Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à utiliser le principe du travail et de l’énergie pour résoudre des problèmes sur le mouvement d’une particule.
Rappelons d’abord la définition de l’énergie cinétique.
Définition : Energie cinétique
L’énergie cinétique d’une particule dépend de la masse et de la vitesse de la particule, selon la formule où, est la masse du corps et est la vitesse du corps.
Le travail peut être effectué sur une particule en lui appliquant une force.
Définition : Travail effectué par une force constante sur une particule
Le travail effectué par une force constante sur une particule pour déplacer la particule d’une position initiale à une position finale est donné par le produit scalaire entre la force et le vecteur de déplacement entre les deux positions :
En utilisant les propriétés du produit scalaire, si est constante pour un déplacement donné, alors nous avons où est l’intensité de la force , est l’intensité du déplacement de la particule , et est l’angle entre et . Dans cette fiche explicative, nous ne traiterons que des situations où et sont colinéaires, de sorte que , selon que et ont le même sens ou des sens opposés. Une force dont le travail est négatif est appelée force de résistance car elle agit contre le mouvement de la particule ou du corps.
Si varie lors du mouvement de la particule, nous devons utiliser une définition mathématique appropriée pour le travail effectué par une force pendant le mouvement d’un point à un point :
On voit que si l’orientation de varie pendant le déplacement entre et , comme c’est le cas pour le frottement le long d’un chemin courbé, le travail effectué par dépend du chemin parcouru. En revanche, pour le poids, le travail effectué dépend seulement des points et initial et final.
Une force est dite conservative si le travail total effectué pour déplacer la particule entre deux points ne dépend pas de la trajectoire empruntée. Il s’ensuit que si une particule revient à sa position initiale, le travail total effectué par cette force est nul. Le poids est une force conservative, tandis que le frottement est une force non conservative.
Le principe du travail et de l’énergie relie le travail total effectué sur un corps et la variation de l’énergie cinétique du corps.
Définition : Principe du travail et de l’énergie
La variation de l’énergie cinétique d’un corps est la somme du travail effectué sur le corps par les forces agissant sur celui-ci, que ces forces soient ou non des forces conservatrices :
Voyons avec notre premier exemple comment le principe du travail et de l’énergie nous permet de déterminer l’intensité de la force qui produit une variation de la vitesse d’un corps dans un intervalle de temps non déterminé, en connaissant seulement la variation de la vitesse du corps et le déplacement du corps.
Exemple 1: Utiliser le principe du travail et de l’énergie pour déterminer l’intensité d’une force
Un corps de masse 96 kg se déplace en ligne droite à une vitesse de 17 m/s. Une force commence à agir sur ce corps dans le sens opposé à son mouvement. Par conséquent, durant les prochains 96 m, sa vitesse diminue jusqu’à 11 m/s. En utilisant le principe du travail et de l’énergie, déterminez l’intensité de la force.
Réponse
D’après le principe du travail et de l’énergie, nous avons où, et sont respectivement les énergies cinétiques finale et initiale, et et sont les vitesses finale et initiale. La masse du corps est de 96 kg, et ses vitesses initiale et finale sont respectivement 17 m/s et 11 m/s. Par conséquent,
Comme , le travail effectué par la force sur le corps est . Nous avons où est l’intensité de la force, est l’intensité du déplacement de la particule, et est l’angle entre et . La force agit sur le corps dans le sens opposé à son mouvement. Par conséquent, , et ainsi
Ce travail est effectué sur une distance de 96 m. Le corps se déplace en ligne droite ; par conséquent, la distance parcourue est égale au déplacement . En remplaçant par les valeurs, on obtient
En résolvant cette équation en
L’intensité de la force est de 84 N.
Regardons maintenant un autre exemple impliquant des forces de résistance.
Exemple 2: Utiliser le principe du travail et de l’énergie pour calculer un rapport de résistance
Deux balles de masse équivalente ont été tirées à la même vitesse de part et d'autre d'une cible. La cible est formée de deux pièces de métal différentes collées ensemble. La première a une épaisseur de 9 cm et la seconde a une épaisseur de 12 cm. Lorsque les balles atteignent la cible, la première traverse la première couche et s’enfonce de 4 cm dans la seconde avant de s’arrêter, alors que l’autre balle traverse la deuxième couche et s’enfonce de 5 cm dans la première couche avant de s’arrêter. En utilisant le principe du travail et de l’énergie, calculez le rapport de la résistance de la première couche métallique par rapport à la deuxième.
Réponse
La question indique que les balles ont la même masse et la même vitesse : elles ont donc la même énergie cinétique. Comme les balles ont la même énergie cinétique, un travail égal doit être fourni sur chaque balle pour la mettre au repos.
Pour chaque balle, deux forces de résistance différentes agissent sur la balle, elles correspondent aux résistances des couches dans lesquelles elles se déplacent. Pour chaque balle, les forces de résistance qui agissent sur celles-ci agissent sur différentes distances, correspondant aux distances parcourues à travers chaque couche.
Pour la première balle, la force de résistance due au déplacement à travers la première couche agit sur toute l’épaisseur de la couche, c’est-à-dire 9 cm. La force de résistance due au déplacement à travers la deuxième couche agit sur une distance de 4 cm. Le trajet des balles à travers les couches est illustré par la figure suivante.
En écrivant respectivement l’intensité des forces de résistance dues à la première et à la deuxième couche et et en considérant que ces forces agissent parallèlement mais dans un sens opposé au mouvement, le travail effectué sur la première balle, , est donné par
La deuxième balle traverse toute l’épaisseur de la deuxième couche et s’enfonce en partie dans la première couche. De la même manière que pour la première balle, on obtient
Le travail effectué est le même pour chaque balle, donc
En multipliant chaque membre par , on obtient
Cela peut être réécrit comme suit pour déterminer le rapport des deux forces :
Par conséquent, le ratio de par rapport à est de .
Considérons un exemple où le principe du travail et de l’énergie peut être utilisé pour calculer l’énergie cinétique d’un corps projeté vers le bas, sur le point de toucher le sol.
Exemple 3: Déterminer l’énergie cinétique d’un corps projeté vers le bas, sur le point de toucher le sol
Un corps de masse 400 g a été projeté à 4 m/s verticalement vers le bas depuis un point, 5 m au-dessus du sol. A l’aide du principe du travail et de l’énergie, calculez l’énergie cinétique du corps lorsqu’il est sur le point de toucher le sol. On prendra .
Réponse
Selon le principe du travail et de l’énergie, le travail de toutes les forces agissant sur le corps est égal à la variation de l’énergie cinétique du corps :
Nous recherchons , donc on doit calculer et .
Lorsque le corps est projeté, il a une énergie cinétique initiale. Pour déterminer de l’énergie cinétique initiale du corps, on convertit sa masse, donnée en grammes, en kilogrammes :
La seule force agissant sur le corps est son poids. Le travail d’une force est donné par où est l’intensité de la force , est l’intensité du déplacement de la particule et est l’angle entre et . Comme le poids est parallèle et dans le même sens que le déplacement de l’objet, son travail entre 5 m au-dessus du sol jusqu’au sol est
En appliquant maintenant le principe du travail et de l’énergie, nous trouvons
L’énergie cinétique du corps quand il est sur le point de toucher le sol est 22,8 joules.
Considérons maintenant un exemple où le principe du travail et de l’énergie est utilisé pour déterminer la force de résistance qui agit sur un corps.
Exemple 4: Utiliser le principe du travail et de l’énergie pour calculer une résistance
Un corps de masse 125 kg tombe verticalement d’une hauteur de 112 cm sur une section de sable. Il s’enfonce de 5 cm dans le sable avant de s’immobiliser. En utilisant le principe du travail et de l’énergie, calculez la résistance du sable au mouvement de l’objet. On prendra .
Réponse
Selon le principe du travail et de l’énergie, le travail de toutes les forces agissant sur le corps est égal à la variation de l’énergie cinétique du corps :
Le corps est décrit comme tombant d’une hauteur, donc on considère qu’il n’a pas d’énergie cinétique avant de tomber, c’est-à-dire, . Le corps s’arrête à la fin, ce qui signifie que . On a donc .
Nous devons maintenant déterminer toutes les forces agissant sur ce corps ; ce sont son poids et la force exercée par le sable. La résistance de l’air est négligée.
Calculons le travail de chacune de ces deux forces. Rappelons que le travail d’une force est où est l’intensité de la force , est l’intensité du déplacement de la particule et est l’angle entre et . Les deux forces agissent parallèlement au mouvement du corps, mais tandis que le poids agit dans le même sens que le mouvement du corps, la résistance du sable agit dans le sens opposé (c’est, en effet, une force de résistance).
Par conséquent, où est l’intensité du déplacement total du corps lorsqu’il tombe de 112 cm pour atteindre le sol et s’enfonce de 5 cm dans le sable, comme indiqué sur la figure suivante.
La distance parcourue par le corps est de 112 cm depuis la hauteur initiale à laquelle s’ajoutent les 5 cm d’enfoncement du corps dans le sable, soit une distance totale de 117 cm.
On convertit 117 cm en 1,17 m de manière à obtenir les mêmes unités de distance que pour les unités en mètres par seconde carrée utilisées pour . Donc, nous avons
La résistance du sable n’agit que lorsque le corps s’enfonce dans le sable, pendant les derniers 5 cm, soit 0,05 m. Par conséquent, son travail est où est l’intensité de la force exercée par le sable.
En appliquant maintenant le principe du travail et de l’énergie, nous trouvons
L’intensité de la force de résistance exercée par le sable est de 28 665 N.
Points Clés
- Une force, telle que le poids, est dite conservative si le travail total effectué pour déplacer une particule entre deux points ne dépend pas de la trajectoire empruntée.
- Une force, telle que les frottements, est dite non-conservative si le travail total effectué pour déplacer une particule entre deux points dépend de la trajectoire empruntée.
- Le principe du travail et de l’énergie dit que la variation de l’énergie cinétique d’un corps est la somme du travail effectué sur le corps par toutes les forces agissant sur celui-ci, que ces forces soient ou non conservatives :
