-être celui où le corps se déplace après un choc à une vitesse constante dans le sens opposé à celui dans lequel il se déplaçait avant le choc. La figure suivante illustre cette situation.

Pour des cas comme celui-ci, il n’est pas nécessaire de connaître la durée pendant laquelle la force agit sur le corps, il suffit de connaître les vecteurs vitesses initial et final du corps.

Étudions un exemple d’un tel cas.

Exemple 1: Déterminer l’impulsion transmise à une sphère se déplaçant sur un plan lisse horizontal après un choc avec un mur

Une sphère lisse de masse 1‎ ‎412 g se déplaçait en ligne droite horizontale à une vitesse de 13,5 m/s quand elle a heurté un mur vertical lisse puis a rebondi à une vitesse de 9 m/s. Déterminez la norme de l’impulsion exercée sur la sphère.

Réponse

L’impulsion due à la force qui agit sur la sphère lorsqu’elle rebondit provoque une variation la quantité de mouvement de la sphère. On peut déterminer la variation de la quantité de mouvement à partir des quantités de mouvement de la sphère avant et après son rebond.

Avant de rebondir, la quantité de mouvement de la sphère est 𝑝=𝑚𝑣.

Étant donné que la sphère se déplace sur une ligne horizontale, la composante de la quantité de mouvement 𝑝 le long de l’axe horizontal est 𝑝=𝑚𝑣,𝑣 est la composante du vecteur vitesse de la sphère le long de l’axe horizontal avant qu’elle ne touche le mur.

On utilise généralement les kilogrammes-mètres par seconde (kg⋅m/s) pour la quantité de mouvement, on convertit donc la masse de la sphère de 1‎ ‎412 grammes en 1,412 kilogramme.

On suppose alors que le sens du vecteur vitesse de la sphère avant le rebond est positif, ce qui donne une quantité de mouvement initiale de la sphère de 𝑝=1,412(13,5)=19,062/.kgms

Après rebond, la composante de la quantité de mouvement de la sphère le long de l’axe horizontal est définie par 𝑝=𝑚𝑣,𝑣 est la composante du vecteur vitesse de la sphère le long de l’axe horizontal après le rebond. Mais comme le mouvement de la sphère a changé de sens, la composante du vecteur vitesse est à présent négative:𝑝=1,412(9)=12,708/.kgms

L’impulsion due à la force est égale à la variation de la quantité de mouvement de la sphère, 𝐼=Δ𝑝=𝑝𝑝=12,70819,062=31,77/.kgms

Le sens de l’impulsion est opposé à celui du vecteur vitesse initial de la sphère. La norme de la variation de la quantité de mouvement de la sphère est égale à la norme de l’impulsion sur la sphère:31,77 kg⋅m/s.

Notons qu’il n’est pas nécessaire de connaître l’intervalle de temps pendant lequel la sphère était en contact avec le mur pour pouvoir calculer l’impulsion, celle-ci est en effet égale à la variation de la quantité de mouvement et on peut donc la déterminer à partir de la variation du vecteur vitesse de la sphère.

Une impulsion peut également être transmise à un corps quand il se déplace dans un milieu résistant. L’impulsion due au milieu résistant accélère le corps dans le sens opposé à celui de son vecteur vitesse, mais ne peut provoquer que le ralentissement du vecteur vitesse du corps vers une valeur minimale positive dans son sens initial;elle ne peut pas inverser le sens de son mouvement. L’impulsion due au milieu est transmise au corps tout au long de son mouvement dans le milieu. La figure suivante illustre cette situation.

Étudions maintenant un exemple où un milieu résistant transmet une impulsion à un corps.

Exemple 2: Déterminer la variation de la quantité de mouvement d’un corps due à la résistance de l’eau

Un corps de masse 5 kg initialement au repos est tombé verticalement. Il a atteint la surface de l’eau après 2,2 secondes. Une fois dans l’eau, il est descendu verticalement avec une vitesse moyenne telle qu’il a parcouru 3,9 m en 1,5 seconde. Déterminez la norme de la variation de sa quantité de mouvement due à la résistance de l’eau.

Réponse

Dans cette question, le corps se déplace en ligne droite, ce qui signifie que les grandeurs vectorielles telles que les forces, le déplacement, le vecteur vitesse et l’accélération sont en une dimension, le long de l’axe du mouvement. On peut donc utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) impliquant les composantes uniques de ces vecteurs. On suppose ici que le sens vers le bas est positif. Le vecteur vitesse du corps lorsqu’il atteint l’eau est défini par 𝑣=𝑢+𝑎𝑡,𝑢 est le vecteur vitesse initial du corps, 𝑎 est son accélération et 𝑡 est le temps pendant lequel il accélère.

Le corps est initialement au repos donc 𝑢 est nul. La valeur de 𝑎 est égale à l’accélération due la pesanteur sur la Terre, soit environ 9,8 m/s2. Avec ces valeurs, on a 𝑣=9,8(2,2)=21,56/.ms

Lorsque le corps se déplace dans l’eau, son vecteur vitesse varie. La question indique que le corps se déplace de 3,9 m vers le bas pendant un intervalle de temps de 1,5 seconde une fois qu’il est dans l’eau.

Lorsque le corps descend de 3,9 m en 1,5 seconde, son vecteur vitesse moyenne sur cet intervalle est défini par 𝑣=𝑠𝑡=3,91,5=2,6/.ms

L’impulsion sur le corps est alors définie par 𝐼=𝑚Δ𝑣.

En substituant les valeurs de la masse, du vecteur vitesse du corps quand il atteint l’eau et du vecteur vitesse moyenne du corps dans l’eau, on obtient 𝐼=𝑚(𝑣𝑣)=5(2,621,56)=94,8/.kgms

L’impulsion sur le corps est négative même si le corps continue à se déplacer dans le même sens avant et après que la force agisse sur lui. La force produisant l’impulsion réduit la norme du vecteur vitesse du corps dans le sens de son vecteur vitesse initial, c’est pourquoi l’impulsion est de signe opposé au vecteur vitesse initial.

La norme de la variation de la quantité de mouvement du corps est égale à la norme de l’impulsion sur le corps:94,8 kg⋅m/s.

Dans le premier exemple que nous avons étudié, l’impulsion était due à une force qui agissait pendant le contact entre un corps et un mur. Cette force a agi pendant un intervalle de temps indéterminé. Dans le deuxième exemple, l’impulsion était causée par une force due à la résistance d’un milieu. La force a agi tout au long du mouvement du corps dans le milieu.

Il est tout à fait possible de définir un intervalle de temps du contact entre le corps et le mur, même si cet intervalle est petit. Il est en fait nécessaire de connaître l’intervalle de temps du contact entre le corps et le mur pour pouvoir calculer la force de réaction du mur qui agit sur le corps.

Supposons qu’un corps se déplace d’un point 𝐴 à un point 𝐵, puis vers un point 𝐶, comme indiqué sur la figure suivante.

Le corps doit nécessairement accélérer à un moment donné de son mouvement puisqu’il change de sens. Si on ne connaît que les déplacements vers 𝐵 et vers 𝐶 à partir de 𝐴, on ne peut pas déterminer la norme de l’accélération du corps. On doit connaître le taux de variation du déplacement pour pouvoir calculer l’accélération de l’objet.

De même, on ne peut pas calculer l’intensité de la force agissant sur un corps et provoquant une variation de sa quantité de mouvement à partir de la variation de la quantité de mouvement uniquement;on doit connaître le taux de variation de la quantité de mouvement du corps pour pouvoir déterminer l’intensité de la force.

Si on connaît l’intervalle de temps pendant lequel la force agit, on peut calculer la force moyenne agissant pendant cet intervalle de temps. Étudions un exemple où nous devons déterminer une force moyenne sur un intervalle de temps.

Exemple 3: Déterminer la force de l’impact d’un corps qui tombe verticalement sur le sol et qui rebondit

Une sphère de masse 83 g est tombée verticalement d’une hauteur de 8,1 m sur un sol horizontal. Elle a rebondi et a atteint une hauteur de 3,6 m. Sachant que l’impact a duré 0,42 seconde et que l’accélération due à la pesanteur est de 9,8 m/s2, calculez l’intensité moyenne de la force de l’impact au centième près.

Réponse

Dans cette question, la sphère se déplace en ligne droite verticale, ce qui signifie que les grandeurs vectorielles telles que les forces, le déplacement, le vecteur vitesse et l’accélération sont en une dimension, le long de l’axe du mouvement. On peut donc utiliser les équations du MRUV impliquant les composantes uniques de ces vecteurs.

Pour pouvoir résoudre ce problème, nous devons supposer que la sphère était initialement au repos. En posant cette hypothèse, on peut déterminer le vecteur vitesse de la sphère lorsqu’elle atteint le sol en utilisant la formule 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠,𝑢 est nul et 𝑎 est égale à 9,8 m/s2. On définit l’accélération verticale vers le bas comme positive.

La valeur de 𝑣 est alors 𝑣=2(9,8)(8,1)=12,6/.ms

On peut utiliser la même formule pour déterminer le vecteur vitesse vers le haut de la sphère au sol, car le vecteur vitesse instantanée de la sphère est nul lorsqu’elle atteint sa hauteur maximale après le rebond. Lorsque la sphère rebondit, on peut définir le sens vertical vers le haut comme positif.

La valeur de 𝑢 lorsque la sphère atteint sa hauteur maximale est définie par 0=𝑢+2(9,8)(3,6).

Le sens vertical vers le haut est positif donc 𝑎 est négatif. On obtient alors 𝑢=2(9,8)(3,6)𝑢=8,4/.ms

La variation du vecteur vitesse de la sphère due à la force de son impact est Δ𝑣=8,4(12,6)=21/.ms

Le vecteur vitesse initial est dans le sens opposé au vecteur vitesse final, comme le vecteur vitesse final est défini comme positif, le vecteur vitesse initial est négatif.

La quantité de mouvement de la sphère est proportionnelle à sa masse. Lorsque le temps est mesuré en secondes et le déplacement en mètres, l’unité de la quantité de mouvement qui peut être directement utilisée pour déterminer une force en newtons est le kilogrammes-mètres par seconde (kg⋅m/s), on convertit donc la masse de 83 grammes en 0,083 kg. La variation de la quantité de mouvement de la balle est définie par Δ𝑝=𝑚Δ𝑣=0,083(21)=1,743/.kgms

En utilisant la formule 𝐼=𝐹Δ𝑡,moy et en rappelant que l’impulsion 𝐼 est égale à la variation de la quantité de mouvement, on trouve 1,743=𝐹Δ𝑡,moy sachant que la question indique que la durée de l’impact Δ𝑡 est de 0,42 s.

L’intensité de la force moyenne est donc de 𝐹=1,7430,42=4,15.moyN

Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer l’impulsion due à l’action de forces exprimées en fonction de leurs composantes.

Exemple 4: Déterminer l’impulsion transférée à un corps sur lequel trois forces exprimées en fonction de leurs composantes agissent pendant une durée donnée

Trois forces 𝐹=5𝑖2𝑗+2𝑘N, 𝐹=𝑗3𝑘N et 𝐹=𝑖5𝑗2𝑘N, 𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont trois vecteurs unitaires orthogonaux entre eux, ont agi sur un corps pendant 3 secondes. Déterminez la norme de l’impulsion due à ces trois forces sur le corps.

Réponse

Trois forces agissent sur le corps et on peut les additionner pour déterminer leur force résultante.

Dans le sens de 𝑖, la force résultante est définie par 5+01=6.N

Dans le sens de 𝑗, la force résultante est définie par 2+15=6.N

Dans le sens de 𝑘, la force résultante est définie par 232=3.N

La résultante de ces forces est donc la force 𝐹:𝐹=6𝑖6𝑗3𝑘.N

La norme de 𝐹 est alors 𝐹=(6)+(6)+(3)=81=9.N

L’impulsion due à 𝐹 est définie par 𝐼=𝐹Δ𝑡.

L’intervalle de temps pendant lequel 𝐹 agit est de 3 secondes, donc la norme de l’impulsion est 𝐼=𝐹Δ𝑡=9(3)=27.Ns

On aurait pu obtenir le même résultat en multipliant chaque composante de 𝐹 par Δ𝑡 comme suit:𝐼=𝐹Δ𝑡=((6)3)+((6)3)+((3)3)=729=27.Ns

L’impulsion due à une force est le produit de la force et de la durée pendant lequel la force agit, elle correspond donc à l’aire sous la courbe sur un graphique représentant la force en fonction du temps. Étudions un exemple impliquant un graphique représentant la force en fonction du temps.

Exemple 5: Calculer la norme de l’impulsion sur un corps à partir de la représentation graphique de la force en fonction du temps

Le graphique ci-dessous représente l’intensité d’une force agissant dans un sens constant sur un corps se déplaçant le long d’un plan lisse horizontal en fonction du temps. En utilisant les informations fournies, calculez la norme de l’impulsion due à la force.

Réponse

La norme de l’impulsion due à la force est le produit de la force et de la durée pendant laquelle elle agit.

L’aire d’un trapèze est définie par 𝐴=𝑎+𝑏2,𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des côtés parallèles et est la distance perpendiculaire entre eux.

En observant le graphique, on voit que 𝑎=7020=50,𝑏=800=80,=900=90.

L’aire du trapèze est donc 𝐴=50+802(90)=5850.

L’impulsion due à la force est égale à cette aire, par conséquent 𝐼=5850/.Ns

Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer l’impulsion due à une force qui varie en fonction du temps.

Exemple 6: Déterminer la norme de l’impulsion due à une force agissant sur un corps pendant une durée donnée en utilisant l’expression de la force en fonction du temps

Le graphique ci-dessous représente l’intensité d’une force en fonction du temps. À l’instant 𝑡secondes, 𝑡0, l’intensité de la force est définie par 𝐹=(𝑡2)N. Calculez l’impulsion pendant les quatre premières secondes.

Réponse

L’impulsion due à la force pendant les quatre premières secondes correspond à l’aire entre la courbe de l’intensité de la force et l’axe du temps entre 𝑡=0 et 𝑡=4. On peut calculer cette aire grâce à l’intégration, en utilisant la formule 𝐼=𝐹𝑡,d où dans ce cas 𝐹=(𝑡2),𝑡=0,𝑡=4.

En substituant ces expressions, on a 𝐼=(𝑡2)𝑡.d

On peut calculer cette intégrale avec un changement de variable.

On définit pour cela 𝑢=𝑡2.

On a alors dddd𝑢𝑡=1𝑢=𝑡.

On peut exprimer les bornes de l’intégrale en fonction de 𝑢 donc lorsque 𝑡=0,𝑢=02=2 et lorsque 𝑡=4,𝑢=42=2.

On trouve alors 𝐼=(𝑡2)𝑡=𝑢𝑢,𝐼=(𝑡2)𝑡=(𝑢)3|||,𝐼=(2)3(2)3=8383=163.dddNs

Points clés

  • L’impulsion 𝐼 est égale à l’intégrale d’une force 𝐹 sur un intervalle de temps [𝑡;𝑡] pendant lequel la force agit:𝐼=𝐹𝑡.d
  • Pour une force constante 𝐹 agissant pendant un intervalle de temps Δ𝑡, l’impulsion est définie par 𝐼=𝐹Δ𝑡.
  • Pour une force d’intensité moyenne 𝐹moy agissant pendant un intervalle de temps Δ𝑡, l’impulsion est définie par 𝐼=𝐹Δ𝑡.moy
  • Pour un corps de masse constante, 𝐼=Δ𝑝=𝑚(𝑣𝑣),𝑣=𝑣(𝑡) est le vecteur vitesse du corps avant que la force n’agisse sur lui et 𝑣=𝑣(𝑡) est le vecteur vitesse du corps lorsque la force a cessé d’agir sur lui.

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