Fiche explicative de la leçon: Division de nombres complexes

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment diviser les nombres complexes.

Lorsqu’un étudiant découvre les nombres complexes pour la première fois, il est probable qu’une expression telle que lui semble bien mystérieuse, ou au moins qu’il se demande comment l’on pourrait bien en calculer le résultat. Dans cette fiche explicative, nous ferons des rapprochements entre la division complexe et des concepts mathématiques qui nous sont plus familiers pour mieux comprendre comment évaluer ce genre d’expressions. Avant d’apprendre comment diviser les nombres complexes dans le cas général, nous examinerons deux cas plus simples : la division par un réel et la division par un nombre imaginaire pur.

Exemple 1: Diviser un nombre complexe par un réel

Sachant que , exprimez sous la forme .

Réponse

Si l’on remplace par sa valeur, on obtient

On peut à présent distribuer le sur la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir

Diviser un nombre complexe par un réel est un exercice plutôt trivial. En revanche, comme nous le verrons dans le prochain exemple, diviser un nombre complexe par un nombre imaginaire n’est pas aussi trivial.

Exemple 2: Diviser un nombre complexe par un nombre imaginaire

Simplifiez .

Réponse

Pour simplifier cette fraction, nous devons trouver un moyen de convertir le dénominateur en un réel. Pour cela, on peut utiliser le fait que . En effet, si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur par , on obtiendra un réel au dénominateur, ce qui nous permettra de calculer la fraction. On a donc

On peut développer l’expression au numérateur, ce qui nous donne

En utilisant le fait que , on obtient

On peut généraliser la technique utilisée ci-dessus pour comprendre comment diviser deux nombres complexes quelconques. Tout d’abord, on doit identifier un nombre complexe qui donne un nombre réel lorsqu’il est multiplié par le dénominateur. Ensuite, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par ce nombre et simplifier le résultat. Il nous faut donc répondre à la question suivante : « Étant donné un nombre , par quel nombre peut-on multiplier pour obtenir un réel ?  » Ici, il est utile de rappeler les propriétés du conjugué d’un nombre complexe, et en particulier le fait que pour un nombre complexe , on a qui est un nombre réel. Ainsi, en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, on peut éliminer la partie imaginaire du dénominateur, puis simplifier le résultat. Il est probable que vous connaissiez déjà cette technique. En effet, on rencontre un problème similaire lorsqu’on travaille avec des radicaux et que l’on doit simplifier une expression de la forme

Dans ce cas, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur. Cette technique est parfois appelée « rationalisation du dénominateur ». Avec les nombres complexes, on peut considérer que l’on applique cette technique au cas particulier où est un nombre négatif.

Voyons maintenant un exemple dans lequel nous simplifierons la division de deux nombres complexes de la même manière que l’on rationaliserait un dénominateur comprenant des radicaux.

Exemple 3: Diviser des nombres complexes

Simplifiez .

Réponse

Pour commencer, on doit identifier un nombre complexe qui donne un réel lorsqu’on le multiplie par le dénominateur. On utilise habituellement le conjugué du dénominateur : . Puis l’on multiplie le numérateur et le dénominateur par ce nombre :

En développant le numérateur et le dénominateur, on obtient

On peut ensuite utiliser le fait que et rassembler les termes réels d’une part les imaginaires purs de l’autre pour obtenir

Enfin, on exprime notre résultat sous la forme :

Comment diviser des nombres complexes

Pour diviser des nombres complexes, on utilise la technique suivante :

Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur ;
Développez les expressions de numérateur et du dénominateur ;
Rassemblez les termes semblables (les réels avec les réels, les imaginaires purs avec les imaginaires purs) en utilisant le fait que ;
Exprimez les fractions sous leur forme irréductible et la réponse sous la forme .

Dans le prochain exemple, nous verrons qu’en utilisant cette technique, on peut déduire une formule générale pour la division de deux nombres complexes.

Exemple 4: Formule générale de la division complexe

Développez et simplifiez .
Développez .
Déduisez des résultats précédents une fraction équivalente à dont le dénominateur est réel.

Réponse

Partie 1

On commence par développer l’expression en utilisant la double distributivité ou une autre méthode de notre choix et l’on a

En utilisant le fait que et simplifiant, on a

Partie 2

Comme précédemment, on développe l’expression et on obtient

On rassemble les termes semblables et utilisant le fait que et on obtient

Partie 3

Pour réécrire le dénominateur de cette fraction sous la forme d’un réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

On peut remplacer par nos résultats aux parties 1 et 2, ce qui nous donne

Notons que, même si l’on a établi une formule générale pour la division complexe, il est préférable de maîtriser la technique plutôt que de se contenter de mémoriser la formule.

Exemple 5: Propriétés de la division complexe

Si , est-il vrai que ?

Réponse

Pour exprimer sous la forme , on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

En développant l’expression, on obtient

On peut ensuite utiliser le fait que et rassembler les termes semblables pour obtenir

On simplifie et l’on a

Par conséquent, et . On peut à présent considérer la somme de leurs carrés :

En simplifiant, on obtient

Par conséquent, il est vrai que .

Le fait que n’est pas dû au hasard ; il s’agit en fait d’un exemple particulier de la règle générale suivante. Si pour un certain nombre complexe , alors . Pour démontrer cette règle, on peut opter pour une approche algébrique. Cependant, l’approche algébrique n’est pas celle qui permet le mieux de comprendre ce résultat. En apprendre davantage sur le module et l’argument se révélera plus utile.

Exemple 6: Résoudre des équations de divisions complexes

Résous l’équation pour trouver la valeur de .

Réponse

On commence par diviser les deux membres de l’équation par et on obtient l’équation suivante :

Ensuite, on va simplifier la fraction en réalisant une division complexe. On commence donc par multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, ce qui nous donne

En développant l’expression, on obtient

On peut ensuite utiliser le fait que et rassembler les termes semblables pour réécrire notre équation sous la forme

On aura remarqué que réaliser des multiplications et des divisions de nombres complexes de cette manière prend un certain temps ; par conséquent, avant de se lancer dans les calculs, il est important de considérer quelle approche sera la plus efficace. Cela implique généralement d’utiliser les propriétés des nombres complexes ou de repérer des facteurs faciles à annuler. Dans les prochains exemples, nous verrons comment simplifier nos calculs.

Exemple 7: Division complexe

Simplifiez .

Réponse

Lorsque l’on a affaire à une expression comme celle-ci, il vaut mieux réfléchir à notre approche avant de nous lancer dans les calculs. On pourrait développer le numérateur et le dénominateur, puis multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Mais on pourrait également séparer la fraction en deux et essayer de simplifier chacune des deux parties, puis multiplier les nombres complexes obtenus. L’approche la plus adaptée varie en fonction de l’expression, mais il est toujours utile de se demander si l’expression possède des caractéristiques dont on pourrait tirer parti pour simplifier les calculs. Dans le cas présent, on peut remarquer que le numérateur et le dénominateur ont le facteur en commun. Si l’on commence par annuler ce facteur, nos calculs s’en trouveront simplifiés. On peut donc écrire que

On peut maintenant multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

On développe le numérateur et le dénominateur et on obtient

On utilise le fait que et on rassemble les termes semblables pour réécrire notre expression sous la forme

Enfin, on peut simplifier pour obtenir

Dans le prochain exemple, nous essaierons à nouveau d’utiliser les propriétés des nombres complexes pour simplifier nos calculs.

Exemple 8: Expressions complexes impliquant des divisions

Simplifiez .

Réponse

On pourrait résoudre le problème en réalisant la division complexe pour chacune des deux fractions et en additionnant les deux résultats obtenus. Cependant, on pourra simplifier nos calculs si l’on remarque que les fractions peuvent toutes les deux être factorisées par . On peut donc réécrire cette expression sous la forme

On s’intéresse à présent à l’expression entre parenthèses et l’on remarque que les deux dénominateurs forment une paire de nombres complexes conjugués ; autrement dit, l’expression est de la forme

Si l’on exprime cette expression sous la forme d’une seule fraction sur un dénominateur commun, on a

D’après les propriétés des nombres complexes conjugués, on sait que si , alors et . Donc,

Et par conséquent,

En remplaçant cette valeur dans l’équation (1), on trouve que

Pour finir, voyons un exemple dans lequel nous trouverons les valeurs manquantes d’une équation en divisant des nombres complexes.

Exemple 9: Résoudre une équation linéaire à deux variables et à coefficients complexes

Soit l’équation , où et sont des réels ; déterminez les valeurs de et .

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer et , les valeurs manquantes d’une équation linéaire à deux variables comprenant des coefficients complexes.

Notre équation comporte 3 divisions complexes distinctes : deux dans le membre de gauche et une dans le membre de droite. On commence par simplifier chaque terme en effectuant la division complexe. Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur ; ainsi, après avoir développé le numérateur et le dénominateur, on obtiendra un dénominateur réel.

Pour le premier terme, , on multiplie le dénominateur et le numérateur par , qui est le conjugué du dénominateur :

On développe le numérateur et le dénominateur et on obtient

On répète ce processus pour le deuxième terme, , en multipliant cette fois le numérateur et le dénominateur par , et on obtient

Enfin, pour le dernier terme, , dans le membre de droite de l’équation, on multiplie le dénominateur et le numérateur par ,

Notre équation devient ainsi

On peut trouver les valeurs réelles de et en créant deux nouvelle équations, l’une rassemblant les termes réels et l’autre les termes imaginaires purs. Pour les termes réels, on a l’équation

Et pour les termes imaginaires, on a l’équation

En conclusion, les solutions réelles de notre équation sont

Récapitulons les points clés de cette fiche explicative.

Points clés

Pour diviser des nombres complexes, on utilise la même technique que pour rationaliser un dénominateur.
Pour diviser des nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, puis on développe le numérateur et le dénominateur et on simplifie en utilisant le fait que .
Pour les expressions qui impliquent de multiplier ou de diviser plusieurs nombres complexes, il est toujours utile de commencer par se demander s’il serait possible d’annuler des facteurs communs ou d’utiliser les propriétés des nombres complexes pour simplifier les calculs.