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Fiche explicative de la leçon : Évènements incompatibles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les évènements incompatibles, et à déterminer leurs probabilités.

On dit que deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par exemple, un animal ne peut être à la fois un chien et un chat. Imaginons une animalerie dans laquelle on sélectionne, au hasard, un seul animal de compagnie. Dans ce contexte, les évènements « sélectionner un chien » et « sélectionner un chat » sont incompatibles. Le diagramme de Venn ci-dessous nous donne une représentation visuelle de ces deux évènements incompatibles.

On voit sur le diagramme de Venn ci-dessus que deux évènements incompatibles n’ont aucun élément en commun.

Définition : Évènements incompatibles

Deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles si 𝐴𝐵=.

Si 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors 𝑃(𝐴𝐵)=0.

On rappelle que la probabilité de l’ensemble vide est égale à zéro. D’après la définition ci-dessus, si 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements incompatibles, alors 𝑃(𝐴𝐵)=0.

Voyons comment utiliser ce principe en contexte avec l’exemple suivant.

Exemple 1: Trouver la probabilité de l’intersection de deux évènements incompatibles

Si on lance un dé une seule fois, quelle est la probabilité d’obtenir à la fois un nombre pair et un nombre impair?

Réponse

Soit 𝐴 l’évènement « obtenir un nombre impair » et 𝐵 l’évènement « obtenir un nombre pair ». Pour décrire formellement l’ensemble des issues possibles pour chaque évènement, on peut utiliser la notation 𝐴={1,3,5},𝐵={2,4,6}.

On remarque que 𝐴𝐵= car 𝐴 et 𝐵 n’ont aucun élément en commun. Ces deux évènements sont par conséquent incompatibles. On note la probabilité d’obtenir à la fois un nombre pair et un nombre impair 𝑃(𝐴𝐵). On se souvient que l’on a appris que 𝑃(𝐴𝐵)=0 quand 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles.

Par conséquent, la probabilité que le dé donne simultanément un nombre pair et un nombre impair est nulle.

Pour les évènements incompatibles, on a la règle de l’addition pour calculer la probabilité des énoncés qui contiennent « ou ».

Théorème : Règle de l’addition pour les évènements incompatibles

Si 𝐴 et 𝐵 sont deux incompatibles, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

Pour comprendre cette règle de l’addition, prenons à nouveau l’exemple de l’animalerie. On sélectionne dans l’animalerie, toujours au hasard, un animal de compagnie. Les évènements « sélectionner un chien » et « sélectionner un chat » ne peuvent avoir lieu en même temps, donc ils sont incompatibles. Puisque l’on sélectionne l’animal au hasard, on a 𝑃()=,𝑃()=.sélectionnerunchiennombredechiensnombredanimauxsélectionnerunchatnombredechatsnombredanimaux

Intéressons-nous maintenant à la probabilité de l’union de ces deux évènements, c’est-à-dire à l’évènement « sélectionner un chien ou un chat ». On a alors 𝑃()=+=+=𝑃()+𝑃().sélectionnerunchienouunchatnombredechiensnombredechatsnombredanimauxnombredechiensnombredanimauxnombredechatsnombredanimauxsélectionnerunchiensélectionnerunchat

On remarque que la règle de l’addition pour les évènements incompatibles est vérifiée.

La règle de l’addition n’est valable que pour les évènements incompatibles. Nous allons montrer pourquoi elle ne l’est pas pour les évènements non incompatibles.

Imaginons que l’on sélectionne au hasard un élève dans une classe. On considère les évènements « sélectionner un élève qui joue au football » et « sélectionner un élève qui joue au baseball ».

On notera que rien n’empêche un élève pratiquant le football de jouer également au baseball. En d’autres termes, il est possible que l’élève sélectionné soit à la fois un joueur de football et un joueur de baseball. Les deux évènements ne sont donc pas incompatibles.

Imaginons un cas extrême dans lequel tous les élèves de la classe pratiquent les deux sports;on a alors 𝑃()=1𝑃()=1.lélèvejoueaufootballetlélèvejoueaubaseball

Si on applique maintenant sans se poser de questions la règle de l’addition pour les évènements incompatibles, on obtient 𝑃()=𝑃()+𝑃()=1+1=2.lélèvejoueaufootballouaubaseballlélèvejoueaufootballlélèvejoueaubaseball

On se souvient cependant qu’une probabilité ne peut jamais être supérieure à 1. Étant donné que 2>1, le résultat trouvé est incorrect. Cet exemple d’un cas extrême nous permet de nous rappeler que la règle de l’addition ne s’applique pas aux évènements non incompatibles. Il est donc très important de s’assurer que les évènements sont bien incompatibles avant d’utiliser cette règle.

Passons maintenant à quelques exemples pour nous entraîner sur des contextes différents.

Exemple 2: Déterminer la probabilité de l’union de deux évènements incompatibles

Soit deux évènements incompatibles 𝐴 et 𝐵 ayant les probabilités 𝑃(𝐴)=110 et 𝑃(𝐵)=15. Trouvez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

On se souvient que si 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors on peut appliquer la règle de l’addition 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

On nous donne les probabilités 𝑃(𝐴)=110 et 𝑃(𝐵)=15, qui nous permettent de calculer 𝑃(𝐴𝐵)=110+15=310.

Par conséquent, 𝑃(𝐴𝐵)=310.

Exemple 3: Utiliser la règle de l’addition pour déterminer la probabilité de l’union de deux évènements

Une chorale est composée des chanteurs suivants, un ténor, 3 sopranos, un baryton et un mezzo-soprano. Si on choisit le nom de l’un des chanteurs de la chorale au hasard, déterminez la probabilité qu’il soit le nom du ténor ou d’un soprano.

Réponse

Soit 𝐴 l’évènement « sélectionner le nom du ténor » et 𝐵 l’évènement « sélectionner le nom d’un soprano ». L’évènement « sélectionner le nom du ténor ou d’un soprano » est représenté par 𝐴𝐵.

Un chanteur ne peut être à la fois ténor et soprano, donc 𝐴 et 𝐵 ne peuvent se produire en même temps. Il en découle que 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements incompatibles.

On se souvient que si 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements incompatibles, alors, d’après la règle de l’addition, 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

Il y a au total 1+3+1+1=6.ténorsopranosbarytonmezzo-spranochanteurs

Donc, 𝑃(𝐴)==16,𝑃(𝐵)==36.nombredeténorsnombredechanteursnombredesopranosnombredechanteurs

On utilise la règle de l’addition pour les évènements incompatibles et on obtient 𝑃(𝐴𝐵)=16+36=46=23.

La probabilité de sélectionner soit le nom du ténor soit le nom d’un soprano est donc de 23.

On rappelle que le complémentaire d’un évènement 𝐴, noté 𝐴, est l’évènement constitué de toutes les issues possibles à l’exception de celles de 𝐴. Dans l’exemple précédent de l’animalerie, le complémentaire de l’évènement « sélectionner un chien » est l’évènement « sélectionner un animal de compagnie qui n’est pas un chien ». Un évènement et son complémentaire ne peuvent jamais se réaliser simultanément, donc ils sont incompatibles. D’après la règle de l’addition pour les évènements incompatibles, on a alors 𝑃(𝐴𝐴)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴).

Par ailleurs, l’union d’un évènement et de son complémentaire contient toutes les issues possibles de l’expérience. En effet, toute issue qui n’appartient pas à un évènement appartient alors nécessairement à son complémentaire. On rappelle que la probabilité de toutes les issues possibles pour une expérience donnée est égale à 1. On a donc 𝑃(𝐴𝐴)=𝑃()=1.touteslesissuespossibles

En combinant ces deux équations, on obtient 𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴)=1𝑃(𝐴)=1𝑃(𝐴).

Cette formule s’appelle la règle de l’évènement complémentaire.

Théorème : Règle de l’évènement complémentaire

Soit un évènement 𝐴 et son complémentaire 𝐴. Alors, 𝑃(𝐴)=1𝑃(𝐴).

Passons maintenant à quelques exemples pour nous entraîner à utiliser la règle du complémentaire dans différents contextes.

Exemple 4: Déterminer la probabilité d’un évènement combinant plusieurs évènements incompatibles

Soit 𝐴 et 𝐵 deux évènements incompatibles. Sachant que 𝑃(𝐴)=0,61 et 𝑃(𝐴𝐵)=0,76, déterminez 𝑃(𝐵).

Réponse

L’énoncé nous donne 𝑃(𝐴)=0,61. On se souvient que pour tout évènement 𝐴, la probabilité de son complémentaire 𝐴 est égale à 1𝑃(𝐴). On a donc 0,61=1𝑃(𝐴).

On isole 𝑃(𝐴) dans l’équation et on trouve que 𝑃(𝐴)=10,61=0,39.

On fait ensuite appel à la règle de l’addition qui nous dit que si 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements incompatibles, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

Puisque 𝑃(𝐴𝐵)=0,76 et 𝑃(𝐴)=0,39, alors 0,76=0,39+𝑃(𝐵).

On isole 𝑃(𝐵) dans l’équation et on trouve que 𝑃(𝐵)=0,760,39=0,37.

Donc 𝑃(𝐵)=0,37.

Exemple 5: Trouver la probabilité de l’union des évènements complémentaires de deux évènements incompatibles

Soit 𝐴 et 𝐵 deux évènements incompatibles dans l’univers d’une expérience aléatoire;trouvez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

Pour répondre à cette question, on peut dessiner des diagrammes de Venn qui nous aideront à mieux visualiser la situation. On commence par le diagramme des évènements incompatibles 𝐴 et 𝐵.

On remarque que 𝐴 et 𝐵 n’ont pas des éléments en commun. En effet, ils sont incompatibles. On dessine ensuite un diagramme pour chacun des complémentaires 𝐴 et 𝐵.

Pour finir, on représente sur un même diagramme de Venn l’union de 𝐴 (en rouge) et de 𝐵 (en bleu).

Sur le diagramme ci-dessus, les parties en commun sont représentées en violet. On remarque que l’union 𝐴𝐵 couvre l’univers tout entier, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les issues possibles pour l’expérience. Donc 𝐴𝐵=ensembledetouteslesissuespossibles.

On se souvient que la probabilité de toutes les issues possibles est égale à 1. On peut donc écrire que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃()=1.touteslesissuespossibles

Par conséquent, 𝑃(𝐴𝐵)=1.

Si deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, en faire la différence ne retire aucun élément à l’ensemble de départ. Autrement dit, 𝐴𝐵=𝐴. Ce fait nous amène à la règle de la différence.

Théorème : Règle de la différence pour les évènements incompatibles

Si deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴).

Comme pour la règle de l’addition, il est très important de s’assurer que les évènements sont incompatibles avant d’appliquer la règle de la différence.

Exemple 6: Déterminer la probabilité d’un évènement combinant plusieurs évènements incompatibles

Soit 𝐴 et 𝐵 deux évènements incompatibles. Sachant que 𝑃(𝐴𝐵)=0,52, trouvez 𝑃(𝐴).

Réponse

On se souvient que si 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors, d’après la règle de la différence, 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴).

Prenons un moment pour nous rappeler pourquoi cette règle s’applique. Si 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors il n’y a aucun élément en commun entre 𝐴 et 𝐵. En d’autres termes, 𝐴𝐵=. Ainsi, la différence ensembliste 𝐴𝐵 ne retire aucun élément à l’ensemble 𝐴. Il apparaît alors clairement que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴).

D’après l’énoncé, on sait que 𝑃(𝐴𝐵)=0,52 et que 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles.

Donc, d’après la règle de la différence, 𝑃(𝐴)=0,52.

Dans cette fiche explicative, nous avons passé en revue trois règles concernant les probabilités:la règle de l’addition, la règle de la différence et la règle du complémentaire. Nous les résumons dans les points clés ci-dessous.

Points clés

  • Deux évènements incompatibles sont deux évènements qui ne peuvent se produire en même temps.
  • Si 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements incompatibles, alors
    • 𝑃(𝐴𝐵)=0;
    • 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵) (la règle de l’addition pour les évènements incompatibles);
    • 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴) (la règle de la différence pour les évènements incompatibles).
  • Pour tout évènement 𝐴, la règle de l’évènement complémentaire stipule que 𝑃(𝐴)=1𝑃(𝐴).

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