Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment relier le taux de variation de la quantité de mouvement d’un objet à la force agissant dessus, en utilisant la formule .
Il est possible de montrer que la variation de la quantité de mouvement d’un objet est le produit de la force exercée sur l’objet et de la durée pendant laquelle la force agit.
Une force agissant sur un objet accélère l’objet. L’accélération d’un objet est le taux de variation dans le temps de la vitesse de l’objet. Nous pouvons exprimer cela comme où est l’accélération de l’objet, est la variation de la vitesse de l’objet, et est l’intervalle de temps pendant lequel la vitesse de l’objet change.
L’accélération d’un objet due à une force est décrite par la deuxième loi du mouvement de Newton, où est la force agissant sur l’objet et est la masse de l’objet.
Nous pouvons remplacer la valeur de par et dans la deuxième loi du mouvement de Newton pour obtenir l’expression suivante :
Si cette expression est multipliée par , nous voyons que
Cette expression est égale au produit de la force et de l’intervalle de temps pendant lequel elle agit.
La quantité de mouvement d’un objet est donnée par où est la quantité de mouvement de l’objet et est la vitesse de l’objet.
La variation de la quantité de mouvement d’un objet est le produit de la masse de l’objet et de la variation de la vitesse de l’objet. Cette relation peut être exprimée par
Ainsi, nous voyons que ce qui montre que le produit d’une force par l’intervalle de temps pendant lequel elle agit est effectivement égal au taux de variation de la quantité de mouvement de l’objet.
Comprendre la relation entre la force et la quantité de mouvement nous permet de mieux comprendre ce que décrit la quantité de mouvement.
La quantité de mouvement d’un objet en mouvement peut représenter les deux grandeurs suivantes :
- la force nécessaire pour amener un objet en mouvement au repos dans un intervalle de temps donné,
- la durée pendant laquelle une force donnée doit agir pour amener un objet en mouvement au repos.
Il est également possible de dire qu’une quantité de mouvement donnée peut représenter les deux grandeurs suivantes :
- la force nécessaire pour amener un objet initialement au repos à une vitesse donnée dans un intervalle de temps donné,
- la durée pendant laquelle une force donnée doit agir pour amener un objet initialement au repos à une vitesse donnée.
Regardons un exemple où la durée pendant laquelle une force agit dépend de la force et du changement de quantité de mouvement dû à cette force.
Exemple 1: Déterminer l’intervalle de temps requis pour amener un objet au repos
Un objet avec une quantité de mouvement initiale de 20 kg⋅m/s subi une force moyenne de 2,5 N et vient au repos. Pendant combien de temps la force agit-elle sur l’objet ?
Réponse
C’est un exemple où l’utilisation de la quantité de mouvement permet de déterminer plus facilement la durée pendant laquelle une force donnée doit agir pour amener un objet en mouvement au repos.
La relation entre une force et la durée pendant laquelle elle agit pour modifier la quantité de mouvement d’un objet est donnée par la formule où est la force qui agit, est la durée pendant laquelle la force agit, et est la variation de la quantité de mouvement.
Pour obtenir , on peut diviser cette formule par , ce qui nous donne
Un objet au repos doit avoir une quantité de mouvement nulle. La quantité de mouvement initiale de l’objet est 20 kg⋅m/s, donc la variation de la quantité de mouvement est donnée par
La force qui agit a une intensité de 2,5 N. La force doit agir dans le sens du changement de la quantité de mouvement de l’objet ; donc avec son signe ; la force est donc .
En substituant les valeurs de la variation de la quantité de mouvement et de la force dans la formule nous constatons que
Regardons un exemple dans lequel une force qui agit dépend de la durée pendant laquelle elle agit et de la variation de la quantité de mouvement due à celle-ci.
Exemple 2: Déterminer la force nécessaire pour augmenter la vitesse d’un objet pendant un intervalle de temps
Une grenouille de masse 30 g qui saute en l’air depuis une position au repos accélère jusqu’à une vitesse de 12 cm/s en 0,025 s. Quelle force, en newtons, les jambes de la grenouille ont-elles fourni pour sauter ?
Réponse
C’est un exemple où l’utilisation de la quantité de mouvement permet de déterminer plus facilement la force nécessaire pour amener un objet au repos jusqu’à une vitesse donnée.
La relation entre une force et la durée pendant laquelle elle agit pour modifier la quantité de mouvement d’un objet est donnée par la formule où est la force qui agit, est la durée pendant laquelle elle agit, et est la variation de la quantité de mouvement.
Pour obtenir , on peut diviser cette formule par , ce qui nous donne
Un objet au repos doit avoir une quantité de mouvement nulle. La quantité de mouvement initiale de la grenouille est nulle. La quantité de mouvement finale de la grenouille est donnée par
Par convention, on exprime la quantité de mouvement en kilogrammes-mètres par seconde (kg⋅m/s), donc la masse de la grenouille est convertie de grammes en kilogrammes et la vitesse finale de la grenouille est convertie de centimètres par seconde en mètres par seconde.
La masse de la grenouille en kilogrammes est 0,030 kg et sa vitesse finale en mètres par seconde est 0,12 m/s. Cela donne une valeur pour la quantité de mouvement de la grenouille de
La variation de la quantité de mouvement de la grenouille est donnée par
La durée pendant laquelle les jambes de la grenouille exercent une force est de 0,025 seconde. En remplaçant les valeurs de la variation de la quantité de mouvement et de la durée dans la formule on constate que
Si on prend cette force comme étant équivalente à un poids, en utilisant la formule où vaut 9,8 m/s2, nous trouvons que la masse correspondant à cette valeur de poids est environ 15 grammes.
Si on suppose que la grenouille saute verticalement, cela signifie que ses jambes poussent vers le bas et qu’elles agissent sur la surface sur laquelle elle repose de manière équivalente au poids d’un objet de masse 15 grammes au repos sur cette surface. La masse de la grenouille est indiquée comme étant 30 grammes, donc lorsque la grenouille saute, la force qu’elle exerce vers le bas équivaut à environ la moitié de son poids.
Regardons maintenant un exemple de détermination de la variation de la quantité de mouvement due à l’action d’une force.
Exemple 3: Déterminer la variation de la quantité de mouvement due à une force agissant pendant une certaine durée
Un jour de grand vent, une force moyenne de 12,5 N est appliquée par le mouvement du vent sur un vélo et son cycliste, de masse totale 80 kg. La force est appliquée pendant une durée de 0,8 s car la rafale de vent est très brève. Le vent souffle depuis l’arrière du vélo. Quelle est la variation totale de la quantité de mouvement ?
Réponse
Prenons le sens dans lequel souffle le vent comme sens positif. Le vent souffle par l’arrière du vélo, donc le déplacement du vélo est également dans le sens positif.
La relation entre une force et la durée pendant laquelle elle agit pour modifier la quantité de mouvement d’un objet est donnée par la formule où est la force qui agit, est la durée pendant laquelle elle agit, et est la variation de la quantité de mouvement.
En remplaçant les valeurs de la force et la durée pendant laquelle elle agit, nous constatons que la variation de la quantité de mouvement du vélo est donnée par
Remarquons que la valeur de la masse du vélo n’est pas nécessaire pour déterminer la variation de la quantité de mouvement du vélo.
Regardons maintenant un exemple où une force agit dans le sens opposé à celui de la vitesse d’un objet pour modifier sa quantité de mouvement.
Exemple 4: Déterminer la force nécessaire pour produire une variation de la quantité de mouvement pendant une certaine durée
Un homme courant le long d’une route avait une quantité de mouvement de 360 kg⋅m/s. La route devant lui était couverte de sable. L’homme a couru sur le sable pendant 12 secondes et sa quantité de mouvement lorsqu’il eut traversé la partie de la route recouverte de sable était de 330 kg⋅m/s. Quelle force moyenne le sable a-t-il exercé sur l’homme pendant qu’il le traversait ?
Réponse
Prenons le sens de la course de l’homme comme le sens positif.
La relation entre une force et la durée pendant laquelle elle agit pour modifier la quantité de mouvement d’un objet est donnée par la formule où est la force qui agit, est la durée pendant laquelle elle agit, et est la variation de la quantité de mouvement.
Pour obtenir , on peut diviser cette formule par , ce qui nous donne
La variation de la quantité de mouvement de l’homme est donnée par
En remplaçant les valeurs de la variation de la quantité de mouvement et de la durée dans la formule on constate que
La force agit dans le sens opposé à la vitesse de l’homme, elle est donc négative.
Regardons maintenant un exemple dans lequel la quantité de mouvement d’un objet change en raison de l’action d’une force, mais où on ne connait pas la quantité de mouvement initiale de l’objet.
Exemple 5: Déterminer la durée nécessaire pour qu’un objet change de vitesse
Une raquette de tennis frappe une balle de tennis qui a une masse de 60,5 g et applique une force constante de 75 N. La vitesse de la balle de tennis subit une variation de 30 m/s pendant la collision. Combien de secondes la collision a-t-elle duré ?
Réponse
La relation entre une force et la durée pendant laquelle elle agit pour modifier la quantité de mouvement d’un objet est donnée par la formule où est la force qui agit, est la durée pendant laquelle elle agit, et est la variation de la quantité de mouvement.
La quantité de mouvement de la balle de tennis n’est pas indiquée. La vitesse de la balle de tennis à tout moment est également inconnue, cependant la balle de tennis ne peut pas être considérée au repos avant ou après la collision.
Toutefois, la variation de la vitesse de la balle de tennis est donnée, donc la variation de sa quantité de mouvement peut être déterminée en utilisant la formule où la masse de la balle de tennis est 60,5 grammes et la variation de vitesse est 30 m/s. Par convention, on exprime la quantité de mouvement en kilogrammes-mètres par seconde (kg⋅m/s), donc la masse de la balle de tennis est convertie de grammes à kilogrammes et vaut 0,0605 kg. Il en suit donc que
Pour obtenir la durée pendant laquelle la raquette de tennis a été en contact avec la balle de tennis, , on peut diviser la formule par , ce qui nous donne
En remplaçant les valeurs de la variation de la quantité de mouvement et de la force dans la formule on obtient
Résumons ce qui a été appris dans ces exemples.
Points clés
- La variation de la quantité de mouvement d’un objet est liée à la force qui agit sur l’objet et à la durée pendant laquelle la force agit selon la formule où est la force agissant sur l’objet, est la durée pendant laquelle la force agit, et est la variation de la quantité de mouvement de l’objet.
- Il n’est pas nécessaire de connaître la masse d’un objet dont la quantité de mouvement varie pour déterminer la relation entre la variation de sa quantité de mouvement, la force qui agit dessus, et la durée pendant laquelle la force agit.
- La relation entre la variation de la quantité de mouvement d’un objet, la force qui agit sur l’objet et la durée pendant laquelle la force agit est utile pour déterminer
- la force qui doit agir pendant une durée donnée pour amener un objet en mouvement au repos,
- la durée pendant laquelle une force donnée doit agir pour amener un objet en mouvement au repos,
- la force qui doit agir pendant une durée donnée pour amener un objet initialement au repos à une vitesse donnée,
- la durée pendant laquelle une force donnée doit agir pour amener un objet initialement au repos à une vitesse donnée.
