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Fiche explicative de la leçon : Mouvement vertical sous l’effet de la gravité Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les équations de la cinématique du mouvement rectiligne uniformément accéléré pour modéliser le mouvement vertical d’un objet uniformément accéléré par la pesanteur.

À proximité de la surface de la Terre, si un objet n’est soumis qu’à la force de son propre poids, alors il accélère verticalement vers le bas de façon uniforme. L’accélération liée à la pesanteur est notée 𝑔 et son intensité est d’environ 9,8 m/s2. L’accélération de la pesanteur varie en fonction de la distance entre l’objet et le centre de masse de la Terre;cependant la variation de 𝑔 due à l’altitude est faible près de la surface de la Terre;dans ce cas, on peut considérer l’accélération de la pesanteur comme une constante.

Il est important, lorsque l’on considère un objet proche de la surface de la Terre, de bien faire la distinction entre l’accélération due à la pesanteur et l’accélération résultante, qui est la somme de toutes les accélérations. Un objet proche de la surface de la Terre n’accélère pas nécessairement verticalement vers le bas à 9,8 m/s2. L’accélération verticale d’un objet au repos, par exemple, est nulle. Par exemple, un corps au repos, ou qui se déplace parallèlement à la surface de la Terre (modélisant la Terre comme une sphère), a une accélération verticale nulle. En effet, le poids d’un objet en contact avec la surface de la Terre n’est pas la seule force qui s’exerce sur cet objet.

Dans cette fiche explicative, nous traiterons uniquement le cas d’objets soumis seulement à la force de leur propre poids;la force de résistance de l’air sera négligée. On peut modéliser le mouvement de tels objets grâce aux équations de la cinématique du mouvement rectiligne uniformément accéléré, à savoir 𝑣=𝑢+𝑎𝑡,𝑣=𝑢+2𝑎𝑠,𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡,𝑢 est la vitesse initiale de l’objet, 𝑣 est la vitesse finale de l’objet, 𝑎 est l’accélération de l’objet et 𝑠 est le déplacement de l’objet.

Voyons un exemple dans lequel un objet en mouvement n’est soumis qu’à la force de son propre poids.

Exemple 1: Trouver la vitesse initiale d’un objet lancé verticalement vers le haut

Un objet est lancé verticalement vers le haut depuis le sol. Sachant que l’objet atteint une hauteur maximale de 62,5 m, trouvez la vitesse à laquelle il a été lancé. On utilisera 𝑔=9,8/ms pour la valeur de l’accélération de la pesanteur.

Réponse

On peut modéliser le mouvement de l’objet par l’équation 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.

L’accélération de l’objet est due uniquement à la pesanteur;donc, l’intensité de l’accélération est égale à 9,8 m/s2. L’accélération est verticale et dirigée vers le bas. Cependant, l’objet est lancé verticalement vers le haut, donc son accélération et sa vitesse initiale sont de même direction, mais de sens opposés. Si l’on décide que la valeur de la vitesse initiale est positive, alors l’accélération est négative;donc, on a 𝑣=𝑢2(9,8)(𝑠)=𝑢19,6(𝑠).

On peut réarranger cette équation pour isoler 𝑢 d’un côté:𝑢=𝑣+19,6(𝑠).

La vitesse de l’objet est nulle lorsqu’il atteint sa hauteur maximale. Ainsi, 𝑢=0+19,6(62,5)=1225.

En prenant la racine carrée de 𝑢 et en ne gardant que la solution positive, on obtient 𝑢=1225=35/.ms

On ne prend pas en compte la racine négative car elle correspond à une vitesse descendante;or, l’objet est lancé vers le haut donc sa vitesse initiale ne peut être descendante.

La vitesse d’un objet qui accélère uniformément ne cesse de varier;cependant, sa valeur moyenne est la moyenne des vitesses avant et après l’accélération, c’est-à-dire, 𝑣=𝑣+𝑢2.moyenne

Passons à un exemple dans lequel nous déterminerons la vitesse moyenne d’un objet dont le mouvement n’est accéléré que par la pesanteur.

Exemple 2: Trouver la vitesse moyenne d’un objet en chute libre

Sachant qu’un objet lâché du haut d’un bâtiment met 3 secondes pour atteindre le sol, trouvez sa vitesse de chute moyenne. On prendra 𝑔=9,8/ms pour l’accélération de la pesanteur.

Réponse

L’accélération d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré est donnée par 𝑎=𝑣𝑢𝑡.

Pour déterminer la vitesse moyenne, on peut réarranger l’expression ainsi:𝑣𝑢=𝑎𝑡𝑣=𝑢+𝑎𝑡.

En remplaçant 𝑡 et 𝑎 par les valeurs données dans l’énoncé et 𝑢 par zéro, car l’objet a été lâché et non pas lancé, on trouve que 𝑣=9,8(3)=29,4/.ms

La vitesse moyenne de l’objet est la moyenne des vitesses avant et après l’accélération, c’est-à-dire 𝑣=𝑣+𝑢2.moyenne

On a déjà vu que 𝑢 est égal à zéro, donc on a 𝑣=29,42=14,7/.moyennems

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous déterminerons le déplacement d’un objet lancé verticalement à une vitesse connue.

Exemple 3: Trouver la hauteur maximale atteinte par une balle lancée verticalement vers le haut

Une balle est lancée verticalement vers le haut à une vitesse de 7 m/s depuis un point s’élevant à 38,7 m du sol. Trouvez la hauteur maximale atteinte par la balle. On prendra 𝑔=9,8/ms pour l’accélération de la pesanteur.

Réponse

La balle atteint sa hauteur maximale lorsque sa vitesse devient nulle et qu’elle s’apprête à retomber vers le point depuis lequel elle a été lancée.

Dans cet exemple, on nous donne la vitesse initiale de la balle, son déplacement vertical initial et son accélération verticale. Lorsque la balle atteint son plus grand déplacement vertical, sa vitesse devient instantanément nulle.

À cet instant, le déplacement de la balle par rapport au point depuis lequel on l’a lancée peut être déterminé par une formule impliquant les valeurs que l’on connait, à savoir 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠,𝑣=0/ms, 𝑢=7/ms et 𝑎=9,8/ms. On réarrange l’équation pour isoler 𝑠 d’un côté et on obtient 𝑠=𝑣𝑢2𝑎.

En remplaçant par les valeurs que l’on connait, on trouve 𝑠=072(9,8)=2,5.m

Le déplacement vertical initial de la balle était de 38,7 m, donc le plus grand déplacement vertical de la balle est donné par 38,7+2,5=41,2.m

Passons à un nouvel exemple, semblable à celui-ci.

Exemple 4: Utiliser les équations du mouvement pour résoudre un problème de lancer vertical

Complète:Un objet lancé verticalement vers le haut à une vitesse 𝑉 atteint une hauteur maximale ;donc, pour que l’objet atteigne une hauteur de 4, on doit le lancer à une vitesse de .

Réponse

L’objet atteint sa hauteur maximale lorsque sa vitesse devient nulle et qu’il s’apprête à retomber vers le point depuis lequel il a été lancé. À cet instant, le déplacement de l’objet par rapport au point depuis lequel on l’a lancé peut être déterminé grâce à la formule 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.

On peut réarranger l’équation pour isoler 𝑠 d’un côté;par ailleurs, on sait que 𝑣 est nul et que les valeurs de 𝑢 et 𝑎 sont négatives, car on considère le sens descendant comme négatif;on a donc 𝑠=𝑢2𝑔.

Le numérateur et le dénominateur du côté droit de l’équation sont tous les deux négatifs, donc on peut réécrire l’expression sous la forme 𝑠=𝑢2𝑔.

Si la valeur de 𝑢 est égale à 𝑉, alors la valeur de 𝑠 est égale à . Il est important de ne pas confondre la notation utilisée pour la valeur de la vitesse initiale, 𝑉, avec celle utilisée pour le terme de la vitesse finale, 𝑣.

En remplaçant par les valeurs 𝑉 et dans la formule, on a =𝑉2𝑔.

Il nous faut maintenant établir une relation entre la vitesse initiale recherchée, que l’on note 𝑉 et qui correspond à une valeur de 𝑠 de 4, et la vitesse initiale que l’on connait, 𝑉.

On sait que l’objet, lancé verticalement vers le haut à une vitesse 𝑉, a une vitesse nulle lorsque son déplacement vertical est de 4.

On peut utiliser l’équation 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠 dans laquelle on remplace la vitesse initiale par 𝑉, l’accélération par 𝑔 et le déplacement par 4. Étant donné que 𝑣 est nul et que 𝑔 a une valeur négative quand 𝑉 a une valeur positive, on a 0=𝑉2𝑔(4).

En remplaçant dans notre équation par =𝑉2𝑔, on obtient 0=𝑉2𝑔(4)𝑉2𝑔0=𝑉8𝑔𝑉2𝑔0=𝑉4𝑉.

On réarrange l’équation pour faire apparaitre la relation entre 𝑉 et 𝑉:4𝑉=𝑉.

En prenant la racine carrée des deux côtés, on trouve 4𝑉=𝑉2𝑉=𝑉.

On constate que 𝑉 vaut le double de 𝑉.

Passons à un exemple dans lequel un objet, dont la vitesse initiale et la vitesse finale sont inconnues, est lancé verticalement.

Exemple 5: Trouver le temps nécessaire pour qu’un objet lancé d’une tour atteigne le sol

Un objet est lancé verticalement vers le bas depuis le sommet d’une tour d’une hauteur de 80 m. Sachant qu’il tombe de 35,9 m au cours de la 1re seconde de sa chute, calculez le temps nécessaire pour qu’il atteigne le sol, en arrondissant au centième près. On prendra 𝑔=9,8/ms pour l’accélération de la pesanteur.

Réponse

L’énoncé ne nous donne ni la vitesse initiale de l’objet, ni sa vitesse à un autre instant de la chute;on ne peut donc pas résoudre le problème en comparant les vitesses initiale et finale de l’objet.

Comme l’objet finit par atteindre le sol, on pourrait penser que sa vitesse finale est nulle;cependant, à l’instant où l’objet atteint le sol, sa vitesse n’est pas instantanément nulle. Si l’objet ne rebondit pas, sa vitesse peu de temps après avoir atteint le sol est nulle;mais il n’atteint pas le sol avec une vitesse nulle.

Les différentes vitesses de l’objet nous sont inconnues, mais on peut déterminer sa vitesse initiale grâce à la formule 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡 que l’on réarrange pour isoler 𝑢 d’un côté, 𝑢=𝑠𝑎𝑡𝑡.

La vitesse initiale et l’accélération sont de même sens. On considère ce sens comme le sens positif.

En remplaçant dans l’équation par les valeurs que l’on connait, on trouve 𝑢=35,99,8(1)1=35,94,9=31/.ms

Maintenant que l’on a la vitesse initiale, on peut déterminer la vitesse finale en utilisant la formule 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠 dans laquelle on remplace par les valeurs que l’on connait:𝑣=31+2(9,8)80=2529𝑣=2529/.ms

On utilise maintenant l’équation 𝑣=𝑢+𝑎𝑡 que l’on réarrange pour isoler 𝑡 d’un côté et on obtient 𝑡=𝑣𝑢𝑎𝑡=2529319,8.

Au centième près, 𝑡 est égal à 1,97 seconde.

Résumons ce que l’on doit retenir de ces exemples.

Points clés

  • Un objet proche de la surface de la Terre qui n’est soumis qu’à la force de son propre poids a une accélération uniforme, verticale et vers le bas, de 9,8 m/s2.
  • On peut modéliser le mouvement d’un objet accéléré uniquement par la pesanteur grâce aux équations de la cinématique du mouvement rectiligne uniformément accéléré, où l’accélération a une intensité de 9,8 m/s2.
  • Un objet se déplaçant verticalement et qui n’est accéléré que par la pesanteur peut avoir une vitesse initiale de même sens que son accélération ou de sens opposé.

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