Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à faire la distinction entre un scalaire qui possède une grandeur physique, et un vecteur qui possède à la fois une grandeur physique et un sens.
Étudions d’abord quelques exemples de grandeurs physiques pour déterminer si chacune d’entre elles possède une propriété directionnelle.
Exemple 1: Identifier les grandeurs scalaires et vectorielles
Laquelle des propositions suivantes est une grandeur vectorielle ?
- l'énergie
- la différence de potentiel
- la charge
- la force
- la pression
Réponse
Rappelons qu’un vecteur a une norme et un sens, contrairement à un scalaire, qui n’a qu’une norme. Pensons à quelques valeurs possibles que ces grandeurs peuvent avoir, exprimées en unités du système international. Par exemple, on pourrait avoir 200 J d’énergie, 12 V de différence de potentiel, de charge, une force de 50 N orientée vers le haut, ou 900 Pa de pression.
Ces grandeurs ont toutes des normes, mais pour être un vecteur, une grandeur doit également avoir un sens. Voyons s’il est logique de définir un sens pour chacune de ces grandeurs. L’énergie mesure la capacité d’un objet à effectuer un travail en fonction de son mouvement, de sa position ou de ses propriétés internes. Par exemple, si on sait que le ballon se trouvant sur la colline illustrée sur le schéma ci-dessous a 200 J d’énergie potentielle, on connait alors l’intensité de son énergie, mais on ne peut pas pour autant lui donner une direction. Le ballon peut potentiellement rouler vers le bas de la colline dans n’importe quelle sens, mais aucun des chemins menant au bas de la colline ne peut être distingué par son énergie car cette grandeur n’est associée à aucun sens particulier.
La différence de potentiel et la charge sont des grandeurs associées à une force électrique qui peut être orientée dans n’importe quel sens. Par exemple, une charge ponctuelle positive génère un champ électrique orienté radialement vers l’extérieur, comme illustré par les flèches noires sur la figure ci-dessous. Si une charge de test positive était placée à proximité, la charge positive exercerait une force de répulsion, représentée par les flèches violettes, entraînant une accélération de celle-ci par le biais d’une différence de potentiel. Cependant, la direction de la force de répulsion dépend des positions des charges positives, mais ni la charge ni la différence de potentiel ne s’oriente réellement dans un sens. Ainsi, on ne peut associer une grandeur à un sens.
La pression est une force répartie sur une zone. Imaginons que l’on exerce une pression sur le couvercle d’un récipient rempli de mastic, ayant des trous sur tous ces côtés, comme illustré ci-dessous. On remarque que la pression sur le couvercle exerce à son tour une pression sur l’intégralité du mastic contenu dans le récipient, comme représenté par les flèches, et que le mastic s’écoule à travers les trous sur tous les côtés du récipient. La pression s’applique dans tous les sens à la fois, et on ne peut donc pas l’associer à un sens spécifique ni représenter la pression comme une grandeur scalaire.
La seule grandeur indiquée ci-dessus à laquelle un sens est associé est la force, et elle est spécifiée comme exercée vers le haut. Imaginons qu’une balle soit lancée avec une force de 50 N vers le haut, et qu’une autre balle soit lancée avec une force de 50 N vers la droite, comme illustré ci-dessous. Même si elles ont les mêmes intensités, les forces peuvent être distinguées les unes des autres contrairement aux scalaires qui ne peuvent pas être distingués. Ici, une différence de sens est une partie importante de la mesure. Pour décrire une force de façon complète, il faut spécifier à la fois son intensité et son sens.
Par conséquent, la force est une grandeur vectorielle.
Maintenant que l’on a vu des exemples illustrant les deux types de grandeurs, étudions leurs définitions formelles.
Définition: Scalaire
Une grandeur scalaire exprime seulement la norme, ou une grandeur. Un scalaire peut avoir une unité afin de quantifier sa norme, mais pas un sens.
Définition: Vcteur
Une grandeur vectorielle exprime à la fois la norme et le sens. Un vecteur peut avoir une unité afin de quantifier sa norme, et il doit être associé à un sens spécifié.
Bien que ces deux termes semblent similaires, leur différence principale est qu’un vecteur est associé à un sens spécifique, alors qu'un scalaire ne l'est pas.
Rappelons que des unités peuvent être associées aux deux types de grandeurs. Par exemple, si on sait qu’un chien a couru 20 m, cette distance est exprimée en tant que scalaire. Mais, si une personne affirme avoir vu le chien courir 20 mvers le parc, alors on peut alors utiliser une grandeur vectorielle pour décrire le déplacement du chien, indiquant sur quelle distance il a couru dans un certain sens. Ces deux exemples de scalaire et de vecteur ont la même unité, le mètres, mais mènent à des résultats différents, car le fait de spécifier un sens nous renseigne davantage sur le déplacement du chien.
Exemple 2: Identifier les grandeurs scalaires et vectorielles
Une série de mesures pour une certaine grandeur a pour valeurs 7 unités, 4 unités, -2 unités et 6 unités. À laquelle des grandeurs suivantes ces mesures peuvent-elles correspondre ?
- une grandeur vectorielle uniquement
- une grandeur scalaire uniquement
- soit une grandeur scalaire, soit une grandeur vectorielle
- ni une grandeur scalaire ni une grandeur vectorielle
Réponse
Tout d’abord, rappelons que les scalaires sont des grandeurs qui possèdent seulement une norme, et que les vecteurs sont des grandeurs qui ont une norme et un sens, et remarquez qu’aucune des valeurs listées ci-dessus n’inclut un sens. Cependant, cela ne signifie pas que ces normes ne peuvent jamais être associées à un sens, alors imaginons que les grandeurs vectorielles prennent les valeurs et 6.
La force est une grandeur vectorielle couramment utilisée en physique ; on peut donc penser que les valeurs sont exprimées dans l’unité de force du système international, le newtons, c’est-à-dire, 7 N, 4 N, et 6 N. La valeur négative peut éveiller certaines suspicions, mais il convient de noter que les grandeurs vectorielles négatives représentent souvent des valeurs qui pointent dans le sens opposé aux forces positives. Par exemple, soit une boîte qui est poussée à travers un plancher avec une force d'intensité 100 N vers la droite, tout en considérant que le frottement sur la boîte provoque une force de résistance de 25 N vers la gauche. Si l’on cherche à quantifier la force nette agissant sur la boîte, tout en choisissant de représenter le sens vers la droite comme étant positif et vers la gauche comme étant négatif, on peut alors calculer la force nette comme étant . Ainsi, on sait que la boîte subit une force nette de 75 N agissant vers la droite.
Nous avons ici pu attribuer en toute logique une valeur négative à un vecteur ; il est donc raisonnable de conclure que l’ensemble des valeurs et 6 puisse représenter une grandeur vectorielle.
À présent, il nous faut décider si notre ensemble de valeurs peut potentiellement représenter une grandeur scalaire, et pour ce faire, voyons ce que signifierait pour un scalaire d’avoir une valeur négative. Alors que certaines unités de mesure, telles que le temps, ne peuvent logiquement pas avoir une valeur négative, d'autres grandeurs scalaires peuvent avoir des valeurs négatives. Par exemple, prenons la charge électrique : les protons ont une valeur de charge de , et les électrons ont une charge de . Notons que les valeurs ont les mêmes intensités, mais puisque l’une est positive et l’autre négative, il est important de les distinguer. Par conséquent, la charge est une grandeur scalaire qui peut avoir une valeur négative.
Ainsi, il est possible que l’ensemble des valeurs mesurées et 6 puisse représenter une grandeur soit scalaire, soit vectorielle, ce qui correspond à la réponse C.
Comme démontré ci-dessus, les valeurs scalaires et vectorielles sont présentes dans notre vie quotidienne, notamment lorsque l’on étudie la physique, et il est donc utile de voir comment ces types de grandeurs interagissent mathématiquement.
Un vecteur peut être représenté graphiquement, en utilisant une flèche, de sorte que la longueur de la flèche représente la norme du vecteur, et que la flèche pointe dans le sens du vecteur. Cette représentation peut nous aider à mieux comprendre les propriétés des vecteurs et comment ils interagissent avec d’autres grandeurs. L’exemple suivant illustre la méthode « bout à bout » qui permet d’additionner des vecteurs dont la somme donne un nouveau vecteur.
Exemple 3: Identifier la bonne représentation graphique d’une addition de vecteurs
Les deux vecteurs illustrés ci-dessous peuvent être additionnés pour produire un vecteur résultant. Lequel des schémas suivants illustre correctement la résultante de l’addition de ces deux vecteurs ?
Remarque : les longueurs des vecteurs ne sont pas à l’échelle.
Réponse
Pour additionner des vecteurs graphiquement, on peut utiliser la méthode « bout à bout ».
Les vecteurs sont additionnés par commutativité, ce qui signifie qu’ils aurons toujours la même somme, quel que soit l’ordre dans lequel ils sont additionnés. Ainsi, en commençant par l’un ou l’autre des vecteurs, trouvons la « tête » (l’extrémité correspondant à la pointe de la flèche). Puis localisons la « queue » (l’extrémité sans la pointe de la flèche) de l’autre vecteur. On utilisera la pointe du vecteur bleu et la queue du vecteur vert, comme indiqué ci-dessous.
Ensuite, il s’agit d’effectuer une translation, ou faire de glisser, sans le tourner, le deuxième vecteur de sorte que sa queue soit située au même point que la tête du premier vecteur. Cette étape est illustrée ci-dessous.
Une fois que les deux vecteurs sont mis « bout à bout », on peut alors tracer un nouveau vecteur pour représenter leur somme, qui commence au niveau de la queue du premier vecteur et se termine à la tête du deuxième vecteur. Cette somme est représentée par le vecteur jaune ci-dessous.
D’autre part, on remarque qu’en raison de la commutativité, nous aurions pu additionner les vecteurs dans un ordre différent et obtenir la même somme, comme indiqué ci-dessous.
Ainsi, la réponse B illustre correctement l’addition des deux vecteurs.
Lors de l’addition et de la soustraction de scalaires ou de vecteurs, il y a une règle simple : il faut toujours additionner ou soustraire des grandeurs semblables. Additionner ou soustraire deux grandeurs avec des unités différentes n’a aucune logique. Par exemple, si l’on essaye d’additionner 25 joules avec 10 hertz en un résultat cohérent, on s’aperçoit alors qu’additionner des termes ayant des unités incompatibles n’est pas logique.
De même, il n’est pas possible d’additionner ou de soustraire un scalaire et un vecteur. Même si les deux grandeurs utilisent les mêmes unités, les scalaires et les vecteurs sont toujours fondamentalement différents l’un de l’autre ; si une grandeur n’a pas de composante directionnelle ou un élément de sens, on ne peut pas l’additionner ou la soustraire à une autre grandeur qui possède un sens, puisqu’on n’aura pas suffisamment d’informations pour trouver un résultat correct et complet.
Imaginons que l’on essaye d’additionner un scalaire avec un vecteur. Supposons que l’on trouve une carte montrant les directions à suivre pour découvrir un trésor caché, qui indique : « marchez 60 pas, puis marchez 40 pas vers l’ouest ». On pourrait trouver l’emplacement exact du trésor en calculant le déplacement total en fonction des instructions données, ce qui s’écrirait comme 60 pas 40 pas vers l’ouest. Il y a cependant un problème, car nous ne savons pas le sens dans lequel marcher les 60 premiers pas, donc l’addition des deux grandeurs ne permet pas d’obtenir un résultat évident. On pourrait essayer de deviner, et peut-être marcher les 60 premiers pas vers le nord, le sud, l’est ou l’ouest, mais il est également possible que ces pas doivent être effectués selon un sens intermédiaire. Cela signifie qu’il y a une multitude de chemins possibles, mais un seul chemin correct. Si les instructions comprenaient un sens initial en complément de la norme de 60 pas, nous aurions pu connaître immédiatement l’emplacement du trésor.
Le point clé à retenir lors de l’addition ou de la soustraction est qu’il faut impérativement utiliser des termes semblables : scalaire avec scalaire, ou vecteur avec vecteur, en s’assurant toujours que leurs unités correspondent.
Notons qu’il n’est pas possible de diviser par un vecteur. Mais étonnamment, il est possible de diviser un vecteur par un scalaire, et de multiplier les scalaires et les vecteurs ensemble. Pour ce faire, il suffit de multiplier ou de diviser normalement les normes des grandeurs et de multiplier ou de diviser leurs unités, tout en prenant soin de déterminer ce que ce changement d’unités implique pour la grandeur résultante. Le sens du vecteur s’applique toujours au produit ou au quotient, de sorte que multiplier ou diviser des scalaires et des vecteurs ensemble donne un vecteur. Il peut être utile de représenter graphiquement les vecteurs pour comprendre cette notion, car la multiplication ou la division d’un vecteur par un scalaire implique simplement de changer la longueur de la flèche, qui reste un vecteur.
Par exemple, on sait qu’un vélo se déplace vers la droite à , et on cherche à déterminer quel est son son déplacement après 2 s. Étant donné qu’il s’agit d’une grandeur vectorielle, on peut représenter le vecteur vitesse du vélo avec une flèche, telle la flèche bleue illustrée ci-dessous, pointant vers la droite et mesurant 8 unités.
Le temps est une grandeur scalaire, il ne peut donc pas être représenté par une flèche. Cependant, il est toujours possible d’effectuer une opération mathématique entre le vecteur et le scalaire. Afin de déterminer le déplacement du vélo, il nous faut multiplier le vecteur vitesse par le temps ; on multiplie donc l’intensité du vecteur par deux, ce qui double la longueur de la flèche. Ce produit est représenté par la flèche verte ci-dessous, à laquelle il est logique d'associer un sens, car le déplacement est une grandeur vectorielle. On peut conclure qu’après deux secondes, le vélo a un déplacement de 16 m vers la droite.
Il est important de rappeler que la multiplication ou la division d’un vecteur par un scalaire donne un nouveau vecteur de même sens, mais de norme différente. Appliquons ce concept à quelques exemples.
Exemple 4: Déterminer si le produit de deux grandeurs est un scalaire ou un vecteur
Si une vitesse est multipliée par un temps, la grandeur résultante est-elle une grandeur vectorielle ou une grandeur scalaire ?
Réponse
On souhaite multiplier une vitesse par un temps, mais voyons d’abord les propriétés de ces grandeurs. Il faut faire attention à ne pas confondre vitesse et vecteur vitesse, qui est son vecteur homologue. La vitesse n’a pas d’élément directionnel, c’est donc une grandeur scalaire.
Le temps est aussi une grandeur scalaire ; nous voulons donc multiplier deux scalaires ensemble, et omme nous le savons déjà, il suffit de multiplier leurs normes et leurs unités. Puisqu’il n’y a pas de sens associé au temps ou à la vitesse, leur produit résultant sera aussi un scalaire.
Exemple 5: Déterminer si le produit de deux grandeurs est un scalaire ou un vecteur
Si un temps est multiplié par un vecteur vitesse, alors la grandeur résultante est-elle une grandeur vectorielle ou une grandeur scalaire ?
Réponse
On souhaite multiplier un temps par un vecteur vitesse, et pour déterminer si ceci est possible, examinons les propriétés de ces deux grandeurs. Le temps est une grandeur scalaire, car il peut être totalement et uniquement caractérisé par le biais de sa norme, et rappelons que le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle :
Il ne faut pas confondre le vecteur vitesse avec la vitesse, son homologue scalaire : le vecteur vitesse est défini comme étant un déplacement divisé par le temps, sachant que le déplacement est un vecteur car il a à la fois une norme et un sens.
On souhaite multiplier un scalaire par un vecteur, ce qui revient à multiplier leurs intensités et leurs unités tout en associant le sens du vecteur au produit résultant. Puisque le produit résultant aura une direction, la grandeur résultante est donc un vecteur.
Pour vérifier cela, il suffit de multiplier le temps et le vecteur vitesse, ce qui nous donne
Les unités de temps s’annulent et notre grandeur se transforme en déplacement, qui a à la fois une norme et un sens, de sorte que la grandeur résultante est un vecteur.
Notons que, comme mentionné dans l’exemple ci-dessus, la définition même du vecteur vitesse implique de diviser un vecteur (déplacement) par un scalaire (temps), ce qui donne un vecteur, comme nous avions vu dans l’exemple du vélo.
Enfin, voici un résumé des notions importantes de cette fiche explicative.
Points clés
- Les grandeurs scalaires ont seulement une norme, et les grandeurs vectorielles ont à la fois une norme et un sens.
- Lors de l’addition et de la soustraction, il faut impliquer soit vecteur avec vecteur, soit scalaire avec scalaire. Dans les deux cas, toutes les unités impliquées doivent correspondre.
- On peut additionner graphiquement des vecteurs « bout à bout », pour créer un nouveau vecteur.
- On peut déduire si les valeurs obtenues à partir d’un calcul avec des grandeurs scalaires et vectorielles ont une valeur scalaire ou vectorielle.
- Lors de la multiplication ou de la division d’un vecteur et d’un scalaire, il suffit de multiplier ou de diviser leurs normes et leurs unités, tout en gardant le sens du vecteur, ce qui aura pour résultat un vecteur.
