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Fiche explicative de la leçon : Résoudre graphiquement une équation du second degré Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre les équations du second degré à l’aide de graphiques de fonctions.

Commençons par rappeler la définition d’une équation du second degré.

Définition : Équation du second degré

Une équation du second degré est une équation dont la forme développée est 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑥 est la variable 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes telles que 𝑎0.

On notera qu’il est toujours possible de réarranger une équation du second degré de manière à ce qu’elle soit égale à zéro (comme l’équation ci-dessus) en rassemblant toutes les variables, ainsi que la constante, dans un même membre de l’équation.

Rappelons ensuite que résoudre une équation du second degré signifie trouver toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles l’équation est vérifiée. L’une des méthodes de résolution d’une équation du second degré est la factorisation. Cela signifie que l’on réécrit l’équation du second degré sous sa forme factorisée:𝑎(𝑥𝑝)(𝑥𝑞)=0.

On en déduit alors que les valeurs 𝑥=𝑝 et 𝑥=𝑞 vérifient l’équation et qu’elles sont par conséquent solutions de l’équation. Dans cette fiche explicative, nous verrons que l’on peut également utiliser une méthode graphique pour résoudre une équation du second degré. Pour pouvoir représenter graphiquement une équation du second degré, on la réécrit sous la forme d’une fonction:𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐.

Autrement dit, on remplace 0 par la variable 𝑦. Signalons que l’on notera souvent le côté gauche de l’équation 𝑓(𝑥) (i.e. 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 ). Réécrire notre équation sous la forme d’une fonction nous permet de montrer graphiquement comment 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 change en fonctions des valeurs de 𝑥. Pour cela, on trace la courbe représentative de 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 dans un repère orthonormé d’abscisses 𝑥 et d’ordonnées 𝑦.

Imaginons que l’on souhaite résoudre l’équation du second degré en utilisant uniquement ce graphique. Puisqu’une équation du second degré est résolue lorsqu’elle est égale à 0, nous définissons 𝑦=0 dans la fonction et on trouve les valeurs de 𝑥 pour lesquelles l’équation est vérifiée. Ainsi, les solutions de l’équation sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est nulle;ces valeurs sont ce que l’on appelle les racines de la fonction. Sur le graphique, ces valeurs sont les coordonnées 𝑥 des points dont la coordonnée 𝑦 est nulle, ou autrement dit des points d’intersection du graphique avec l’axe des 𝑥.

On peut utiliser certaines propriétés propres aux fonctions du second degré pour identifier les points d’intérêt d’une équation. Que l’on veuille tracer un graphique à partir d’une équation ou simplement examiner le graphique d’une fonction du second degré, les points suivants sont à prendre en considération:

Propriétés : Graphiques des fonctions du second degré

  • Les graphiques des fonctions du second degré de la forme 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 ont une forme caractéristique de parabole, comme on peut le voir ci-dessous.
  • Ils ont un sommet au minimum de la fonction quand la courbe s’ouvre vers le haut lorsque la valeur de 𝑎 est supérieure à zéro (comme indiqué sur le graphique de gauche). Leur sommet sera au point maximal quand la courbe s’ouvre vers le bas lorsque 𝑎 est inférieur à zéro (comme indiqué sur le graphique de droite).
    Notez que la valeur de 𝑎 ne peut pas être égale à zéro, car cela signifie qu’il n’y a pas de terme en 𝑥 et, en tant que telle, l’équation correspondante ne serait pas quadratique.
  • On peut également réarranger une fonction du second degré pour l’écrire sous forme canonique, 𝑦=𝑎(𝑥)+𝑘,(;𝑘) sont les coordonnées du sommet de la parabole (i.e., le point tournant).
  • Le graphique d’une fonction du second degré est symétrique par rapport à la droite verticale d’équation 𝑥=, (;𝑘) est le sommet de la parabole.
  • L’ordonnée à l’origine 𝑦 (la coordonnée où la parabole croise l’axe des 𝑦) de la fonction 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 sera toujours à (0;𝑐).
  • Les abscisses à l’origine sont les coordonnées 𝑥 des points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥, qui sont les points pour lesquels on a 𝑦=0. Les coordonnées 𝑥 de ces points d’intersection sont les racines de la fonction et correspondent aux solutions de l’équation du second degré initiale. Il est possible d’identifier ces points en examinant le graphique de la fonction.
  • On rappelle qu’une équation du second degré admet jusqu’à deux solutions réelles. Si une équation admet deux solutions, alors le graphique de la fonction correspondante coupe l’axe des 𝑥 deux fois. Si une équation admet une seule solution (une racine double), alors le sommet du graphique de la fonction correspondante se trouve exactement sur l’axe des 𝑥. Enfin, si une équation n’admet aucune solution, alors le graphique de la fonction correspondante est entièrement au-dessus ou au-dessous de l’axe des  𝑥.
  • Parmi les graphiques ci-dessus, la fonction de gauche a deux racines, celle du milieu en a une (qui correspond à la coordonnée 𝑥, du point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses) et celle de droite n’en a aucune.

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous appliquerons les propriétés ci-dessus pour trouver la solution d’une équation du second degré à partir du graphique de la fonction correspondante.

Exemple 1: Résoudre graphiquement une équation du second degré

La figure ci-dessous montre le graphique de 𝑦=𝑓(𝑥). Quel est l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0?

Réponse

On rappelle que les coordonnées de tout point du graphique d’une fonction sont données par (𝑥;𝑦). On doit trouver l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑦 vaut 0. Sur le graphique, cela correspond aux points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥, car on a 𝑦=0 en ces points. En examinant la courbe, on voit qu’elle coupe l’axe des 𝑥 en deux points:en 𝑥=2 et en 𝑥=2.

Par conséquent, l’ensemble des solutions est {2;2}.

Dans le premier exemple, nous avons vu que puisque la courbe coupait l’axe des 𝑥 en deux points, l’équation admettait deux solutions. Voyons maintenant un exemple dans lequel cela ne sera pas forcément le cas.

Exemple 2: Résoudre graphiquement une équation du second degré

La figure ci-dessous montre le graphique de 𝑦=𝑓(𝑥). Quel est l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0?

Réponse

On rappelle que les coordonnées de tout point du graphique d’une fonction sont données par (𝑥;𝑦). Donc, pour trouver l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=0, on doit identifier les points pour lesquels 𝑦=0,puis déterminer les valeurs de 𝑥 correspondantes. On peut les trouver sur le graphique en identifiant les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥. Ici, on peut voir que la courbe ne coupe pas vraiment l’axe des 𝑥, mais ne fait que le toucher en un point, qui correspond à  𝑥=2. On peut donc dire que 𝑦 est égal à 0 au point où 𝑥=2.

Par conséquent, l’ensemble des solutions ne contient qu’une seule valeur, {2}.

Jusqu’ici, nous avons vu des graphiques de fonctions du second degré qui coupaient l’axe des 𝑥 en deux points ou le touchaient en un seul, mais que se passe-t-il lorsque la courbe ne coupe pas l’axe des 𝑥, ni ne le touche?

Exemple 3: Résoudre graphiquement une équation du second degré

La figure ci-dessous montre le graphique de 𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥+3. Quel est l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=0?

Réponse

Ici, l’énoncé nous donne la fonction explicite de 𝑓(𝑥), mais comme on a également son graphique, on peut résoudre l’équation par la méthode graphique, ce qui nous évite de devoir factoriser ou utiliser l’équation. On rappelle que l’on peut trouver l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=0 en identifiant les points (𝑥;𝑦) du graphique pour lesquels 𝑦=0, ce qui correspond aux points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥. Ici, cependant, la courbe est entièrement au-dessus de l’axe des 𝑥. Il n’existe donc aucun point tel que 𝑦=0.

Par conséquent, il n’existe aucune valeur réelle de 𝑥 permettant de résoudre l’équation, donc l’ensemble des solutions est .

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous verrons comment résoudre une équation en traçant notre propre graphique. Pour cela, nous établirons un tableau de valeurs pour identifier plusieurs points du graphique, puis nous relierons ces points pour tracer la courbe. N’oublions pas que cette approche nous permet de tracer le graphique de n’importe quelle fonction polynomiale correspondant à une équation.

Exemple 4: Tracer le graphique d’une fonction du second degré pour résoudre une équation

Tracez le graphique de la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥3𝑥 pour trouver l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=0.

Réponse

Pour tracer le graphique, il nous faut d’abord trouver les coordonnées de plusieurs points de la courbe. Pour cela, on peut établir un tableau de valeurs en calculant 𝑓(𝑥) pour certaines valeurs de 𝑥.

𝑥210123
2𝑥8202818 au total
3𝑥630369
𝑓(𝑥)=2𝑥3𝑥1450129

En prenant les valeurs des lignes 𝑥 et 𝑓(𝑥), on obtient les points (2;14), (1;5), (0;0), (1;1), (2;2) et (3;9). On les place dans le plan 𝑥𝑦 et on les relie en traçant une courbe lisse.

On doit à présent trouver l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=0. On rappelle que les solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0 sont les coordonnées 𝑥 des points d’intersection du graphique de la fonction avec l’axe des 𝑥. On peut voir que le graphique coupe l’axe des 𝑥 en deux points:le premier est le point noté 𝐶, en 𝑥=0, tandis que le second semble être en 𝑥=32. On peut vérifier qu’il s’agit bien de la bonne valeur en la remplaçant dans la formule de 𝑓(𝑥). Cela nous donne 𝑓32=232332=9292=0.

Par conséquent, 𝑥=32 est bien solution de l’équation. Ainsi, l’ensemble des solutions est 0,32.

Tout comme on peut tracer un graphique pour résoudre une équation du second degré, on peut résoudre une équation du second degré pour identifier le graphique de la fonction correspondante. Dans le prochain exemple, nous verrons comment résoudre une équation par factorisation pour déterminer l’allure du graphique de la fonction correspondante.

Exemple 5: Reconnaître le graphique d’une fonction du second degré en résolvant l’équation associée par factorisation

Résolvez 𝑥𝑥6=0 par factorisation, puis déterminez lequel des graphiques ci-dessous pourrait être le graphique de 𝑦=𝑥𝑥6.

Réponse

Partie 1

Commençons par rappeler comment résoudre une équation par factorisation, puisque c’est ce que l’on nous demande de faire avec l’équation 𝑥𝑥6=0. On veut factoriser l’équation à l’aide de deux valeurs inconnues 𝑝 et 𝑞 telles que:𝑥𝑥6=𝑥+(𝑝+𝑞)𝑥+𝑝𝑞=(𝑥+𝑝)(𝑥+𝑞).

En faisant correspondre nos inconnues avec les coefficients de l’équation, on constate que l’on doit avoir 𝑝𝑞=6 et 𝑝+𝑞=1. Le fait que le produit de 𝑝 et 𝑞 soit négatif implique que parmi nos deux inconnues, 𝑝 ou 𝑞, l’une est négative et l’autre est positive. Supposons que 𝑝 soit l’inconnue négative. On doit lister les paires de valeurs possibles pour 𝑝 et 𝑞 dont le produit est égal à 6:

𝑝6132
𝑞1623

Parmi ces options, uniquement 𝑝=3 et 𝑞=2 vérifie 𝑝+𝑞=1. Par conséquent, la forme factorisée correcte de notre expression est 𝑥𝑥6=(𝑥3)(𝑥+2).

Pour résoudre l’équation, on pose que notre expression factorisée est égale à 0 et on détermine quelles sont les valeurs de 𝑥 qui vérifient l’équation. Autrement dit, on a (𝑥3)(𝑥+2)=0.

L’égalité est vérifiée quand (𝑥3)=0 ou (𝑥+2)=0, ce qui implique que 𝑥=3 ou 𝑥=2.

Partie 2

On doit maintenant déterminer laquelle des figures présentées correspond au graphique de 𝑦=𝑥𝑥6. On rappelle que les racines d’une fonction (qui sont aussi les solutions de l’équation correspondante) nous indiquent quelles sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑦=0. Par conséquent, on sait en quels points la courbe coupe l’axe des 𝑥:𝑥=3 et 𝑥=2. En examinant les cinq graphiques, on constate qu’un seul coupe l’axe des 𝑥 en ces deux points:le graphique E.

D’autres caractéristiques du graphique nous permettent de confirmer que cette réponse est la bonne. On observe que l’ordonnée à l’origine du graphique (la coordonnée 𝑦 du point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦) est égale à 6. On rappelle que pour une fonction du second degré de la forme 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, l’ordonnée 𝑦 à l’origine est égale à 𝑐. La fonction est 𝑦=𝑥𝑥6, ce qui nous donne une ordonnée à l’origine de 𝑐=6, qui concorde avec le graphique E. On peut également noter que puisque 𝑎=1 (i.e. 𝑎>0 ), alors le graphique de la fonction doit s’ouvrir vers le haut;c’est effectivement le cas dans le graphique E.. Cela confirme notre réponse.

En conclusion, la bonne réponse est la E.

Dans certaines questions, on nous donnera une équation du second degré qui doit être réarrangée avant de pouvoir la résoudre graphiquement. Voici un exemple de ce type.

Exemple 6: Réarrangement et résolution graphique d’une équation du second degré

Détermine l’ensemble des solutions de l’équation 𝑥=3𝑥+10.

Réponse

Comme on nous a demandé de trouver l’ensemble des solutions de l’équation 𝑥=3𝑥+10, il faut d’abord la réorganiser sous la forme 𝑓(𝑥)=0. Notez que nous pouvons le faire en soustrayant 3𝑥 et 10 des deux côtés pour obtenir 𝑥3𝑥10=0.

Rappelons que les solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0 sont les coordonnées 𝑥 où le graphique de la fonction croise l’axe des 𝑥 (car 𝑦=0 en ces points). On peut trouver ces valeurs en traçant le graphique de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥3𝑥10 et en trouvant où il coupe l’axe des 𝑥. On peut tracer le graphique en dressant un tableau de valeurs et en calculant 𝑓(𝑥) pour les valeurs des 𝑥 sélectionnés.

𝑥3210123456
𝑓(𝑥)=𝑥3𝑥1080610121210608

Ensuite, on trace ces points sur le plan 𝑥𝑦 et on les joint avec une courbe lisse, qui donne le graphique ci-dessous.

On voit facilement que la courbe coupe l’axe des 𝑥 aux points 𝑥=5 et 𝑥=2. Notez que nous aurions pu lire ces valeurs directement à partir de notre tableau, qui a montré que 𝑓(𝑥)=0 pour ces deux valeurs de 𝑥.

Nous concluons que l’ensemble des solutions de l’équation 𝑥=3𝑥+10 est {2;5}.

Jusqu’ici, nous avons travaillé sur des équations de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 ou 𝑎𝑥=𝑏𝑥𝑐 et nous les avons associées à des fonctions de la forme 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 quand 𝑦=0. Notons cependant que l’on peut former d’autres équations du second degré en attribuant à  𝑦 des valeurs différentes. Par exemple, si l’on choisissait  𝑦=3, on aurait l’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=3, que l’on peut réécrire sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐3=0.

Autrement dit, choisir 𝑦=3 nous donne une autre équation du second degré dans laquelle le terme constant est 𝑐3. La résolution graphique des équations de cette forme est similaire au cas 𝑦=0, mais au lieu de chercher les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥 (i.e. 𝑦=0 ), on cherche les points d’intersection de la courbe avec la droite 𝑦=𝑑, 𝑑 est une constante (égale à 3 dans notre exemple ci-dessus). Pour cela, on peut tracer une droite horizontale sur le graphique en cette valeur de 𝑦. Dans notre prochain exemple, nous considérerons une application de cette idée.

Exemple 7: Résoudre graphiquement deux équations du second degré qui diffèrent par une constante

La figure ci-dessous montre le graphique de 𝑓(𝑥)=2𝑥4𝑥6.

  1. Quel est l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=0?
  2. Quel est l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=6?

Réponse

Partie 1

L’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=0 est l’ensemble des valeurs de 𝑥 en lesquelles la courbe coupe l’axe des 𝑥 (car on a alors 𝑦=0). En examinant le graphique, on peut voir que la courbe coupe l’axe des 𝑥 en deux points:𝑥=1 et 𝑥=3. Par conséquent, l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=0 est {1;3}.

Partie 2

Tout comme l’ensemble solution de 𝑓(𝑥)=0 est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles on a 𝑦=0, l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=6 est l’ensemble des valeurs pour lesquelles 𝑦=6. Pour les trouver, on peut tracer une droite horizontale en 𝑦=6 et déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe et de cette droite.

On peut voir sur le graphique que la courbe coupe la droite en 𝑥=0 et en 𝑥=2. Par conséquent, l’ensemble des solutions de 𝑓(𝑥)=6 est {0;2}.

Notez que nous pouvons utiliser la méthode ci-dessus pour résoudre des problèmes pris de la vie courante, comme dans l’exemple suivant.

Exemple 8: Résoudre graphiquement une équation du second degré à partir d’un problème de la vie courante

Une balle est lancée verticalement vers le haut depuis le sol avec une vitesse 𝑣=34,3/ms. La hauteur de la balle au-dessus du sol, en mètres, est donnée par l’équation (𝑡)=34,3𝑡4,9𝑡. Le graphique de cette fonction est illustré ci-dessous.

Déterminez les moments où la balle est à une hauteur de 49 m au-dessus du sol.

Réponse

Rappelons que l’ensemble des solutions de (𝑡)=0 est l’ensemble des valeurs de 𝑡 pour lesquelles la courbe croise l’axe des 𝑡 (car =0 en ces points);ces deux valeurs de 𝑡 correspondrait aux moments où la balle est au sol au début et à la fin de son vol.

De même, les instants où la balle est à une hauteur de 49 m au-dessus du sol correspondent à l’ensemble des solutions de (𝑡)=49, qui est l’ensemble des valeurs de 𝑡=49. On peut trouver ces valeurs en traçant une ligne horizontale en =49 et en déterminant les coordonnées des points d’intersection de la droite et de la courbe.

On peut identifier à partir du graphique que les points d’intersection sont en 𝑡=2 et 𝑡=5, de sorte que l’ensemble des solutions de (𝑡)=49 est {2;5}. On conclut que la balle est à une hauteur de 49 m au-dessus du sol après 2 secondes et 5 secondes.

Terminons en considérant les principales choses que nous avons apprises dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Il existe plusieurs façons de résoudre une équation du second degré;on peut utiliser une méthode algébrique telle que la factorisation ou opter pour la méthode graphique qui consiste à examiner la courbe de la fonction correspondante. Les méthodes algébriques ont pour avantage de donner une réponse exacte. La résolution graphique ne donne qu’une solution approchée;par conséquent, elle est souvent plus difficile à utiliser lorsque les racines ne sont pas entières. Mais la résolution par la méthode graphique a pour avantage d’être généralement plus facile et plus rapide. Elle peut également permettre de comparer visuellement plusieurs équations du second degré.
  • Pour résoudre graphiquement une équation du second degré, on commence par établir un tableau de valeurs pour pouvoir ensuite tracer le graphique de la fonction correspondante. On peut alors examiner le graphique pour trouver les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥 comme montré ci-dessous.
  • Il ne faut pas oublier qu’une équation du second degré a zéro, une ou deux solutions, en fonction de si la fonction correspondante a zéro, un ou deux points d’intersection avec l’axe des 𝑥, comme montré ci-dessous.
  • On peut former d’autres équations du second degré en posant 𝑦=𝑑, et les résoudre en traçant la droite horizontale 𝑦=𝑑, et en déterminant les points d’intersection de la fonction avec cette droite.

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