Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Moment d’une force en deux dimensions par rapport à un point: Vecteurs Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le moment par rapport à un point d’un système de forces coplanaires agissant sur un corps, sous forme de vecteur.

Nous savons qu’une force, ou un système de forces, peut avoir un effet de rotation sur un corps, qui est décrit par le moment de la force, ou du système de forces, par rapport à un point. On rappelle que pour un mouvement en deux dimensions, le moment 𝑀 de la force 𝐹 par rapport à un point est défini comme un scalaire dont la valeur absolue est |𝑀|=𝐹𝑑,𝑑 est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne d’action de la force 𝐹. On peut alors déterminer le signe du moment selon si l’effet de rotation est dans le sens horaire ou anti-horaire. Par convention, un moment avec un effet de rotation dans le sens anti-horaire est défini comme positif, ce qui signifie qu’un moment avec un effet de rotation dans le sens horaire est négatif.

Bien que cette définition fonctionne bien pour des mouvements dans le plan, elle est insuffisante lorsque nous étudions un mouvement dans un espace en trois dimensions car la notion de rotation dans le sens horaire ou dans le sens anti-horaire ne s’applique pas. Nous aimerions donc pouvoir étendre cette définition du moment scalaire à un moment en trois dimensions. Afin de préserver la notion du sens de rotation, on définit le vecteur moment comme suit.

Définition: Moment d’une force

Le moment d’une force 𝐹 agissant sur un corps par rapport au point 𝑂 est 𝑀=𝑟×𝐹,𝑟 est le vecteur position de 𝐴, le point d’application de la force 𝐹.

Dans cette définition, nous voyons que le repère a été choisi de telle sorte que son origine coïncide avec le point par rapport auquel nous calculons le moment. Si nous souhaitons calculer le moment de la force 𝐹 par rapport à un point 𝑃 qui n’est pas l’origine, alors nous devons simplement remplacer 𝑟 par 𝑃𝐴:𝑀=𝑃𝐴×𝐹.

La lettre 𝑃 est ajoutée en indice à 𝑀 pour indiquer que le moment est calculé par rapport au point 𝑃.

Dans le premier exemple, nous allons utiliser cette formule pour calculer le vecteur moment d’une force dans un plan par rapport à un point.

Exemple 1: Déterminer le moment d’une force par rapport à un point

Si la force 𝐹=5𝑖+𝑚𝑗 s’applique au point 𝐴(7;3), déterminez le moment de 𝐹 par rapport au point 𝐵(7;2).

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer le moment d’une force dans le plan par rapport à un point. On rappelle que le vecteur moment de la force 𝐹 agissant au point 𝐴 par rapport au point 𝐵 est 𝑀=𝐵𝐴×𝐹.

On commence par trouver le vecteur 𝐵𝐴:𝐵𝐴=(7,3,0)(7,2,0)=(0,5,0).

On peut écrire 𝐹 comme 𝐹=5𝑖+𝑚𝑗+0𝑘=(5,𝑚,0).

On calcule ensuite le produit vectoriel, 𝐵𝐴×𝐹=||||𝑖𝑗𝑘0505𝑚0||||=(5×00×𝑚)𝑖(0×00×(5))𝑗+(0×𝑚5×(5))𝑘=25𝑘.

Nous remarquons que la constante inconnue 𝑚 dans la force 𝐹 s’est annulée lorsque nous avons calculé le produit vectoriel. Donc, le moment de 𝐹 par rapport au point 𝐵 est 25𝑘.

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé le vecteur moment d’une force dans le plan par rapport à un point en utilisant la formule 𝑀=𝑟×𝐹.

Nous avons alors vu que le vecteur résultant du produit vectoriel n’avait qu’une composante en 𝑘 et que ses composantes en 𝑖 et 𝑗 étaient nulles. Ce n’est pas étonnant si l’on considère la propriété géométrique d’un produit vectoriel. On rappelle que le produit vectoriel de deux vecteurs doit être orthogonal aux deux vecteurs. Comme 𝑀 est égal au produit vectoriel des vecteurs 𝑟 et 𝐹, il doit être orthogonal aux deux vecteurs. Nous savons que 𝑟 et 𝐹 se trouvent tous les deux dans le plan 𝑥𝑦, donc 𝑀 doit être orthogonal au plan 𝑥𝑦. Un vecteur qui est orthogonal au plan 𝑥𝑦 doit être colinéaire au vecteur unitaire 𝑘 dans le repère en trois dimensions. Cela signifie que 𝑟×𝐹=𝑐𝑘 pour un scalaire 𝑐. Comme ce sera toujours le cas, nous pouvons simplifier le calcul de ce produit vectoriel en utilisant le produit vectoriel en deux dimensions.

Définition: Produit vectoriel en deux dimensions

Pour deux vecteurs en deux dimensions (𝑎,𝑏) et (𝑐,𝑑), leur produit vectoriel en deux dimensions est défini par (𝑎,𝑏)×(𝑐,𝑑)=(𝑎𝑑𝑏𝑐)𝑘.

Comme nous pouvons le voir, le produit vectoriel en deux dimensions est plus rapide à calculer. Nous utiliserons cette formule pour calculer le produit vectoriel entre des vecteurs en deux dimensions pour le reste de cette fiche explicative.

Abordons maintenant la norme du vecteur moment, qui est égale à la norme du produit vectoriel:𝑀=𝑟×𝐹.

On rappelle que la norme du produit vectoriel entre deux vecteurs est égale à l’aire du parallélogramme dont les deux côtés adjacents sont formés par les deux vecteurs. Observons cela à l’aide du schéma suivant.

Sur le schéma ci-dessus, l’aire de la région colorée est égale à la norme du produit vectoriel 𝑟×𝐹 et donc à la norme du moment 𝑀. On peut également calculer géométriquement l’aire de ce parallélogramme en utilisant la formule longueurdelabasehauteur×.

Sur la figure, la base de ce parallélogramme est formée par le vecteur 𝐹 et la hauteur correspond à la distance entre l’origine et la ligne d’action de 𝐹, qui est notée 𝑑.

Cela nous amène à la formule suivante de la norme du vecteur moment par rapport à un point d’une force en deux dimensions.

Propriété: Norme du vecteur moment d’une force

La norme du vecteur moment d’une force dans le plan 𝐹 par rapport à un point est 𝑀=𝐹𝑑,𝑑 est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne d’action de la force 𝐹.

Nous pouvons voir que la norme du vecteur moment donnée ci-dessus est égale à la valeur absolue du moment scalaire. Donc, la norme du vecteur moment est cohérente avec la valeur absolue du moment scalaire pour un mouvement dans le plan.

En reformulant cette équation, on obtient une formule utile pour calculer la distance perpendiculaire entre un point et la ligne d’action d’une force.

Formule: Distance perpendiculaire entre un point et une ligne d’action

Soit 𝑀 le vecteur moment par rapport à un point d’une force, ou d’un système de forces, dans un plan. La distance perpendiculaire entre le point et la ligne d’action de la force est alors 𝑑=𝑀𝐹.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer le moment d’une force dans le plan par rapport à un point, puis utiliser cette formule pour déterminer la distance perpendiculaire entre le point et la ligne d’action de la force.

Exemple 2: Déterminer le vecteur moment d’une force agissant en un point et la distance perpendiculaire entre le point où est calculé le moment et la ligne d’action de la force

Sachant que la force 𝐹=4𝑖3𝑗 agit au point 𝐴(3;6), déterminez le moment 𝑀 par rapport à l’origine 𝑂 de la force 𝐹. Calculez également la distance perpendiculaire 𝑙 entre 𝑂 et la ligne d’action de la force.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons d’abord trouver le moment 𝑀 par rapport à 𝑂 de la force 𝐹, puis calculer la distance perpendiculaire entre l’origine 𝑂 et la ligne d’action de 𝐹. Commençons par trouver le moment. On rappelle que le vecteur moment de la force 𝐹 agissant au point 𝐴 par rapport à l’origine 𝑂 est 𝑀=𝑂𝐴×𝐹.

Nous connaissons les coordonnées de 𝐴, ce qui signifie que 𝑂𝐴 est le vecteur position 𝑂𝐴=(3,6).

On peut écrire 𝐹 sous forme de composantes par 𝐹=4𝑖3𝑗=(4,3).

Nous sommes maintenant prêts à calculer le produit vectoriel 𝑂𝐴×𝐹. On rappelle que le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est défini par (𝑎,𝑏)×(𝑐,𝑑)=(𝑎𝑑𝑏𝑐)𝑘.

En appliquant cette formule, on obtient 𝑂𝐴×𝐹=(3,6)×(4,3)=(3×(3)6×4)𝑘=33𝑘.

Donc, le moment de 𝐹 par rapport à l’origine est 33𝑘.

Nous calculons ensuite la distance perpendiculaire entre l’origine et la ligne d’action de 𝐹. On rappelle que la norme du vecteur moment d’une force dans le plan 𝐹 par rapport à un point est 𝑀=𝐹𝑙,𝑙 est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne d’action de la force 𝐹. On peut réarranger cette équation pour écrire 𝑙=𝑀𝐹.

Comme on sait que 𝑀=33𝑘, on a 𝑀=33. On calcule alors 𝐹:𝐹=4+(3)=25=5.

En substituant ces valeurs dans la formule de 𝑙, on obtient 𝑙=335=6,6.

Donc, 𝑀=33𝑘,𝑙=6,6.unitésdelongueur

Nous avons remarqué précédemment que le moment d’une force par rapport à un point est un vecteur colinéaire au vecteur unitaire 𝑘. En d’autres termes, il existe un scalaire 𝑐 tel que 𝑀=𝑐𝑘.

De plus, nous avons observé que la norme du vecteur moment est égale à la valeur absolue du moment scalaire |𝑀|. Cela signifie que 𝑐=𝑀 ou 𝑐=𝑀. Pour déterminer quelle égalité est vraie, nous devons vérifier si le signe de 𝑐 correspond au signe du moment scalaire 𝑀.

Les propriétés du produit vectoriel nous permettent de conclure d’abord que 𝑀 est un vecteur orthogonal au plan défini par 𝑟 et 𝐹. Le sens de 𝑀 est alors donné par la règle de la main droite. Cette règle est parfois expliquée en se référant à la rotation d’une vis:le sens du vecteur 𝐴×𝐵 correspond au sens du mouvement (haut ou bas) d’un couvercle de bouteille ou d’un écrou que l’on tournerait dans le même sens de rotation que lorsque l’on va de 𝐴 à 𝐵, comme illustré sur le schéma suivant.

On rappelle que 𝑀=𝑟×𝐹=𝑐𝑘.

Si 𝑐>0, le vecteur moment sortirait du plan (vers le haut), ce qui correspond à une rotation dans le sens anti-horaire selon la figure ci-dessus. Si 𝑐<0, le vecteur moment irait dans le plan (vers le bas), ce qui indique une rotation dans le sens horaire. Rappelons que pour un moment scalaire 𝑀, le sens anti-horaire correspond à un signe positif, tandis que la rotation dans le sens horaire correspond à un signe négatif. Ceci nous indique que le signe du moment scalaire 𝑀 est le même que le signe du scalaire 𝑐. Donc, nous avons montré que 𝑐=𝑀.

Propriété: Moment scalaire et vecteur moment d’une force

Soient 𝑀 le moment scalaire et 𝑀 le vecteur moment par rapport à un point d’une force, ou d’un système de forces, dans un plan. Alors 𝑀=𝑀𝑘.

Cette propriété établit clairement pourquoi ce vecteur moment est une extension raisonnable du moment scalaire pour une force dans le plan. En outre, le vecteur moment peut être généralisé pour représenter le moment par rapport à un point d’une force générale en trois dimensions puisqu’il est obtenu par un produit vectoriel.

Nous pouvons déduire plusieurs observations utiles de cette propriété. Tout d’abord, nous savons que le moment scalaire ne dépend pas de la position du point auquel la force s’applique, tant que le point se situe sur la ligne d’action de la force. En effet, le moment scalaire est obtenu en utilisant uniquement l’intensité de la force 𝐹 et la distance perpendiculaire 𝑑. Cela signifie que le vecteur moment est également indépendant du point d’application de la force. On peut mieux comprendre cela en étudiant la norme du vecteur moment lorsque l’on déplace ce point le long de la ligne d’action.

On voit que les aires des deux parallélogrammes sont égales car la longueur de la base 𝐹 et la hauteur 𝑑 sont les mêmes pour les deux parallélogrammes. Cela nous indique que la norme du vecteur moment pour ces deux systèmes est la même. En outre, nous pouvons voir que les deux systèmes provoqueraient une rotation dans le sens horaire autour de l’origine, ce qui signifie que le signe du moment serait le même pour les deux systèmes. Donc, le vecteur moment est le même pour ces deux systèmes. Cela nous amène à la propriété utile suivante.

Propriété: Vecteur moment d’une force et point d’application

Le vecteur moment 𝑀 d’une force par rapport à un point est indépendant du point auquel la force s’applique, tant que le point se situe sur la ligne d’action de la force.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer le vecteur moment d’une force dans le plan par rapport à un point 𝐴 inconnu.

Exemple 3: Déterminer le vecteur moment d’une force agissant en un point

L’origine 𝐴 de 𝐴𝐵 a les coordonnées (6;7) et 𝐴𝐵 a pour milieu 𝐷(7;1). Si la ligne d’action de la force 𝐹=2𝑖6𝑗 coupe 𝐴𝐵 en son milieu, calculez le moment de 𝐹 par rapport au point 𝐵.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer le moment par rapport à un point d’une force dans le plan. On rappelle que le vecteur moment de la force 𝐹 agissant au point 𝑃 par rapport au point 𝑂 est 𝑀=𝑂𝑃×𝐹.

Bien que nous ne connaissions pas le point auquel la force agit, nous savons que la ligne d’action de la force 𝐹 coupe 𝐴𝐵 en son milieu. Cela signifie que la ligne d’action passe par le milieu 𝐷 de 𝐴𝐵. On rappelle que le vecteur moment 𝑀 d’une force par rapport à un point est indépendant du point d’application de la force tant que celui-ci se situe sur la ligne d’action de la force. Nous pouvons donc calculer le moment en considérant que le point d’application est 𝐷(7;1). Cela signifie que le moment de 𝐹 par rapport à 𝐵 est 𝑀=𝐵𝐷×𝐹.

Commençons par trouver le vecteur 𝐵𝐷. Comme 𝐷 est le milieu de 𝐴, nous savons que 𝐴𝐷=𝐵𝐷.

En outre, ces vecteurs sont de sens opposé, ce qui signifie que 𝐵𝐷=𝐴𝐷.

On peut trouver 𝐴𝐷 en utilisant les coordonnées des points 𝐴 et 𝐷:𝐴𝐷=(7,1)(6,7)=(1,6).

Donc, 𝐵𝐷=(1,6)=(1,6).

Nous sommes maintenant prêts à calculer le produit vectoriel 𝐵𝐷×𝐹. On rappelle que le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est défini par (𝑎,𝑏)×(𝑐,𝑑)=(𝑎𝑑𝑏𝑐)𝑘.

En appliquant cette formule, on obtient 𝐵𝐷×𝐹=(1,6)×(2,6)=(1×(6)6×(2))𝑘=6𝑘.

Donc, le moment de 𝐹 par rapport au point 𝐵 est 6𝑘.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer le moment par rapport à un point d’un système de forces coplanaires agissant en un seul point en déterminant d’abord la force résultante.

Exemple 4: Calculer le moment par rapport à un point de trois forces agissant en un seul point et calculer la distance entre les points

Sachant que 𝐹=2𝑖+2𝑗, 𝐹=3𝑖𝑗 et 𝐹=𝑖4𝑗 agissent au point 𝐴(2;3), déterminez le moment 𝑚 de la force résultante par rapport au point 𝐵(2;1) et calculez la longueur du segment perpendiculaire 𝑙 reliant le point 𝐵 à la ligne d’action de la force résultante.

Réponse

Dans cet exemple, nous avons un système de forces coplanaires agissant en un même point. Commençons par déterminer la force résultante. On rappelle que la force résultante d’un système de forces agissant en un même point est la somme de tous les vecteurs forces du système. Donc, la force résultante 𝐹 est 𝐹=𝐹+𝐹+𝐹=2𝑖+2𝑗+3𝑖𝑗+𝑖4𝑗=2𝑖3𝑖+𝑖+2𝑗𝑗4𝑗=4𝑖3𝑗.

Cela nous indique que la force résultante est 𝐹=4𝑖3𝑗. Calculons ensuite le moment 𝑚 de la force résultante par rapport au point 𝐵(2;1). On rappelle que le vecteur moment de la force 𝐹 agissant au point 𝐴 par rapport au point 𝐵 est 𝑀=𝐵𝐴×𝐹.

En utilisant les coordonnées de 𝐴 et 𝐵, on peut trouver 𝐵𝐴=(2,3)(2,1)=(4,4).

Nous sommes maintenant prêts à calculer le produit vectoriel 𝐵𝐴×𝐹. On rappelle que le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est défini par (𝑎,𝑏)×(𝑐,𝑑)=(𝑎𝑑𝑏𝑐)𝑘.

Cela donne 𝐵𝐴×𝐹=(4,4)×(4,3)=(4×(3)4×(4))𝑘=4𝑘.

Donc, le moment de la force résultante par rapport au point 𝐵 est 4𝑘.

Calculons maintenant la longueur du segment perpendiculaire 𝑙 reliant le point 𝐵 à la ligne d’action de la force résultante. Cette longueur 𝑙 est également appelée distance perpendiculaire entre le point 𝐵 et la ligne d’action de la force résultante. Pour calculer cette longueur, on rappelle que la norme du vecteur moment d’une force dans le plan 𝐹 par rapport à un point est 𝑀=𝐹𝑙,𝑙 est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne d’action de 𝐹. On peut réarranger cette équation pour écrire 𝑙=𝑀𝐹.

Comme on sait que 𝑀=4𝑘, on a 𝑀=4. On calcule après 𝐹:𝐹=(4)+(3)=25=5.

En substituant ces valeurs dans la formule de 𝑙, on obtient 𝑙=45=0,8.

Donc, 𝑀=4𝑘,𝑙=0,8.unitésdelongueur

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé le moment par rapport à un point d’un système de forces coplanaires agissant en un seul point. Nous pouvons noter que la méthode de recherche du moment d’un système de forces est la même que pour celui d’une seule force si les forces agissent au même point.

Essayons maintenant de déterminer le moment d’un système de forces coplanaires où les forces n’agissent pas au même point.

Définition: Moment d’un système de forces coplanaires

On considère le système de forces 𝐹, 𝐹, , et 𝐹 agissant respectivement en 𝐴, 𝐴, , et 𝐴. Pour déterminer le moment de ce système de forces par rapport au point 𝑂, nous devons trouver les moments 𝑀, 𝑀, , et 𝑀 des forces 𝐹, 𝐹, , et 𝐹 par rapport au point 𝑂. Le moment du système 𝑀 par rapport au point 𝑂 est alors 𝑀=𝑀+𝑀++𝑀.

Cette définition nous indique que le moment d’un système de forces est égal à la somme des moments individuels de chaque force du système par rapport au même point.

Dans le dernier exemple, nous allons calculer des composantes inconnues de forces dans un système agissant en différents points à partir des moments du système de forces par rapport à deux points différents.

Exemple 5: Déterminer les composantes inconnues de deux forces à partir de la somme de leurs moments par rapport à deux points

Soient 𝐹=𝑚𝑖+𝑗 et 𝐹=𝑛𝑖5𝑗, 𝐹 et 𝐹 sont deux forces agissant respectivement aux points 𝐴(3;1) et 𝐵(1;1). La somme de leurs moments par rapport à l’origine est nulle. La somme de leurs moments par rapport au point 𝐶(1;2) est également nulle. Déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer les composantes inconnues 𝑚 et 𝑛 des forces 𝐹 et 𝐹 sachant que la somme des moments des deux forces par rapport à l’origine et celle par rapport au point 𝐶 sont nulles. Nous pouvons trouver les constantes inconnues en identifiant un système de deux équations impliquant 𝑚 et 𝑛. Nous allons obtenir la première équation en calculant la somme des moments de 𝐹 et 𝐹 par rapport à l’origine et en la posant égale à zéro.

On rappelle que le vecteur moment de la force 𝐹 agissant au point 𝑃 par rapport au point 𝑄 est 𝑀=𝑟×𝐹,𝑟 est le vecteur allant du point 𝑄 au point 𝑃. Déterminons d’abord le moment de 𝐹 par rapport à l’origine. Comme 𝐹 agit sur le point 𝐴, on peut écrire 𝑟=𝑂𝐴=(3,1).

On peut exprimer 𝐹 sous forme de composantes par 𝐹=𝑚𝑖+𝑗=(𝑚,1).

Nous sommes maintenant prêts à calculer le produit vectoriel 𝑂𝐴×𝐹. On rappelle que le produit vectoriel de vecteurs en deux dimensions est défini par (𝑎,𝑏)×(𝑐,𝑑)=(𝑎𝑑𝑏𝑐)𝑘.

Cela conduit à 𝑟×𝐹=(3,1)×(𝑚,1)=(3×11×𝑚)𝑘=(3𝑚)𝑘.

Déterminons ensuite le moment de 𝐹 par rapport à l’origine. Comme 𝐹 agit au point 𝐵, on peut écrire 𝑟=𝑂𝐵=(1,1).

On peut exprimer 𝐹 sous forme de composantes 𝐹=𝑛𝑖5𝑗=(𝑛,5).

On calcule le produit vectoriel, 𝑟×𝐹=(1,1)×(𝑛,5)=(1×(5)(1)×𝑛)𝑘=(5+𝑛)𝑘.

La somme de ces deux moments par rapport à l’origine est alors (3𝑚)𝑘+(5+𝑛)𝑘=(8𝑚+𝑛)𝑘.

Comme la somme de ces moments est nulle, on obtient

8𝑚+𝑛=0.(1)

Cela nous donne une première équation impliquant 𝑚 et 𝑛. Nous pouvons répéter ce raisonnement pour le moment par rapport au point 𝐶 pour obtenir une autre équation, mais nous pouvons également la trouver en utilisant les propriétés des moments. Déterminons le moment de 𝐹 par rapport au point 𝐶:𝑟=𝐶𝐴=(3,1)(1,2)=(2,1).

On calcule le produit vectoriel, 𝑟×𝐹=(2,1)×(𝑚,1)=(2×1(1)×𝑚)𝑘=(2+𝑚)𝑘.

Ensuite, pour le moment de 𝐹 par rapport à 𝐶, 𝑟=𝐶𝐵=(1,1)(1,2)=(2,3).

On calcule le produit vectoriel, 𝑟×𝐹=(2,3)×(𝑛,5)=(2×(5)(3)×𝑛)𝑘=(10+3𝑛)𝑘.

On additionne ces deux moments par rapport à 𝐶, (2+𝑚)𝑘+(10+3𝑛)𝑘=(12+𝑚+3𝑛)𝑘.

Comme la somme de ces moments est nulle, on obtient

12+𝑚+3𝑛=0.(2)

Maintenant que nous avons obtenu deux équations en 𝑚 et 𝑛, écrivons les équations (1) et (2) ci-dessous:8𝑚+𝑛=0,12+𝑚+3𝑛=0.

On peut additionner les deux équations pour éliminer 𝑚. Cela conduit à 20+4𝑛=0.

Réarranger cette équation pour isoler 𝑛 donne 𝑛=5. On peut substituer cette valeur dans l’équation (1) et écrire 8𝑚5=0.

Réarranger cette équation pour isoler 𝑚 donne 𝑚=3. Donc, nous avons 𝑚=3,𝑛=5.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Le vecteur moment de la force 𝐹 agissant au point 𝐴 par rapport au point 𝑂 est 𝑀=𝑟×𝐹,𝑟 est le vecteur allant du point 𝑂 au point 𝐴.
  • La norme du vecteur moment d’une force dans le plan 𝐹 par rapport à un point est 𝑀=𝐹𝑑,𝑑 est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne d’action de la force 𝐹.
  • Le vecteur moment 𝑀 d’une force par rapport à un point est indépendant du point d’application de la force tant que celui-ci se situe sur la ligne d’action de la force.
  • Soient 𝑀 le moment scalaire et 𝑀 le vecteur moment par rapport à un point d’une force, ou d’un système de forces, dans un plan. Alors 𝑀=𝑀𝑘.
  • Le calcul du produit vectoriel 𝑟×𝐹 pour calculer le moment 𝑀 par rapport à un point d’une force dans le plan peut être simplifié en utilisant le produit vectoriel en deux dimensions, qui est défini par (𝑎,𝑏)×(𝑐,𝑑)=(𝑎𝑑𝑏𝑐)𝑘.
  • Soit le système de forces 𝐹, 𝐹, , et 𝐹 agissant respectivement en 𝐴, 𝐴, , et 𝐴. Pour déterminer le moment de ce système de forces par rapport au point 𝑂, nous devons trouver les moments 𝑀, 𝑀, , et 𝑀 des forces 𝐹, 𝐹, , et 𝐹 par rapport au point 𝑂. Le moment du système 𝑀 par rapport au point 𝑂 est alors 𝑀=𝑀+𝑀++𝑀.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.