Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le moment par rapport ร un point dโun systรจme de forces coplanaires agissant sur un corps, sous forme de vecteur.
Nous savons quโune force, ou un systรจme de forces, peut avoir un effet de rotation sur un corps, qui est dรฉcrit par le moment de la force, ou du systรจme de forces, par rapport ร un point. On rappelle que pour un mouvement en deux dimensions, le moment de la force par rapport ร un point est dรฉfini comme un scalaire dont la valeur absolue est oรน est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne dโaction de la force . On peut alors dรฉterminer le signe du moment selon si lโeffet de rotation est dans le sens horaire ou anti-horaire. Par convention, un moment avec un effet de rotation dans le sens anti-horaire est dรฉfini comme positif, ce qui signifie quโun moment avec un effet de rotation dans le sens horaire est nรฉgatif.
Bien que cette dรฉfinition fonctionne bien pour des mouvements dans le plan, elle est insuffisante lorsque nous รฉtudions un mouvement dans un espace en trois dimensions car la notion de rotation dans le sens horaire ou dans le sens anti-horaire ne sโapplique pas. Nous aimerions donc pouvoir รฉtendre cette dรฉfinition du moment scalaire ร un moment en trois dimensions. Afin de prรฉserver la notion du sens de rotation, on dรฉfinit le vecteur moment comme suit.
Dรฉfinition: Moment dโune force
Le moment dโune force agissant sur un corps par rapport au point est oรน est le vecteur position de , le point dโapplication de la force .
Dans cette dรฉfinition, nous voyons que le repรจre a รฉtรฉ choisi de telle sorte que son origine coรฏncide avec le point par rapport auquel nous calculons le moment. Si nous souhaitons calculer le moment de la force par rapport ร un point qui nโest pas lโorigine, alors nous devons simplement remplacer par โ:โ
La lettre est ajoutรฉe en indice ร pour indiquer que le moment est calculรฉ par rapport au point .
Dans le premier exemple, nous allons utiliser cette formule pour calculer le vecteur moment dโune force dans un plan par rapport ร un point.
Exemple 1: Dรฉterminer le moment dโune force par rapport ร un point
Si la force sโapplique au point , dรฉterminez le moment de par rapport au point .
Rรฉponse
Dans cet exemple, nous devons dรฉterminer le moment dโune force dans le plan par rapport ร un point. On rappelle que le vecteur moment de la force agissant au point par rapport au point est
On commence par trouver le vecteur โ:โ
On peut รฉcrire comme
On calcule ensuite le produit vectoriel,
Nous remarquons que la constante inconnue dans la force sโest annulรฉe lorsque nous avons calculรฉ le produit vectoriel. Donc, le moment de par rapport au point est .
Dans lโexemple prรฉcรฉdent, nous avons calculรฉ le vecteur moment dโune force dans le plan par rapport ร un point en utilisant la formule
Nous avons alors vu que le vecteur rรฉsultant du produit vectoriel nโavait quโune composante en et que ses composantes en et รฉtaient nulles. Ce nโest pas รฉtonnant si lโon considรจre la propriรฉtรฉ gรฉomรฉtrique dโun produit vectoriel. On rappelle que le produit vectoriel de deux vecteurs doit รชtre orthogonal aux deux vecteurs. Comme est รฉgal au produit vectoriel des vecteurs et , il doit รชtre orthogonal aux deux vecteurs. Nous savons que et se trouvent tous les deux dans le plan , donc doit รชtre orthogonal au plan . Un vecteur qui est orthogonal au plan doit รชtre colinรฉaire au vecteur unitaire dans le repรจre en trois dimensions. Cela signifie que pour un scalaire . Comme ce sera toujours le cas, nous pouvons simplifier le calcul de ce produit vectoriel en utilisant le produit vectoriel en deux dimensions.
Dรฉfinition: Produit vectoriel en deux dimensions
Pour deux vecteurs en deux dimensions et , leur produit vectoriel en deux dimensions est dรฉfini par
Comme nous pouvons le voir, le produit vectoriel en deux dimensions est plus rapide ร calculer. Nous utiliserons cette formule pour calculer le produit vectoriel entre des vecteurs en deux dimensions pour le reste de cette fiche explicative.
Abordons maintenant la norme du vecteur moment, qui est รฉgale ร la norme du produit vectorielโ:โ
On rappelle que la norme du produit vectoriel entre deux vecteurs est รฉgale ร lโaire du parallรฉlogramme dont les deux cรดtรฉs adjacents sont formรฉs par les deux vecteurs. Observons cela ร lโaide du schรฉma suivant.
Sur le schรฉma ci-dessus, lโaire de la rรฉgion colorรฉe est รฉgale ร la norme du produit vectoriel et donc ร la norme du moment . On peut รฉgalement calculer gรฉomรฉtriquement lโaire de ce parallรฉlogramme en utilisant la formule
Sur la figure, la base de ce parallรฉlogramme est formรฉe par le vecteur et la hauteur correspond ร la distance entre lโorigine et la ligne dโaction de , qui est notรฉe .
Cela nous amรจne ร la formule suivante de la norme du vecteur moment par rapport ร un point dโune force en deux dimensions.
Propriรฉtรฉ: Norme du vecteur moment dโune force
La norme du vecteur moment dโune force dans le plan par rapport ร un point est oรน est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne dโaction de la force .
Nous pouvons voir que la norme du vecteur moment donnรฉe ci-dessus est รฉgale ร la valeur absolue du moment scalaire. Donc, la norme du vecteur moment est cohรฉrente avec la valeur absolue du moment scalaire pour un mouvement dans le plan.
En reformulant cette รฉquation, on obtient une formule utile pour calculer la distance perpendiculaire entre un point et la ligne dโaction dโune force.
Formule: Distance perpendiculaire entre un point et une ligne dโaction
Soit le vecteur moment par rapport ร un point dโune force, ou dโun systรจme de forces, dans un plan. La distance perpendiculaire entre le point et la ligne dโaction de la force est alors
Dans lโexemple suivant, nous allons calculer le moment dโune force dans le plan par rapport ร un point, puis utiliser cette formule pour dรฉterminer la distance perpendiculaire entre le point et la ligne dโaction de la force.
Exemple 2: Dรฉterminer le vecteur moment dโune force agissant en un point et la distance perpendiculaire entre le point oรน est calculรฉ le moment et la ligne dโaction de la force
Sachant que la force agit au point , dรฉterminez le moment par rapport ร lโorigine de la force . Calculez รฉgalement la distance perpendiculaire entre et la ligne dโaction de la force.
Rรฉponse
Dans cet exemple, nous devons dโabord trouver le moment par rapport ร de la force , puis calculer la distance perpendiculaire entre lโorigine et la ligne dโaction de . Commenรงons par trouver le moment. On rappelle que le vecteur moment de la force agissant au point par rapport ร lโorigine est
Nous connaissons les coordonnรฉes de , ce qui signifie que est le vecteur position
On peut รฉcrire sous forme de composantes par
Nous sommes maintenant prรชts ร calculer le produit vectoriel . On rappelle que le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est dรฉfini par
En appliquant cette formule, on obtient
Donc, le moment de par rapport ร lโorigine est .
Nous calculons ensuite la distance perpendiculaire entre lโorigine et la ligne dโaction de . On rappelle que la norme du vecteur moment dโune force dans le plan par rapport ร un point est oรน est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne dโaction de la force . On peut rรฉarranger cette รฉquation pour รฉcrire
Comme on sait que , on a . On calcule alors โ:โ
En substituant ces valeurs dans la formule de , on obtient
Donc,
Nous avons remarquรฉ prรฉcรฉdemment que le moment dโune force par rapport ร un point est un vecteur colinรฉaire au vecteur unitaire . En dโautres termes, il existe un scalaire tel que
De plus, nous avons observรฉ que la norme du vecteur moment est รฉgale ร la valeur absolue du moment scalaire . Cela signifie que ou . Pour dรฉterminer quelle รฉgalitรฉ est vraie, nous devons vรฉrifier si le signe de correspond au signe du moment scalaire .
Les propriรฉtรฉs du produit vectoriel nous permettent de conclure dโabord que est un vecteur orthogonal au plan dรฉfini par et . Le sens de est alors donnรฉ par la rรจgle de la main droite. Cette rรจgle est parfois expliquรฉe en se rรฉfรฉrant ร la rotation dโune visโ:โle sens du vecteur correspond au sens du mouvement (haut ou bas) dโun couvercle de bouteille ou dโun รฉcrou que lโon tournerait dans le mรชme sens de rotation que lorsque lโon va de ร , comme illustrรฉ sur le schรฉma suivant.
On rappelle que
Si , le vecteur moment sortirait du plan (vers le haut), ce qui correspond ร une rotation dans le sens anti-horaire selon la figure ci-dessus. Si , le vecteur moment irait dans le plan (vers le bas), ce qui indique une rotation dans le sens horaire. Rappelons que pour un moment scalaire , le sens anti-horaire correspond ร un signe positif, tandis que la rotation dans le sens horaire correspond ร un signe nรฉgatif. Ceci nous indique que le signe du moment scalaire est le mรชme que le signe du scalaire . Donc, nous avons montrรฉ que .
Propriรฉtรฉ: Moment scalaire et vecteur moment dโune force
Soient le moment scalaire et le vecteur moment par rapport ร un point dโune force, ou dโun systรจme de forces, dans un plan. Alors
Cette propriรฉtรฉ รฉtablit clairement pourquoi ce vecteur moment est une extension raisonnable du moment scalaire pour une force dans le plan. En outre, le vecteur moment peut รชtre gรฉnรฉralisรฉ pour reprรฉsenter le moment par rapport ร un point dโune force gรฉnรฉrale en trois dimensions puisquโil est obtenu par un produit vectoriel.
Nous pouvons dรฉduire plusieurs observations utiles de cette propriรฉtรฉ. Tout dโabord, nous savons que le moment scalaire ne dรฉpend pas de la position du point auquel la force sโapplique, tant que le point se situe sur la ligne dโaction de la force. En effet, le moment scalaire est obtenu en utilisant uniquement lโintensitรฉ de la force et la distance perpendiculaire . Cela signifie que le vecteur moment est รฉgalement indรฉpendant du point dโapplication de la force. On peut mieux comprendre cela en รฉtudiant la norme du vecteur moment lorsque lโon dรฉplace ce point le long de la ligne dโaction.
On voit que les aires des deux parallรฉlogrammes sont รฉgales car la longueur de la base et la hauteur sont les mรชmes pour les deux parallรฉlogrammes. Cela nous indique que la norme du vecteur moment pour ces deux systรจmes est la mรชme. En outre, nous pouvons voir que les deux systรจmes provoqueraient une rotation dans le sens horaire autour de lโorigine, ce qui signifie que le signe du moment serait le mรชme pour les deux systรจmes. Donc, le vecteur moment est le mรชme pour ces deux systรจmes. Cela nous amรจne ร la propriรฉtรฉ utile suivante.
Propriรฉtรฉ: Vecteur moment dโune force et point dโapplication
Le vecteur moment dโune force par rapport ร un point est indรฉpendant du point auquel la force sโapplique, tant que le point se situe sur la ligne dโaction de la force.
Dans lโexemple suivant, nous allons calculer le vecteur moment dโune force dans le plan par rapport ร un point inconnu.
Exemple 3: Dรฉterminer le vecteur moment dโune force agissant en un point
Lโorigine de a les coordonnรฉes et a pour milieu . Si la ligne dโaction de la force coupe en son milieu, calculez le moment de par rapport au point .
Rรฉponse
Dans cet exemple, nous devons dรฉterminer le moment par rapport ร un point dโune force dans le plan. On rappelle que le vecteur moment de la force agissant au point par rapport au point est
Bien que nous ne connaissions pas le point auquel la force agit, nous savons que la ligne dโaction de la force coupe en son milieu. Cela signifie que la ligne dโaction passe par le milieu de . On rappelle que le vecteur moment dโune force par rapport ร un point est indรฉpendant du point dโapplication de la force tant que celui-ci se situe sur la ligne dโaction de la force. Nous pouvons donc calculer le moment en considรฉrant que le point dโapplication est . Cela signifie que le moment de par rapport ร est
Commenรงons par trouver le vecteur . Comme est le milieu de , nous savons que
En outre, ces vecteurs sont de sens opposรฉ, ce qui signifie que
On peut trouver en utilisant les coordonnรฉes des points et โ:โ
Donc,
Nous sommes maintenant prรชts ร calculer le produit vectoriel . On rappelle que le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est dรฉfini par
En appliquant cette formule, on obtient
Donc, le moment de par rapport au point est .
Dans lโexemple suivant, nous allons calculer le moment par rapport ร un point dโun systรจme de forces coplanaires agissant en un seul point en dรฉterminant dโabord la force rรฉsultante.
Exemple 4: Calculer le moment par rapport ร un point de trois forces agissant en un seul point et calculer la distance entre les points
Sachant que , et agissent au point , dรฉterminez le moment de la force rรฉsultante par rapport au point et calculez la longueur du segment perpendiculaire reliant le point ร la ligne dโaction de la force rรฉsultante.
Rรฉponse
Dans cet exemple, nous avons un systรจme de forces coplanaires agissant en un mรชme point. Commenรงons par dรฉterminer la force rรฉsultante. On rappelle que la force rรฉsultante dโun systรจme de forces agissant en un mรชme point est la somme de tous les vecteurs forces du systรจme. Donc, la force rรฉsultante est
Cela nous indique que la force rรฉsultante est . Calculons ensuite le moment de la force rรฉsultante par rapport au point . On rappelle que le vecteur moment de la force agissant au point par rapport au point est
En utilisant les coordonnรฉes de et , on peut trouver
Nous sommes maintenant prรชts ร calculer le produit vectoriel . On rappelle que le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est dรฉfini par
Cela donne
Donc, le moment de la force rรฉsultante par rapport au point est .
Calculons maintenant la longueur du segment perpendiculaire reliant le point ร la ligne dโaction de la force rรฉsultante. Cette longueur est รฉgalement appelรฉe distance perpendiculaire entre le point et la ligne dโaction de la force rรฉsultante. Pour calculer cette longueur, on rappelle que la norme du vecteur moment dโune force dans le plan par rapport ร un point est oรน est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne dโaction de . On peut rรฉarranger cette รฉquation pour รฉcrire
Comme on sait que , on a . On calcule aprรจs โ:โ
En substituant ces valeurs dans la formule de , on obtient
Donc,
Dans lโexemple prรฉcรฉdent, nous avons dรฉterminรฉ le moment par rapport ร un point dโun systรจme de forces coplanaires agissant en un seul point. Nous pouvons noter que la mรฉthode de recherche du moment dโun systรจme de forces est la mรชme que pour celui dโune seule force si les forces agissent au mรชme point.
Essayons maintenant de dรฉterminer le moment dโun systรจme de forces coplanaires oรน les forces nโagissent pas au mรชme point.
Dรฉfinition: Moment dโun systรจme de forces coplanaires
On considรจre le systรจme de forces , , , et agissant respectivement en , , , et . Pour dรฉterminer le moment de ce systรจme de forces par rapport au point , nous devons trouver les moments , , , et des forces , , , et par rapport au point . Le moment du systรจme par rapport au point est alors
Cette dรฉfinition nous indique que le moment dโun systรจme de forces est รฉgal ร la somme des moments individuels de chaque force du systรจme par rapport au mรชme point.
Dans le dernier exemple, nous allons calculer des composantes inconnues de forces dans un systรจme agissant en diffรฉrents points ร partir des moments du systรจme de forces par rapport ร deux points diffรฉrents.
Exemple 5: Dรฉterminer les composantes inconnues de deux forces ร partir de la somme de leurs moments par rapport ร deux points
Soient et , oรน et sont deux forces agissant respectivement aux points et . La somme de leurs moments par rapport ร lโorigine est nulle. La somme de leurs moments par rapport au point est รฉgalement nulle. Dรฉterminez les valeurs de et .
Rรฉponse
Dans cet exemple, nous devons calculer les composantes inconnues et des forces et sachant que la somme des moments des deux forces par rapport ร lโorigine et celle par rapport au point sont nulles. Nous pouvons trouver les constantes inconnues en identifiant un systรจme de deux รฉquations impliquant et . Nous allons obtenir la premiรจre รฉquation en calculant la somme des moments de et par rapport ร lโorigine et en la posant รฉgale ร zรฉro.
On rappelle que le vecteur moment de la force agissant au point par rapport au point est oรน est le vecteur allant du point au point . Dรฉterminons dโabord le moment de par rapport ร lโorigine. Comme agit sur le point , on peut รฉcrire
On peut exprimer sous forme de composantes par
Nous sommes maintenant prรชts ร calculer le produit vectoriel . On rappelle que le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est dรฉfini par
Cela conduit ร
Dรฉterminons ensuite le moment de par rapport ร lโorigine. Comme agit au point , on peut รฉcrire
On peut exprimer sous forme de composantes
On calcule le produit vectoriel,
La somme de ces deux moments par rapport ร lโorigine est alors
Comme la somme de ces moments est nulle, on obtient
Cela nous donne une premiรจre รฉquation impliquant et . Nous pouvons rรฉpรฉter ce raisonnement pour le moment par rapport au point pour obtenir une autre รฉquation, mais nous pouvons รฉgalement la trouver en utilisant les propriรฉtรฉs des moments. Dรฉterminons le moment de par rapport au point โ:โ
On calcule le produit vectoriel,
Ensuite, pour le moment de par rapport ร ,
On calcule le produit vectoriel,
On additionne ces deux moments par rapport ร ,
Comme la somme de ces moments est nulle, on obtient
Maintenant que nous avons obtenu deux รฉquations en et , รฉcrivons les รฉquations (1) et (2) ci-dessousโ:โ
On peut additionner les deux รฉquations pour รฉliminer . Cela conduit ร
Rรฉarranger cette รฉquation pour isoler donne . On peut substituer cette valeur dans lโรฉquation (1) et รฉcrire
Rรฉarranger cette รฉquation pour isoler donne . Donc, nous avons
Terminons par rรฉsumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clรฉs
- Le vecteur moment de la force agissant au point par rapport au point est oรน est le vecteur allant du point au point .
- La norme du vecteur moment dโune force dans le plan par rapport ร un point est oรน est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne dโaction de la force .
- Le vecteur moment dโune force par rapport ร un point est indรฉpendant du point dโapplication de la force tant que celui-ci se situe sur la ligne dโaction de la force.
- Soient le moment scalaire et le vecteur moment par rapport ร un point dโune force, ou dโun systรจme de forces, dans un plan. Alors
- Le calcul du produit vectoriel pour calculer le moment par rapport ร un point dโune force dans le plan peut รชtre simplifiรฉ en utilisant le produit vectoriel en deux dimensions, qui est dรฉfini par
- Soit le systรจme de forces , , , et agissant respectivement en , , , et . Pour dรฉterminer le moment de ce systรจme de forces par rapport au point , nous devons trouver les moments , , , et des forces , , , et par rapport au point . Le moment du systรจme par rapport au point est alors
