Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à distinguer le vecteur vitesse et la vitesse et à résoudre des problèmes impliquant le vecteur vitesse moyenne et la vitesse moyenne.
La vitesse est une mesure de l’allure à laquelle un objet se déplace. Le compteur de vitesse d’une voiture, par exemple, indique la rapidité de la voiture à un instant donné. C’est-à-dire l’allure à laquelle la voiture couvre une certaine distance.
La vitesse est une grandeur scalaire et peut être mesurée comme une distance par unité de temps, par exemple en kilomètres par heure (km/h). Cependant, la vitesse d’un objet n’indique pas la direction dans laquelle l’objet se déplace. Pour cette raison, on définit le vecteur vitesse. Le vecteur vitesse, qui est une grandeur vectorielle, indique à la fois la vitesse, la direction et le sens du déplacement.
Si une voiture se déplace à 80 km/h, sa vitesse est de 80 km/h. Dire cependant qu’une voiture se déplace à 80 km/h vers le nord-est exprime un vecteur vitesse : on connaît à la fois la vitesse et le sens de déplacement de la voiture.
Si on considère un objet se déplaçant entre deux points, l’objet peut emprunter un nombre infini de chemins de longueurs différentes. La longueur d’un chemin entre deux points est la distance que l’objet parcourt entre les points, tandis que lorsqu’on considère le vecteur vitesse d’un objet, on se réfère à son déplacement. Le déplacement mesure à quelle distance directe et dans quelle direction se situe le deuxième point par rapport au premier.
Supposons qu’un oiseau vole 30 km vers l’est puis 40 km vers le nord.
La distance totale parcourue par l’oiseau est la somme des distances de chacune des deux étapes de son trajet. C’est-à-dire, . En revanche, le déplacement de l’oiseau est représenté par le segment orienté . D’après le théorème de Pythagore, sa norme est de
Par conséquent, bien que la distance parcourue par l’oiseau lors de son vol soit de 70 km, la norme du déplacement de l’oiseau entre son point de départ et son point d’arrivée est de 50 km. On sait aussi que donc en prenant la réciproque de la tangente, on trouve . En convertissant en degrés, minutes et secondes, on obtient . Le déplacement de l’oiseau est donc de 50 km, dans la direction nord-est : on définit à la fois une norme, une direction et un sens.
On utilise la distance pour définir la vitesse et le déplacement pour définir le vecteur vitesse comme suit.
Définitions : Vitesse et vecteur vitesse
La vitesse, qui est une grandeur scalaire, est l’allure à laquelle un objet couvre une distance :
Le vecteur vitesse, qui est une grandeur vectorielle, représente la norme, la direction et le sens du taux de variation de la position d’un objet :
A présent, si on considère à nouveau un mouvement en plusieurs étapes, par exemple le trajet de l’oiseau ci-dessus, on peut l’envisager en fonction de la vitesse moyenne. Elle est définie comme suit.
Définition : Vitesse moyenne
La vitesse moyenne d’un objet est égale à la distance totale parcourue sur la durée totale du trajet :
Il s’agit d’une grandeur scalaire mesurée comme une distance par unité de temps, par exemple en kilomètres par heure (km/h).
En revenant à l’exemple de l’oiseau ci-dessus, supposons que la première étape (30 km) prend à l’oiseau trois quarts d’une heure et que la deuxième étape (40 km) prend à l’oiseau une heure et quart. On a alors
On rappelle maintenant que le vecteur vitesse d’un objet est une grandeur vectorielle, mesurant le déplacement, la direction et le sens du mouvement de l’objet. Le vecteur vitesse moyenne, qui est également une grandeur vectorielle, est défini comme suit.
Définition : Vecteur vitesse moyenne
Le vecteur vitesse moyenne du mouvement d’un objet est égal au déplacement total divisé par la durée totale : où le déplacement total est le déplacement mesuré directement de la position de départ de l’objet à sa position d’arrivée. Comme le déplacement est une grandeur vectorielle, le vecteur vitesse moyenne est également une grandeur vectorielle et ses composantes peuvent donc être positives ou négatives. Sa norme, qui est un scalaire, est mesurée comme une distance par unité de temps et est donc toujours positive.
En revenant à l’exemple de l’oiseau, on rappelle que le déplacement total était de 50 km. Par conséquent,
On remarque qu’il est inférieur à la vitesse moyenne de l’oiseau, qui était de 35 km/h. Au numérateur de la vitesse moyenne, la distance totale est en effet calculée en additionnant les distances des deux étapes du voyage, tandis qu’au numérateur du vecteur vitesse moyenne, le déplacement net est le déplacement direct entre les positions de départ et d’arrivée.
Étudions quelques exemples.
Exemple 1: Calculer le vecteur vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes en fonction des distances et des vitesses
Calculez le vecteur vitesse moyenne d’une voiture qui s’est déplacée en ligne droite sur une distance de 120 m avec un vecteur vitesse de 8 m/s puis qui s’est déplacée dans le même sens sur la même ligne droite d’une distance de 180 m avec un vecteur vitesse de 6 m/s. Donnez votre réponse en m/s à une décimale près.
Réponse
On connaît les distances, le sens et les vitesses des deux étapes du trajet de la voiture.
Pour calculer le vecteur vitesse moyenne de la voiture, nous allons utiliser la formule
Comme il n’y a pas de changement de sens dans ce cas, on remarque que le déplacement total est égal à la distance totale parcourue dans le sens de la ligne droite. En définissant et comme les distances parcourues aux étapes 1 et 2, la norme du déplacement total de la voiture est égal à .
Pour calculer la durée totale, nous devons calculer les durées et de chaque étape du trajet. On utilise pour cela le fait que la durée est égale à la distance divisée par la vitesse : . La vitesse de l’étape 1 est et la vitesse de l’étape 2 est . Par conséquent,
La durée totale du trajet de la voiture est donc de .
Par conséquent, le vecteur vitesse moyenne de la voiture est
Exemple 2: Calculer le vecteur vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes en fonction des durées et des vitesses
Un objet se déplace vers le nord à 12 m/s pendant 10 secondes, puis s’arrête et reste immobile pendant 10 secondes, avant de se déplacer à nouveau vers le nord à 12 m/s pendant 10 secondes supplémentaires. Quel est le vecteur vitesse moyenne de l’objet ?
Réponse
Dans cet exemple, le mouvement de l’objet comporte trois étapes.
Pendant les première et troisième étapes, l’objet se déplace dans le sens positif, c’est-à-dire vers le nord, et pendant la deuxième étape, l’objet est au repos. Pour déterminer le vecteur vitesse moyenne de l’objet, nous allons utiliser la formule
Dans ce cas, comme il n’y a pas de changement de sens, on remarque que la norme du déplacement total est égale à la distance totale parcourue. Notre première tâche consiste donc à déterminer les distances parcourues à chaque étape du trajet. On utilise pour cela la formule distance vitesse durée :
La distance totale parcourue pendant le trajet est donc de : . Comme chacune des trois étapes a une durée de 10 secondes, la durée totale est de . Le vecteur vitesse moyenne de l’objet vers le nord est alors donné par
Nous aurions également pu traiter ce problème en utilisant un graphique représentant le déplacement en fonction du temps, où chaque segment représente une étape du mouvement de l’objet, comme illustré ci-dessous.
Avec le temps sur l’axes des abscisses et le déplacement sur l’axe des ordonnées, on voit par exemple qu’à partir de l’instant et après 10 secondes de trajet, l’objet s’est déplacé de 120 m et a pour coordonnées . Les segments représentant un mouvement dans le sens positif ont un coefficient directeur positif et le segment du milieu représentant le repos a un coefficient directeur nul.
On rappelle maintenant que le coefficient directeur de la droite passant par les points et est défini par
En utilisant les positions de départ et d’arrivée de l’objet comme les deux points par lesquels la droite passe, on peut déterminer le vecteur vitesse moyenne de l’objet en calculant le coefficient directeur de cette droite.
Dans ce cas, les deux points ont pour coordonnées et . Par conséquent, le coefficient directeur de la droite, qui est égal au vecteur vitesse moyenne entre les positions de départ et d’arrivée, est
Penchons-nous à nouveau sur la deuxième méthode que nous avons employée pour calculer le vecteur vitesse moyenne dans l’exemple précédent.
Avec le temps sur l’axe des abscisses et le déplacement sur l’axe des ordonnées, le graphique ci-dessous représente les mouvements uniformes d’un objet, c’est-à-dire des mouvements dans un sens fixe à une vitesse constante. Chaque segment de la courbe représente une étape du mouvement, illustrant le déplacement, le cas échéant, dans un sens donné sur une durée donnée.
Ce type de graphique représente le déplacement en fonction du temps. Étudions l’exemple ci-dessous.
Du point au point , un objet parcourt une distance de 20 m en 4 secondes. Comme le coefficient directeur du segment est positif, on sait que le mouvement est dans le sens positif (en avant). Du point au point , l’objet se déplace alors de nouveau vers l’avant de 30 m en 2 secondes. Du point au point , il est au repos pendant 2 secondes, puis du point au point , son coefficient directeur est négatif et on sait donc qu’il recule de 20 m en 4 secondes.
On rappelle la formule . Ainsi, du point au point , par exemple, la vitesse de l’objet est de . On rappelle également que la distance parcourue d’un point à un autre avec un sens, c’est-à-dire le déplacement, est au vecteur vitesse ce qu’est la distance à la vitesse : . Ainsi, le vecteur vitesse de à , par exemple, est alors que la vitesse de à est , et on reconnaît que la vitesse est la norme du vecteur vitesse.
Considérons maintenant le vecteur vitesse moyenne, c’est-à-dire le déplacement total, qui est égal au déplacement direct entre les positions de départ et d’arrivée divisé par la durée totale. Dans cet exemple, le déplacement total pour aller de à est de 30 m dans le sens positif. La durée de ce déplacement est de 12 secondes.
Si on considère la droite passant par et dans le plan cartésien, le vecteur vitesse moyenne est représenté par la variation de sur la variation de , ce qui est précisément égal au coefficient directeur de la droite passant par les points et .
Comment utiliser les graphiques du déplacement en fonction du temps pour calculer un vecteur vitesse
Pour un objet dont le mouvement commence au point et se termine au point , le vecteur vitesse moyenne de l’objet sur un graphique représentant son déplacement en fonction du temps est égal au coefficient directeur de la droite allant du point au point , c’est-à-dire à la variation globale de la position, ou le déplacement total, divisé par la durée totale :
Dans notre prochain exemple, nous allons étudier les déplacements et le vecteur vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes impliquant un changement de direction.
Exemple 3: Explorer les déplacements, les durées et les vecteurs vitesses d’un trajet en plusieurs étapes
Un poisson nage 15 m vers la gauche à une vitesse moyenne de 2 m/s puis fait demi-tour immédiatement et nage la moitié de cette distance vers la droite. La durée totale de ce trajet est de 12 s, comme indiqué sur la figure. Dans cette question, on considère le déplacement vers la gauche comme positif.
- Quel est le déplacement du poisson à partir de son point de départ 12 s après qu’il a commencé à se déplacer ?
- Pendant combien de temps le poisson nage-t-il vers la gauche ?
- Quel est le vecteur vitesse moyenne du poisson lorsqu’il se déplace vers la droite ? Donnez votre réponse à une décimale près.
- Quel est le vecteur vitesse moyenne du poisson pendant les 12 s de son déplacement ?
Réponse
Partie 1
Nous devons d’abord déterminer le déplacement du poisson après 12 secondes et nous savons que le poisson a nagé pendant une durée totale de 12 s. Nous devons donc déterminer le déplacement total, c’est-à-dire où et dans quel sens le poisson se trouve par rapport à son point de départ lorsqu’il termine son trajet.
Le trajet se déroule en deux étapes. La première étape est de vers la gauche (qui est défini comme le sens positif), suivie de vers la droite, c’est-à-dire dans le sens négatif. Le déplacement total est donc de
Partie 2
Nous devons ensuite déterminer pendant combien de temps le poisson nage vers la gauche. On sait que la distance parcourue pendant cette partie du trajet est de 15 m à une vitesse moyenne de 2 m/s. Pour trouver la durée de cette étape, on utilise donc la formule
Dans ce cas, elle est de
Partie 3
Nous devons ensuite déterminer le vecteur vitesse moyenne du poisson pendant qu’il se déplace vers la droite, c’est-à-dire dans le sens négatif. On utilise pour cela la formule
Le déplacement du poisson vers la droite est de , où le signe négatif indique le sens.
Pour trouver le dénominateur de la formule, c’est-à-dire la durée de cette étape du trajet du poisson, on remarque que si la première étape a duré 7,5 s, comme calculé précédemment, et que la durée totale de tout le trajet est 12 s, alors la durée de la deuxième étape est de . Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour calculer le vecteur vitesse moyenne lorsque le poisson se déplace vers la droite :
Partie 4
Nous devons enfin déterminer le vecteur vitesse moyenne du poisson pendant les 12 s de son déplacement. Encore une fois, on utilise la formule où le déplacement total est, maintenant, le déplacement de sa position de départ à sa position d’arrivée. On a déterminé dans la première partie de cette question qu’il est de 7,5 m. La durée totale du trajet est de 12 s. Par conséquent,
On pourrait également résoudre ce problème en utilisant un graphique représentant le déplacement en fonction du temps, où chaque segment représente une étape particulière du mouvement du poisson, comme illustré ci-dessous.
Avec le temps sur l’axe des abscisses et le déplacement sur l’axe des ordonnées, on voit par exemple qu’à partir de l’instant et après 7,5 secondes, le poisson a parcouru 15 m. Le segment représentant cette étape a un coefficient directeur positif indiquant un mouvement dans le sens avant ou positif.
On rappelle maintenant que le coefficient directeur de la droite passant par les points et est défini par
En utilisant les positions de départ et d’arrivée du poisson comme les deux points par lesquels la droite passe, on peut déterminer le vecteur vitesse moyenne du poisson en calculant le coefficient directeur de cette droite.
Dans ce cas, les deux points ont pour coordonnées et . Par conséquent, le coefficient directeur de la droite, qui est égal au vecteur vitesse moyenne entre les positions de départ et d’arrivée du poisson, est
L’exemple suivant étudie également le vecteur vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes.
Exemple 4: Explorer les distances, les durées et les vecteurs vitesses d’un trajet en plusieurs étapes
Un homme est en retard à un rendez-vous à son bureau qui est à l’autre bout d’une longue route droite depuis sa maison. Il quitte sa maison et court vers sa destination pendant 45 secondes avant de se rendre compte qu’il doit retourner chez lui pour récupérer certains documents dont il a besoin pour le rendez-vous. Il retourne chez lui à la même vitesse que précédemment et passe 185 secondes à chercher les documents, puis court à nouveau vers son rendez-vous. Cette fois, il court à 5,5 m/s pendant 260 secondes, puis arrive au bureau.
- Combien de temps s’écoule entre le moment où l’homme quitte sa maison pour la première fois et le moment où il arrive à son rendez-vous ?
- Quelle est la distance entre sa maison et son bureau ?
- Quelle est son vecteur vitesse moyenne entre le moment où il quitte sa maison pour la première fois et le moment où il arrive au bureau ? Donnez votre réponse à deux décimales près.
Réponse
Le trajet de cet homme se compose de quatre étapes : les deux premières sont de même distance pendant 45 s mais dans des sens opposés, la troisième a une distance nulle pendant 185 s et la dernière étape dure 260 s à une vitesse de 5,5 m/s.
Partie 1
Nous devons d’abord déterminer combien de temps il met au total pour arriver à son rendez-vous. Pour cela, on additionne les durées de chaque étape du trajet :
Partie 2
Nous devons ensuite déterminer la distance entre la maison de l’homme et son bureau. Pour la trouver, on peut simplement utiliser les informations de la dernière étape de son trajet car il couvre toute la distance pendant cette étape. On utilise la formule
Sachant que la vitesse de cette étape est de 5,5 m/s et que sa durée est de 260 s, la distance est de
Partie 3
Nous devons enfin déterminer le vecteur vitesse moyenne de l’homme entre son premier départ de la maison et son arrivée au bureau. Pour cela, on utilise la formule
Le déplacement total est le déplacement dont la norme est la distance directe entre sa maison et le bureau. On vient de déterminer qu’il est égal à 1 430 m et on sait que la durée totale est de 535 s. Par conséquent,
En conclusion, si le sens positif est de la maison vers le bureau, le vecteur vitesse moyenne de l’homme entre son premier départ de la maison et son arrivée au bureau est de 2,67 m/s à deux décimales près.
Le prochain exemple montre comment déterminer à la fois la vitesse moyenne et le vecteur vitesse moyenne d’un objet en mouvement.
Exemple 5: Calculer la distance, le déplacement, la vitesse et le vecteur vitesse d’un objet en mouvement
Un enfant frappe une balle du pied, elle se met à rouler le long du sol horizontal vers un mur situé à une distance de 2 m. La balle se déplace à 2,25 m/s vers le mur, touche le mur et rebondit de la moitié de la distance en ligne droite vers l’enfant, mais en se déplaçant seulement à une vitesse moyenne de 1,75 m/s après avoir touché le mur.
- Quelle est la distance totale parcourue par la balle ?
- Quel est le déplacement total de la balle vers le mur ?
- Pendant combien de temps la balle s’est-elle déplacée ? Donnez votre réponse à deux décimales près.
- Quelle est la vitesse moyenne de la balle pendant son mouvement au mètre par seconde près ?
- Quel est le vecteur vitesse moyenne de la balle vers le mur entre le moment où la balle a été frappée et le moment où elle est revenue du mur et s’est arrêtée ? Donnez votre réponse à deux décimales près.
Réponse
Il y a deux étapes dans le mouvement de la balle. Le première est d’une distance de 2 m sur un sol horizontal à 2,25 m/s et la seconde est de la moitié de cette distance dans le sens opposé à une vitesse moyenne de 1,75 m/s.
Partie 1
La distance totale parcourue par la balle est la somme des distances en avant (2 m) et en arrière (), c’est-à-dire .
Partie 2
Le déplacement total de la balle est le déplacement entre l’endroit où la balle a commencé son mouvement et l’endroit où elle s’est arrêtée. C’est-à-dire
Partie 3
Pour déterminer la durée totale pendant laquelle la balle est en mouvement, nous devons déterminer les durées de chaque étape de son trajet. On utilise pour cela la formule
Soient et les durées de chaque étape, et les distances de chaque étape et et les vitesses de chaque étape, on a alors
La durée totale pendant laquelle la balle est en mouvement est, par conséquent, égale à à 2 décimales près
Partie 4
Nous devons ensuite déterminer la vitesse moyenne de la balle pendant son mouvement au mètre par seconde près. La vitesse moyenne est définie par qui est dans ce cas
Au mètre par seconde près, la vitesse moyenne est donc de 2 m/s.
Partie 5
Enfin, le vecteur vitesse moyenne de la balle entre le moment où elle a été frappée jusqu’au moment où elle s’est arrêtée est défini par
On a déjà trouvé que le déplacement total est égal à 1 m vers le mur. Par conséquent, dans le sens du garçon vers le mur.
Nous aurions également pu calculer le vecteur vitesse moyenne de ce problème en utilisant un graphique du déplacement en fonction du temps, où chaque segment représente une étape du mouvement de la balle, comme illustré ci-dessous.
Avec le temps sur l’axe des abscisses et le déplacement sur l’axe des ordonnées, on voit par exemple qu’à partir de l’instant et après environ 0,89 seconde, la balle s’est déplacée de 2 m. Le segment représentant cette étape a un coefficient directeur positif indiquant un mouvement dans le sens avant ou positif.
On rappelle maintenant que le coefficient directeur de la droite passant par les deux points et est défini par
Si on utilise les positions de départ et d’arrivée de la balle comme les deux points par lesquels passe la droite, on peut déterminer le vecteur vitesse moyenne de la balle en calculant le coefficient directeur de cette droite.
Dans ce cas, les deux points ont pour coordonnées et . Par conséquent, le coefficient directeur de la droite, qui est égal au vecteur vitesse moyenne entre les positions de départ et d’arrivée, est
Dans le dernier exemple, nous allons déterminer le vecteur vitesse moyenne pour un mouvement dont la direction varie. Il s’agit d’un scénario similaire à l’exemple de l’oiseau volant vers l’est puis vers le nord que nous avons étudié au début de cette fiche explicative.
Exemple 6: Calculer le vecteur vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes avec changement de direction
Un homme a marché 6 km vers l’est pendant 1,2 heure. Il a ensuite marché 8 km vers le nord pendant 2 heures. Calculez la norme du vecteur vitesse moyenne de l’homme.
Réponse
Le trajet de l’homme se compose de deux étapes.
Les distances parcourues à chaque étape sont de 6 km et 8 km et les durées respectives de chaque étape sont 1,2 heure et 2 heures. Pour déterminer la norme du vecteur vitesse moyenne de l’homme, nous allons utiliser la formule
Pour le dénominateur, on additionne simplement les durées des deux étapes. Par conséquent, la durée totale est de . Pour le numérateur, nous devons déterminer le déplacement total, c’est-à-dire le déplacement direct entre sa position initiale et finale.
On peut utiliser le théorème de Pythagore pour le calculer :
Techniquement, comme le déplacement est une grandeur vectorielle, il faudrait spécifier une direction de déplacement. On pourrait pour cela calculer l’angle entre l’est et la direction du déplacement, ou encore indiquer que le déplacement est dans une direction approximativement nord-est. Comme nous devons cependant déterminer la norme du vecteur vitesse moyenne, cela n’est pas nécessaire ici.
En utilisant la formule, la norme du vecteur vitesse moyenne est donc
Il est utile de rappeler que l’on a uniquement étudié des situations où le vecteur vitesse était constant pour chaque étape du mouvement d’un objet. Comme on le voit sur un graphique représentant le déplacement en fonction du temps, un vecteur vitesse constant est égal au coefficient directeur du segment représentant cette étape du mouvement.
Supposons maintenant que le vecteur vitesse n’est pas constant. La représentation graphique du mouvement de l’objet est alors une courbe. Dans l’exemple ci-dessous, le mouvement a un vecteur vitesse non constant dans le sens positif.
Pour un point sur la courbe, on peut trouver ce que l’on appelle le vecteur vitesse instantanée en calculant le coefficient directeur de la tangente en ce point.
Bien qu’au-delà de la portée de cette fiche explicative, on peut également déterminer le vecteur vitesse moyenne pour tout ou une partie du mouvement de l’objet. On peut le faire en déterminant le coefficient directeur de la droite soit entre les positions de départ et d’arrivée, soit entre deux points pendant le mouvement.
Récapitulons maintenant certains des points clés sur la vitesse moyenne et le vecteur vitesse moyenne abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- La vitesse est une grandeur scalaire et décrit l’allure à laquelle un objet couvre une distance, où la distance est la longueur d’un chemin entre deux points : La vitesse est mesurée comme une distance par unité de temps.
- Levecteur vitesse, qui est une grandeur vectorielle, spécifie à la fois la norme, la direction et le sens de la variation de position d’un objet. Étant donné deux points, le déplacement mesure où et dans quelle direction est le deuxième point par rapport au premier. Le vecteur vitesse est défini comme un déplacement par unité de temps et a une direction et un sens.
- La vitesse moyenne du mouvement d’un objet est une grandeur scalaire également mesurée comme une distance par unité de temps :
- Le vecteur vitesse moyenne du mouvement d’un objet est défini par où le déplacement total est le déplacement direct de l’objet depuis son point de départ jusqu’à son point d’arrivée. Il s’agit d’une grandeur vectorielle, donc il a une direction et un sens et est mesuré comme une distance par unité de temps.
- Sur un graphique représentant le déplacement en fonction du temps, le vecteur vitesse moyenne du mouvement d’un objet est égal au coefficient directeur de la droite entre les positions de départ et d’arrivée de l’objet.
