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Fiche explicative de la leçon : Norme d’un vecteur de dimension 3 Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la norme d’un vecteur de dimension 3.

Un vecteur de dimension 3 peut être exprimé sous plusieurs formes;mais nous allons nous concentrer sur la forme de la composante et du vecteur unitaire.

Définition : Les représentations sous forme de composantes et sous forme de vecteurs unitaires

Soit le point 𝑃 de dimension 3 représenté sur la figure suivante.

Le point 𝑃 a pour coordonnées 𝑃(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝑂𝑃 désigne le vecteur dont l’origine se situe à l’origine 𝑂 du repère et l’extrémité au point 𝑃.

Ce vecteur peut s’exprimer de 2 façons différentes:Représentationsousformedecomposantes:Représentationsousformedevecteursunitaires:𝑂𝑃=(𝑥,𝑦,𝑧)𝑂𝑃=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘.

À noter qu’il s’agit simplement d’une différence de notation, les deux notations sont équivalentes. La seconde forme fait intervenir les vecteurs unitaires 𝑖, 𝑗 et 𝑘, qui sont les vecteurs de norme 1 pointant dans la direction de l’axe des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement:𝑖=(1,0,0),𝑗=(0,1,0),𝑘=(0,0,1).

Le fait qu’un vecteur unitaire ait une norme (ou longueur) de 1 devrait être une notion déjà connue. De même, nous devrions déjà savoir comment calculer la norme d’un vecteur de dimension 2 en s’aidant du théorème de Pythagore, énoncé ci-dessous:

𝑎+𝑏=𝑐𝑐=𝑎+𝑏.

On peut trouver la norme d’un vecteur de dimension 2 de la même façon qu’on trouve la longueur de la diagonale d’un rectangle. On rappelle que si 𝐴 est un vecteur, alors sa norme est notée |𝐴|, ou parfois 𝐴:𝐴=(𝑥,𝑦)𝐴=𝑥+𝑦.

Une propriété peut-être moins connue du théorème de Pythagore est qu’on peut le généraliser sur autant de dimensions que nécessaire. Ce qui nous permet d’adapter notre méthode de dimension 2 à la dimension 3.

En dimension 3, on cherche non plus à déterminer la longueur de la diagonale d’un rectangle, mais d’un parallélépipède rectangle (toujours via le théorème de Pythagore):

𝑎+𝑏+𝑐=𝑑𝑑=𝑎+𝑏+𝑐.

On pourrait croire que, puisqu’en dimension 2 le théorème utilise des carrés et racines carrées, on y trouvera, en dimension 3, des cubes et racines cubiques. Heureusement, il n’en est rien!

Nous n’en ferons pas la démonstration ici, mais on admettra que trouver la norme d’un vecteur de dimension 3 revient à calculer la longueur de la diagonale d’un parallélépipède rectangle.

Il s’agit de la notion clé dont nous avons besoin pour notre prochaine définition.

Définition : La norme d’un vecteur dans l’espace

Soit le vecteur 𝐴 dans l’espace en trois dimensions, qui peut s’exprimer sous la forme 𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧)𝐴=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘.ou

La norme de 𝐴 est donnée par la formule 𝐴=𝑥+𝑦+𝑧.

À noter qu’il est courant de simplement utiliser les variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧 dans les calculs de normes:𝐴=𝑥+𝑦+𝑧.

Dans notre formule, chaque composante du vecteur est d’abord élevée au carré, avant qu’on ne prenne la racine carrée de leur somme. Il en découle que c’est toujours d’un nombre positif que nous prenons la racine carrée;la résolution est donc possible mais donne deux solutions. Par exemple, 25 peut être 5 ou 5.

Il est important de rappeler ici que la norme d’un vecteur est définie comme non négative. Donc, dans les calculs de normes que nous ferons par la suite, nous pourrons écarter la solution négative.

Maintenant que nous avons compris comme trouver la norme d’un vecteur, passons à la pratique avec quelques exemples de calculs de normes en dimension 3.

Exemple 1: Déterminer la norme d’un vecteur en 3 dimensions

Soit le vecteur 𝐴=(2;5;2);calculer 𝐴.

Réponse

Le vecteur 𝐴 nous est donné sous la forme de ses composantes. Les composantes du vecteur étant au nombre de trois, nous comprenons qu’il existe dans l’espace tridimensionnel.

Alternativement, on pourrait exprimer 𝐴 en utilisant les vecteurs unitaires:𝐴=2𝑖5𝑗+2𝑘.

Il nous est demandé de trouver 𝐴, c’est-à-dire la norme (ou longueur) du vecteur. Afin de résoudre ce problème, on se rappelle que la norme d’un vecteur dans l’espace en trois dimensions est donnée par 𝐴=𝑥+𝑦+𝑧,𝑥, 𝑦 et 𝑧 représentent les composantes du vecteur dans les directions cardinales respectives.

Notre vecteur a donc pour composantes:𝑥=2,𝑦=5,𝑧=2.

Pour trouver sa norme, on remplace ces valeurs dans la formule:𝐴=2+(5)+2𝐴=4+25+4𝐴=33.

Après quelques petites simplifications, nous obtenons notre réponse.

Quand on résout ce type de question, il nous est parfois utile de calculer une approximation décimale de notre réponse (si on a besoin de la comparer à une autre valeur, par exemple). Dans le cas présent, ce n’est pas nécessaire, et puisque 33 ne peut être réduit davantage, nous laissons notre réponse exprimée ainsi, sous la forme d’un radical.

Exemple 2: Déterminer la norme d’un vecteur en 3 dimensions exprimé en fonction des vecteurs unitaires

Soit le vecteur 𝐴=2𝑖+3𝑗𝑘;calculer 𝐴.

Réponse

Ce problème est très semblable au précédent, à la différence près que cette fois-ci, nous travaillons avec un vecteur, 𝐴, qui nous est donné en termes de vecteurs unitaires.

À nouveau, il nous est demandé de trouver la norme 𝐴 du vecteur, donc nous pouvons utiliser la formule de la norme d’un vecteur de dimension 3:𝐴=𝑥+𝑦+𝑧.

Notre vecteur a pour composantes:𝑥=2,𝑦=3,𝑧=1.

Notons que même si le vecteur unitaire 𝑘 semble ne pas avoir de coefficient, le fait qu’il soit présent dans l’expression de notre vecteur nous indique qu’il en possède bien un. En effet, quand on travaille avec des vecteurs exprimés en tant que somme de vecteurs unitaires, il faut être attentif à ne pas oublier les coefficients de 1, ou, dans le cas présent, de 1. À nouveau, nous remplaçons nos valeurs dans la formule, puis nous procédons à quelques simplifications pour trouver 𝐴:𝐴=2+3+(1)𝐴=4+9+1𝐴=14.

Tout comme dans l’exemple précédent, il est tout à fait acceptable de laisser notre norme exprimée sous la forme d’un radical.

La formule que nous avons utilisée jusqu’ici permet non seulement de calculer la norme d’un vecteur, mais aussi de trouver la composante manquante d’un vecteur dont la norme est connue.

Voyons un exemple.

Exemple 3: Déterminer la valeur d’une composante inconnue d’un vecteur en utilisant sa norme

Soit 𝐴=𝑎𝑖+𝑗𝑘 tel que 𝐴=6;trouver toutes les valeurs possibles de 𝑎.

Réponse

Dans cet exemple, on nous donne la norme d’un vecteur de dimension 3;nous devons utiliser cette information pour trouver une composante inconnue. Le coefficient du vecteur unitaire 𝑖 est donné par le paramètre 𝑎. Il s’agit de l’inconnue que nous devons rechercher.

Notre vecteur a pour composantes:𝑥=𝑎,𝑦=1,𝑧=1.

Nous pouvons remplacer ces valeurs dans la formule de la norme d’un vecteur de dimension 3:𝐴=𝑥+𝑦+𝑧𝐴=𝑎+(1)+(1).

L’énoncé nous donnait également une seconde information. La norme du vecteur 𝐴=6. Afin de trouver notre inconnue, nous remplaçons cette valeur dans l’équation:6=𝑎+(1)+(1).

On peut maintenant élever au carré les deux côtés de l’équation puis la simplifier:6=𝑎+(1)+(1)6=𝑎+1+14=𝑎.

Nous disposons à ce stade d’une équation pour 𝑎. On peut donc maintenant prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation:𝑎=4𝑎=±2.

On rappelle que prendre la racine carrée d’un nombre engendre deux solutions, l’une positive et l’autre négative. Puisqu’ici c’est le coefficient d’un vecteur que nous recherchons (et non plus une norme comme dans les exemples précédents), on ne peut écarter la solution négative.

On répond donc que les valeurs possibles pour 𝑎 sont 2 et 2.

On notera que dans le cas où la norme d’un vecteur nous est donnée, on ne peut déterminer la valeur que d’une seule composante inconnue de ce vecteur. Avec deux composantes inconnues, notre équation ressemblerait à ceci:6=𝑎+𝑏+(1)6=𝑎+𝑏+15=𝑎+𝑏.

L’équation ci-dessus ayant deux inconnues, elle accepte un nombre infini de solutions;nous ne pourrions donc pas trouver une unique paire de valeurs pour 𝑎 et 𝑏.

Avant de passer à l’exemple suivant, rappelons que l’addition et la soustraction vectorielles sont des outils souvent très utiles à la résolution de problèmes impliquant des vecteurs. Quand on veut calculer la norme d’un vecteur, il est parfois nécessaire de commencer par trouver ses composantes, à l’aide de ces opérations.

Exemple 4: Résoudre un problème impliquant la norme d’un vecteur

Soit 𝐴+𝐵=(2;4;3) et 𝐴=(3;5;3);calculer 𝐵.

Réponse

Rappelons que pour additionner deux vecteurs, il suffit simplement de faire la somme de leurs composantes correspondantes. Il faut bien comprendre que l’expression 𝐴+𝐵 correspond à un vecteur;nous disposons de ses composantes, en plus de celles du vecteur 𝐴 par lui-même. Puisque les composantes de 𝐵 nous sont inconnues, on les note 𝑥, 𝑦 et 𝑧:𝐵=(𝑥,𝑦,𝑧).

Ce qui nous amène à l’équation (𝐴+𝐵)=𝐴+𝐵(2,4,3)=(3,5,3)+(𝑥,𝑦,𝑧).

Pour isoler les inconnues, on peut soustraire le vecteur 𝐴, ou autrement dit (3;5;3), de chaque côté de l’équation, et ainsi se retrouver avec uniquement le vecteur 𝐵, ou (𝑥,𝑦,𝑧), du côté droit de l’équation:(2,4,3)(3,5,3)=(𝑥,𝑦,𝑧).

Ici, on pourrait établir trois équations distinctes pour chacune des directions 𝑖, 𝑗 et 𝑘;cependant, ce n’est pas nécessaire. En effet, grâce aux propriétés de l’addition et de la soustraction vectorielles, on peut simplifier le membre de gauche directement, en soustrayant chaque composante séparément:((23),(45),(33))=(𝑥,𝑦,𝑧)(5,1,0)=(𝑥,𝑦,𝑧).

Puisque (𝑥,𝑦,𝑧) représente le vecteur 𝐵, notre résultat est:𝐵=(5,1,0).

Maintenant que nous disposons des composantes du vecteur 𝐵, nous pouvons déterminer sa norme:𝐵=(5)+(1)+0𝐵=25+1+0𝐵=26.

Nous avons à présent résolu le problème. En effet, puisque le résultat trouvé ne peut être simplifié davantage, nous le laissons sous la forme d’un irrationnel.

On notera que l’on peut aussi utiliser les propriétés de l’addition et de la soustraction vectorielles lorsqu’on a affaire à des systèmes de coordonnées de points.

Soit un système de deux points 𝐴(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵(𝑥;𝑦;𝑧). Imaginons que nous voulions trouver la distance entre ces deux points.

Cela revient à déterminer la norme du vecteur défini par les points 𝐴 et 𝐵 c’est-à-dire le vecteur 𝐴𝐵.

On sait que 𝑂𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧),𝑂𝐵=(𝑥,𝑦,𝑧).

Le vecteur 𝐴𝐵 se trouve facilement en se souvenant que 𝐴𝐵=𝑂𝐵𝑂𝐴.

On pourrait ensuite trouver la distance séparant les deux points en appliquant notre formule de la norme:𝐴𝐵=𝑂𝐵𝑂𝐴.

Une distinction très importante sur laquelle nous allons nous attarder, est que la norme d’une somme (ou d’une différence) de vecteurs n’est pas nécessairement égale à la somme (ou la différence) de deux normes:Normedunediérence:Diérencedenormes:𝑂𝐵𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝐴

Découvrons pourquoi dans notre prochain exemple.

Exemple 5: Résoudre un problème impliquant la norme d’un vecteur et l’addition de deux vecteurs

Soit 𝐴=𝑖+3𝑗+4𝑘 et 𝐵=2𝑗𝑘;calculer 𝐴+𝐵 et 𝐴+𝐵.

Réponse

La question nous donne deux vecteurs de dimension 3, et on nous demande de trouver la norme de leur somme, c’est-à-dire 𝐴+𝐵, ainsi que la somme de leur norme, c’est-à-dire 𝐴+𝐵. Bien que ces deux entités puissent paraitre très semblables, nous devrions être prudents et ne pas partir du principe qu’elles sont équivalentes.

Commençons par 𝐴+𝐵. Nous devons tout d’abord trouver les composantes du vecteur 𝐴+𝐵 en additionnant les deux vecteurs qui nous ont été donnés:𝐴+𝐵=𝑖+3𝑗+4𝑘+2𝑗𝑘=𝑖+(3+2)𝑗+(41)𝑘=𝑖+5𝑗+3𝑘.

Après quelques simplifications, nous avons trouvé les composantes que nous cherchions. Les coefficients de chacun de nos vecteurs unitaires peuvent maintenant être substitués dans la formule de la norme d’un vecteur:𝐴+𝐵=1+5+3=1+25+9=35.

Maintenant, qu’en est-il de 𝐴+𝐵?Le calcul de la norme d’un vecteur dont on connait les valeurs ne devrait plus nous poser de problèmes à ce stade. Commençons par trouver 𝐴:𝐴=1+3+4=1+9+16=26.

Passons maintenant à 𝐵:𝐵=2+(1)=4+1=5.

On combine ces deux informations pour obtenir la réponse finale suivante:𝐴+𝐵=26+5.

Pour aller plus loin, on peut calculer une approximation décimale de chacune des deux quantités trouvées pour pouvoir les comparer:𝐴+𝐵=355,91,𝐴+𝐵=26+57,33.

Nous venons de montrer que dans le cas présent, 𝐴+𝐵𝐴+𝐵.

En examinant 𝐴+𝐵 et 𝐴+𝐵 de plus près sur une figure (voir ci-dessous), on s’aperçoit qu’on se trouve en fait dans le cas d’une inégalité triangulaire!

La norme de la somme de deux vecteurs ne peut jamais être strictement supérieure à la somme de leur norme:𝐴+𝐵𝐴+𝐵.

On notera qu’il y a une situation dans laquelle ces deux quantités sont égales;il s’agit du cas où 𝐴 et 𝐵 ont la même direction et le même sens. Autrement dit, 𝐴 et 𝐵 sont parallèles de même sens.

On peut appliquer le même raisonnement pour comparer 𝐴𝐵 et 𝐴𝐵. On obtient une conclusion similaire, détaillée dans le résumé des points clés ci-dessous.

Points clés

  • La norme d’un vecteur représente sa longueur et est définie comme étant un nombre toujours positif.
  • La notation 𝐴 représente la norme du vecteur 𝐴.
  • Sachant que 𝐴=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘, on peut déterminer sa norme en utilisant la formule suivante:𝐴=𝑥+𝑦+𝑧.
  • Si deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 sont parallèles et de même sens, alors 𝐴+𝐵=𝐴+𝐵,𝐴𝐵=𝐴𝐵.
  • Si deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 ne sont pas parallèles, alors 𝐴+𝐵𝐴+𝐵,𝐴𝐵𝐴𝐵.

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