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Fiche explicative de la leçon : Addition et soustraction de matrices Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment additionner et soustraire des matrices;en utilisant les propriétés d'addition et de soustraction.

Une matrice 𝐴 est dite de dimension 𝑛×𝑚 si elle est constituée de 𝑛 lignes et de 𝑚 colonnes, 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, Une matrice carrée est une matrice de dimension 𝑛×𝑛 ayant le même nombre de lignes et de colonnes (𝑚=𝑛), 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.

Dans cette fiche explicative, nous n’étudierons que les matrices de dimension maximale 3×3 autrement dit (𝑛;𝑚3), mais les mêmes règles s’appliquent pour des matrices avec davantage de lignes et de colonnes. Pour ajouter ou soustraire des matrices, il faut ajouter ou soustraire leurs coefficients correspondants.

On ne peut additionner ou soustraire que des matrices de même dimension (c’est-à-dire que les deux matrices ont le même nombre de lignes et de colonnes). Cela est logique car on ne peut pas effectuer ces opérations avec les coefficients correspondants si les deux matrices n’ont pas le même nombre de lignes et de colonnes.

Additionner et soustraire des matrices n × m :

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏=𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏

Pour appliquer cela, on considère les matrices 2×2 suivantes 𝐴=8207,𝐵=5598.

Pour additionner ces matrices, on additionne leurs coefficients correspondants:𝐴+𝐵=8207+5598=8+(5)2+50+97+(8)=3791.

Pour soustraire la matrice 𝐵 à la matrice 𝐴, on soustrait chaque coefficient de la matrice 𝐵 à son coefficient correspondant de la matrice 𝐴:𝐴𝐵=82075598=8(5)25097(8)=133915.

On considère maintenant les matrices 3×2 suivantes 𝐴=673251,𝐵=238049.

Encore une fois, on additionne et on soustrait ces matrices en effectuant chaque opération sur les coefficients correspondants:𝐴+𝐵=673251+238049=6+27+33+82+05+(4)1+9=81011218,𝐴𝐵=673251238049=627338205(4)19=4452910.

Enfin, on considère les matrices 3×3 suivantes 𝐴=562233415,𝐵=120719581.

On répète les mêmes opérations sur ces matrices en effectuant chaque opération sur les coefficients correspondants comme précédemment:𝐴+𝐵=562233415+120719581=5+16+22+02+73+(1)3+94+(5)1+85+(1)=6829412176,𝐴𝐵=562233415120719581=516220273(1)394(5)185(1)=442526994.

Nous devons également connaître certaines propriétés de l’addition de matrices:

  1. L’addition de matrices est commutative, ce qui signifie que si 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices de même dimension telles que 𝐴+𝐵 est défini, alors 𝐴+𝐵=𝐵+𝐴, C’est-à-dire que l’ordre dans lequel on effectue l’addition n’a pas d’importance. Ceci est dû à la loi commutative de l’addition des nombres, puisqu’on effectue l’addition sur les coefficients correspondants de chaque matrice.
  2. L’addition de matrices est associative, ce qui signifie que si 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont trois matrices de même dimension telles que 𝐵+𝐶, 𝐴+(𝐵+𝐶) et 𝐴+𝐵, (𝐴+𝐵)+𝐶 sont définies, alors 𝐴+(𝐵+𝐶)=(𝐴+𝐵)+𝐶, C’est-à-dire que la somme des trois matrices est la même peu importe comment elles sont regroupées. On peut d’abord déterminer 𝐴+𝐵 puis additionner le résultat à 𝐶 ou additionner 𝐴 à 𝐵+𝐶 et obtenir le même résultat.
  3. L’addition de matrices vérifie la propriété de l’élément neutre, ce qui signifie que si 𝐴 est une matrice, alors 𝐴+𝑂=𝑂+𝐴=𝐴,𝑂 est la matrice nulle de même dimension que 𝐴 et dont tous les coefficients sont égaux à 0. La matrice nulle 𝑂 est appelée l’élément neutre pour l’addition des matrices.
  4. L’addition de matrice vérifie la propriété de l’opposé d’une matrice, ce qui signifie que si 𝐴 est une matrice, alors 𝐴+(𝐴)=(𝐴)+𝐴=𝑂,𝑂 est l’élément neutre et 𝐴 est appelée l’opposée de 𝐴.

Etudions maintenant quelques exemples afin de pratiquer et d’approfondir notre compréhension, en commençant par l’addition de deux matrices 1×3.

Exemple 1: Addition de matrices un fois trois

Déterminez (121)+(282).

Réponse

Dans cet exemple, on doit additionner deux matrices 1×3.

Pour additionner ces matrices, on additionne les coefficients correspondants de chaque matrice:(121)+(282)=(1+22+81+2)=(3101).

La même méthode consistant à effectuer des opérations sur tous les coefficients correspondants des deux matrices de même dimension s’applique à l’addition de matrices plus grandes, comme on le verra dans l’exemple suivant.

Exemple 2: Addition de matrices deux fois deux

Déterminez 81137+10131.

Réponse

Dans cet exemple, on doit additionner deux matrices 2×2.

Pour additionner ces matrices, on additionne les coefficients correspondants de chaque matrice:81137+10131=8+1011+(1)3+37+1=181008.

Dans le prochain exemple, nous allons soustraire une matrice à une autre.

Exemple 3: Déterminer la différence entre deux matrices données

Déterminez 79508520.

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer la différence entre des matrices 2×2.

Afin de soustraire ces matrices, on soustrait les coefficients correspondants de chaque matrice:79508520=789(5)5200=11470.

Considérons ensuite un exemple qui nécessite de reformuler et de résoudre une équation matricielle en utilisant nos connaissances des propriétés de l’addition et de la soustraction de matrices.

Exemple 4: Addition et soustraction de matrices

On considère la matrice 𝐴=1151310.

On suppose que la somme des matrices 𝐴 et 𝐵 est 𝐴+𝐵=101012.

Déterminez la matrice 𝐵.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver la matrice inconnue 𝐵 en effectuant des opérations sur des matrices 2×3. Comme on ne peut additionner ou soustraire que des matrices de même dimension puisque l’on effectue les opérations sur les coefficients correspondants, et que la matrice donnée et 𝐴 sont des matrices 2×3, 𝐵 doit également être une matrice 2×3.

Afin de déterminer 𝐵, on reformule l’équation pour isoler 𝐵 et pour soustraire les coefficients correspondants de chaque matrice:𝐴+𝐵=101012.

Sachant que l’addition de matrice est commutative, on sait que 𝐴+𝐵=𝐵+𝐴. On peut donc soustraire la matrice 𝐴 à chaque membre de l’équation, ce qui donne 𝐵=101012𝐴.

Par conséquent, après avoir remplacé 𝐴, on a 𝐵=1010121151310=1(1)0(1)150131(1)20=2161322.

Utilisons maintenant nos connaissances de l’addition et de la soustraction de matrices dans un exemple qui nécessite d'effectuer une opération opposée pour trouver la réponse.

Exemple 5: Déterminer une matrice inconnue en effectuant des opérations sur des matrices impliquant la matrice nulle

Sachant que 𝑋+6865=𝑂,𝑂 est la matrice nulle 2×2, déterminez la valeur de 𝑋.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver la matrice inconnue 𝑋 en effectuant des opérations sur des matrices 2×2. Comme on ne peut additionner ou soustraire que des matrices de même dimension puisque l’on effectue les opérations sur les coefficients correspondants, et que la matrice donnée et la matrice nulle sont des matrices 2×2, 𝑋 doit aussi être une matrice 2×2.

Afin de déterminer la matrice inconnue 𝑋, on reformule l’équation pour isoler 𝑋, puis on soustrait les coefficients correspondants de la matrice donnée à la matrice nulle:𝑋+6865=𝑂.

Comme l’addition de matrice est commutative, on peut soustraire la matrice donnée à chaque membre de l’équation. Comme la première matrice est la matrice nulle, cela a pour effet d’opposer les signes de chaque coefficient de la deuxième matrice:𝑋=𝑂6865=00006865=0(6)0(8)0605=6865.

Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser la commutativité de l’addition de matrices pour nous aider à effectuer un calcul impliquant l’addition et la soustraction de trois matrices.

Exemple 6: Propriétés commutative et associative des opérations sur les matrices

Sachant que 𝐴=4313,𝐵=1023,𝐶=5107, déterminez 𝐴+𝐵𝐶.

Réponse

Dans cet exemple, on doit effectuer des opérations d’addition et de soustraction sur trois matrices 2×2.

Pour ce faire, on effectue chaque opération sur les coefficients correspondants de chaque matrice:𝐴+𝐵𝐶=4313+10235107=4+(1)(5)3+011+203+37=8211.

L’addition de matrices est commutative, donc si on considère la soustraction d’une matrice comme équivalant à l’addition de l’opposée de la matrice, on peut voir que l’on peut effectuer le calcul de différentes manières et obtenir la même réponse:

L’addition de matrices est également associative, on peut donc regrouper les éléments de différentes manières tout en obtenant la même réponse:

Points clés

  • Pour additionner deux matrices, il faut additionner chaque coefficient correspondant.
  • Pour soustraire une matrice à une autre, il faut soustraire les coefficients correspondants.
  • Pour effectuer ces opérations, la dimension de toutes les matrices doit être la même.
  • L’addition de matrices est commutative et associative.
  • L’addition de matrices vérifie les propriétés de l’élément neutre et de l’opposé.

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