Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la formule de la vitesse de propagation des ondes, , pour calculer le mouvement des ondes de différentes fréquences et longueurs d’onde.
On peut voir les ondes comme des déformations (perturbations), qui transportent de l’énergie d’un point à un autre, sans transport de matière. Certaines ondes ont besoin d’un support matériel, par exemple la houle se propageant dans l’eau, ou encore les ondes sonores qui sont des vibrations des particules dans l’air. D’autres ondes, telles que la lumière, peuvent se déplacer dans le vide.
Une chose à retenir lorsque nous parlons des phénomènes ondulatoires est que les phénomènes en question font référence aux transferts d’énergie sur une certaine distance. Même lorsque l’onde passe à travers un milieu matériel, les éléments du milieu ne sont pas forcément transportés avec l’onde. Par exemple, les molécules d’eau, lorsqu’une vague les traverse, ne présentent que des mouvements locaux ; elles entrent en collision avec d’autres molécules d’eau et transmettent l’énergie de proche en proche mais ne coule pas avec la vague.
Deux grandeurs que nous considérons lorsque nous étudions des phénomènes ondulatoires sont la longueur d’onde et l’amplitude maximale. La longueur d’onde d’une onde est la distance nécessaire pour que l’onde effectue un cycle de déformation complet. L’amplitude maximale d’une onde est l’ampleur entre le point central ou la position d’équilibre et le maximum (sommet des crêtes) ou le minimum (fond des creux) des perturbations, en d’autres termes c’est la magnitude du déplacement maximal.
Pour une onde qui ne change pas, l’amplitude se mesure à partir de n’importe quel pic ou creux, et la longueur d’onde se mesure entre deux points successifs où l’onde est à la même phase, comme le montre le schéma ci-dessous.
Nous pouvons déterminer la longueur d’onde et l’amplitude d’une onde à partir d’un graphique distance-déplacement.
L’amplitude, qui est égale à la magnitude du déplacement maximal, est égale dans ce cas de figure à 8 m.
Pour cette onde, un cycle complet qui commence à partir de la distance de 0 m consiste en une montée jusqu’au maximum de son déplacement, suivi d’une descente jusqu’au minimum en passant par la position neutre, et puis une remontée jusqu’à zéro. Sur la figure ci-dessous, la partie surlignée en orange de la forme d’onde représente un cycle complet.
Notez qu’il ne suffit pas de revenir simplement au déplacement d’origine de 0 m. L’onde doit également être dans la même phase qu’au début d’un cycle, dans ce cas dans la partie montante de son déplacement.
Les ondes sur les figures ci-dessus parcourent 10 m pour compléter un cycle et donc ont une longueur d’onde de 10 m. Notez que cette valeur sera la même quel que soit l’endroit pris comme début du cycle de l’onde, du moment que l’on mesure la distance parcourue jusqu’à l’endroit de la première réapparition de la même phase. Ainsi par exemple nous aurions pu prendre la mesure entre deux maxima successifs de l’onde. Cependant, lors de la lecture des valeurs sur un graphique, il est généralement plus facile de choisir comme point de départ un point où l’onde croise la grille.
Jusqu’à présent, nous avons examiné les ondes sur des graphiques distance-déplacement. Ils sont comme des arrêts sur image à un instant précis (captures d’écran), où nous pouvons voir la phase de l’onde changer le long de la distance de propagation. Une autre façon de représenter les ondes est de considérer l’onde en un point fixe de l’espace et de mesurer sa variation de déformation au cours du temps. C’est ce que l’on peut faire sur un graphique temps-déplacement.
Sur ce graphique, nous pouvons voir que l’onde met 1 s pour compléter un cycle. On dit que cette onde a une période de 1 s, la période est définie comme étant le temps mis par l’onde pour compléter un cycle.
Une autre grandeur plus communément utilisée est la fréquence, qui est définie comme le nombre de cycles d’onde complétés toutes les one secondes. Si une onde a une période , alors la fréquence . L’unité de fréquence est le hertz (symbole : Hz), avec 1 Hz = 1 cycle / seconde. Dans l’exemple ci-dessus, , on trouve donc la fréquence
On pourrait aussi lire ceci directement à partir du graphique, en remarquant que le nombre de cycles complétés en 1 s est 1, de sorte que l’onde a une fréquence de 1 Hz.
Les exemples suivants nous aident à nous familiariser avec le calcul de la fréquence d’une onde.
Exemple 1: La fréquence d’onde
Quelle est la fréquence de l’onde représentée sur le graphique ?
Réponse
Il s’agit d’un graphique temps-déplacement pour une onde qui commence par un déplacement de 0 m à l’instant t égal 0 s et oscille entre . Nous devons déterminer la fréquence de l’onde à partir du graphique.
Rappelons que la fréquence d’une onde est le nombre de cycles complétés en 1 s. Le graphique couvre un laps de temps de 1 s, il nous suffit donc de trouver le nombre de cycles complets indiqué sur le graphique.
Un cycle complet signifie que l’onde doit retourner à la même valeur de déplacement et être dans la même phase. Bien qu’il retourne à un déplacement de 0 m à environ 0,25 s, cela ne représente pas un cycle complet, car le déplacement diminue ici, alors qu’il augmentait au début. Le premier cycle est complété à l’instant t égal à 0,5 s. 1 s après le début, l’onde a effectué deux cycles. La fréquence de l’onde est donc 2 Hz.
Exemple 2: La fréquence d’onde
Quelle est la fréquence de l’onde représentée sur le graphique ?
Réponse
Dans cet exemple, nous avons un graphique temps-déplacement pour une onde qui met 10 s pour compléter un cycle, et nous devons déterminer la fréquence. Ici, la période, de l’onde est 10 s, de sorte que nous pouvons trouver la fréquence à partir de
Donc, la fréquence de l’onde est 0,1 Hz.
Nous avons parlé de deux propriétés des ondes : la longueur d’onde et la fréquence. Une autre grandeur que nous pourrions trouver utile est la vitesse de l’onde.
Nous entendons par la vitesse d’une onde la vitesse à laquelle une certaine partie de l’onde se déplace ou se propage. Notez que c’est l’énergie, ou la perturbation causée par l’onde, qui se déplace, pas le milieu du support lui-même.
On peut calculer la vitesse, d’une onde à partir de la fréquence et la longueur d’onde avec
Si l’on considère les dimensions de la fréquence et de la longueur d’onde à partir de leur définition, nous avons
Nous avons des cycles au numérateur et au dénominateur, de sorte qu’ils se simplifient entre eux et nous avons avec les dimensions habituelles de la vitesse. Si nous avons une longueur d’onde mesurée en mètres et une fréquence en Hz (qui équivaut à ), nous obtiendrons alors une vitesse en mètres par seconde (m/s).
Pour voir cela en pratique, nous terminerons par quelques exemples d’utilisation de cette équation.
Exemple 3: Calculer la vitesse d’onde
Une onde sonore dans un objet déterminé a une fréquence de 260 Hz et une longueur d’onde de 2,5 m. À quelle vitesse l’onde sonore se propage-t-elle dans cet objet, au mètre par seconde le plus proche ?
Réponse
Dans cet exemple, nous considérons une onde sonore. Nous connaissons sa fréquence , sa longueur d’onde de 2,5 m, et nous devons calculer la vitesse de l’onde.
Rappelons que la vitesse de l’onde est liée à la fréquence et à la longueur d’onde par . En remplaçant par les nombres, nous avons
Ainsi, cette onde sonore se propage à une vitesse de 650 m/s.
Exemple 4: Calculer la fréquence d’onde
Une jetée sur mer s’étend de la digue au musoir sur une distance de 180 m. Des vagues sur la mer passent devant la jetée et se dirigent vers la rive. La distance entre les sommets de deux vagues consécutives est de 15 m, et les sommets des vagues se déplacent du point extrême de la jetée à la digue en 24 secondes. Quelle est la fréquence des vagues ?
Réponse
Ici, nous considérons des vagues dans l’eau. On nous dit que la distance entre les sommets de deux vagues consécutives est de 15 m. C’est la distance entre des points successifs où l’onde des vagues est dans la même phase, il s’agit donc de la longueur d’onde.
On nous dit aussi qu’une vague parcourt la distance entre le musoir de la jetée et le bord de la mer, soit 180 m, en 24 s. À partir de là, nous pouvons calculer la vitesse des vagues
Nous avons maintenant la vitesse et la longueur d’onde , et nous avons besoin de trouver la fréquence.
Rappelons que la vitesse, la longueur d’onde et la fréquence sont liées par la relation . On peut trouver la fréquence en divisant les deux membres de l’équation par , ce qui donne où est bien l’unité de la fréquence.
La fréquence de l’onde est donc 0,5 Hz.
Exemple 5: Comprendre les mouvements ondulatoires
La vitesse de l’onde représentée sur le graphique est de 460 m/s.
- Quelle est l’amplitude maximale de l’onde ?
- Quelle est la longueur d’onde de l’onde ?
- Quelle est la fréquence de l’onde ?
- À quelle valeur de la distance le déplacement positif de l’onde est-il égal à son amplitude maximale ?
Réponse
Partie 1
Dans cet exemple, on nous donne un graphique distance-déplacement d’une onde, et on nous dit qu’elle a une vitesse de 460 m/s. La quantité que nous devons déterminer est l’amplitude maximale.
Rappelons que l’amplitude maximale d’une onde est la distance entre sa position neutre ou d’équilibre et son déplacement maximal. Dans cet exemple, le déplacement à l’équilibre est 0 m, et le déplacement maximal est 3 m. L’amplitude maximale de l’onde est donc 3 m.
Partie 2
On demande ici de déterminer la longueur d’onde de l’onde. On peut prendre comme point de départ l’endroit où l’onde coupe l’axe horizontal pour la première fois, le point est situé à 0,5 m, on note également que le déplacement est décroissant à cet endroit. La fois suivante que l’onde coupe l’axe, en 2,5 m, le déplacement est croissant, et le cycle n’est complet qu’à la distance de 4,5 m. La longueur d’onde est donc .
Partie 3
Nous devons maintenant déterminer la fréquence de l’onde. Étant donné que nous avons la longueur d’onde et la vitesse , on peut trouver la fréquence à partir de la relation . Nous commençons par diviser les deux membres de l’équation par :
Dès lors, la fréquence de l’onde est 115 Hz.
Partie 4
Enfin, on demande de déterminer la valeur de la distance à laquelle le déplacement positif de l’onde est égal à son amplitude maximale. Nous avons trouvé plus haut que l’amplitude maximale est 3 m, nous avons donc besoin de la valeur de la distance à laquelle le déplacement est égal à 3 m. Cela se produit à une distance de 3,5 m.
Points clés
- L’amplitude maximale d’une onde est l’ampleur de son déplacement maximal par rapport à sa position d’équilibre.
- La longueur d’onde est la distance parcourue par l’onde pour effectuer un cycle complet d’oscillation.
- La période d’une onde est le temps mis pour compléter un cycle.
- La fréquence d’une onde est le nombre de cycles complétés en une seconde.
- La fréquence est lié à la période par .
- L’unité de fréquence est le hertz, symbole : Hz, avec 1 Hz = 1 cycle par seconde.
- La vitesse d’une onde est liée à la fréquence et la longueur d’onde par .
