Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les évènements incompatibles, et à déterminer leurs probabilités.
On dit que deux évènements et sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par exemple, un animal ne peut être à la fois un chien et un chat. Imaginons une animalerie dans laquelle on sélectionne, au hasard, un seul animal de compagnie. Dans ce contexte, les évènements « sélectionner un chien » et « sélectionner un chat » sont incompatibles. Le diagramme de Venn ci-dessous nous donne une représentation visuelle de ces deux évènements incompatibles.
On voit sur le diagramme de Venn ci-dessus que deux évènements incompatibles n’ont aucun élément en commun.
Définition : Évènements incompatibles
Deux évènements et sont incompatibles si
Si et sont incompatibles, alors
On rappelle que la probabilité de l’ensemble vide est égale à zéro. D’après la définition ci-dessus, si et sont deux évènements incompatibles, alors
Voyons comment utiliser ce principe en contexte avec l’exemple suivant.
Exemple 1: Trouver la probabilité de l’intersection de deux évènements incompatibles
Si on lance un dé une seule fois, quelle est la probabilité d’obtenir à la fois un nombre pair et un nombre impair ?
Réponse
Soit l’évènement « obtenir un nombre impair » et l’évènement « obtenir un nombre pair ». Pour décrire formellement l’ensemble des issues possibles pour chaque évènement, on peut utiliser la notation
On remarque que car et n’ont aucun élément en commun. Ces deux évènements sont par conséquent incompatibles. On note la probabilité d’obtenir à la fois un nombre pair et un nombre impair . On se souvient que l’on a appris que quand et sont incompatibles.
Par conséquent, la probabilité que le dé donne simultanément un nombre pair et un nombre impair est nulle.
Pour les évènements incompatibles, on a la règle de l’addition pour calculer la probabilité des énoncés qui contiennent « ou ».
Théorème : Règle de l’addition pour les évènements incompatibles
Si et sont deux incompatibles, alors
Pour comprendre cette règle de l’addition, prenons à nouveau l’exemple de l’animalerie. On sélectionne dans l’animalerie, toujours au hasard, un animal de compagnie. Les évènements « sélectionner un chien » et « sélectionner un chat » ne peuvent avoir lieu en même temps, donc ils sont incompatibles. Puisque l’on sélectionne l’animal au hasard, on a
Intéressons-nous maintenant à la probabilité de l’union de ces deux évènements, c’est-à-dire à l’évènement « sélectionner un chien ou un chat ». On a alors
On remarque que la règle de l’addition pour les évènements incompatibles est vérifiée.
La règle de l’addition n’est valable que pour les évènements incompatibles. Nous allons montrer pourquoi elle ne l’est pas pour les évènements non incompatibles.
Imaginons que l’on sélectionne au hasard un élève dans une classe. On considère les évènements « sélectionner un élève qui joue au football » et « sélectionner un élève qui joue au baseball ».
On notera que rien n’empêche un élève pratiquant le football de jouer également au baseball. En d’autres termes, il est possible que l’élève sélectionné soit à la fois un joueur de football et un joueur de baseball. Les deux évènements ne sont donc pas incompatibles.
Imaginons un cas extrême dans lequel tous les élèves de la classe pratiquent les deux sports ; on a alors
Si on applique maintenant sans se poser de questions la règle de l’addition pour les évènements incompatibles, on obtient
On se souvient cependant qu’une probabilité ne peut jamais être supérieure à 1. Étant donné que , le résultat trouvé est incorrect. Cet exemple d’un cas extrême nous permet de nous rappeler que la règle de l’addition ne s’applique pas aux évènements non incompatibles. Il est donc très important de s’assurer que les évènements sont bien incompatibles avant d’utiliser cette règle.
Passons maintenant à quelques exemples pour nous entraîner sur des contextes différents.
Exemple 2: Déterminer la probabilité de l’union de deux évènements incompatibles
Soit deux évènements incompatibles et ayant les probabilités et . Trouvez .
Réponse
On se souvient que si et sont incompatibles, alors on peut appliquer la règle de l’addition
On nous donne les probabilités et , qui nous permettent de calculer
Par conséquent, .
Exemple 3: Utiliser la règle de l’addition pour déterminer la probabilité de l’union de deux évènements
Une chorale est composée des chanteurs suivants, un ténor, 3 sopranos, un baryton et un mezzo-soprano. Si on choisit le nom de l’un des chanteurs de la chorale au hasard, déterminez la probabilité qu’il soit le nom du ténor ou d’un soprano.
Réponse
Soit l’évènement « sélectionner le nom du ténor » et l’évènement « sélectionner le nom d’un soprano ». L’évènement « sélectionner le nom du ténor ou d’un soprano » est représenté par .
Un chanteur ne peut être à la fois ténor et soprano, donc et ne peuvent se produire en même temps. Il en découle que et sont deux évènements incompatibles.
On se souvient que si et sont deux évènements incompatibles, alors, d’après la règle de l’addition,
Il y a au total
Donc,
On utilise la règle de l’addition pour les évènements incompatibles et on obtient
La probabilité de sélectionner soit le nom du ténor soit le nom d’un soprano est donc de .
On rappelle que le complémentaire d’un évènement , noté , est l’évènement constitué de toutes les issues possibles à l’exception de celles de . Dans l’exemple précédent de l’animalerie, le complémentaire de l’évènement « sélectionner un chien » est l’évènement « sélectionner un animal de compagnie qui n’est pas un chien ». Un évènement et son complémentaire ne peuvent jamais se réaliser simultanément, donc ils sont incompatibles. D’après la règle de l’addition pour les évènements incompatibles, on a alors
Par ailleurs, l’union d’un évènement et de son complémentaire contient toutes les issues possibles de l’expérience. En effet, toute issue qui n’appartient pas à un évènement appartient alors nécessairement à son complémentaire. On rappelle que la probabilité de toutes les issues possibles pour une expérience donnée est égale à 1. On a donc
En combinant ces deux équations, on obtient
Cette formule s’appelle la règle de l’évènement complémentaire.
Théorème : Règle de l’évènement complémentaire
Soit un évènement et son complémentaire . Alors,
Passons maintenant à quelques exemples pour nous entraîner à utiliser la règle du complémentaire dans différents contextes.
Exemple 4: Déterminer la probabilité d’un évènement combinant plusieurs évènements incompatibles
Soit et deux évènements incompatibles. Sachant que et , déterminez .
Réponse
L’énoncé nous donne . On se souvient que pour tout évènement , la probabilité de son complémentaire est égale à . On a donc
On isole dans l’équation et on trouve que .
On fait ensuite appel à la règle de l’addition qui nous dit que si et sont deux évènements incompatibles, alors
Puisque et , alors
On isole dans l’équation et on trouve que .
Donc .
Exemple 5: Trouver la probabilité de l’union des évènements complémentaires de deux évènements incompatibles
Soit et deux évènements incompatibles dans l’univers d’une expérience aléatoire ; trouvez .
Réponse
Pour répondre à cette question, on peut dessiner des diagrammes de Venn qui nous aideront à mieux visualiser la situation. On commence par le diagramme des évènements incompatibles et .
On remarque que et n’ont pas des éléments en commun. En effet, ils sont incompatibles. On dessine ensuite un diagramme pour chacun des complémentaires et .
Pour finir, on représente sur un même diagramme de Venn l’union de (en rouge) et de (en bleu).
Sur le diagramme ci-dessus, les parties en commun sont représentées en violet. On remarque que l’union couvre l’univers tout entier, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les issues possibles pour l’expérience. Donc .
On se souvient que la probabilité de toutes les issues possibles est égale à 1. On peut donc écrire que
Par conséquent, .
Si deux évènements et sont incompatibles, en faire la différence ne retire aucun élément à l’ensemble de départ. Autrement dit, . Ce fait nous amène à la règle de la différence.
Théorème : Règle de la différence pour les évènements incompatibles
Si deux évènements et sont incompatibles, alors
Comme pour la règle de l’addition, il est très important de s’assurer que les évènements sont incompatibles avant d’appliquer la règle de la différence.
Exemple 6: Déterminer la probabilité d’un évènement combinant plusieurs évènements incompatibles
Soit et deux évènements incompatibles. Sachant que , trouvez .
Réponse
On se souvient que si et sont incompatibles, alors, d’après la règle de la différence,
Prenons un moment pour nous rappeler pourquoi cette règle s’applique. Si et sont incompatibles, alors il n’y a aucun élément en commun entre et . En d’autres termes, . Ainsi, la différence ensembliste ne retire aucun élément à l’ensemble . Il apparaît alors clairement que .
D’après l’énoncé, on sait que et que et sont incompatibles.
Donc, d’après la règle de la différence, .
Dans cette fiche explicative, nous avons passé en revue trois règles concernant les probabilités : la règle de l’addition, la règle de la différence et la règle du complémentaire. Nous les résumons dans les points clés ci-dessous.
Points clés
- Deux évènements incompatibles sont deux évènements qui ne peuvent se produire en même temps.
- Si et sont deux évènements incompatibles, alors
- ;
- (la règle de l’addition pour les évènements incompatibles) ;
- (la règle de la différence pour les évènements incompatibles).
- Pour tout évènement , la règle de l’évènement complémentaire stipule que
