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Fiche explicative de la leçon: Produit matriciel Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les conditions du produit matriciel, et à calculer le produit de deux matrices, si cela est possible.

Commençons par rappeler la multiplication par un scalaire, qui est beaucoup plus simple que le produit matriciel. La multiplication par un scalaire consiste à multiplier une matrice par un scalaire (ou un nombre). Par exemple, considérons la matrice 𝐴=2132.

Si on voulait multiplier cette matrice par un scalaire 2, on multiplierait chacune des composantes de la matrice par 2:2×𝐴=2×22×12×32×2=4264.

Nous pouvons voir que multiplier une matrice par un scalaire est simple. Cependant, il est beaucoup plus compliqué de multiplier une matrice par une autre matrice. Avant de pouvoir discuter de la manière de multiplier une matrice par une autre matrice, nous devons comprendre quand il est possible de multiplier une paire de matrices.

Rappelons que l’ordre d’une matrice est donné par ()×().nombredelignesnombredecolonnes

Par exemple, une matrice avec 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes est dite une matrice 𝑚×𝑛. Pour multiplier une paire de matrices, leurs ordres doivent être compatibles.

Règle : Critère pour le produit matriciel

Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices. Pour calculer le produit matriciel 𝐴×𝐵, le nombre de colonnes dans 𝐴 doit être égal au nombre de lignes dans 𝐵. Si 𝐴 est une matrice 𝑚×𝑛 pour certains entiers positifs 𝑚 et 𝑛, 𝐵 doit être une matrice 𝑛×𝑝 pour un certain entier positif 𝑝. Dans ce cas, 𝐴×𝐵 est une matrice 𝑚×𝑝.

D’après ce critère pour le produit matriciel, nous pouvons voir que 𝐴×𝐵 n’est pas pareille que 𝐵×𝐴 pour les matrices 𝐴 et 𝐵. En fait, il est possible que l’un d’eux soit défini alors que l’autre ne l’est pas. Par exemple, disons que les matrices 𝐴 et 𝐵 sont de dimensions 1×2 et 2×3 respectivement. Alors, le nombre de colonnes de 𝐴 est égal au nombre de lignes de 𝐵, ce qui signifie que le produit matriciel 𝐴×𝐵 est défini. En revanche, le nombre de colonnes de 𝐵 n’est pas égal au nombre de lignes de 𝐴. Cela signifie que le produit matriciel 𝐵×𝐴 n’est pas défini. Cela nous indique que le produit matriciel n’est pas commutatif, ce qui signifie que l’ordre des matrices dans le produit matriciel ne peut pas être modifié.

Dans le premier exemple, nous allons trouver l’ordre d’une matrice résultant d’un produit matriciel.

Exemple 1: Ordre des matrices dans le produit matriciel

Complétez:si 𝐴 est une matrice de dimension 2×3 et que 𝐵 est une matrice de dimension 1×3, alors la matrice 𝐴𝐵 est de dimension .

  1. 3×1
  2. 2×1
  3. 1×2
  4. 3×2

Réponse

Rappelons que le nombre de colonnes dans la matrice 𝐴 doit être égal au nombre de lignes dans la matrice 𝐵 pour calculer le produit matriciel 𝐴×𝐵. On rappelle aussi que l’ordre d’une matrice est donné par ()×().nombredelignesnombredecolonnes

Comme l’ordre de la matrice 𝐴 est 2×3, cela nous indique que le nombre de colonnes dans la matrice 𝐴 vaut 3. L’ordre de 𝐵 est 1×3, ce qui signifie que la matrice 𝐵 a 1 ligne et 3 colonnes. 𝐵 est la transposée de 𝐵, et on sait que la transposée d’une matrice transforme les lignes de la matrice en colonnes de sa transposée. Comme la transposée de 𝐵 a 1 ligne et 3 colonnes, la matrice 𝐵 doit avoir 3 lignes et 1 colonne. Cela nous indique que le nombre de colonnes dans la matrice 𝐴 et le nombre de lignes dans la matrice 𝐵 sont tous deux égaux à 3, ce qui signifie que le produit matriciel est valide.

Rappelons que la multiplication d’une matrice de dimension 𝑚×𝑛 par une matrice de dimension 𝑛×𝑝 conduit à une matrice de dimension 𝑚×𝑝. Dans cet exemple, nous multiplions une matrice 2×3 par une matrice 3×1. Cela signifie 𝑚×𝑛=2×3,𝑛×𝑝=3×1.

Par conséquent, 𝑚=2, 𝑛=3 et 𝑝=1. L’ordre de la matrice 𝐴𝐵 est 𝑚×𝑝=2×1. C’est l’option B.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons l’ordre d’une matrice multipliée, en fonction de l’ordre de la matrice du produit ainsi que l’ordre de l’autre matrice.

Exemple 2: Ordre des matrices dans le produit matriciel

Complétez:si la matrice 𝐴 est de dimension 2×3 et la matrice 𝐴𝐵 est de dimension 2×1, alors la matrice 𝐵 est de dimension .

  1. 1×3
  2. 2×1
  3. 1×2
  4. 3×1

Réponse

Rappelons que le nombre de colonnes dans la matrice 𝐴 doit être égal au nombre de lignes dans la matrice 𝐵 pour calculer le produit matriciel 𝐴×𝐵. On rappelle aussi que l’ordre d’une matrice est donné par ()×().nombredelignesnombredecolonnes

Comme l’ordre de la matrice 𝐴 est 2×3, cela nous indique que le nombre de colonnes dans la matrice 𝐴 est 3. Ce nombre doit être égal au nombre de lignes dans la matrice 𝐵. Par conséquent, le nombre de lignes dans la matrice 𝐵 doit être égal à 3.

On rappelle aussi que le nombre de lignes dans la matrice 𝐴𝐵 est égal au nombre de lignes dans la matrice 𝐴, de même le nombre de colonnes dans 𝐴𝐵 est égal au nombre de colonnes dans la matrice 𝐵. On nous dit que cette matrice 𝐴 est de dimension 2×3 et que la matrice 𝐴𝐵 est de dimension 2×1, et on peut voir que les nombres de lignes dans les matrices 𝐴 et 𝐴𝐵 sont les mêmes. Puisque la matrice 𝐴𝐵 a 1 colonne, cela nous indique que le nombre de colonnes dans 𝐵 doit être égal à 1.

Par conséquent, la matrice 𝐵 est de dimension 3×1. C’est l’option D.

Dans l’exemple suivant, nous allons vérifier le critère du produit matriciel pour déterminer si le produit matriciel donné est bien défini.

Exemple 3: Déterminer le produit de deux matrices données

Sachant que 𝐴=512343,𝐵=1254, déterminez 𝐴𝐵 si possible.

Réponse

Rappelons que le nombre de colonnes dans la matrice 𝐴 doit être égal au nombre de lignes dans la matrice 𝐵 pour calculer le produit matriciel 𝐴×𝐵. On rappelle aussi que l’ordre d’une matrice est donné par ()×().nombredelignesnombredecolonnes

On peut voir que cette matrice 𝐴 a 2 lignes et 3 colonnes et que la matrice 𝐵 a 2 lignes et 2 colonnes. Puisque le nombre de colonnes dans 𝐴 n’est pas égal au nombre de lignes dans la matrice 𝐵, le produit matriciel 𝐴𝐵 est indéfini.

Dans les exemples précédents, nous avons considéré la propriété de l’ordre des matrices dans le produit matriciel. Maintenant que nous savons quand une paire de matrices peut être multipliée, examinons comment multiplier les matrices. Le produit matriciel le plus simple est la multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne.

Comment : Multiplier les matrices lignes par les matrices colonnes

Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices lignes et colonnes respectivement. Alors, la matrice 𝐴𝐵 est bien définie et elle est de dimension 1×1. Le coefficient de cette matrice est obtenu en multipliant chaque coefficient dans la matrice ligne par le coefficient correspondant dans la matrice colonne, puis en additionnant tous les produits.

Nous illustrerons cette démarche dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Déterminer le produit de deux matrices données

On considère les matrices 𝐴=(127),𝐵=462.

Trouvez 𝐴𝐵, si possible.

Réponse

Nous savons que le produit matriciel n’est possible que si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la deuxième matrice. On note que le nombre de colonnes de la première matrice 𝐴 et le nombre de lignes de la deuxième matrice 𝐵 sont tous les deux égaux à 3, il est donc possible de calculer le produit matriciel 𝐴𝐵.

On sait aussi que la multiplication d’une matrice 𝑚×𝑛 par une matrice 𝑛×𝑝 donne une matrice 𝑚×𝑝. On constate que les ordres des matrices 𝐴 et 𝐵 sont 1×3 et 3×1 respectivement. Par conséquent, 𝑚=1, 𝑛=3 et 𝑝=1. Cela nous indique que la matrice 𝐴𝐵 est de dimension 𝑚×𝑝=1×1.

Comme la matrice 𝐴 n’a qu’une seule ligne, c’est une matrice ligne. De même, la matrice 𝐵 est une matrice colonne. Rappelons que nous pouvons multiplier une matrice ligne par une matrice colonne en multipliant chaque coefficient dans la matrice 𝐴 par le coefficient correspondant dans la colonne de 𝐵 et en additionnant tous les produits. Dans le calcul suivant, nous mettons en évidence les coefficients correspondants dans chaque matrice avec la même couleur:𝐴𝐵=(127)462=(1×(4)+2×6+(7)×(2))=(4+12+14)=[22].

On peut voir que l’ordre de 𝐴𝐵 est 1×1, comme prévu.

Par conséquent, 𝐴𝐵=[22].

Dans l’exemple précédent, nous avons multiplié une matrice ligne par une matrice colonne, ce qui résulte en une matrice avec un seul coefficient, en multipliant le 𝑗 ième coefficient de la matrice par le 𝑗 ième coefficient de la matrice des colonnes et en additionnant tous les produits. La matrice résultante avait un seul coefficient car la première matrice dans le produit matriciel avait une ligne et la deuxième matrice avait une colonne.

Cette démarche peut être généralisée pour multiplier toute paire de matrices avec des ordres compatibles, où la matrice résultante peut avoir plusieurs coefficients. Pour multiplier une matrice avec plusieurs lignes par une matrice avec plusieurs colonnes, nous devons choisir une ligne de la première matrice et une colonne de la deuxième matrice. En traitant respectivement la ligne et la colonne sélectionnées comme des matrices lignes et colonnes, nous pouvons multiplier la matrice ligne et la matrice colonne en utilisant la méthode introduite précédemment. Nous continuons cette démarche jusqu’à ce que chacune des lignes de la première matrice soit multipliée par chacune des colonnes de la deuxième matrice.

Comment : Multiplier des matrices

Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices de dimensions 𝑚×𝑛 et 𝑛×𝑝 respectivement. Pour chaque 𝑖=1;2,,𝑚 et 𝑗=1;2,,𝑝, on peut calculer le coefficient dans la 𝑖 ième ligne et la 𝑗 ième colonne de la matrice 𝐴𝐵 en multipliant la 𝑖 ième ligne de 𝐴 par la 𝑗 ième colonne de 𝐵.

On sait que si on multiplie une matrice de dimension 𝑚×𝑛 par une matrice de dimension 𝑛×𝑝, on obtient une matrice de dimension 𝑚×𝑝. Cela signifie que nous devons calculer 𝑚×𝑝 pour compléter le produit matriciel.

Montrons cette méthode graphiquement en multipliant une matrice 3×2 par une matrice 2×3. Nous savons que la matrice résultante sera de dimension 3×3, ce qui signifie que nous devons multiplier une ligne par une colonne 9 fois. On considère les matrices suivantes:𝐴=242144,𝐵=512316.

On peut voir que la matrice 𝐴 a 2 colonnes et que la matrice 𝐵 a 2 lignes. Par conséquent, nous pouvons calculer le produit 𝐴𝐵. Nous savons aussi que le produit sera de dimension 3×3. Premièrement, nous pouvons multiplier la première ligne par la première colonne pour trouver le coefficient dans la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴𝐵:

Ensuite, on multiplie la première ligne de 𝐴 par la deuxième colonne de 𝐵 pour obtenir

Cette démarche continue jusqu’à ce que nous ayons complété le produit matriciel:

Exemple 5: Déterminer le produit de deux matrices données

Sachant que 𝐴=371341,𝐵=643, trouvez 𝐴𝐵 si possible.

Réponse

Nous savons que le produit matriciel n’est possible que si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la deuxième matrice. On note que le nombre de colonnes de la première matrice 𝐴 et le nombre de lignes de la deuxième matrice 𝐵 sont tous les deux égaux à 3, il est donc possible de calculer le produit matriciel 𝐴𝐵.

On sait aussi que la multiplication d’une matrice 𝑚×𝑛 par une matrice 𝑛×𝑝 donne une matrice 𝑚×𝑝. On voit que les ordres des matrices 𝐴 et 𝐵 sont 2×3 et 3×1 respectivement. Par conséquent, 𝑚=2, 𝑛=3 et 𝑝=1. Cela nous indique que la matrice 𝐴𝐵 est de dimension 𝑚×𝑝=2×1. Nous devons calculer les coefficients de cette matrice.

Rappelons que le coefficient dans la 𝑖 ième ligne et la 𝑗 ième colonne de la matrice 𝐴𝐵 est obtenu en multipliant la 𝑖 ième ligne de 𝐴 par la 𝑗 ième colonne de 𝐵. On commence par prendre la première ligne de 𝐴, qui peut être écrite comme une matrice colonne (371). On prend aussi la première (et seule) colonne de 𝐵, qui peut être écrite comme la matrice colonne 643. On multiplie chaque coefficient de la matrice par le coefficient correspondant dans la matrice colonne, puis on additionne tous les produits, (371)643=[3×6+(7)×(4)+(1)×3]=[7].

Puisqu’il s’agit du produit de la première ligne de 𝐴 et de la première colonne de 𝐵, cela nous indique que 7 est le coefficient de la première ligne et de la première colonne de la matrice 𝐴𝐵.

Ensuite, on multiplie la deuxième ligne de 𝐴, (341), par la première colonne de 𝐵, 643, ce qui conduit à (341)643=[3×6+4×(4)+1×3]=[5].

Par conséquent, 5 est le coefficient dans la deuxième ligne et la première colonne de la matrice 𝐴𝐵. Cela conduit à 𝐴𝐵=75.

Dans l’exemple précédent, nous avons multiplié une paire de matrices qui avaient des ordres compatibles. Nous l’avons fait en prenant les sous-matrices lignes de la première matrice et les sous-matrices colonnes de la deuxième matrice, puis en les multipliant ensemble. Bien que ce soit la méthode correcte pour multiplier deux matrices, il n’est pas efficace d’écrire les matrices lignes et colonnes à chaque fois. Au lieu de cela, nous pouvons abréger ces calculs en écrivant le produit des matrices lignes et colonnes correspondantes dans chaque coefficient de la matrice résultante, comme le montre la formule suivante.

Définition : Produit matriciel

Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices de dimensions 𝑚×𝑛 et 𝑛×𝑝, respectivement, données par 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎,𝐵=𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏.

Alors, la matrice du produit 𝐴𝐵 est de dimension 𝑚×𝑝 et elle est donnée par 𝐴𝐵=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑐=𝑎𝑏=𝑎𝑏++𝑎𝑏.

Dans l’exemple suivant, nous allons multiplier une paire de matrices en utilisant cette formule.

Exemple 6: Déterminer le produit de deux matrices données

On considère les matrices 𝐴=1124477,𝐵=896489.

Trouvez 𝐴𝐵, si possible.

Réponse

Nous savons que le produit matriciel n’est possible que si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la deuxième matrice. On note que le nombre de colonnes de la première matrice 𝐴 et le nombre de lignes de la deuxième matrice 𝐵 sont tous deux égaux à 2, il est donc possible de calculer le produit matriciel 𝐴𝐵.

On sait aussi que la multiplication d’une matrice 𝑚×𝑛 par une matrice 𝑛×𝑝 donne une matrice 𝑚×𝑝. On voit que les ordres des matrices 𝐴 et 𝐵 sont 3×2 et 2×3 respectivement. Par conséquent, 𝑚=3, 𝑛=2 et 𝑝=3. Cela nous indique que la matrice 𝐴𝐵 est de dimension 𝑚×𝑝=3×3. Nous avons besoin de calculer 9 coefficients de cette matrice.

Rappelons que le coefficient dans la 𝑖 ième ligne et la 𝑗 ième colonne de la matrice 𝐴𝐵 est obtenu en multipliant chaque coefficient de la 𝑖 ième ligne de 𝐴 par le coefficient correspondant de la 𝑗 ième colonne de 𝐵 puis en additionnant tous les produits.

Par exemple, pour obtenir le coefficient dans la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴𝐵, nous devons multiplier la matrice de la première ligne de 𝐴, (112), par la matrice de première colonne de 𝐵, 84. Cela signifie que nous multiplions chaque coefficient dans la matrice par le coefficient correspondant dans la matrice colonne, puis nous additionnons tous les produits. Cela nous donne 11×(8)+(2)×(4)=80.

Ainsi, le coefficient dans la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴𝐵 est 80. Nous pouvons continuer de la même manière jusqu’à ce que nous terminions la matrice 3×3:1124477896489=11×(8)+(2)×(4)11×(9)+(2)×811×6+(2)×9(4)×(8)+4×(4)(4)×(9)+4×8(4)×6+4×97×(8)+7×(4)7×(9)+7×87×6+7×9=8011548166812847105.

Dans cette fiche explicative, nous avons discuté de la manière de multiplier deux matrices de dimensions compatibles. Nous notons que le produit matriciel est assez différent de la multiplication de deux nombres réels car il a une structure plus complexe. Bien qu’il soit difficile de voir pourquoi nous devons définir le produit matriciel de cette manière, il y a une bonne raison de le faire. Cette raison deviendra plus claire à mesure que nous apprendrons des sujets plus avancés sur les matrices. Cependant, nous pouvons avoir un aperçu sur cette raison lorsque nous considérons un exemple du monde réel qui peut être résolu en utilisant le produit matriciel.

Dans notre dernier exemple, nous considérerons une application réelle du produit matriciel.

Exemple 7: Résoudre des problèmes écrits en appliquant des opérations sur des matrices

Le tableau ci-dessous indique le nombre de types de chambres dans trois hôtels appartenant à une entreprise. Si une chambre simple coûte 160 LE par nuit, une chambre double coûte 430 LE par nuit, et une suite coûte 740 LE par nuit, déterminez le revenu quotidien de l’entreprise lorsque toutes les chambres sont occupées.

HôtelChambre simpleChambre doubleSuite
Premier hôtel45 au total7415
Deuxième hôtel48 m7419
Troisième hôtel499410

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer le revenu quotidien de l’entreprise lorsque toutes les chambres sont occupées. Cette entreprise possède trois hôtels, et le nombre de chambres de chaque type est indiqué dans le tableau donné. Si on prend seulement les nombres dans le tableau, on peut former une matrice 3×3, que nous pouvons écrire comme 457415487419499410.

La première colonne de cette matrice représente le nombre de chambres simples dans chaque hôtel. Pour calculer le revenu de l’entreprise provenant de ces chambres, nous devons multiplier ces chiffres par 160 LE, qui correspond au coût d’une chambre simple. De même, nous devons multiplier la deuxième colonne par 430 LE, qui correspond au coût d’une chambre double. De la même manière, les coefficients de la troisième colonne doivent être multipliés par 740 LE, qui est le coût d’une suite. En fin de compte, nous pouvons obtenir le revenu quotidien total en additionnant tous les coefficients de la matrice résultante:45×16074×43015×74048×16074×43019×74049×16094×43010×740.

Si on additionne les coefficients de chaque ligne, on obtient

45×160+74×430+15×74048×160+74×430+19×74049×160+94×430+10×740.(1)

Le coefficient dans chaque ligne de la matrice ci-dessus nous indique le revenu quotidien de chaque hôtel. Nous pouvons terminer le calcul en déterminant chaque coefficient ci-dessus et en additionnant les coefficients. Mais donnons-nous une pause ici pour une seconde afin de noter que la matrice ci-dessus peut également être obtenue lorsque nous multiplions notre matrice originale 3×3 par la matrice colonne contenant le coût de chaque type de chambre:457415487419499410160430740.

Considérons cette multiplication. Nous savons que le produit matriciel n’est possible que si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la deuxième matrice. Nous notons que le nombre de colonnes de la première matrice et le nombre de lignes de la deuxième matrice sont tous deux égaux à 3, il est donc possible de calculer ce produit matriciel.

Nous savons aussi que nous pouvons multiplier une paire de matrices en multipliant chaque ligne de la première matrice par chaque colonne de la deuxième matrice. Multiplions la première ligne de la matrice notée 3×3, (457415), par la colonne de la deuxième matrice, 160430740. Cela signifie que nous multiplions chaque coefficient dans la matrice par le coefficient correspondant dans la matrice colonne, puis nous additionnons tous les produits. Cela donne 45×160+74×430+15×740, qui est la même que la première ligne de la matrice donnée dans (1). De même, nous pouvons voir que la multiplication des deuxième et troisième lignes de la matrice 3×3 par la matrice colonne conduit aux coefficients dans les deuxième et troisième lignes de la matrice (1). Calculer chaque coefficient dans (1) nous donne 457415487419499410160430740=501205356055660.

En additionnant tous les coefficients, nous obtenons 50120+53560+55660=159340.

Ainsi, lorsque toutes les chambres sont occupées, le revenu quotidien de l’entreprise est de 159‎ ‎340 LE.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices. Pour calculer le produit matriciel 𝐴×𝐵, le nombre de colonnes dans 𝐴 doit être égal au nombre de lignes dans 𝐵. Si 𝐴 est une matrice 𝑚×𝑛 pour certains entiers positifs 𝑚 et 𝑛, 𝐵 doit être une matrice 𝑛×𝑝 pour un certain entier positif 𝑝. Dans ce cas, 𝐴×𝐵 est une matrice 𝑚×𝑝:
  • Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices lignes et colonnes respectivement. Alors, la matrice 𝐴𝐵 est bien définie et elle est de dimension 1×1. Le coefficient de cette matrice est obtenu en multipliant chaque coefficient dans la matrice ligne par le coefficient correspondant dans la matrice colonne, puis en additionnant tous les produits.
  • Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices de dimensions 𝑚×𝑛 et 𝑛×𝑝, respectivement, données par 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎,𝐵=𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏. Alors, la matrice du produit 𝐴𝐵 est de dimension 𝑚×𝑝 et elle est donnée par 𝐴𝐵=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑐=𝑎𝑏=𝑎𝑏++𝑎𝑏.

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